Peter Gustav Lejeune Dirichlet

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Matemático alemán (1805-1859)

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (alemán: [ləˈʒœn diʁiˈkleː]; 13 de febrero de 1805 - 5 de mayo de 1859) fue un matemático alemán que hizo contribuciones a la teoría de números (incluida la creación del campo de la teoría analítica de números) y a la teoría de las series de Fourier. y otros temas de análisis matemático; se le atribuye ser uno de los primeros matemáticos en dar la definición formal moderna de una función.

Aunque su apellido es Lejeune Dirichlet, comúnmente se lo conoce por su monónimo Dirichlet, en particular para los resultados que llevan su nombre.

Biografía

Primeros años (1805–1822)

Gustav Lejeune Dirichlet nació el 13 de febrero de 1805 en Düren, una ciudad en la orilla izquierda del Rin que en ese momento era parte del Primer Imperio Francés, volviendo a Prusia después del Congreso de Viena en 1815. Su padre Johann Arnold Lejeune Dirichlet fue administrador de correos, comerciante y concejal de la ciudad. Su abuelo paterno había venido a Düren desde Richelette (o más probablemente Richelle), una pequeña comunidad a 5 km (3 millas) al noreste de Lieja en Bélgica, de donde proviene su apellido "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", francés para "la juventud de Richelette") se derivó.

Aunque su familia no era rica y él era el menor de siete hijos, sus padres apoyaron su educación. Lo inscribieron en una escuela primaria y luego en una escuela privada con la esperanza de que luego se convirtiera en comerciante. El joven Dirichlet, que mostró un gran interés por las matemáticas antes de los 12 años, persuadió a sus padres para que le permitieran continuar sus estudios. En 1817 lo enviaron al Gymnasium Bonn [de] bajo el cuidado de Peter Joseph Elvenich, un estudiante que su familia conocía. En 1820, Dirichlet se trasladó al Jesuit Gymnasium de Colonia, donde sus lecciones con Georg Ohm le ayudaron a ampliar sus conocimientos matemáticos. Dejó el gimnasio un año después con solo un certificado, ya que su incapacidad para hablar latín con fluidez le impidió obtener el Abitur.

Estudios en París (1822–1826)

Dirichlet volvió a persuadir a sus padres para que le proporcionaran más apoyo financiero para sus estudios de matemáticas, en contra de su deseo de seguir una carrera en derecho. Como Alemania brindaba pocas oportunidades para estudiar matemáticas superiores en ese momento, con solo Gauss en la Universidad de Göttingen, quien nominalmente era profesor de astronomía y de todos modos no le gustaba la enseñanza, Dirichlet decidió ir a París en mayo de 1822. Allí asistió a clases en el Collège. de France y en la Universidad de París, aprendiendo matemáticas de Hachette, entre otros, mientras estudiaba en privado las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, un libro que mantuvo cerca durante toda su vida. En 1823 fue recomendado al general Maximilien Foy, quien lo contrató como tutor privado para enseñar alemán a sus hijos, el salario finalmente le permitió a Dirichlet independizarse de sus padres. soporte financiero.

Su primera investigación original, que comprende parte de una demostración del último teorema de Fermat para el caso n = 5, le trajo fama inmediata, siendo el primer avance en el teorema desde la demostración del caso del propio Fermat n = 4 y la prueba de Euler para n = 3. Adrien-Marie Legendre, uno de los árbitros, pronto completó la prueba de este caso; Dirichlet completó su propia prueba poco tiempo después de Legendre, y unos años más tarde produjo una prueba completa para el caso n = 14. En junio de 1825 fue aceptado para dar una conferencia sobre su prueba parcial para el caso n = 5 en la Academia Francesa de Ciencias, una hazaña excepcional para un estudiante de 20 años sin título. Su conferencia en la Academia también había puesto a Dirichlet en estrecho contacto con Fourier y Poisson, quienes despertaron su interés en la física teórica, especialmente en la teoría analítica del calor de Fourier.

