Perfil de voigt

El perfil de Voigt (llamado así en honor a Woldemar Voigt) es una distribución de probabilidad dada por una convolución de una distribución de Cauchy-Lorentz y una distribución gaussiana. A menudo se utiliza para analizar datos de espectroscopia o difracción.

Definición

Sin pérdida de generalidad, podemos considerar sólo perfiles centrados, cuyo máximo es cero. El perfil de Voigt es entonces

V()x;σ σ,γ γ)↑ ↑ ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO G()x.;σ σ)L()x− − x.;γ γ)dx.,{displaystyle V(x;sigmagamma)equiv int _{-infty }^{infty }G(x';sigma)L(x-x';gamma),dx',}

Donde x es el cambio del centro de línea, G()x;σ σ){displaystyle G(x;sigma)} es el perfil Gaudí centrado:

G()x;σ σ)↑ ↑ e− − x2/()2σ σ 2)σ σ 2π π,{displaystyle G(x;sigma)equiv {frac {-e^{-x^{2}/(2sigma ^{2}}}}{sigma {sqrt {2pi}}}}}}}}

y L()x;γ γ){displaystyle L(x;gamma)} es el perfil Lorentziano centrado:

L()x;γ γ)↑ ↑ γ γ π π ()x2+γ γ 2).{displaystyle L(x;gamma)equiv {frac {gamma } {pi (x^{2}+gamma ^{2}}}}}

La integral definitoria se puede evaluar como:

V()x;σ σ,γ γ)=Re⁡ ⁡ [w()z)]σ σ 2π π,{displaystyle V(x;sigmagamma)={frac {operatorname {Re}{sigma {sqrt {2pi}}}}}}}

donde Re[w(z)] es la parte real de la función Faddeeva evaluada para

z=x+iγ γ σ σ 2.{displaystyle z={frac {x+igamma }{sigma {sqrt.

In the limiting cases of σ σ =0{displaystyle sigma =0} y γ γ =0{displaystyle gamma =0} entonces V()x;σ σ,γ γ){displaystyle V(x;sigmagamma)} simplificado L()x;γ γ){displaystyle L(x;gamma)} y G()x;σ σ){displaystyle G(x;sigma)}, respectivamente.

Historia y aplicaciones

En espectroscopia, un perfil de Voigt resulta de la convolución de dos mecanismos de ensanchamiento, uno de los cuales por sí solo produciría un perfil gaussiano (generalmente, como resultado del ensanchamiento Doppler) y el otro produciría un perfil de Lorentz. Los perfiles de Voigt son comunes en muchas ramas de la espectroscopia y la difracción. Debido al coste que supone calcular la función Faddeeva, el perfil de Voigt a veces se aproxima utilizando un perfil pseudo-Voigt.

Propiedades

El perfil de Voigt está normalizado:

∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO V()x;σ σ,γ γ)dx=1,{displaystyle int _{-infty }V(x;sigmagamma),dx=1,}

ya que es una convolución de perfiles normalizados. El perfil de Lorentz no tiene momentos (aparte del cero), por lo que la función generadora de momentos para la distribución de Cauchy no está definida. De ello se deduce que el perfil de Voigt tampoco tendrá una función generadora de momentos, pero la función característica para la distribución de Cauchy está bien definida, al igual que la función característica para la distribución normal. La función característica del perfil de Voigt (centrado) será entonces el producto de las dos:

φ φ f()t;σ σ,γ γ)=E()eixt)=e− − σ σ 2t2/2− − γ γ SilenciotSilencio.{displaystyle varphi _{f}(t;sigmagamma)=E(e^{ixt})=e^{-sigma ¿Qué?

Dado que las distribuciones normales y las distribuciones de Cauchy son distribuciones estables, cada una de ellas está cerrada bajo convolución (hasta el cambio de escala), y se deduce que las distribuciones de Voigt también están cerradas bajo convolución.

