Alfredo Tarski

Alfred Tarski (nacido Alfred Teitelbaum; 14 de enero de 1901 - 26 de octubre de 1983) fue un lógico y matemático polaco-estadounidense. Un autor prolífico mejor conocido por su trabajo en teoría de modelos, metamatemáticas y lógica algebraica, también contribuyó al álgebra abstracta, la topología, la geometría, la teoría de la medida, la lógica matemática, la teoría de conjuntos y la filosofía analítica.

Educado en Polonia en la Universidad de Varsovia y miembro de la escuela de lógica de Lwów-Varsovia y de la escuela de matemáticas de Varsovia, emigró a los Estados Unidos en 1939, donde se convirtió en ciudadano naturalizado en 1945. Tarski enseñó y Realizó investigaciones en matemáticas en la Universidad de California, Berkeley, desde 1942 hasta su muerte en 1983.

Sus biógrafos Anita Burdman Feferman y Solomon Feferman afirman que, "junto con su contemporáneo, Kurt Gödel, cambió el rostro de la lógica en el siglo XX, especialmente a través de su trabajo sobre el concepto de la verdad y la teoría de la modelos."

Vida

Vida temprana y educación

Alfred Tarski nació Alfred Teitelbaum (ortografía polaca: "Tajtelbaum"), de padres que eran judíos polacos en circunstancias cómodas. Primero manifestó sus habilidades matemáticas en la escuela secundaria, en la Szkoła Mazowiecka de Varsovia. Sin embargo, ingresó a la Universidad de Varsovia en 1918 con la intención de estudiar biología.

Después de que Polonia recuperó la independencia en 1918, la Universidad de Varsovia quedó bajo el liderazgo de Jan Łukasiewicz, Stanisław Leśniewski y Wacław Sierpiński y rápidamente se convirtió en una institución de investigación líder en el mundo en lógica, matemáticas fundamentales y filosofía de las matemáticas. Leśniewski reconoció el potencial de Tarski como matemático y lo animó a abandonar la biología. A partir de entonces, Tarski asistió a cursos impartidos por Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz y Tadeusz Kotarbiński, y en 1924 se convirtió en la única persona en completar un doctorado bajo la supervisión de Leśniewski. Su tesis se tituló O wyrazie pierwotnym logistyki (Sobre el término primitivo de la logística; publicado en 1923). Tarski y Leśniewski pronto se enfriaron el uno al otro. Sin embargo, en su vida posterior, Tarski reservó sus más cálidos elogios para Kotarbiński, que fue correspondido.

En 1923, Alfred Teitelbaum y su hermano Wacław cambiaron su apellido a "Tarski". Los hermanos Tarski también se convirtieron al catolicismo romano, la religión dominante en Polonia. Alfred lo hizo a pesar de que era un ateo declarado.

Carrera

Después de convertirse en la persona más joven en completar un doctorado en la Universidad de Varsovia, Tarski enseñó lógica en el Instituto Pedagógico de Polonia, matemáticas y lógica en la Universidad, y se desempeñó como asistente de Łukasiewicz. Debido a que estos puestos estaban mal pagados, Tarski también enseñó matemáticas en una escuela secundaria de Varsovia; antes de la Segunda Guerra Mundial, no era raro que los intelectuales europeos de calibre investigador enseñaran en la escuela secundaria. Por lo tanto, entre 1923 y su partida a los Estados Unidos en 1939, Tarski no solo escribió varios libros de texto y muchos artículos, algunos de ellos innovadores, sino que también lo hizo mientras se ganaba la vida principalmente enseñando matemáticas en la escuela secundaria. En 1929, Tarski se casó con la profesora Maria Witkowska, una polaca de origen católico. Había trabajado como mensajera para el ejército en la guerra polaco-soviética. Tuvieron dos hijos; un hijo, Jan, que se convirtió en físico, y una hija, Ina, que se casó con el matemático Andrzej Ehrenfeucht.