Regreso a Prusia, Breslau (1825–1828)

Como el general Foy murió en noviembre de 1825 y no pudo encontrar ningún puesto remunerado en Francia, Dirichlet tuvo que regresar a Prusia. Fourier y Poisson le presentaron a Alexander von Humboldt, quien había sido llamado a unirse a la corte del rey Friedrich Wilhelm III. Humboldt, planeando hacer de Berlín un centro de ciencia e investigación, inmediatamente ofreció su ayuda a Dirichlet, enviando cartas a su favor al gobierno prusiano ya la Academia de Ciencias de Prusia. Humboldt también obtuvo una carta de recomendación de Gauss, quien al leer sus memorias sobre el teorema de Fermat escribió con una inusual cantidad de elogios que "Dirichlet mostró un talento excelente". Con el apoyo de Humboldt y Gauss, a Dirichlet se le ofreció un puesto docente en la Universidad de Breslau. Sin embargo, como no había aprobado una tesis doctoral, presentó sus memorias sobre el teorema de Fermat como tesis a la Universidad de Bonn. Nuevamente, su falta de fluidez en latín lo hizo incapaz de mantener la necesaria disputa pública de su tesis; después de mucha discusión, la universidad decidió sortear el problema otorgándole un doctorado honoris causa en febrero de 1827. Además, el Ministro de Educación le otorgó una dispensa para la disputa en latín requerida para la Habilitación. Dirichlet obtuvo la Habilitación y dio una conferencia en el año 1827–28 como Privatdozent en Breslau.

Mientras estuvo en Breslau, Dirichlet continuó su investigación de teoría de números y publicó contribuciones importantes a la ley de reciprocidad bicuadrática, que en ese momento era un punto central de la investigación de Gauss. Alexander von Humboldt aprovechó estos nuevos resultados, que también habían recibido elogios entusiastas de Friedrich Bessel, para gestionarle el ansiado traslado a Berlín. Dada la corta edad de Dirichlet (tenía 23 años en ese momento), Humboldt solo pudo conseguirle un puesto de prueba en la Academia Militar Prusiana en Berlín mientras permanecía nominalmente empleado en la Universidad de Breslau. La prueba se extendió por tres años hasta que el puesto quedó definitivo en 1831.

Matrimonio con Rebecka Mendelssohn

Dirichlet se casó en 1832 con Rebecka Mendelssohn. Tenían dos hijos, Walter (nacido 1833) y Flora (nacido 1845). Dibujo de Wilhelm Hensel, 1823

Después de la mudanza de Dirichlet a Berlín, Humboldt lo introdujo en los grandes salones del banquero Abraham Mendelssohn Bartholdy y su familia. Su casa era un punto de encuentro semanal para artistas y científicos de Berlín, incluidos los hijos de Abraham, Félix y Fanny Mendelssohn, ambos destacados músicos, y el pintor Wilhelm Hensel (marido de Fanny). Dirichlet mostró un gran interés en la hija de Abraham, Rebecka, con quien se casó en 1832.

Rebecka Henriette Lejeune Dirichlet (de soltera Rebecka Mendelssohn; 11 de abril de 1811 - 1 de diciembre de 1858) era nieta de Moses Mendelssohn y la hermana menor de Felix Mendelssohn y Fanny Mendelssohn. Rebecka nació en Hamburgo. En 1816, sus padres hicieron arreglos para que ella fuera bautizada, momento en el que tomó el nombre de Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. Formó parte del notable salón de sus padres, Abraham Mendelssohn y su esposa Lea, teniendo contactos sociales con importantes músicos, artistas y científicos en un período altamente creativo de la vida intelectual alemana. En 1829 cantó un pequeño papel en el estreno, dado en la casa de Mendelssohn, del Singspiel de Félix Die Heimkehr aus der Fremde. Más tarde escribió:

Mi hermano mayor y mi hermana robaron mi reputación como artista. En cualquier otra familia habría sido muy considerado como un músico y tal vez era líder de un grupo. Junto a Félix y Fanny, no pude aspirar a ningún reconocimiento.