Función de distribución acumulativa

Utilizando la definición anterior para z, la función de distribución acumulativa (CDF) se puede encontrar de la siguiente manera:

F()x0;μ μ,σ σ)=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO x0Re⁡ ⁡ ()w()z))σ σ 2π π dx=Re⁡ ⁡ ()1π π ∫ ∫ z()− − JUEGO JUEGO)z()x0)w()z)dz).{displaystyle F(x_{0};musigma)=int _{-infty ¿Qué? ♪ ♪♪♪♪ {Re} left({frac {1}{sqrt {pi }}int _{z(-infty)}^{z(x_{0})}w(z),dzright). }

Sustituyendo la definición de la función Faddeeva (función de error complejo escalada) se obtiene la integral indefinida:

1π π ∫ ∫ w()z)dz=1π π ∫ ∫ e− − z2[1− − er.⁡ ⁡ ()− − iz)]dz,{fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc {f} {fnMicroc {f}}}in e^{-z^{2}left[1-operatorname {erf} (-iz)right],dz,}

que puede resolverse para producir

1π π ∫ ∫ w()z)dz=er.⁡ ⁡ ()z)2+iz2π π 2F2()1,1;32,2;− − z2),{fnMicroc {fnMicroc {fnMicrosoft}fnMicroc {f} {fnMicroc} {f}}{2}}+{frac} {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF}} {cHFF}} {cH00}}} {cH}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {pf}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ppp}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { },_{2}F_{2}left(1,1;{frac {3}{2}},2;-z^{2}right),}

Donde 2F2{displaystyle {}_{2}F_{2} es una función hipergeométrica. Para que la función se acerque a cero como x aborda el infinito negativo (como debe hacer el CDF), debe agregarse una constante de integración de 1/2. Esto da para el CDF de Voigt:

F()x;μ μ,σ σ)=Re⁡ ⁡ [12+er.⁡ ⁡ ()z)2+iz2π π 2F2()1,1;32,2;− − z2)].{displaystyle F(x;musigma)=operatorname {Re} left[{frac] {1}{2}+{frac {f} {f}{2}}+{frac} {frac} {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF}} {cHFF}} {cH00}}} {cH}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {pf}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ppp}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { },_{2}F_{2}left(1,1;{frac {3}{2}},2;-z^{2}right)right].}

El perfil descentrado de Voigt

Si el perfil gausiano está centrado en μ μ G{displaystyle mu _{G}} y el perfil Lorentziano está centrado en μ μ L{displaystyle mu _{L}, la convolución se centra en μ μ V=μ μ G+μ μ L{displaystyle mu ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? y la función característica es:

φ φ f()t;σ σ,γ γ,μ μ G,μ μ L)=ei()μ μ G+μ μ L)t− − σ σ 2t2/2− − γ γ SilenciotSilencio.{displaystyle varphi _{f}(t;sigmagammamu _{mathrm {G} },mu _{mathrm {L})=e^{i(mu _{mathrm {G}+mu _{mathrm {L})t-sigma ¿Qué?

La función de densidad de probabilidad se compensa simplemente del perfil centrado por μ μ V{displaystyle mu _{V}}:

V()x;μ μ V,σ σ,γ γ)=Re⁡ ⁡ [w()z)]σ σ 2π π,{displaystyle V(x;mu {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}} {sigma {sqrt {2pi}}}}}}

donde:

z=x− − μ μ V+iγ γ σ σ 2{displaystyle z={frac {x-mu _{V}+igamma }{sigma {sqrt {2}}}}

El modo y la mediana están ubicados en μ μ V{displaystyle mu _{V}}.

Derivados

Utilizando la definición anterior para z{displaystyle z} y xc=x− − μ μ V{displaystyle x_{c}=x-mu ¿Qué?, los derivados primero y segundo se pueden expresar en términos de la función Faddeeva como

∂ ∂ ∂ ∂ xV()xc;σ σ,γ γ)=− − Re⁡ ⁡ [zw()z)]σ σ 2π π =− − xcσ σ 2Re⁡ ⁡ [w()z)]σ σ 2π π +γ γ σ σ 2Im⁡ ⁡ [w()z)]σ σ 2π π =1σ σ 32π π ⋅ ⋅ ()γ γ ⋅ ⋅ Im⁡ ⁡ [w()z)]− − xc⋅ ⋅ Re⁡ ⁡ [w()z)]){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial }{partial x}V(x_{c};sigmagamma) limit=-{frac {operatorname {Re} left[z~w(z)right]}{sigma }{2}{sqrt {pi} {pi }=-{frac {x_{c}{sigma {Re} left[w(z)right}{sigma {sqrt {2pi] {fnMicroc} {gnK}} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc {fone} {fnMicrosoft Sans Serif}{sigma {2sqrt} {sigma ^{3}{sqrt {2pi}}}cdot left(gammacdot cdot operatorname {Im} left[w(z)right]-x_{c}cdot operatorname {Re} left [w(z)right]end{aligned}}