Tarski solicitó una cátedra de filosofía en la Universidad de Lwów, pero por recomendación de Bertrand Russell, se la otorgaron a Leon Chwistek. En 1930, Tarski visitó la Universidad de Viena, dio una conferencia en el coloquio de Karl Menger y conoció a Kurt Gödel. Gracias a una beca, pudo regresar a Viena durante la primera mitad de 1935 para trabajar con el grupo de investigación de Menger. De Viena viajó a París para presentar sus ideas sobre la verdad en la primera reunión del movimiento Unidad de la Ciencia, una consecuencia del Círculo de Viena. En 1937, Tarski solicitó una cátedra en la Universidad de Poznań, pero la cátedra fue abolida. Los lazos de Tarski con el movimiento de la Unidad de la Ciencia probablemente le salvaron la vida, porque lo invitaron a dirigirse al Congreso de la Unidad de la Ciencia celebrado en septiembre de 1939 en la Universidad de Harvard. Así, salió de Polonia en agosto de 1939, en el último barco que zarpó de Polonia hacia los Estados Unidos antes de la invasión alemana y soviética de Polonia y el estallido de la Segunda Guerra Mundial. Tarski se fue de mala gana, porque Leśniewski había muerto unos meses antes, creando una vacante que Tarski esperaba llenar. Ajeno a la amenaza nazi, dejó a su esposa e hijos en Varsovia. No volvió a verlos hasta 1946. Durante la guerra, casi toda su extensa familia judía fue asesinada a manos de las autoridades de ocupación alemanas.

Una vez en los Estados Unidos, Tarski ocupó varios puestos temporales de enseñanza e investigación: la Universidad de Harvard (1939), el City College de Nueva York (1940) y, gracias a una beca Guggenheim, el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (1942), donde volvió a encontrarse con Gödel. En 1942, Tarski se unió al Departamento de Matemáticas de la Universidad de California, Berkeley, donde pasó el resto de su carrera. Tarski se convirtió en ciudadano estadounidense en 1945. Aunque emérito desde 1968, enseñó hasta 1973 y supervisó el doctorado. candidatos hasta su muerte. En Berkeley, Tarski se ganó la reputación de ser un profesor extraordinario y exigente, un hecho señalado por muchos observadores:

Sus seminarios en Berkeley rápidamente se hicieron famosos en el mundo de la lógica matemática. Sus estudiantes, muchos de los cuales se convirtieron en distinguidos matemáticos, señalaron la energía impresionante con la que él coaxi y cajole su mejor trabajo de ellos, siempre exigiendo los más altos estándares de claridad y precisión.

Tarski fue extrovertido, rápido, con fuerte voluntad, enérgico y agudo. Prefirió que su investigación fuera colaborativa —a veces trabajando toda la noche con un colega— y fue muy ayuno sobre la prioridad.

Un líder y profesor carismático, conocido por su brillante y preciso estilo expositivo pero suspensivo, Tarski tenía niveles intimidantes para los estudiantes, pero al mismo tiempo podía ser muy alentador, y en particular para las mujeres, a diferencia de la tendencia general. Algunos estudiantes se asustaron, pero un círculo de discípulos permaneció, muchos de los cuales se convirtieron en líderes de renombre mundial en el campo.

Biblioteca de la Universidad de Varsovia - en la entrada (cerca de la parte trasera) son estatuas de los filósofos de la escuela Lwów-Warsaw (estados desde atrás)derecho a la izquierdaKazimierz Twardowski, Jan Łukasiewicz, Alfred Tarski, Stanisław Leśniewski.

Tarski supervisó veinticuatro doctorados. disertaciones que incluyen (en orden cronológico) las de Andrzej Mostowski, Bjarni Jónsson, Julia Robinson, Robert Vaught, Solomon Feferman, Richard Montague, James Donald Monk, Haim Gaifman, Donald Pigozzi y Roger Maddux, así como Chen Chung Chang y Jerome Keisler, autores de Model Theory (1973), un texto clásico en la materia. También influyó fuertemente en las disertaciones de Alfred Lindenbaum, Dana Scott y Steven Givant. Cinco de los estudiantes de Tarski eran mujeres, un hecho notable dado que los hombres representaban una abrumadora mayoría de estudiantes de posgrado en ese momento. Sin embargo, tuvo relaciones extramatrimoniales con al menos dos de estos estudiantes. Después de que mostró a otra de sus alumnas' trabajo a un colega masculino, el colega lo publicó él mismo, lo que la llevó a dejar los estudios de posgrado y luego mudarse a una universidad diferente y a un asesor diferente.

