Límite inferior y límite superior

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Límites de una secuencia

En matemáticas, el límite inferior y el límite superior de una secuencia se pueden considerar como límites (es decir, eventuales y extremos) de la secuencia. Se pueden pensar de manera similar para una función (ver límite de una función). Para un conjunto, son el mínimo y el supremo de los puntos límite del conjunto, respectivamente. En general, cuando hay múltiples objetos alrededor de los cuales se acumula una secuencia, función o conjunto, los límites inferior y superior extraen el menor y el mayor de ellos; el tipo de objeto y la medida del tamaño dependen del contexto, pero la noción de límites extremos es invariable. El límite inferior también se denomina límite infimum, límite infimum, liminf, límite inferior, límite inferior, o límite interior; límite superior también se conoce como límite supremo, límite supremo, limsup, límite superior, límite superior , o límite exterior.

Una ilustración de límite superior y límite inferior. La secuencia x_n se muestra en azul. Las dos curvas rojas se acercan al límite superior y límite inferior de x_n, se muestra como líneas negras destrozadas. En este caso, la secuencia acumulaciones alrededor de los dos límites. El límite superior es el mayor de los dos, y el límite inferior es el menor. Los límites inferiores y superiores coinciden si la secuencia es convergente (es decir, cuando hay un límite único).

El límite inferior de una secuencia $(x_{n})$ es denotado por

{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}quad {text{or}}quad varliminf _{nto infty }x_{n},}

(x_{n})

{displaystyle limsup _{nto infty }x_{n}quad {text{or}}quad varlimsup _{nto infty }x_{n}.}

Definición de secuencias

El límite inferior de una secuencia (x_n) está definida por

{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}:=lim _{nto infty }!{Big (}inf _{mgeq n}x_{m}{Big)}}

{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}:=sup _{ngeq 0},inf _{mgeq n}x_{m}=sup ,{,inf ,{,x_{m}:mgeq n,}:ngeq 0,}.}

Del mismo modo, el límite superior de (x_n) está definido por

{displaystyle limsup _{nto infty }x_{n}:=lim _{nto infty }!{Big (}sup _{mgeq n}x_{m}{Big)}}

{displaystyle limsup _{nto infty }x_{n}:=inf _{ngeq 0},sup _{mgeq n}x_{m}=inf ,{,sup ,{,x_{m}:mgeq n,}:ngeq 0,}.}

Alternativamente, las notaciones ${displaystyle varliminf _{nto infty }x_{n}:=liminf _{nto infty }x_{n}}$ y ${displaystyle varlimsup _{nto infty }x_{n}:=limsup _{nto infty }x_{n}}$ a veces se usan.

Los límites superiores e inferiores pueden definirse equivalentemente utilizando el concepto de límites posteriores de la secuencia $(x_{n})$ . Un elemento $xi$ de los números reales extendidos ${displaystyle {overline {mathbb {R} }}}$ es un límite subsiguiente de $(x_{n})$ si existe una secuencia estrictamente creciente de números naturales ${displaystyle (n_{k})}$ tales que ${displaystyle xi =lim _{kto infty }x_{n_{k}}}$ . Si ${displaystyle Esubseteq {overline {mathbb {R} }}}$ es el conjunto de todos los límites subsiguientes de $(x_{n})$ , entonces

{displaystyle limsup _{nto infty }x_{n}=sup E}

{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}=inf E.}

Si los términos de la sucesión son números reales, el límite superior y el límite inferior siempre existen, ya que los números reales junto con ±∞ (es decir, la recta extendida de números reales) están completos. De manera más general, estas definiciones tienen sentido en cualquier conjunto parcialmente ordenado, siempre que existan suprema e infima, como en una red completa.

Siempre que existe el límite ordinario, el límite inferior y el límite superior son ambos iguales a él; por lo tanto, cada uno puede considerarse una generalización del límite ordinario que es principalmente interesante en los casos en que el límite no existe. Siempre que lim inf x_n y lim sup x_n existen, tenemos

{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}leq limsup _{nto infty }x_{n}.}

Los límites inferior y superior están relacionados con la notación O grande en el sentido de que limitan una secuencia solo "en el límite"; la secuencia puede exceder el límite. Sin embargo, con la notación O grande, la secuencia solo puede exceder el límite en un prefijo finito de la secuencia, mientras que el límite superior de una secuencia como e⁻ⁿ en realidad puede ser menor que todos los elementos de la secuencia. La única promesa que se hace es que parte de la cola de la secuencia puede estar acotada por arriba por el límite superior más una constante positiva arbitrariamente pequeña, y por abajo por el límite inferior menos una constante positiva arbitrariamente pequeña.