y

∂ ∂ 2()∂ ∂ x)2V()xc;σ σ,γ γ)=xc2− − γ γ 2− − σ σ 2σ σ 4Re⁡ ⁡ [w()z)]σ σ 2π π − − 2xcγ γ σ σ 4Im⁡ ⁡ [w()z)]σ σ 2π π +γ γ σ σ 41π π =− − 1σ σ 52π π ⋅ ⋅ ()γ γ ⋅ ⋅ ()2xc⋅ ⋅ Im⁡ ⁡ [w()z)]− − σ σ ⋅ ⋅ 2π π)+()γ γ 2+σ σ 2− − xc2)⋅ ⋅ Re⁡ ⁡ [w()z)]),{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial ^{2}{left(partial xright)^{2}}}V(x_{c};sigmagamma) ventaja={frac} {x_{c} {2}-gamma ¿Qué? }} {frac {2x_{c}gamma # {sigma ^{4}} {frac {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif}{sigma {2sqrt} }}+{frac {gamma # {sigma ^{4}}{frac {1}{pi}cdot left(gamma cdot left(2x_{c}cdot operatorname {Im} left[w(z)right]-sigma cdot {sqrt {frac {2}{pi }}}right)+left(gamma ^{2}+sigma ^{2}-x_{c}{2}right)cdot operatorname {Re} left[w(z)right]right),end{aligned}}

respectivamente.

A menudo, uno o varios perfiles de Voigt y/o sus respectivos derivados necesitan ser ajustados a una señal medida por medio de mínimos cuadrados no lineales, por ejemplo, en espectroscopia. Luego, se pueden utilizar otros derivados parciales para acelerar los cálculos. En lugar de aproximar la matriz Jacobiana con respecto a los parámetros μ μ V{displaystyle mu _{V}}, σ σ {displaystyle sigma }, y γ γ {displaystyle gamma } con la ayuda de diferencias finitas, se pueden aplicar las expresiones analíticas correspondientes. Con Re⁡ ⁡ [w()z)]=R R w{displaystyle operatorname {Re} left[w(z)right]=Re _{w} y Im⁡ ⁡ [w()z)]=I I w{displaystyle operatorname {Im} left[w(z)right]= Estoy..., estos son dados por:

∂ ∂ V∂ ∂ μ μ V=− − ∂ ∂ V∂ ∂ x=1σ σ 32π π ⋅ ⋅ ()xc⋅ ⋅ R R w− − γ γ ⋅ ⋅ I I w){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V}{partial ¿Qué? {partial V}{partial #={frac {1}{sigma ^{3}{sqrt {2c}}cdot left(x_{c}cdot Re _{w}-gamma cdot {fnMicrosoft Sans Serif}

∂ ∂ V∂ ∂ σ σ =1σ σ 42π π ⋅ ⋅ ()()xc2− − γ γ 2− − σ σ 2)⋅ ⋅ R R w− − 2xcγ γ ⋅ ⋅ I I w+γ γ σ σ ⋅ ⋅ 2π π){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V}{partial sigma} }={frac {1} {sigma ^{4} {2pi}}}cdot left(left(x_{c}{2}-gamma ^{2}-sigma ^{2}right)cdot Re _{w}-2x_{c}gamma cdot Im _{w}+gamma sigma cdot {sqrt {frac {2}{pi }right)end{aligned}}}}

∂ ∂ V∂ ∂ γ γ =− − 1σ σ 32π π ⋅ ⋅ ()σ σ ⋅ ⋅ 2π π − − xc⋅ ⋅ I I w− − γ γ ⋅ ⋅ R R w){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V}{partial gamma {fnMicroc {1}}cdot left(sigma cdot {sqrt {fnMicroc}}}cdot left(sigma cdot {sqrt {frac {2}{pi} }-x_{c}cdot Im _{w}-gamma cdot {}}

para el perfil original voigt V{displaystyle V};

∂ ∂ V.∂ ∂ μ μ V=− − ∂ ∂ V.∂ ∂ x=− − ∂ ∂ 2V()∂ ∂ x)2=1σ σ 52π π ⋅ ⋅ ()γ γ ⋅ ⋅ ()2xc⋅ ⋅ I I w− − σ σ ⋅ ⋅ 2π π)+()γ γ 2+σ σ 2− − xc2)⋅ ⋅ R R w){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V'}{partial mu ¿Qué? {partial V'}{partial {fnMicroc}={2}{2}V}{left(partial xright)^{2}}={frac {1}{sigma ^{5}{sqrt {2pi}}cdot left(gammacdot left(2x_{c}cdot}}cdot}cdot}cdot}cdot}cdot {cdot}}cdot {c}cdot {cdot {cdot {c} {c} {c} {cdot {c} {c}}}} {cdot {c} {cdot {cdot {c} {cdot {cdot {c} {c}}}}}}}}c}}}cdot {cdot {c}}}cdot {cdot {c} Im _{w}-sigma cdot {sqrt {frac {2}{pi }}right)+left(gamma) ^{2}+sigma ^{2}-x_{c}{2}derecha)cdot {}}