Tarski dio conferencias en el University College de Londres (1950, 1966), el Institut Henri Poincaré de París (1955), el Miller Institute for Basic Research in Science en Berkeley (1958–60), la Universidad de California en Los Ángeles (1967), y la Pontificia Universidad Católica de Chile (1974–75). Entre muchas distinciones obtenidas a lo largo de su carrera, Tarski fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos, la Academia Británica y la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos en 1958, recibió títulos honoríficos de la Pontificia Universidad Católica de Chile en 1975, de Marsella' Paul Cézanne University en 1977 y de la Universidad de Calgary, así como la Citación de Berkeley en 1981. Tarski presidió la Asociación de Lógica Simbólica, 1944–46, y la Unión Internacional para la Historia y Filosofía de la Ciencia, 1956–57. También fue editor honorario de Algebra Universalis.

Trabajo en matemáticas

Los intereses matemáticos de Tarski eran excepcionalmente amplios. Sus artículos recopilados ocupan unas 2.500 páginas, la mayoría de ellos sobre matemáticas, no sobre lógica. Para un estudio conciso de los logros matemáticos y lógicos de Tarski por parte de su antiguo alumno Solomon Feferman, consulte "Interludios I–VI" en Feferman y Feferman.

El primer artículo de Tarski, publicado cuando tenía 19 años, trataba sobre la teoría de conjuntos, un tema al que volvió a lo largo de su vida. En 1924, él y Stefan Banach demostraron que, si se acepta el axioma de elección, una pelota se puede cortar en un número finito de piezas y luego volver a ensamblarlas en una bola de mayor tamaño, o alternativamente, se puede volver a ensamblar en dos bolas cuyos tamaños cada uno igual al original. Este resultado ahora se llama la paradoja de Banach-Tarski.

En Un método de decisión para álgebra y geometría elementales, Tarski demostró, mediante el método de eliminación de cuantificadores, que la teoría de primer orden de los números reales bajo la suma y la multiplicación es decidible. (Si bien este resultado apareció solo en 1948, se remonta a 1930 y fue mencionado en Tarski (1931).) Este es un resultado muy curioso, porque Alonzo Church demostró en 1936 que la aritmética de Peano (la teoría de los números naturales) es no decidible. La aritmética de Peano también es incompleta por el teorema de incompletitud de Gödel. En sus Teorías indecidibles de 1953, Tarski et al. mostró que muchos sistemas matemáticos, incluida la teoría de celosía, la geometría proyectiva abstracta y las álgebras de cierre, son todos indecidibles. La teoría de los grupos abelianos es decidible, pero la de los grupos no abelianos no lo es.

En las décadas de 1920 y 1930, Tarski solía enseñar geometría en la escuela secundaria. Usando algunas ideas de Mario Pieri, en 1926 Tarski ideó una axiomatización original para la geometría euclidiana plana, una considerablemente más concisa que la de Hilbert. Los axiomas de Tarski forman una teoría de primer orden desprovista de teoría de conjuntos, cuyos individuos son puntos y que tienen solo dos relaciones primitivas. En 1930, demostró que esta teoría era decidible porque se puede mapear en otra teoría que ya había demostrado que era decidible, a saber, su teoría de primer orden de los números reales.

En 1929 demostró que gran parte de la geometría sólida euclidiana podría reformularse como una teoría de segundo orden cuyos individuos son esferas (una noción primitiva), una única relación binaria primitiva "está contenida in", y dos axiomas que, entre otras cosas, implican que la contención ordena parcialmente las esferas. Relajar el requisito de que todos los individuos sean esferas produce una formalización de la mereología mucho más fácil de exponer que la variante de Lesniewski. Cerca del final de su vida, Tarski escribió una carta muy larga, publicada como Tarski and Givant (1999), resumiendo su trabajo sobre geometría.

Álgebras cardinales estudió álgebras cuyos modelos incluyen la aritmética de los números cardinales. Álgebras ordinales establece un álgebra para la teoría aditiva de tipos de orden. La suma cardinal, pero no la ordinal, conmuta.