El límite superior y el límite inferior de una secuencia son un caso especial de los de una función (ver más abajo).

El caso de las sucesiones de números reales

En el análisis matemático, el límite superior y el límite inferior son herramientas importantes para estudiar secuencias de números reales. Dado que el supremo y el ínfimo de un conjunto ilimitado de números reales pueden no existir (los reales no son un retículo completo), es conveniente considerar secuencias en el sistema de números reales afinemente extendido: agregamos los infinitos positivos y negativos a la línea real para dar el conjunto completo totalmente ordenado [−∞,∞], que es un retículo completo.

Interpretación

Considere una secuencia $(x_{n})$ que consiste en números reales. Supongamos que el límite superior y límite inferior son números reales (por lo tanto, no infinito).

El límite superior de $x_{n}$ es el número real más pequeño $b$ tal que, para cualquier número real positivo $varepsilon$ , existe un número natural $N$ tales que $<math alttext="{displaystyle x_{n}xn.b+ε ε {displaystyle x_{n}<img alt="x_{n}$ para todos $N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■N{displaystyle n confiadoN}N" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592abd10dbd8e25e84efd66c5f4db57d41fe752" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.557ex; height:2.176ex;"/>$ . En otras palabras, cualquier número mayor que el límite superior es un eventual límite superior para la secuencia. Sólo un número finito de elementos de la secuencia son mayores que $b+varepsilon$ .
El límite inferior de $x_{n}$ es el mayor número real $b$ tal que, para cualquier número real positivo $varepsilon$ , existe un número natural $N$ tales que $b-varepsilon }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">xn■b− − ε ε {displaystyle ¿Qué?b-varepsilon " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebc0f55e5a2a7da1905a0a939566a53c7e88e87" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.568ex; height:2.509ex;"/>$ para todos $N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■N{displaystyle n confiadoN}N" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592abd10dbd8e25e84efd66c5f4db57d41fe752" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.557ex; height:2.176ex;"/>$ . En otras palabras, cualquier número debajo del límite inferior es un eventual límite inferior para la secuencia. Sólo un número finito de elementos de la secuencia son menos que $b-varepsilon$ .

Propiedades

En caso de que la secuencia esté ligada, para todos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>$ casi todos los miembros de la secuencia se encuentran en el intervalo abierto ${displaystyle (liminf _{nto infty }x_{n}-epsilonlimsup _{nto infty }x_{n}+epsilon).}$

La relación de límite inferior y límite superior para sucesiones de números reales es la siguiente:

{displaystyle limsup _{nto infty }left(-x_{n}right)=-liminf _{nto infty }x_{n}}

Como se mencionó anteriormente, es conveniente ampliar $mathbb {R}$ a ${displaystyle [-inftyinfty ].}$ Entonces, ${displaystyle left(x_{n}right)}$ dentro $[-infty, infty]$ converge si y sólo si

{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}=limsup _{nto infty }x_{n}}

