Polígono

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

En geometría, un polígono es una figura plana que se describe mediante un número finito de segmentos de línea recta conectados para formar una cadena poligonal cerrada (o circuito poligonal). La región plana delimitada, el circuito delimitador, o los dos juntos, pueden denominarse polígono.

Los segmentos de un circuito poligonal se denominan aristas o lados. Los puntos donde se juntan dos aristas son los vértices (singular: vertex) o esquinas del polígono. El interior de un polígono sólido a veces se llama su cuerpo. Un n -gon es un polígono de n lados; por ejemplo, un triángulo es un 3-ágono.

Un polígono simple es aquel que no se corta a sí mismo. Los matemáticos a menudo solo se preocupan por las cadenas poligonales delimitadoras de polígonos simples y, a menudo, definen un polígono en consecuencia. Se puede permitir que un límite poligonal se cruce sobre sí mismo, creando polígonos en estrella y otros polígonos que se intersecan a sí mismos.

Un polígono es un ejemplo bidimensional del politopo más general en cualquier número de dimensiones. Hay muchas más generalizaciones de polígonos definidos para diferentes propósitos.

Etimología

La palabra polígono deriva del adjetivo griego πολύς (polús) 'mucho', 'muchos' y γωνία (gōnía) 'esquina' o 'ángulo'. Se ha sugerido que γόνυ (gónu) 'rodilla' puede ser el origen de gon.

Clasificación

Número de lados

Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados. Consulte la tabla a continuación.

Convexidad e intersección

Los polígonos pueden caracterizarse por su convexidad o tipo de no convexidad:

Convexo: cualquier línea dibujada a través del polígono (y no tangente a un borde o esquina) se encuentra con su límite exactamente dos veces. Como consecuencia, todos sus ángulos interiores son menores de 180°. De manera equivalente, cualquier segmento de línea con extremos en el límite pasa solo por puntos interiores entre sus extremos.
No convexa: se puede encontrar una línea que se encuentra con su límite más de dos veces. De manera equivalente, existe un segmento de línea entre dos puntos límite que pasa fuera del polígono.
Simple: el límite del polígono no se cruza a sí mismo. Todos los polígonos convexos son simples.
Cóncavo: No convexo y simple. Hay al menos un ángulo interior mayor de 180°.
En forma de estrella: todo el interior es visible desde al menos un punto, sin cruzar ningún borde. El polígono debe ser simple, y puede ser convexo o cóncavo. Todos los polígonos convexos tienen forma de estrella.
Auto-intersección: el límite del polígono se cruza a sí mismo. El término complejo a veces se usa en contraste con simple, pero este uso corre el riesgo de confundirse con la idea de un polígono complejo como uno que existe en el plano complejo de Hilbert que consta de dos dimensiones complejas.
Polígono en estrella: un polígono que se interseca a sí mismo de forma regular. Un polígono no puede tener forma de estrella y estrella a la vez.

Igualdad y simetría

Equiangular: todos los ángulos de las esquinas son iguales.
Equilátero: todas las aristas tienen la misma longitud.
Regular: tanto equilátero como equiangular.
Cíclico: todas las esquinas se encuentran en un solo círculo, llamado circuncírculo.
Tangencial: todos los lados son tangentes a una circunferencia inscrita.
Isogonal o de vértice transitivo: todas las esquinas se encuentran dentro de la misma órbita de simetría. El polígono también es cíclico y equiángulo.
Isotoxal o de borde transitivo: todos los lados se encuentran dentro de la misma órbita de simetría. El polígono también es equilátero y tangencial.

La propiedad de regularidad se puede definir de otras formas: un polígono es regular si y solo si es tanto isogonal como isotoxal, o de manera equivalente, es tanto cíclico como equilátero. Un polígono regular no convexo se llama polígono regular en estrella.

Misceláneas

Rectilíneo: los lados del polígono se encuentran en ángulo recto, es decir, todos sus ángulos interiores son de 90 o 270 grados.
Monótono con respecto a una línea dada L: cada línea ortogonal a L corta el polígono no más de dos veces.

Propiedades y fórmulas

La geometría euclidiana se supone en todo momento.