En 1832 se casó con Dirichlet, quien fue presentado a la familia Mendelssohn por Alexander von Humboldt. En 1833 nació su primer hijo, Walter. Murió en Göttingen en 1858.

Berlín (1826–1855)

Tan pronto como llegó a Berlín, Dirichlet solicitó dar clases en la Universidad de Berlín, y el Ministro de Educación aprobó la transferencia y en 1831 lo asignó a la facultad de filosofía. La facultad le exigió que realizara una calificación de habilitación renovada, y aunque Dirichlet escribió un Habilitationsschrift según fuera necesario, pospuso dar la lección obligatoria en latín por otros 20 años, hasta 1851. Como no había completado esta lección formal requisito, permaneció adscrito a la facultad con derechos menos que plenos, incluidos emolumentos restringidos, obligándolo a mantener paralelamente su cargo docente en la Escuela Militar. En 1832, Dirichlet se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Prusia, el miembro más joven con solo 27 años.

Dirichlet tenía una buena reputación entre los estudiantes por la claridad de sus explicaciones y disfrutaba enseñando, especialmente porque sus conferencias universitarias tendían a ser sobre los temas más avanzados en los que estaba investigando: teoría de números (fue el primer profesor alemán en dar conferencias sobre teoría de números), análisis y física matemática. Asesoró las tesis doctorales de varios matemáticos alemanes importantes, como Gotthold Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz y Carl Wilhelm Borchardt, mientras influyó en la formación matemática de muchos otros científicos, entre ellos Elwin Bruno Christoffel, Wilhelm Weber, Eduard Heine, Ludwig von Seidel y Julius Weingarten. En la Academia Militar, Dirichlet logró introducir el cálculo diferencial e integral en el plan de estudios, elevando allí el nivel de educación científica. Sin embargo, poco a poco empezó a sentir que su doble carga docente, en la Academia Militar y en la universidad, le limitaba el tiempo disponible para sus investigaciones.

Mientras estuvo en Berlín, Dirichlet se mantuvo en contacto con otros matemáticos. En 1829, durante un viaje, conoció a Carl Jacobi, en ese momento profesor de matemáticas en la Universidad de Königsberg. A lo largo de los años siguieron reuniéndose y manteniendo correspondencia sobre asuntos de investigación, y con el tiempo se convirtieron en amigos cercanos. En 1839, durante una visita a París, Dirichlet conoció a Joseph Liouville, los dos matemáticos se hicieron amigos, se mantuvieron en contacto e incluso se visitaron con las familias unos años más tarde. En 1839, Jacobi le envió a Dirichlet un artículo de Ernst Kummer, en ese momento maestro de escuela. Al darse cuenta del potencial de Kummer, lo ayudaron a ser elegido en la Academia de Berlín y, en 1842, obtuvieron para él un puesto de profesor titular en la Universidad de Breslau. En 1840, Kummer se casó con Ottilie Mendelssohn, prima de Rebecka.

En 1843, cuando Jacobi enfermó, Dirichlet viajó a Königsberg para ayudarlo y luego obtuvo para él la asistencia del médico personal del rey Federico Guillermo IV. Cuando el médico le recomendó a Jacobi pasar algún tiempo en Italia, Dirichlet lo acompañó en el viaje junto a su familia. Fueron acompañados a Italia por Ludwig Schläfli, que vino como traductor; Como estaba muy interesado en las matemáticas, tanto Dirichlet como Jacobi le dieron conferencias durante el viaje, y más tarde él mismo se convirtió en un importante matemático. La familia Dirichlet prolongó su estancia en Italia hasta 1845, naciendo allí su hija Flora. En 1844, Jacobi se mudó a Berlín como pensionista real y su amistad se hizo aún más estrecha. En 1846, cuando la Universidad de Heidelberg trató de reclutar a Dirichlet, Jacobi proporcionó a von Humboldt el apoyo necesario para duplicar el salario de Dirichlet en la universidad a fin de mantenerlo en Berlín; sin embargo, incluso entonces no recibió el salario completo de profesor y no pudo abandonar la Academia Militar.

