Paridad (matemáticas)

Varillas Cuisenaire: 5 (amarillo) no ser dividido uniformemente en 2 (rojo) por cualquier 2 varillas del mismo color / longitud, mientras 6 (verde oscuro) puede estar dividido uniformemente en 2 por 3 (lime verde).

En matemáticas, la paridad es la propiedad de un número entero de si es par o impar. Un número entero es par si es múltiplo de dos e impar si no lo es. Por ejemplo, −4, 0, 82 son pares porque

− − 2⋅ ⋅ 2=− − 40⋅ ⋅ 2=041⋅ ⋅ 2=82{displaystyle {begin{aligned}-2cdot 2 limit=-4cdot 2 limit=041cdot 2 limit=82end{aligned}}

Por el contrario, −3, 5, 7, 21 son números impares. La definición anterior de paridad se aplica solo a números enteros, por lo tanto, no se puede aplicar a números como 1/2 o 4.201. Consulte la sección "Matemáticas superiores" a continuación para algunas extensiones de la noción de paridad a una clase más grande de "números" o en otros entornos más generales.

Los números pares e impares tienen paridades opuestas, por ejemplo, 22 (número par) y 13 (número impar) tienen paridades opuestas. En particular, la paridad de cero es par. Dos enteros consecutivos cualesquiera tienen paridad opuesta. Un número (es decir, un número entero) expresado en el sistema numérico decimal es par o impar según si su último dígito es par o impar. Es decir, si el último dígito es 1, 3, 5, 7 o 9, entonces es impar; de lo contrario, es par, ya que el último dígito de cualquier número par es 0, 2, 4, 6 u 8. La misma idea funcionará usando cualquier base par. En particular, un número expresado en el sistema numérico binario es impar si su último dígito es 1; y es par si su último dígito es 0. En una base impar, el número es par según la suma de sus dígitos; es par si y solo si la suma de sus dígitos es par.

Definición

Un número par es un entero de la forma

x=2k{displaystyle x=2k}

x=2k+1.{displaystyle x=2k+1.}

Una definición equivalente es que un número par es divisible por 2:

2Silenciox{displaystyle 2 Silencio x}

2⧸Silenciox{displaystyle 2not ANTERIOR x}

Los conjuntos de números pares e impares se pueden definir de la siguiente manera:

{}2k:k▪ ▪ Z}{displaystyle {2k:kin mathbb {Z}}

{}2k+1:k▪ ▪ Z}{displaystyle {2k+1:kin mathbb {Z}}

El conjunto de incluso números es un subgrupo normal de Z{displaystyle mathbb {Z} y crear el grupo factor Z/2Z{displaystyle mathbb {Z} {Z}. La paridad se puede definir como un homomorfismo de Z{displaystyle mathbb {Z} a Z/2Z{displaystyle mathbb {Z} {Z} donde números extraños son 1 e incluso números son 0. Las consecuencias de este homomorfismo están cubiertas a continuación.

Propiedades

Las siguientes leyes se pueden verificar usando las propiedades de divisibilidad. Son un caso especial de reglas en aritmética modular y se usan comúnmente para verificar si es probable que una igualdad sea correcta al probar la paridad de cada lado. Al igual que con la aritmética ordinaria, la multiplicación y la suma son conmutativas y asociativas en la aritmética de módulo 2, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Sin embargo, la resta en el módulo 2 es idéntica a la suma, por lo que la resta también posee estas propiedades, lo que no es cierto para la aritmética entera normal.

Sumas y restas

• incluso ± incluso = incluso;
• incluso ± extraño = extraño;
• extraño ± raro = incluso;

Multiplicación

• incluso × incluso = incluso;
• incluso × extraño = incluso;
• extraño × extraño = extraño;

La estructura ({par, impar}, +, ×) es de hecho un campo con dos elementos.