Anglos

Cualquier polígono tiene tantas esquinas como lados. Cada esquina tiene varios ángulos. Los dos más importantes son:

Ángulo interior: la suma de los ángulos interiores de un n -ágono simple es (n − 2) × π radianes o (n − 2) × 180 grados. Esto se debe a que cualquier n -ágono simple (que tenga n lados) puede considerarse formado por (n − 2) triángulos, cada uno de los cuales tiene una suma de ángulos de π radianes o 180 grados. La medida de cualquier ángulo interior de un n -ágono regular convexo es $left(1-{tfrac{2}{n}}right)pi$ radianes o $180-{tfrac{360}{n}}$ grados. Los ángulos interiores de los polígonos regulares en estrella fueron estudiados por primera vez por Poinsot, en el mismo artículo en el que describe los poliedros de cuatro estrellas regulares: ${tfrac{p}{q}}$ -gon (a p -gon con densidad central q), cada ángulo interior está en ${tfrac {pi (p-2q)}{p}}$ radianes o ${tfrac{180(p-2q)}{p}}$ grados.
Ángulo exterior: el ángulo exterior es el ángulo suplementario del ángulo interior. Trazando alrededor de un n -ágono convexo, el ángulo "girado" en una esquina es el ángulo exterior o externo. Recorrer todo el contorno del polígono da una vuelta completa, por lo que la suma de los ángulos exteriores debe ser 360°. Este argumento se puede generalizar a polígonos simples cóncavos, si los ángulos externos que giran en la dirección opuesta se restan del total girado. Trazando alrededor de un n -ágono en general, la suma de los ángulos exteriores (la cantidad total que uno gira en los vértices) puede ser cualquier número entero múltiplo d de 360°, por ejemplo, 720° para un pentagrama y 0° para un "ocho" angular o antiparalelogramo, donde des la densidad o número de giro del polígono. Véase también órbita (dinámica).

Área

En esta sección se toman ${displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),ldots,(x_{n-1},y_{n-1})}$ en orden los vértices del polígono considerado. Por conveniencia en algunas fórmulas, también se utilizará la notación (x _n, y _n) = (x ₀, y ₀).

Polígonos simples

Si el polígono no se interseca a sí mismo (es decir, es simple), el área firmada es ${displaystyle A={frac {1}{2}}sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i })quad {text{donde }}x_{n}=x_{0}{text{ y }}y_{n}=y_{0},}$

o, usando determinantes ${displaystyle 16A^{2}=sum_{i=0}^{n-1}sum_{j=0}^{n-1}{begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_ {i,j+1}\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}end{vmatriz}},}$

donde ${displaystyle Q_{i,j}}$ es la distancia al cuadrado entre $(x_{i},y_{i})$ y ${ estilo de visualización (x_ {j}, y_ {j}).}$

El área firmada depende del ordenamiento de los vértices y de la orientación del plano. Comúnmente, la orientación positiva se define por la rotación (en sentido contrario a las agujas del reloj) que asigna el eje x positivo al eje y positivo. Si los vértices están ordenados en sentido antihorario (es decir, según orientación positiva), el área firmada es positiva; de lo contrario, es negativo. En cualquier caso, la fórmula del área es correcta en valor absoluto. Esto se conoce comúnmente como fórmula del cordón de zapato o fórmula del topógrafo.

El área A de un polígono simple también se puede calcular si se conocen las longitudes de los lados, a ₁, a ₂,..., an _y los ángulos exteriores, θ ₁, θ ₂,..., θ _n, de: ${begin{alineado}A={frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}sin(theta _{1})+a_{3}sin(theta_{ 1}+theta _{2})+cdots +a_{n-1}sin(theta _{1}+theta _{2}+cdots +theta _{n-2})] \{}+a_{2}[a_{3}sin(theta _{2})+a_{4}sin(theta _{2}+theta _{3})+cdots + a_{n-1}sin(theta _{2}+cdots +theta _{n-2})]\{}+cdots +a_{n-2}[a_{n-1} sin(theta _{n-2})]).end{alineado}}$

La fórmula fue descrita por Lopshits en 1963.