∂ ∂ V.∂ ∂ σ σ =3σ σ 62π π ⋅ ⋅ ()− − γ γ σ σ xc⋅ ⋅ 223π π +()xc2− − γ γ 23− − σ σ 2)⋅ ⋅ γ γ ⋅ ⋅ I I w+()γ γ 2+σ σ 2− − xc23)⋅ ⋅ xc⋅ ⋅ R R w){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V'}{partial sigma} }={frac {3} {sigma ^{6} {2pi}}}cdot left(-gamma sigma x_{c}cdot {frac {2{sqrt {2}}{3{sqrt {f}} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {fn}}}} {f}} {fn}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {3 {f}} {f}}}}}} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}} {f} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}} }}+left(x_{c}{2}-{frac {gamma ^{2}{3}}}sigma ^{2}derecha)cdot gamma cdot Im _{w}+left(gamma ^{2}+sigma ^{2}-{frac {x_{c}{2} {3}derecha)cdot x_{c}cdot {}}

∂ ∂ V.∂ ∂ γ γ =1σ σ 52π π ⋅ ⋅ ()xc⋅ ⋅ ()σ σ ⋅ ⋅ 2π π − − 2γ γ ⋅ ⋅ R R w)+()γ γ 2+σ σ 2− − xc2)⋅ ⋅ I I w){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V'}{partial gamma }={frac {1} {sigma ^{5}{sqrt {2pi }}}cdot left(x_{c}cdot left(sigma cdot {sqrt {sqrt {frac} {2}{pi} # 2gammacdot Re _{w}right)+left(gamma ^{2}+sigma ^{2}-x_{c}{2}derecha)cdot {fnMicrosoft Sans Serif}

para el derivado parcial de primer orden V.=∂ ∂ V∂ ∂ x{displaystyle V'={frac {partial V}{partial #; y

∂ ∂ V.∂ ∂ μ μ V=− − ∂ ∂ V.∂ ∂ x=− − ∂ ∂ 3V()∂ ∂ x)3=− − 3σ σ 72π π ⋅ ⋅ ()()xc2− − γ γ 23− − σ σ 2)⋅ ⋅ γ γ ⋅ ⋅ I I w+()γ γ 2+σ σ 2− − xc23)⋅ ⋅ xc⋅ ⋅ R R w− − γ γ σ σ xc⋅ ⋅ 223π π){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V'}{partial mu ¿Qué? {partial V'}{partial {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}=-{frac} {3}{sigma ¿Qué? {gamma ^{2}{3}}}sigma ^{2}derecha)cdot gamma cdot Im _{w}+left(gamma ^{2}+sigma ^{2}-{frac {x_{c}{2} {3}derecha)cdot x_{c}cdot Re _{w}-gamma sigma x_{c}cdot {frac {2{sqrt {2}}{3{sqrt {}}}right)end{aligned}

∂ ∂ V.∂ ∂ σ σ =− − 1σ σ 82π π ⋅ ⋅ ()()− − 3γ γ xcσ σ 2+γ γ xc3− − γ γ 3xc)⋅ ⋅ 4⋅ ⋅ I I w+()()2xc2− − 2γ γ 2− − σ σ 2)⋅ ⋅ 3σ σ 2+6γ γ 2xc2− − xc4− − γ γ 4)⋅ ⋅ R R w+()γ γ 2+5σ σ 2− − 3xc2)⋅ ⋅ γ γ σ σ ⋅ ⋅ 2π π){displaystyle {begin{aligned} {partial V'}{partial sigma }=-{frac {1}{sigma ¿Qué? x_{c}sigma ^{2}+gamma x_{c} {3}-gamma ¿Por qué? ^{2}x_{c}{2}-x_{c}{4}-gamma ^{4}right)cdot Re _{w}+left(gamma ^{2}+5sigma ^{2}-3x_{c}{2}right)cdot gamma sigma cdot {sqrt {frac {2}{pi }}}end{aligned}}}

