Periodograma

En el procesamiento de señales, un periodograma es una estimación de la densidad espectral de una señal. El término fue acuñado por Arthur Schuster en 1898. Hoy en día, el periodograma es un componente de métodos más sofisticados (ver estimación espectral). Es la herramienta más común para examinar las características de amplitud versus frecuencia de filtros FIR y funciones de ventana. Los analizadores de espectro FFT también se implementan como una secuencia temporal de periodogramas.

Definición

Hay al menos dos definiciones diferentes en uso hoy. Uno de ellos implica el tiempo promedio, y uno no. El promedio de tiempo es también la competencia de otros artículos (método de Bartlett y método de Welch). Este artículo no se trata de un promedio de tiempo. La definición de interés aquí es que la densidad espectral de potencia de una función continua, x()t),{displaystyle x(t),}es la transformación Fourier de su función de autocorrelación (ver teorema de la Cruz, densidad espectral# densidad espectral de potencia, y Wiener–Khinchin theorem):

F{}x()t)⊛ ⊛ xAlternativa Alternativa ()− − t)}=X()f)⋅ ⋅ XAlternativa Alternativa ()f)=SilencioX()f)Silencio2.{displaystyle {Mathcal {f}{x(t)circledast x^{*}=X(f)cdot X^{*}(f)=left sometidaX(f)right^{2}}

Cálculo

Para valores suficientemente pequeños del parámetro T, una aproximación arbitrariamente precisa para X()f) se puede observar en la región<math alttext="{displaystyle -{tfrac {1}{2T}}<f− − 12T.f.12T{displaystyle -{tfrac {1}{2T} {tfrac {1}{2T}}<img alt="{displaystyle -{tfrac {1}{2T}}<fde la función:

X1/T()f)≜ ≜ .. k=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO X()f− − k/T),{displaystyle X_{1/T}(f)\triangleq sum _{k=-infty }^{infty }Xleft(f-k/Tright),}

que está determinado precisamente por las muestras x(nT) que abarcan la duración distinta de cero de x(t) (consulte Transformada de Fourier en tiempo discreto).

Y para valores suficientemente grandes del parámetro N,X1/T()f){displaystyle X_{1/T}(f)} puede ser evaluado en una frecuencia arbitrariamente cercana por una suma de la forma:

X1/T()kNT)=.. n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO T⋅ ⋅ x()nT)⏟ ⏟ x[n]⋅ ⋅ e− − i2π π knN,{displaystyle X_{1/T}left({tfrac {k}{NT}right)=sum ¿Por qué? {fnK}}}

Donde k es un entero. The periodicity ofe− − i2π π knN{displaystyle e^{-i2pi {fnMicroc {kn}{N}}}permite que esto sea escrito muy simplemente en términos de una transformación Discreta Fourier:

X1/T()kNT)=.. nxN[n]⋅ ⋅ e− − i2π π knN,⏟ ⏟ DFT(sumo sobre cualquiern- secuencia de longitudN),{displaystyle X_{1/T}left({tfrac {k}{NT}right)=underbrace {sum ¿Qué? {fnK}}} {fnMicrosoft Sans Serif}N)}

Donde xN{displaystyle # es un resumen periódico:xN[n]≜ ≜ .. m=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO x[n− − mN].{displaystyle x_{_{N}[n]\triangleq sum _{m=-infty }^{infty }x[n-mN].}

Cuando se evalúa para todos los números enteros, k, entre 0 y N-1, la matriz:

S()kNT)=Silencio.. nxN[n]⋅ ⋅ e− − i2π π knNSilencio2{displaystyle Sleft({tfrac {k}{NT}right)=left permanentlysum ¿Qué? {fnMicroc {kn} {fn}derecha a la vida {2}

es un periodograma.

Aplicaciones

Cuando se utiliza un periodograma para examinar las características detalladas de un filtro FIR o función de ventana, se elige el parámetro N para ser varios múltiplos de la duración distinta de cero de la secuencia x[n], que se denomina cero -padding (ver § Muestreo de DTFT). Cuando se utiliza para implementar un banco de filtros, N son varios submúltiplos de la duración distinta de cero de la x[n] (consulte § Muestreo de DTFT).

Una de las deficiencias del periodograma es que la varianza en una frecuencia dada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. No proporciona el promedio necesario para analizar señales similares a ruido o incluso sinusoides con relaciones señal-ruido bajas. Las funciones de ventana y las respuestas al impulso del filtro son silenciosas, pero muchas otras señales requieren métodos más sofisticados de estimación espectral. Dos de las alternativas utilizan periodogramas como parte del proceso:

• El método de periodogramas promedio, más comúnmente conocido como el método de Welch, divide una secuencia x[n] larga en múltiples más corto, y posiblemente superpuesto, subsequences. Calcula un periodograma ventanado de cada uno, y calcula un promedio de array, es decir, un array donde cada elemento es un promedio de los elementos correspondientes de todos los periodogramas. Para los procesos estacionarios, esto reduce la diferencia de ruido de cada elemento por aproximadamente un factor igual al recíproco del número de periodogramas.
• Smoothing es una técnica de promedio en frecuencia, en lugar de tiempo. El periodograma alisado a veces se conoce como un parcela espectral.

Las técnicas basadas en periodogramas introducen pequeños sesgos que son inaceptables en algunas aplicaciones. En el artículo sobre estimación de densidad espectral se presentan otras técnicas que no se basan en periodogramas.