Si el polígono se puede dibujar en una cuadrícula igualmente espaciada de modo que todos sus vértices sean puntos de cuadrícula, el teorema de Pick proporciona una fórmula simple para el área del polígono basada en el número de puntos de cuadrícula interiores y de límite: el primer número más la mitad del último número, menos 1.

En todo polígono de perímetro p y área A, se cumple la desigualdad isoperimétrica 4pi A">.

Para dos polígonos simples cualesquiera de igual área, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que el primero se puede cortar en piezas poligonales que se pueden volver a ensamblar para formar el segundo polígono.

Las longitudes de los lados de un polígono en general no determinan su área. Sin embargo, si el polígono es simple y cíclico, los lados determinan el área. De todos los n -ágonos con longitudes de lado dadas, el que tiene el área más grande es cíclico. De todos los n -ágonos con un perímetro dado, el de mayor área es regular (y por lo tanto cíclico).

Polígonos regulares

Muchas fórmulas especializadas se aplican a las áreas de polígonos regulares.

El área de un polígono regular viene dada por el radio r de su circunferencia inscrita y su perímetro p por $A={tfrac {1}{2}}cdot pcdot r.$

Este radio también se denomina apotema y, a menudo, se representa como.

El área de un n -ágono regular en términos del radio R de su círculo circunscrito se puede expresar trigonométricamente como: ${displaystyle A=R^{2}cdot {frac {n}{2}}cdot sin {frac {2pi }{n}}=R^{2}cdot ncdot sin {frac {pi }{n}}cdot cos {frac {pi }{n}}}$

El área de un n -ágono regular inscrito en una circunferencia de radio unitario, de lado s y ángulo interior $alfa,$ también se puede expresar trigonométricamente como: ${displaystyle A={frac {ns^{2}}{4}}cot {frac {pi {n}}={frac {ns^{2}}{4}}cot { frac {alpha }{n-2}}=ncdot sin {frac {alpha }{n-2}}cdot cos {frac {alpha }{n-2}}.}$

Auto-intersección

El área de un polígono que se interseca a sí mismo se puede definir de dos maneras diferentes, dando diferentes respuestas:

Usando las fórmulas para polígonos simples, permitimos que regiones particulares dentro del polígono puedan tener su área multiplicada por un factor que llamamos densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene una densidad de 2. Las dos regiones triangulares de un cuadrilátero cruzado (como una figura 8) tienen densidades de signos opuestos, y la suma de sus áreas puede dar un área total de cero. por toda la figura.
Considerando las regiones encerradas como conjuntos de puntos, podemos encontrar el área del conjunto de puntos encerrado. Corresponde al área del plano que cubre el polígono o al área de uno o más polígonos simples que tienen el mismo contorno que el que se corta a sí mismo. En el caso del cuadrilátero cruzado, se trata como dos triángulos simples.

Centroide

Usando la misma convención para las coordenadas de los vértices que en la sección anterior, las coordenadas del centroide de un polígono sólido simple son ${displaystyle C_{x}={frac {1}{6A}}sum_{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$ ${displaystyle C_{y}={frac {1}{6A}}sum_{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

$A$ En estas fórmulas, se debe utilizar el valor de área con signo.

Para triángulos (n = 3), los centroides de los vértices y de la forma sólida son los mismos, pero, en general, esto no es cierto para n > 3. El baricentro del conjunto de vértices de un polígono de n vértices tiene las coordenadas ${displaystyle c_{x}={frac {1}{n}}sum_{i=0}^{n-1}x_{i},}$ ${displaystyle c_{y}={frac {1}{n}}sum_{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

Generalizaciones

La idea de un polígono se ha generalizado de varias maneras. Algunos de los más importantes incluyen:

Un polígono esférico es un circuito de arcos de grandes círculos (lados) y vértices en la superficie de una esfera. Permite el digon, un polígono que tiene solo dos lados y dos esquinas, lo cual es imposible en un plano plano. Los polígonos esféricos juegan un papel importante en la cartografía (creación de mapas) y en la construcción de los poliedros uniformes de Wythoff.
Un polígono sesgado no se encuentra en un plano plano, sino que zigzaguea en tres (o más) dimensiones. Los polígonos de Petrie de los politopos regulares son ejemplos bien conocidos.
Un apeirogon es una secuencia infinita de lados y ángulos, que no es cerrada pero no tiene extremos porque se extiende indefinidamente en ambas direcciones.
Un apeirogon sesgado es una secuencia infinita de lados y ángulos que no se encuentran en un plano.
Un polígono complejo es una configuración análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo de dos dimensiones reales y dos imaginarias.
Un polígono abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que representa los diversos elementos (lados, vértices, etc.) y su conectividad. Se dice que un polígono geométrico real es una realización del polígono abstracto asociado. Dependiendo del mapeo, se pueden realizar todas las generalizaciones descritas aquí.
Un poliedro es un sólido tridimensional delimitado por caras poligonales planas, análogo a un polígono en dos dimensiones. Las formas correspondientes en cuatro o más dimensiones se denominan politopos. (En otras convenciones, las palabras poliedro y politopo se usan en cualquier dimensión, con la distinción entre las dos de que un politopo está necesariamente acotado).

Denominación

La palabra polígono proviene del latín tardío polygōnum (un sustantivo), del griego πολύγωνον (polygōnon/polugōnon), uso sustantivo de neutro de πολύγωνος (polygōnos/polugōnos, el adjetivo masculino), que significa "muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (ya veces se clasifican) según el número de lados, combinando un prefijo numérico derivado del griego con el sufijo -gon, por ejemplo, pentágono, dodecágono. El triángulo, el cuadrilátero y el nonágono son excepciones.

Más allá de los decágonos (10 lados) y los dodecágonos (12 lados), los matemáticos generalmente usan notación numérica, por ejemplo, 17-gon y 257-gon.

Existen excepciones para los conteos secundarios que se expresan fácilmente en forma verbal (por ejemplo, 20 y 30) o que utilizan personas que no son matemáticas. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono de estrella regular también se conoce como pentagrama.

Nombre	Lados	Propiedades
monógono	1	Generalmente no se reconoce como un polígono, aunque algunas disciplinas como la teoría de grafos a veces usan el término.
excavar	2	Generalmente no se reconoce como un polígono en el plano euclidiano, aunque puede existir como un polígono esférico.
triángulo (o trígono)	3	El polígono más simple que puede existir en el plano euclidiano. Puede embaldosar el avión.
cuadrilátero (o tetrágono)	4	El polígono más simple que puede cruzarse a sí mismo; el polígono más simple que puede ser cóncavo; el polígono más simple que puede ser no cíclico. Puede embaldosar el avión.
pentágono	5	El polígono más simple que puede existir como una estrella regular. Un pentágono de estrella se conoce como pentagrama o pentáculo.
hexágono	6	Puede embaldosar el avión.
heptágono (o septágono)	7	El polígono más simple tal que la forma regular no se puede construir con compás y regla. Sin embargo, se puede construir usando una construcción neusis.
octágono	8
nonágono (o eneágono)	9	"Nonagon" mezcla el latín [ novem = 9] con el griego; "eneagon" es griego puro.
decágono	10
endecágono (o undecágono)	11	El polígono más simple tal que la forma regular no se puede construir con compás, regla y trisector de ángulo. Sin embargo, se puede construir con neusis.
dodecágono (o duodecágono)	12
tridecágono (o triskaidecágono)	13
tetradecágono (o tetrakaidecágono)	14
pentadecágono (o pentakaidecágono)	15
hexadecágono (o hexakaidecágono)	dieciséis
heptadecágono (o heptakaidecágono)	17	polígono construible
octadecágono (o octakaidecágono)	18
eneadecágono (o enneakaidecágono)	19
icoságono	20
icositrigon (o icosikaitrigon)	23	El polígono más simple tal que la forma regular no se puede construir con neusis.
icositetragon (o icosikaitetragon)	24
icosipentagon (o icosikaipentagon)	25	El polígono más simple tal que no se sabe si la forma regular se puede construir con neusis o no.
triacontágono	30
tetracontagon (o tessaracontagon)	40
pentacontagon (o pentecontagon)	50
hexacontagon (o hexecontagon)	60
heptacontagon (o hebdomecontagon)	70
octocontagon (u ogdoëcontagon)	80
eneacontagon (o enenecontagon)	90
hectágono (o hecatontagon)	100
257-gon	257	polígono construible
quiliágono	1000	Filósofos como René Descartes, Immanuel Kant, David Hume, han utilizado el quiliágono como ejemplo en las discusiones.
miriágono	10,000	Se utiliza como ejemplo en algunas discusiones filosóficas, por ejemplo, en las Meditaciones sobre la primera filosofía de Descartes.
65537-gon	65,537	polígono construible
megágono	1,000,000	Al igual que con el ejemplo del quiliágono de René Descartes, el polígono de un millón de lados se ha utilizado como ilustración de un concepto bien definido que no se puede visualizar. El megágono también se usa como ilustración de la convergencia de polígonos regulares en un círculo.
apeirogón	∞	Un polígono degenerado de infinitos lados.