En 1941, Tarski publicó un importante artículo sobre relaciones binarias, que inició el trabajo sobre el álgebra de relaciones y sus metamatemáticas que ocupó a Tarski y sus alumnos durante gran parte del resto de su vida. Si bien esa exploración (y el trabajo estrechamente relacionado de Roger Lyndon) descubrió algunas limitaciones importantes del álgebra de relaciones, Tarski también mostró (Tarski y Givant 1987) que el álgebra de relaciones puede expresar la mayoría de la teoría de conjuntos axiomática y la aritmética de Peano. Para una introducción al álgebra de relaciones, véase Maddux (2006). A fines de la década de 1940, Tarski y sus alumnos idearon álgebras cilíndricas, que son para la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana de dos elementos es para la lógica oracional clásica. Este trabajo culminó con las dos monografías de Tarski, Henkin y Monk (1971, 1985).

Trabajar en lógica

El estudiante de Tarski, Vaught, ha clasificado a Tarski como uno de los cuatro mejores lógicos de todos los tiempos, junto con Aristóteles, Gottlob Frege y Kurt Gödel. Sin embargo, Tarski expresó a menudo una gran admiración por Charles Sanders Peirce, particularmente por su trabajo pionero en la lógica de las relaciones.

Tarski produjo axiomas para consecuencias lógicas y trabajó en sistemas deductivos, el álgebra de la lógica y la teoría de la definibilidad. Sus métodos semánticos, que culminaron en la teoría de modelos que él y varios de sus estudiantes de Berkeley desarrollaron en las décadas de 1950 y 1960, transformaron radicalmente las metamatemáticas de la teoría de la demostración de Hilbert. Alrededor de 1930, Tarski desarrolló una teoría abstracta de deducciones lógicas que modela algunas propiedades de los cálculos lógicos. Matemáticamente, lo que describió es solo un operador de cierre finito en un conjunto (el conjunto de oraciones). En lógica algebraica abstracta, los operadores de clausura finita todavía se estudian bajo el nombre operador de consecuencia, que fue acuñado por Tarski. El conjunto S representa un conjunto de oraciones, un subconjunto T de S una teoría y cl(T) es el conjunto de todas las oraciones que se siguen de la teoría. Este enfoque abstracto se aplicó a la lógica difusa (ver Gerla 2000).

En la opinión de [Tarski], las metamatemáticas se convirtieron en similares a cualquier disciplina matemática. No sólo sus conceptos y resultados pueden ser matematizados, pero en realidad pueden ser integrados en matemáticas.... Tarski destruyó la frontera entre metamatemática y matemáticas. Objetó restringir el papel de las metamatemáticas a las bases de las matemáticas.

El artículo de Tarski de 1936 "Sobre el concepto de consecuencia lógica" Argumentó que la conclusión de un argumento se seguirá lógicamente de sus premisas si y solo si cada modelo de las premisas es un modelo de la conclusión. En 1937, publicó un artículo que presentaba claramente sus puntos de vista sobre la naturaleza y el propósito del método deductivo y el papel de la lógica en los estudios científicos. Su enseñanza en la escuela secundaria y la licenciatura en lógica y axiomática culminó en un texto corto clásico, publicado primero en polaco, luego en una traducción al alemán y finalmente en una traducción al inglés de 1941 como Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas.

'Verdad y prueba' de Tarski de 1969 consideró los teoremas de incompletitud de Gödel y el teorema de indefinibilidad de Tarski, y reflexionó sobre sus consecuencias para el método axiomático en matemáticas.

Verdad en lenguajes formalizados

En 1933, Tarski publicó un artículo muy extenso en polaco, titulado "Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych", "Estableciendo una definición matemática de la verdad para los lenguajes formales." La traducción al alemán de 1935 se tituló "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen", "El concepto de verdad en lenguajes formalizados", a veces abreviado como "Wahrheitsbegriff". Una traducción al inglés apareció en la primera edición de 1956 del volumen Logic, Semantics, Metamathematics. Esta colección de artículos de 1923 a 1938 es un acontecimiento en la filosofía analítica del siglo XX, una contribución a la lógica simbólica, la semántica y la filosofía del lenguaje. Para una breve discusión de su contenido, consulte Convención T (y también T-schema).