$lim _{nto infty }x_{n}$ ${displaystyle mathbb {R}}$ $-infty$ $infty$ ${displaystyle {begin{alignedat}{4}liminf _{nto infty }x_{n}&=infty &&;;{text{ implies }};;lim _{nto infty }x_{n}=infty\[0.3ex]limsup _{nto infty }x_{n}&=-infty &&;;{text{ implies }};;lim _{nto infty }x_{n}=-infty.end{alignedat}}}$
Si $I=liminf _{nto infty }x_{n}$ y $S=limsup _{nto infty }x_{n}$ , entonces el intervalo ${displaystyle [I,S]}$ no debe contener ninguno de los números ${displaystyle x_{n},}$ pero cada ligera ampliación ${displaystyle [I-epsilonS+epsilon ],}$ para pequeños arbitrariamente $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0,{displaystyle epsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c08d32cc0a46cfa7ccabd48ba8a50a87e0ca66" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.852ex; height:2.509ex;"/>$ contendrá $x_{n}$ para todos, pero finitamente muchos índices $n.$ De hecho, el intervalo ${displaystyle [I,S]}$ es el intervalo cerrado más pequeño con esta propiedad. Podemos formalizar esta propiedad como esta: existen subsequences $x_{k_{n}}$ y $x_{h_{n}}$ de $x_{n}$ (donde) $k_{n}$ y $h_{n}$ están aumentando) por lo que tenemos
$x_{h_{n}};;;;;;;;;x_{k_{n}}>limsup _{nto infty }x_{n}-epsilon }" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">lim infn→ → JUEGO JUEGO xn+ε ε ■xhnxkn■lim supn→ → JUEGO JUEGO xn− − ε ε {displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}+epsilon œx_{h_{n};;;;;;;;;x_{k_{n}} {nsup _{ntoinfty }x_{n}-epsilon }x_{h_{n}};;;;;;;;;x_{k_{n}}>limsup _{nto infty }x_{n}-epsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce9b7cf0b25ff625810f4fd7e4fab70e6058c97" style="vertical-align: -2.338ex; width:45.687ex; height:4.176ex;"/>$
Por otro lado, existe una $n_{0}in mathbb {N}$ para siempre $n geq n_0$
$<math alttext="{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}-epsilon <x_{n}lim infn→ → JUEGO JUEGO xn− − ε ε .xn.lim supn→ → JUEGO JUEGO xn+ε ε {displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}-epsilon - No. }x_{n}+epsilon }<img alt="{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}-epsilon <x_{n}$
Para recapitular:
Si $Lambda$ es mayor que el límite superior, hay en la mayoría finitamente muchos $x_{n}$ más grande que ${displaystyle Lambda;}$ si es menos, hay infinitamente muchos.
Si $lambda$ es menos que el límite inferior, hay en la mayoría finitamente muchos $x_{n}$ menos que $lambda;$ si es mayor, hay infinitamente muchos.
En general,
${displaystyle inf _{n}x_{n}leq liminf _{nto infty }x_{n}leq limsup _{nto infty }x_{n}leq sup _{n}x_{n}.}$
Liminf y limsup de una secuencia son, respectivamente, los puntos de agrupación más pequeños y más grandes.
Para cualquier dos secuencias de números reales ${displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ el límite superior satisfies subadditividad cuando el lado derecho de la desigualdad se define (es decir, no $infty -infty$ o $-infty +infty$ ): ${displaystyle limsup _{nto infty },(a_{n}+b_{n})leq limsup _{nto infty }a_{n}+ limsup _{nto infty }b_{n}.}$
Análogamente, el límite inferior satisface la superaditividad:
${displaystyle liminf _{nto infty },(a_{n}+b_{n})geq liminf _{nto infty }a_{n}+ liminf _{nto infty }b_{n}.}$
En el caso particular de que una de las secuencias realmente converge, dicen ${displaystyle a_{n}to a,}$ entonces las desigualdades arriba se convierten en igualdades (con ${displaystyle limsup _{nto infty }a_{n}}$ o ${displaystyle liminf _{nto infty }a_{n}}$ ser reemplazado por $a$ ).
Para cualquier dos secuencias de números reales no negativos ${displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ las desigualdades ${displaystyle limsup _{nto infty },(a_{n}b_{n})leq left(limsup _{nto infty }a_{n}!right)!!left(limsup _{nto infty }b_{n}!right)}$ y ${displaystyle liminf _{nto infty },(a_{n}b_{n})geq left(liminf _{nto infty }a_{n}right)!!left(liminf _{nto infty }b_{n}right)}$
mantener siempre que el lado derecho no sea de la forma ${displaystyle 0cdot infty.}$
Si ${displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=A}$ (incluido el caso) ${displaystyle A=+infty }$ ) y ${displaystyle B=limsup _{nto infty }b_{n},}$ entonces ${displaystyle limsup _{nto infty }left(a_{n}b_{n}right)=AB}$ siempre que $AB$ no es de la forma ${displaystyle 0cdot infty.}$
Ejemplos
Como ejemplo, considere la secuencia dada por la función sine: ${displaystyle x_{n}=sin(n).}$ Usando el hecho de que π es irracional, sigue que ${displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}=-1}$ y ${displaystyle limsup _{nto infty }x_{n}=+1.}$ (Esto es porque la secuencia ${displaystyle {1,2,3,ldots }}$ es equidistribuido mod 2π, una consecuencia del teorema de equidistribución.)
Un ejemplo de la teoría del número es ${displaystyle liminf _{nto infty },(p_{n+1}-p_{n}),}$ Donde $p_{n}$ es $n$ - el primer número.
El valor de este límite inferior se conjetura para ser 2 – esta es la conjetura principal gemela – pero a partir de abril de 2014 sólo se ha demostrado ser inferior o igual a 246. El límite superior correspondiente es $+infty$ , porque hay diferencias arbitrariamente grandes entre primos consecutivos.