∂ ∂ V.∂ ∂ γ γ =− − 3σ σ 72π π ⋅ ⋅ ()()γ γ 2+σ σ 2− − xc23)⋅ ⋅ xc⋅ ⋅ I I w+()γ γ 23+σ σ 2− − xc2)⋅ ⋅ γ γ ⋅ ⋅ R R w+()xc2− − γ γ 2− − 2σ σ 2)⋅ ⋅ σ σ ⋅ ⋅ 23π π){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial V'}{partial gamma }=-{frac {3}{sigma ^{7}{sqrt {2pi}}cdot left(gamma) ^{2}+sigma ^{2}-{frac {x_{c}{2} {3}derecha)cdot x_{c}cdot Im _{w}+left({frac {gamma} ¿Qué? ^{2}-x_{c}{2}right)cdot gamma cdot Re _{w}+left(x_{c}{2}-gamma ^{2}-2sigma ^{2}right)cdot sigma cdot {frac {sqrt {2}{3{sqrt {pi }}}}}}derecha)end{aligned}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {

para el segundo orden parcial derivado V.=∂ ∂ 2V()∂ ∂ x)2{displaystyle V''={frac {partial ^{2}V}{left(partial xright)}}}}. Desde μ μ V{displaystyle mu _{V}} y γ γ {displaystyle gamma } jugar un papel relativamente similar en el cálculo de z{displaystyle z}, sus respectivos derivados parciales también parecen bastante similares en términos de su estructura, aunque resultan en perfiles totalmente diferentes derivados. De hecho, los derivados parciales con respecto a σ σ {displaystyle sigma } y γ γ {displaystyle gamma } mostrar más similitud ya que ambos son parámetros de ancho. Todos estos derivados sólo implican operaciones simples (multiplicaciones y adiciones) porque el costoso computacionalmente R R w{displaystyle ¿Qué? y I I w{displaystyle ¿Qué? se obtienen fácilmente cuando se computa w()z){displaystyle wleft(zright)}. Tal reutilización de cálculos anteriores permite una derivación a costes mínimos. Este no es el caso de la diferencia finita aproximación gradiente ya que requiere la evaluación de w()z){displaystyle wleft(zright)} para cada gradiente respectivamente.

Funciones de Voigt

Las funciones de Voigt U, V y H (a veces denominada función de ampliación de línea) ) se definen por

U()x,t)+iV()x,t)=π π 4tez2erfc⁡ ⁡ ()z)=π π 4tw()iz),{displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={sqrt {frac {pi #### {4t}e^{2}operatorname {fc}w(iz),}

H()a,u)=U()u/a,1/4a2)aπ π,{displaystyle H(a,u)={frac {U/a,1/4a^{2}}{a{sqrt {pi}}}}}}

dónde

z=()1− − ix)/2t,{displaystyle z=(1-ix)/2{sqrt {t}}}

erfc es la función de error complementaria y w(z) es la función de Faddeeva.

Relación con el perfil de Voigt

V()x;σ σ,γ γ)=H()a,u)/()2π π σ σ),{displaystyle V(x;sigmagamma)=H(a,u)/({sqrt {2}{sqrt {pi }sigma),}

con

a=γ γ /()2σ σ){displaystyle a=gamma /({sqrt {2}sigma)}

y

u=x/()2σ σ).{displaystyle u=x/({sqrt {2}sigma).}

Aproximaciones numéricas

Función Tepper-García

El Función Tepper-García, nombrado por Astrofísico Alemán-Mexicano Thor Tepper-García, es una combinación de una función exponencial y funciones racionales que aproxima la función de ampliación de la línea H()a,u){displaystyle H(a,u)} sobre una amplia gama de sus parámetros. Se obtiene de una expansión de la serie de potencia truncada de la función de ampliación de línea exacta.

En su forma más eficiente desde el punto de vista computacional, la función Tepper-García se puede expresar como

T()a,u)=R− − ()a/π π P)[R2()4P2+7P+4+Q)− − Q− − 1],{displaystyle T(a,u)=R-left(a/{sqrt {pi }Pright)~left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1right],}

Donde P↑ ↑ u2{displaystyle Pequiv u^{2}, Q↑ ↑ 3/()2P){displaystyle Qequiv 3/(2P)}, y R↑ ↑ e− − P{displaystyle Requiv e^{-P}.