Algunos debates filosóficos recientes examinan hasta qué punto la teoría de la verdad de Tarski para lenguajes formalizados puede verse como una teoría de la verdad por correspondencia. El debate se centra en cómo leer la condición de adecuación material de Tarski para una definición verdadera. Esa condición requiere que la teoría de la verdad tenga los siguientes teoremas para todas las oraciones p del lenguaje para el cual se define la verdad:

"p" es cierto si y sólo si p.

(donde p es la proposición expresada por "p")

El debate consiste en leer oraciones de esta forma, como

"Snow is white" es verdad si y sólo si la nieve es blanca

como expresión meramente de una teoría deflacionaria de la verdad o como incorporación de la verdad como una propiedad más sustancial (ver Kirkham 1992). Es importante darse cuenta de que la teoría de la verdad de Tarski es para lenguajes formalizados, por lo que los ejemplos en lenguaje natural no son ilustraciones del uso de la teoría de la verdad de Tarski.

Consecuencia lógica

En 1936, Tarski publicó versiones en polaco y alemán de una conferencia que había dado el año anterior en el Congreso Internacional de Filosofía Científica en París. Una nueva traducción al inglés de este documento, Tarski (2002), destaca las muchas diferencias entre las versiones alemana y polaca del documento y corrige una serie de errores de traducción en Tarski (1983).

Esta publicación establece la definición moderna teórica de modelo de consecuencia lógica (semántica), o al menos la base para ello. Si la noción de Tarski era completamente moderna depende de si pretendía admitir modelos con dominios variables (y en particular, modelos con dominios de cardinalidades diferentes). Esta pregunta es un tema de debate en la literatura filosófica actual. John Etchemendy estimuló gran parte de la discusión reciente sobre el tratamiento de Tarski de diferentes dominios.

Tarski termina señalando que su definición de consecuencia lógica depende de una división de términos en lógicos y extralógicos y expresa cierto escepticismo de que tal división objetiva se produzca. "¿Qué son las nociones lógicas?" por lo tanto, puede verse como una continuación de "Sobre el concepto de consecuencia lógica".

Nociones lógicas

Alfred Tarski en Berkeley

Otra teoría de Tarski que llama la atención en la literatura filosófica reciente es la que se describe en su obra "¿Qué son las nociones lógicas?" (Tarski 1986). Esta es la versión publicada de una charla que dio originalmente en 1966 en Londres y luego en 1973 en Buffalo; fue editado sin su participación directa por John Corcoran. Se convirtió en el artículo más citado de la revista Historia y Filosofía de la Lógica.

En la charla, Tarski propuso la demarcación de las operaciones lógicas (a las que llama "nociones") de las no lógicas. Los criterios sugeridos se derivaron del programa de Erlangen del matemático alemán del siglo XIX Felix Klein. Mautner (en 1946), y posiblemente un artículo del matemático portugués Sebastiao e Silva, anticiparon a Tarski en la aplicación del Programa de Erlangen a la lógica.

Ese programa clasificaba los diversos tipos de geometría (geometría euclidiana, geometría afín, topología, etc.) según el tipo de transformación uno a uno del espacio sobre sí mismo que dejaba invariantes los objetos de esa teoría geométrica. (Una transformación uno a uno es un mapa funcional del espacio sobre sí mismo, de modo que cada punto del espacio se asocia con otro punto del espacio o se asigna a él. Entonces, "rotar 30 grados" y 'ampliar por un factor de 2' son descripciones intuitivas de transformaciones uno a uno uniformes simples.) Las transformaciones continuas dan lugar a los objetos de topología, las transformaciones de similitud a las de la geometría euclidiana, etc.

A medida que el rango de transformaciones permisibles se vuelve más amplio, el rango de objetos que uno puede distinguir como conservados por la aplicación de las transformaciones se vuelve más estrecho. Las transformaciones de similitud son bastante estrechas (mantienen la distancia relativa entre los puntos) y, por lo tanto, nos permiten distinguir relativamente muchas cosas (por ejemplo, triángulos equiláteros de triángulos no equiláteros). Las transformaciones continuas (que pueden pensarse intuitivamente como transformaciones que permiten estirar, comprimir, doblar y torcer de manera no uniforme, pero no rasgar ni pegar) nos permiten distinguir un polígono de un anillo (anillo con un agujero en el centro), pero no nos permiten distinguir dos polígonos entre sí.