Funciones de valor real

Supongamos que una función se define desde un subconjunto de los números reales a los números reales. Como en el caso de las secuencias, el límite inferior y superior límite siempre están bien definidos si permitimos los valores +∞ y −∞; de hecho, si ambos coinciden entonces el límite existe y es igual a su valor común (de nuevo, incluyendo los infinitos). Por ejemplo, dado ${displaystyle f(x)=sin(1/x)}$ , tenemos ${displaystyle limsup _{xto 0}f(x)=1}$ y ${displaystyle liminf _{xto 0}f(x)=-1}$ . La diferencia entre los dos es una medida aproximada de cómo oscila la función, y en la observación de este hecho, se llama la oscilación de f a 0. Esta idea de oscilación es suficiente para, por ejemplo, caracterizar funciones integradas Riemann como continuas excepto en un conjunto de medida cero. Tenga en cuenta que puntos de oscilación no cero (es decir, puntos en los que f es "badly conductd") son discontinuidades que, a menos que constituyan un conjunto de cero, se limitan a un conjunto insignificante.

Funciones desde espacios topológicos hasta redes completas

Funciones de espacios métricos

Hay una noción de limsup y liminf para funciones definidas en un espacio métrico cuya relación con los límites de funciones de valor real refleja la relación entre el limsup, liminf y el límite de una secuencia real. Tome un espacio métrico $X$ , un subespacio $E$ contenidas en $X$ , y una función ${displaystyle f:Eto mathbb {R} }$ . Definir, para cualquier punto límite $a$ de $E$ ,

${displaystyle limsup _{xto a}f(x)=lim _{varepsilon to 0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right)}$

${displaystyle liminf _{xto a}f(x)=lim _{varepsilon to 0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right)}$

Donde ${displaystyle B(a,varepsilon)}$ denota la bola métrica del radio $varepsilon$ sobre $a$ .

Tenga en cuenta que a medida que ε se contrae, el supremo de la función sobre la pelota es monótono decreciente, por lo que tenemos

$0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">lim supx→ → af()x)=infε ε ■0()Sup{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ B()a,ε ε )∖ ∖ {}a}}){displaystyle limsup _{xto a}f(x)=inf _{varepsilon œ0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}right)}}right)}0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5493eae833757365f24fab845ead50a11be90e15" style="vertical-align: -2.338ex; width:53.851ex; height:4.343ex;"/>$

y de manera similar

$0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">lim infx→ → af()x)=Supε ε ■0()inf{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ B()a,ε ε )∖ ∖ {}a}}).{displaystyle liminf _{xto a}f(x)=sup _{varepsilon œ0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}right). }0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c054efce9e158fb7df2d7cc738865e6b391424" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.82ex; height:4.509ex;"/>$

Funciones de espacios topológicos

Esto finalmente motiva las definiciones de espacios topológicos generales. Tome X, E y a como antes, pero ahora sea X un espacio topológico. En este caso, reemplazamos bolas métricas con vecindarios:

${displaystyle limsup _{xto a}f(x)=inf ,{,sup ,{f(x):xin Ecap Usetminus {a}}:U mathrm {open},ain U,,Ecap Usetminus {a}neq emptyset }}$

${displaystyle liminf _{xto a}f(x)=sup ,{,inf ,{f(x):xin Ecap Usetminus {a}}:U mathrm {open},ain U,,Ecap Usetminus {a}neq emptyset }}$

(hay una manera de escribir la fórmula usando "lim" usando redes y el filtro de vecindario). Esta versión suele ser útil en las discusiones sobre la semicontinuidad que surgen con bastante frecuencia en el análisis. Una nota interesante es que esta versión subsume la versión secuencial al considerar las secuencias como funciones de los números naturales como un subespacio topológico de la línea real extendida, en el espacio (la clausura de N en [−∞, ∞], la recta numérica real extendida, es N ∪ {∞}).