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 aristas, combine los prefijos de la siguiente manera. El término "kai" se aplica a 13-gons y más y fue utilizado por Kepler, y defendido por John H. Conway para aclarar los números de prefijos concatenados en la denominación de poliedros cuasiregulares, aunque no todas las fuentes lo utilizan.

decenas	y	Unos	sufijo final
-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosi- (icosa- cuando está solo)	2	-di-
30	triaconta- (o triconta-)	3	-tri-
40	tetraconta- (o tessaraconta-)	4	-tetra-
50	pentaconta- (o penteconta-)	5	-penta-
60	hexaconta- (o hexeconta-)	6	-hexa-
70	heptaconta- (o hebdomeconta-)	7	-hepta-
80	octaconta- (u ogdoëconta-)	8	-octa-
90	enneaconta- (o eneneconta-)	9	-enea-

Historia

Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los polígonos regulares eran conocidos por los antiguos griegos, con el pentagrama, un polígono regular no convexo (polígono en estrella), que apareció ya en el siglo VII a. C. en una crátera de Aristófanes, encontrada en Caere y ahora en el Museo Capitolino.

El primer estudio sistemático conocido de polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV.

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos al plano complejo, donde cada dimensión real va acompañada de una imaginaria, para crear polígonos complejos.

En naturaleza

Los polígonos aparecen en formaciones rocosas, más comúnmente como las facetas planas de los cristales, donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.

Los hexágonos regulares pueden ocurrir cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto apretadas, que se pueden ver en Giant's Causeway en Irlanda del Norte o en Devil's Postpile en California.

En biología, la superficie del panal de cera hecho por las abejas es una matriz de hexágonos, y los lados y la base de cada celda también son polígonos.

Gráficos de computadora

En gráficos por computadora, un polígono es una primitiva utilizada en el modelado y la representación. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos, así como otros atributos del polígono, como color, sombreado y textura), información de conectividad y materiales.

Cualquier superficie se modela como una teselación llamada malla poligonal. Si una malla cuadrada tiene n + 1 puntos (vértices) por lado, hay n cuadrados en la malla, o 2 n triángulos cuadrados ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay (n + 1) / 2(n) vértices por triángulo. Donde n es grande, esto se aproxima a la mitad. O bien, cada vértice dentro de la malla cuadrada conecta cuatro bordes (líneas).

El sistema de imágenes llama a la estructura de polígonos necesarios para crear la escena a partir de la base de datos. Esto se transfiere a la memoria activa y, finalmente, al sistema de visualización (pantalla, monitores de TV, etc.) para que se pueda visualizar la escena. Durante este proceso, el sistema de imágenes presenta los polígonos en la perspectiva correcta, listos para la transmisión de los datos procesados al sistema de visualización. Aunque los polígonos son bidimensionales, a través de la computadora del sistema se colocan en una escena visual en la orientación tridimensional correcta.

En gráficos por computadora y geometría computacional, a menudo es necesario determinar si un punto dado se ${displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ encuentra dentro de un polígono simple dado por una secuencia de segmentos de línea. Esto se llama la prueba del punto en el polígono.

Contenido relacionado

Más resultados...