Con puntos de vista liberales, Dirichlet y su familia apoyaron la revolución de 1848; incluso protegió con un rifle el palacio del Príncipe de Prusia. Después del fracaso de la revolución, la Academia Militar cerró temporalmente, lo que le provocó una gran pérdida de ingresos. Cuando reabrió, el ambiente se volvió más hostil hacia él, ya que se esperaba que los oficiales a los que enseñaba fueran leales al gobierno constituido. Parte de la prensa que no se había puesto del lado de la revolución lo señaló, así como a Jacobi y otros profesores liberales, como 'el contingente rojo del Estado Mayor'.

En 1849 Dirichlet participó, junto con su amigo Jacobi, en el jubileo del doctorado de Gauss.

Gotinga (1855–1859)

A pesar de la experiencia de Dirichlet y los honores que recibió, y aunque, en 1851, finalmente había completado todos los requisitos formales para un profesor titular, el problema de aumentar su salario en la universidad aún se prolongaba y estaba sigue sin poder salir de la Academia Militar. En 1855, tras la muerte de Gauss, la Universidad de Göttingen decidió llamar a Dirichlet como su sucesor. Dadas las dificultades a las que se enfrentaba en Berlín, decidió aceptar la oferta e inmediatamente se trasladó a Göttingen con su familia. Kummer fue llamado a asumir su cargo como profesor de matemáticas en Berlín.

Dirichlet disfrutó de su tiempo en Göttingen, ya que la carga docente más ligera le permitió más tiempo para la investigación y entró en estrecho contacto con la nueva generación de investigadores, especialmente con Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Después de mudarse a Göttingen, pudo obtener un pequeño estipendio anual para que Riemann lo retuviera en el personal docente allí. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor y Alfred Enneper, aunque ya se habían doctorado, asistieron a las clases de Dirichlet para estudiar con él. Dedekind, que sentía que había lagunas en su educación matemática, consideró que la ocasión de estudiar con Dirichlet lo convertía en 'un nuevo ser humano'. Posteriormente editó y publicó las conferencias de Dirichlet y otros resultados en teoría de números con el título Vorlesungen über Zahlentheorie (Conferencias sobre teoría de números).

En el verano de 1858, durante un viaje a Montreux, Dirichlet sufrió un infarto. El 5 de mayo de 1859 murió en Göttingen, varios meses después de la muerte de su esposa Rebecka. El cerebro de Dirichlet se conserva en el departamento de fisiología de la Universidad de Göttingen, junto con el cerebro de Gauss. La Academia de Berlín lo honró con un discurso conmemorativo formal presentado por Kummer en 1860 y luego ordenó la publicación de sus obras completas editadas por Kronecker y Lazarus Fuchs.

Investigación matemática

Teoría de números

La teoría del número fue el principal interés de investigación de Dirichlet, un campo en el que encontró varios resultados profundos y en probarlos introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales fueron nombradas después de él. En 1837, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, utilizando conceptos de análisis matemáticos para abordar un problema algebraico y creando así la rama de la teoría de números analíticos. Al probar el teorema, introdujo los caracteres Dirichlet y las funciones L. Además, en el artículo destacó la diferencia entre la convergencia absoluta y condicional de la serie y su impacto en lo que más tarde se llamaba el teorema de la serie Riemann. En 1841, generalizó sus progresiones aritméticas teorema de los enteros al anillo de los enteros gausianos Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i].

En un par de artículos en 1838 y 1839, demostró la primera fórmula numérica de clase, para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su estudiante Kronecker). La fórmula, que Jacobi denominó un resultado que 'toca el máximo de la perspicacia humana', abrió el camino para resultados similares con respecto a campos numéricos más generales. Basado en su investigación de la estructura del grupo unitario de campos cuadráticos, demostró el teorema de la unidad de Dirichlet, un resultado fundamental en la teoría algebraica de números.