Secuencias de conjuntos

El conjunto potencia ℘(X) de un conjunto X es un retículo completo que está ordenado por inclusión de conjunto, y por lo tanto el supremo y el mínimo de cualquier conjunto de subconjuntos (en términos de inclusión de conjuntos) siempre existen. En particular, cada subconjunto Y de X está acotado arriba por X y abajo por el conjunto vacío ∅ porque ∅ ⊆ Y ⊆ X. Por lo tanto, es posible (ya veces útil) considerar los límites superior e inferior de las secuencias en ℘(X) (es decir, secuencias de subconjuntos de X).

Hay dos formas comunes de definir el límite de secuencias de conjuntos. En ambos casos:

La secuencia acumulaciones alrededor de conjuntos de puntos en lugar de puntos individuales ellos mismos. Es decir, porque cada elemento de la secuencia es en sí mismo un conjunto, existe acumulación sets que están de alguna manera cerca de infinitamente muchos elementos de la secuencia.
El límite supremum/superior/outer es un conjunto que une estos conjuntos de acumulación. Es decir, es la unión de todos los conjuntos de acumulación. Cuando se ordena mediante la inclusión establecida, el límite de supremum es el límite inferior superior en el conjunto de puntos de acumulación porque es contiene cada uno de ellos. Por lo tanto, es el supremum de los puntos límite.
El límite infimum/inferior/inner es un conjunto donde todos estos conjuntos de acumulación se encuentran. Es decir, es la intersección de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por la inclusión establecida, el límite de infimum es el límite más bajo en el conjunto de puntos de acumulación porque es contenidas en cada uno de ellos. Por lo tanto, es el infimum de los puntos límite.
Debido a que el orden es por la inclusión establecida, entonces el límite exterior siempre contendrá el límite interno (es decir, lima infX_n ⊆ lim supX_n). Por lo tanto, al considerar la convergencia de una secuencia de conjuntos, generalmente basta considerar la convergencia del límite exterior de esa secuencia.

La diferencia entre las dos definiciones implica cómo se define la topología (es decir, cómo cuantificar la separación). De hecho, la segunda definición es idéntica a la primera cuando se usa la métrica discreta para inducir la topología en X.

Convergencia general de conjuntos

Una secuencia de conjuntos en un espacio habitable $X$ se acerca a un conjunto de limitación cuando los elementos de cada miembro de la secuencia abordan los elementos del conjunto de limitación. En particular, si $(X_{n})$ es una secuencia de subconjuntos de $X,$ entonces:

${displaystyle limsup X_{n},}$ que también se llama límite exterior, consta de los elementos que son límites de puntos $X_{n}$ tomada de (contablemente) infinitamente muchos $n.$ Eso es, ${displaystyle xin limsup X_{n}}$ si y sólo si existe una secuencia de puntos $(x_k)$ y a subsequence ${displaystyle (X_{n_{k}})}$ de $(X_{n})$ tales que ${displaystyle x_{k}in X_{n_{k}}}$ y ${displaystyle lim _{kto infty }x_{k}=x.}$
${displaystyle liminf X_{n},}$ que también se llama límite interior, consta de los elementos que son límites de puntos $X_{n}$ para todos, pero finitamente muchos $n$ (esto es, definitivamente muchos $n$ ). Eso es, ${displaystyle xin liminf X_{n}}$ y sólo si existe secuencia de puntos $(x_k)$ tales que ${displaystyle x_{k}in X_{k}}$ y ${displaystyle lim _{kto infty }x_{k}=x.}$

El límite ${displaystyle lim X_{n}}$ existe si ${displaystyle liminf X_{n}}$ y ${displaystyle limsup X_{n}}$ acepta, en cuyo caso ${displaystyle lim X_{n}=limsup X_{n}=liminf X_{n}.}$ Los límites exteriores e interiores no deben confundirse con los límites teóricos del conjunto superior e inferior, ya que estos últimos conjuntos no son sensibles a la estructura topológica del espacio.

Caso especial: métrica discreta

Esta es la definición utilizada en la teoría de la medida y la probabilidad. La discusión adicional y los ejemplos desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, en oposición al punto de vista topológico discutido a continuación, están en el límite de la teoría de conjuntos.

Según esta definición, una secuencia de conjuntos se aproxima a un conjunto límite cuando el conjunto límite incluye elementos que están en todos excepto en muchos conjuntos finitos de la secuencia y no incluye elementos que están en todos excepto en número finito muchos complementos de conjuntos de la secuencia. Es decir, este caso especializa la definición general cuando la topología en el conjunto X es inducida desde la métrica discreta.