La propuesta de Tarski era delimitar las nociones lógicas considerando todas las posibles transformaciones uno a uno (automorfismos) de un dominio sobre sí mismo. Por dominio se entiende el universo de discurso de un modelo para la teoría semántica de la lógica. Si se identifica el valor de verdad Verdadero con el conjunto de dominio y el valor de verdad Falso con el conjunto vacío, entonces las siguientes operaciones se cuentan como lógicas bajo la propuesta:

1. Funciones de la verdad: Todas las funciones de la verdad son admitidas por la propuesta. Esto incluye, pero no se limita a, todos n- Funciones de verdad para finitos n. (También admite funciones de verdad con cualquier número infinito de lugares.)
2. Personas: Ningún individuo, siempre que el dominio tenga al menos dos miembros.
3. Predicados:
   • el total y null predicates de un solo lugar, el primero que tiene todos los miembros del dominio en su extensión y éste no tiene miembros del dominio en su extensión
   • dos lugares, total y null predicates, el primero que tiene el conjunto de todos los pares ordenados de los miembros de dominio como su extensión y el último con el conjunto vacío como extensión
   • la identidad de dos lugares predicar, con el conjunto de todos los pagos ordena,aen su extensión, donde a es miembro del dominio
   • la diversidad de dos lugares predicar, con el conjunto de todos los pares de ordena,b■ Donde a y b son miembros distintos del dominio
   • n- predicados en general: todos los predicados definibles de la identidad predicados junto con la conjunción, disyunción y negación (hasta cualquier ordinalidad, finito o infinito)
4. Cuantificadores: Tarski discute explícitamente sólo cuantificadores monádicos y señala que todos estos cuantificadores numéricos son admitidos bajo su propuesta. Estos incluyen los cuantificadores universales y existenciales estándar, así como los cuantificadores numéricos como "Exactamente cuatro", "Finitely many", "Uncountably many", y "Between cuatro y 9 millones", por ejemplo. Aunque Tarski no entra en la cuestión, también está claro que los cuantificadores poliádicos se admiten bajo la propuesta. Estos son cuantificadores como, dados dos predicados Fx y Gy"Más"x, y)", que dice "Más cosas tienen F que tienen G."
5. Relaciones teóricas: Las relaciones como inclusión, intersección y unión aplicadas a subconjuntos del dominio son lógicas en el sentido actual.
6. Establecer la membresía: Tarski terminó su conferencia con una discusión de si la relación de la membresía contada como lógica en su sentido. (Dada la reducción de (la mayoría de) matemáticas para establecer la teoría, esto fue, en efecto, la cuestión de si la mayoría o todo de las matemáticas es una parte de la lógica.) Señaló que la membresía de conjunto es lógica si la teoría de conjunto se desarrolla a lo largo de las líneas de la teoría del tipo, pero es extralógico si la teoría de conjunto se establece axiomáticamente, como en la teoría canónica Zermelo-Fraenkel conjunto.
7. Nociones lógicas de orden superior: Mientras que Tarski limitó su discusión a las operaciones de la lógica de primer orden, no hay nada sobre su propuesta que necesariamente la restrinja a la lógica de primer orden. (Tarski probablemente restringió su atención a las nociones de primer orden ya que la charla fue dada a un público no técnico.) Así que también se admiten cuantitativos y predicadores de mayor orden.

En cierto modo, la presente propuesta es el anverso de la de Lindenbaum y Tarski (1936), quienes demostraron que todas las operaciones lógicas de los Principia Mathematica de Bertrand Russell y Whitehead > son invariantes bajo transformaciones uno a uno del dominio sobre sí mismo. La presente propuesta también se emplea en Tarski y Givant (1987).

Solomon Feferman y Vann McGee discutieron más a fondo la propuesta de Tarski en un trabajo publicado después de su muerte. Feferman (1999) plantea problemas para la propuesta y sugiere una cura: reemplazar la preservación de Tarski por automorfismos con preservación por homomorfismos arbitrarios. En esencia, esta sugerencia elude la dificultad que tiene la propuesta de Tarski al tratar con la uniformidad de la operación lógica en dominios distintos de una cardinalidad dada y entre dominios de cardinalidades distintas. La propuesta de Feferman resulta en una restricción radical de los términos lógicos en comparación con la propuesta original de Tarski. En particular, acaba contando como lógicos sólo aquellos operadores de lógica estándar de primer orden sin identidad.