Usó por primera vez el principio del casillero, un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema en aproximación diofántica, que más tarde recibió su nombre de teorema de aproximación de Dirichlet. Publicó importantes contribuciones al Último Teorema de Fermat, para el cual demostró los casos n = 5 y n = 14, y a la ley de reciprocidad bicuadrática. El problema del divisor de Dirichlet, para el que encontró los primeros resultados, sigue siendo un problema sin resolver en la teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros matemáticos.

Análisis

Dirichlet encontró y demostró las condiciones de convergencia para la descomposición de la serie Fourier. Imagen: las primeras cuatro aproximaciones de la serie Fourier para una onda cuadrada.

Inspirado en el trabajo de su mentor en París, Dirichlet publicó en 1829 una famosa memoria en la que da las condiciones y muestra para qué funciones se cumple la convergencia de la serie de Fourier. Antes de la solución de Dirichlet, no sólo Fourier, sino también Poisson y Cauchy habían intentado sin éxito encontrar una prueba rigurosa de convergencia. Las memorias señalaron el error de Cauchy e introdujeron la prueba de Dirichlet para la convergencia de series. También introdujo la función de Dirichlet como un ejemplo de una función que no es integrable (la integral definida todavía era un tema en desarrollo en ese momento) y, en la demostración del teorema de la serie de Fourier, introdujo el núcleo de Dirichlet y la integral de Dirichlet..

Dirichlet también estudió el primer problema de valores en la frontera, para la ecuación de Laplace, demostrando la unicidad de la solución; este tipo de problema en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales se denominó más tarde problema de Dirichlet en su honor. Una función que satisfaga una ecuación diferencial parcial sujeta a las condiciones de contorno de Dirichlet debe tener valores fijos en el contorno. En la demostración utilizó en particular el principio de que la solución es la función que minimiza la llamada energía de Dirichlet. Más tarde, Riemann llamó a este enfoque el principio de Dirichlet, aunque sabía que también había sido utilizado por Gauss y por Lord Kelvin.

Introducción al concepto moderno de función

Mientras trata de medir el rango de funciones para las que se puede mostrar la convergencia de la serie de Fourier, Dirichlet define una función por la propiedad de que "a cualquier x corresponde un solo finito y", pero luego restringe su atención a funciones continuas por partes. Basado en esto, se le atribuye la introducción del concepto moderno de función, en oposición a la vaga comprensión más antigua de una función como fórmula analítica. Imre Lakatos cita a Hermann Hankel como el origen temprano de esta atribución, pero cuestiona la afirmación diciendo que "existe amplia evidencia de que no tenía idea de este concepto [...] por ejemplo, cuando analiza funciones continuas por partes, dice que en los puntos de discontinuidad la función tiene dos valores".

Otros campos

Dirichlet también trabajó en física matemática, dando conferencias y publicando investigaciones sobre teoría del potencial (incluido el problema de Dirichlet y el principio de Dirichlet mencionados anteriormente), la teoría del calor y la hidrodinámica. Mejoró el trabajo de Lagrange sobre sistemas conservativos al mostrar que la condición para el equilibrio es que la energía potencial sea mínima.

Dirichlet también disertó sobre la teoría de la probabilidad y los mínimos cuadrados, presentando algunos métodos y resultados originales, en particular para los teoremas del límite y una mejora del método de aproximación de Laplace relacionado con el teorema del límite central. La distribución de Dirichlet y el proceso de Dirichlet, basados en la integral de Dirichlet, llevan su nombre.

Honores

Dirichlet fue elegido miembro de varias academias:

En 1855, Dirichlet recibió la medalla de clase civil de la orden Pour le Mérite por recomendación de Alexander von Humboldt. El cráter Dirichlet en la Luna y el asteroide Dirichlet 11665 llevan su nombre.

Publicaciones seleccionadas