División

La división de dos números enteros no necesariamente da como resultado un número entero. Por ejemplo, 1 dividido por 4 es igual a 1/4, que no es par ni impar, ya que los conceptos de par e impar se aplican solo a números enteros. Pero cuando el cociente es un número entero, será par si y sólo si el dividendo tiene más factores de dos que el divisor.

Historia

Los antiguos griegos consideraban que 1, la mónada, no era ni completamente impar ni completamente par. Parte de este sentimiento sobrevivió hasta el siglo XIX: La educación del hombre de Friedrich Wilhelm August Fröbel de 1826 instruye al maestro a instruir a los estudiantes con la afirmación de que 1 no es ni par ni impar, a lo que Fröbel adjunta la idea tardía filosófica,

Es bueno dirigir la atención del alumno aquí de inmediato a una gran ley de la naturaleza y del pensamiento de largo alcance. Es esto, que entre dos cosas o ideas relativamente diferentes siempre hay un tercio, en una especie de equilibrio, que parece unir a las dos. Así, hay aquí entre extraño e incluso números un número (uno) que no es ninguno de los dos. Del mismo modo, en forma, el ángulo recto se sitúa entre los ángulos agudo y obtuso; y en lenguaje, las semi-voallas o aspirantes entre las mutas y las vocales. Un maestro reflexivo y un alumno enseñado a pensar por sí mismo apenas puede ayudar a notar esta y otras leyes importantes.

Matemáticas superiores

Dimensiones más altas y clases de números más generales

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

Cada uno de los obispos blancos se limita a cuadrados de la misma paridad; el caballero negro sólo puede saltar a cuadrados de paridad alterna.

Las coordenadas enteras de puntos en espacios euclidianos de dos o más dimensiones también tienen una paridad, generalmente definida como la paridad de la suma de las coordenadas. Por ejemplo, la red cúbica centrada en las caras y sus generalizaciones de dimensión superior, las redes D_n, constan de todos los puntos enteros cuya suma de coordenadas es par. Esta característica se manifiesta en el ajedrez, donde la paridad de una casilla se indica por su color: los alfiles están obligados a moverse entre casillas de la misma paridad, mientras que los caballos alternan la paridad entre movimientos. Esta forma de paridad se usó para resolver el problema del tablero de ajedrez mutilado: si se quitan dos cuadrados de las esquinas opuestas de un tablero de ajedrez, el tablero restante no puede cubrirse con fichas de dominó, porque cada ficha de dominó cubre un cuadrado de cada paridad y hay dos cuadrados más. de una paridad que de la otra.

La paridad de un número ordinal se puede definir como par si el número es un ordinal límite, o un ordinal límite más un número par finito, e impar en caso contrario.

Vamos R ser un anillo conmutativo y dejar I ser un ideal R cuyo índice es 2. Elementos del conjunto 0+I{displaystyle 0+I} puede ser llamado incluso, mientras elementos del conjunto 1+I{displaystyle 1+I} puede ser llamado extraño. Como ejemplo, dejemos R = Z₂₎ ser la localización de Z en el ideal principal (2). Luego un elemento de R es incluso o extraño si y sólo si su numerador está así Z.

Teoría de números

Los números pares forman un ideal en el anillo de los enteros, pero los números impares no; esto queda claro por el hecho de que el elemento de identidad para la suma, el cero, es un elemento de los números pares únicamente. Un entero es par si es congruente a 0 módulo este ideal, es decir si es congruente a 0 módulo 2, e impar si es congruente a 1 módulo 2.

Todos los números primos son impares, con una excepción: el número primo 2. Todos los números perfectos conocidos son pares; se desconoce si existen números perfectos impares.

La conjetura de Goldbach establece que todo número par mayor que 2 se puede representar como una suma de dos números primos. Cálculos informáticos modernos han demostrado que esta conjetura es cierta para números enteros hasta al menos 4 × 10¹⁸, pero aún no se ha encontrado una prueba general.