Así se puede ver la función de ampliación de la línea, a primera orden, como una función pura Gausiana más un factor de corrección que depende linealmente de las propiedades microscópicas del medio absorbente (encodificado en a{displaystyle a}); sin embargo, como resultado de la truncación temprana en la expansión de la serie, el error en la aproximación es todavía de orden a{displaystyle a}, es decir. H()a,u).. T()a,u)+O()a){displaystyle H(a,u)approx T(a,u)+{mathcal {O}(a)}. Esta aproximación tiene una precisión relativa

ε ε ↑ ↑ SilencioH()a,u)− − T()a,u)SilencioH()a,u)≲ ≲ 10− − 4{displaystyle epsilon equiv {frac {vert H(a,u)-T(a,u)vert }{H(a,u)}lesssim 10^{-4}}

sobre el rango de longitud de onda completa H()a,u){displaystyle H(a,u)}, siempre que a≲ ≲ 10− − 4{displaystyle alesssim 10^{-4}. Además de su alta precisión, la función T()a,u){displaystyle T(a,u)} es fácil de implementar, así como computacionalmente rápido. Es ampliamente utilizado en el campo de análisis de líneas de absorción cuásar.

Pseudo-Voigt aproximación

El perfil pseudo-Voigt (o función pseudo-Voigt) es una aproximación del perfil Voigt V(x) utilizando una combinación lineal de una curva gaussiana G(x) y una curva de Lorentz L(x) en lugar de su convolución.

La función pseudo-Voigt se utiliza a menudo para cálculos de formas de líneas espectrales experimentales.

La definición matemática del perfil pseudo-Voigt normalizado viene dada por

Vp()x,f)=.. ⋅ ⋅ L()x,f)+()1− −..)⋅ ⋅ G()x,f){displaystyle V_{p}(x,f)=eta cdot L(x,f)+(1-eta)cdot G(x,f)} con <math alttext="{displaystyle 0<eta 0c).. c)1{displaystyle 0 madeeta.<img alt="{displaystyle 0<eta .

.. {displaystyle eta } es una función de ancho completo a medio máximo (FWHM) parámetro.

Hay varias opciones posibles para .. {displaystyle eta } Parámetro. Una fórmula simple, precisa al 1%, es

.. =1.36603()fL/f)− − 0.47719()fL/f)2+0.11116()fL/f)3,{displaystyle eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}

donde ahora, .. {displaystyle eta } es una función de Lorentz (fL{displaystyle F_{L}GaussianfG{displaystyle F_{G}) y total (f{displaystyle f}) Ancho completo a medio máximo (FWHM) parámetros. El total de la FWHMf{displaystyle f}) parámetro se describe por:

f=[fG5+2.69269fG4fL+2.42843fG3fL2+4.47163fG2fL3+0,07842fGfL4+fL5]1/5.{displaystyle f=[f_{G}{5}+2.69269f_{G}{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}{2}+4.47163f_{G}^{2}f_}{3}+07842f_{L}{4}{4}+f_}{4}{4}{4}}}}}{4}}}}}}}}}}}{4}}}}}}}{4}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

El ancho del perfil Voigt

El ancho completo a medio máximo (FWHM) del perfil Voigt se puede encontrar desde el anchos de los anchos Gaussian y Lorentzian asociados. El FWHM del perfil gaisiano es

fG=2σ σ 2In⁡ ⁡ ()2).{displaystyle f_{mathrm {G}=2sigma {2ln(2)}}

El FWHM del perfil lorentziano es

fL=2γ γ.{displaystyle f_{mathrm {L}=2gamma.}

Una relación aproximada (con una precisión de alrededor del 1,2 %) entre los anchos de los perfiles de Voigt, Gauss y Lorentz es:

fV.. fL/2+fL2/4+fG2.{displaystyle f_{mathrm {V}approx f_{mathrm [L] }/2+{sqrt {f_{mathrm {L}}{2}/4+f_{mathrm [G] } {2}}}

Por construcción, esta expresión es exacta para un Gaussiano o Lorentziano puro.

Una mejor aproximación con una precisión del 0,02% viene dada por (originalmente encontrada por Kielkopf)

fV.. 0,5346fL+0.2166fL2+fG2.{displaystyle f_{mathrm {V}approx 0,5346f_{mathrm {L}+{sqrt {0.2166f_{mathrm [L] }{2}+f_{mathrm [G] } {2}}}

Nuevamente, esta expresión es exacta para un Gaussiano o Lorentziano puro. En la misma publicación se puede encontrar una expresión un poco más precisa (dentro del 0,012%), pero mucho más complicada.