McGee (1996) brinda una descripción precisa de qué operaciones son lógicas en el sentido de la propuesta de Tarski en términos de expresibilidad en un lenguaje que extiende la lógica de primer orden al permitir conjunciones y disyunciones arbitrariamente largas, y cuantificación sobre arbitrariamente muchas variables. "Arbitrariamente" incluye un infinito contable.

Publicaciones seleccionadas

Antologías y colecciones

• 1986. Los Documentos Coleccionados de Alfred Tarski4 vols. Givant, S. R. y McKenzie, R. N., Eds. Birkhäuser.
• Givant Steven (1986). "Bibliografía de Alfred Tarski". Journal of Symbolic Logic. 51 (4): 913–41. doi:10.2307/2273905. JSTOR 2273905. S2CID 44369365.
• 1983 (1956). Lógica, Semántica, Metamática: Documentos de 1923 a 1938 por Alfred TarskiCorcoran, J., ed. Hackett. Primera edición editada y traducida por J. H. Woodger, Oxford Uni. Press. Esta colección contiene traducciones del polaco de algunos de los documentos más importantes de Tarski de su carrera temprana, incluyendo El concepto de la verdad en los idiomas formalizados y Sobre el concepto de Consequencia Lógica discutido anteriormente.

Publicaciones originales de Tarski

• 1930 Une contribution à la théorie de la mesure. Fund Math 15 (1930), 42–50.
• 1930. (con Jan Łukasiewicz). "Untersuchungen uber den Aussagenkalkul" [Investigaciones en el Cálculo Sentential], Comptes Rendus des seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie, Vol, 23 (1930) Cl. III, págs. 31 a 32 en Tarski (1983): 38 a 59.
• 1931. "Sur les ensembles définisables de réels I", Fundamenta Mathematicae 17: 210–239 en Tarski (1983): 110–142.
• 1936. "Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik", Actes du Congrès international de philosophie scientifique, Sorbonne, Paris 1935, vol. III, Language et pseudo-problèmes, París, Hermann, 1936, págs. 1 a 8 en Tarski (1983): 401 a 408.
• 1936. "Über den Begriff der logischen Folgerung", Actes du Congrès international de philosophie scientifique, Sorbonne, Paris 1935, vol. VII, Logique, París: Hermann, págs. 1 a 11 en Tarski (1983): 409 a 420.
• 1936 (con Adolf Lindenbaum). "Sobre las limitaciones de las teorías deductivas" en Tarski (1983): 384–92.
• 1937. Einführung in die Mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik. Springer, Wien (Viena).
• 1994 (1941). Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas. Dover.
• 1941. "En el cálculo de las relaciones", Journal of Symbolic Logic 6: 73-89.
• 1944. "El concepto semántico de la verdad y las fundaciones de la semántica", Filosofía e Investigación Fenomenológica 4: 341-75.
• 1948. Un método de decisión para el álgebra elemental y la geometría. Santa Mónica RAND Corp.
• 1949. Cardinal Algebras. Oxford Univ.
• 1953 (con Mostowski y Rafael Robinson). Teorías indecibles. North Holland.
• 1956. Álgebras ordinal. North-Holland.
• 1965. "Una formalización simplificada de lógica predicada con identidad", Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 7: 61-79
• 1969. "Verdad y Prueba", Scientific American 220: 63–77.
• 1971 (con Leon Henkin y Donald Monk). Álgebras cilíndricas: Parte I. North-Holland.
• 1985 (con Leon Henkin y Donald Monk). Álgebras cilíndricas: Parte II. North-Holland.
• 1986. "¿Cuáles son las nociones lógicas?", Corcoran, J., ed., Historia y Filosofía de la Lógica 7: 143-54.
• 1987 (con Steven Givant). Una formalización de la teoría de conjuntos sin variables. Vol.41 de las publicaciones coloquio American Mathematical Society. Providence RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0821810415. Examen
• 1999 (con Steven Givant). "El sistema de geometría de Torski", Boletín simbólico 5: 175–214.
• 2002. "Sobre el concepto de seguir lógicamente" (Magda Stroińska y David Hitchcock, trans.) Historia y Filosofía de la Lógica 23: 155–196.