Teoría de grupos

La venganza de Rubik en estado resuelto

La paridad de una permutación (como se define en el álgebra abstracta) es la paridad del número de transposiciones en las que se puede descomponer la permutación. Por ejemplo, (ABC) a (BCA) es par porque se puede hacer intercambiando A y B, luego C y A (dos transposiciones). Se puede demostrar que ninguna permutación se puede descomponer tanto en un número par como en un número impar de transposiciones. Por lo tanto, la anterior es una definición adecuada. En Rubik's Cube, Megaminx y otros rompecabezas retorcidos, los movimientos del rompecabezas solo permiten permutaciones uniformes de las piezas del rompecabezas, por lo que la paridad es importante para comprender el espacio de configuración de estos rompecabezas.

El teorema de Feit-Thompson establece que un grupo finito siempre se puede resolver si su orden es un número impar. Este es un ejemplo de números impares que juegan un papel en un teorema matemático avanzado donde el método de aplicación de la hipótesis simple de "orden impar" está lejos de ser obvio.

Análisis

La paridad de una función describe cómo cambian sus valores cuando sus argumentos se intercambian con sus negaciones. Una función par, como una potencia par de una variable, da el mismo resultado para cualquier argumento que para su negación. Una función impar, como una potencia impar de una variable, da para cualquier argumento la negación de su resultado cuando se da la negación de ese argumento. Es posible que una función no sea par ni impar, y que el caso f(x) = 0, sea par e impar. La serie de Taylor de una función par contiene solo términos cuyo exponente es un número par, y la serie de Taylor de una función impar contiene solo términos cuyo exponente es un número impar.

Teoría de juegos combinatorios

En la teoría de juegos combinatorios, un número malvado es un número que tiene un número par de 1 en su representación binaria, y un número odioso es un número que tiene un número impar de 1 en su representación binaria; estos números juegan un papel importante en la estrategia del juego Kayles. La función de paridad asigna un número al número de 1 en su representación binaria, módulo 2, por lo que su valor es cero para los números malos y uno para los números odiosos. La secuencia de Thue-Morse, una secuencia infinita de 0's y 1's, tiene un 0 en la posición i cuando i es malo, y un 1 en esa posición cuando i es odioso.

Aplicaciones adicionales

En la teoría de la información, un bit de paridad añadido a un número binario proporciona la forma más sencilla de código de detección de errores. Si se cambia un solo bit en el valor resultante, ya no tendrá la paridad correcta: cambiar un bit en el número original le da una paridad diferente a la registrada, y cambiar el bit de paridad sin cambiar el número que era derivado de de nuevo produce un resultado incorrecto. De esta forma, todos los errores de transmisión de un solo bit pueden detectarse de forma fiable. Algunos códigos de detección de errores más sofisticados también se basan en el uso de múltiples bits de paridad para subconjuntos de los bits del valor codificado original.

En instrumentos de viento con un diámetro interior cilíndrico y de hecho cerrado en un extremo, como el clarinete en la boquilla, los armónicos producidos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental. (Con tubos cilíndricos abiertos en ambos extremos, usados por ejemplo en algunas paradas de órgano como el diapasón abierto, los armónicos son incluso múltiplos de la misma frecuencia para la longitud del orificio dada, pero esto tiene el efecto de duplicar la frecuencia fundamental y todo se producen múltiplos de esta frecuencia fundamental.) Véase serie armónica (música).

En algunos países, la numeración de las casas se elige de modo que las casas de un lado de la calle tengan números pares y las casas del otro lado tengan números impares. De manera similar, entre las carreteras numeradas de Estados Unidos, los números pares indican principalmente carreteras de este a oeste, mientras que los números impares indican principalmente carreteras de norte a sur. Entre los números de vuelo de las aerolíneas, los números pares generalmente identifican vuelos hacia el este o hacia el norte, y los números impares generalmente identifican vuelos hacia el oeste o hacia el sur.