Específicamente, para los puntos x, y ∈ X, la métrica discreta está definida por

$d(x,y):={begin{cases}0&{text{if }}x=y,\1&{text{if }}xneq y,end{cases}}$

bajo el cual una secuencia de puntos (x_k) converge al punto x ∈ X si y solo si x_k = x para todos menos un número finito de k. Por lo tanto, si existe el conjunto límite contiene los puntos y sólo los puntos que están en todos excepto en un número finito de los conjuntos de la secuencia. Dado que la convergencia en la métrica discreta es la forma más estricta de convergencia (es decir, requiere más), esta definición de un conjunto límite es la más estricta posible.

Si (X_n) es una secuencia de subconjuntos de X, entonces siempre existe lo siguiente:

lim supX_n consta de elementos X que pertenecen a X_n para infinitamente muchos n (ver contablemente infinito). Eso es, x zio lim supX_n si y sólo si existe una subsequencia (X_{n_k}) of (X_n. x ▪ X_{n_k} para todos k.
lim infX_n consta de elementos X que pertenecen a X_n para todos excepto finitamente muchos n (es decir, por cofinito muchos n). Eso es, x zio lim infX_n y sólo si existe m ■ 0 tal que x ▪ X_n para todos n ■ m.

Observe que x ∈ lim sup X_n si y solo si x ∉ lim inf X_n^c.

limX_n existe siX_n y supX_n de acuerdo, en cuyo caso limX_n # Lim supX_n = lim infX_n.

En este sentido, la secuencia tiene un límite siempre que cada punto en X aparezca en todos excepto en un número finito de X_n o aparece en todos excepto en un número finito de X_n^c.

Usando el lenguaje estándar de la teoría de conjuntos, la inclusión de conjuntos proporciona una ordenación parcial en la colección de todos los subconjuntos de X que permite que la intersección de conjuntos genere un límite inferior mayor y una unión de conjuntos para generar un límite superior mínimo atado. Así, el ínfimo o encuentro de una colección de subconjuntos es el mayor límite inferior, mientras que el supremo o reunión es el menor límite superior. En este contexto, el límite interior, lim inf X_n, es el mayor encuentro de colas de la secuencia, y el límite exterior, lim sup X_n, es la unión de colas más pequeña de la secuencia. Lo siguiente hace esto preciso.

Vamos I_n ser la reunión del n^T cola de la secuencia. Eso es,

${displaystyle {begin{aligned}I_{n}&=inf ,{X_{m}:min {n,n+1,n+2,ldots }}\&=bigcap _{m=n}^{infty }X_{m}=X_{n}cap X_{n+1}cap X_{n+2}cap cdots.end{aligned}}}$

La secuencia (I_n) no está disminuyendo (es decir,. I_n ⊆ I_{n+ 1}) porque cada uno I_{n+ 1} es la intersección de menos conjuntos que I_n. El límite más alto en esta secuencia de encuentros de colas es
${displaystyle {begin{aligned}liminf _{nto infty }X_{n}&=sup ,{,inf ,{X_{m}:min {n,n+1,ldots }}:nin {1,2,dots }}\&=bigcup _{n=1}^{infty }left({bigcap _{m=n}^{infty }}X_{m}right)!.end{aligned}}}$

Así que el infimum límite contiene todos los subconjuntos que son límites inferiores para todos pero finitamente muchos conjuntos de la secuencia.

Del mismo modo, J_n ser la unión de la n^T cola de la secuencia. Eso es,

${displaystyle {begin{aligned}J_{n}&=sup ,{X_{m}:min {n,n+1,n+2,ldots }}\&=bigcup _{m=n}^{infty }X_{m}=X_{n}cup X_{n+1}cup X_{n+2}cup cdots.end{aligned}}}$

La secuencia (J_n) no está aumentando (es decir,. J_n ⊇ J_{n+ 1}) porque cada uno J_{n+ 1} es la unión de menos conjuntos que J_n. El límite más bajo en esta secuencia de la cola es
${displaystyle {begin{aligned}limsup _{nto infty }X_{n}&=inf ,{,sup ,{X_{m}:min {n,n+1,ldots }}:nin {1,2,dots }}\&=bigcap _{n=1}^{infty }left({bigcup _{m=n}^{infty }}X_{m}right)!.end{aligned}}}$

Así que el supremum límite está contenido en todos los subconjuntos que son los límites superiores para todos, pero finitamente muchos conjuntos de la secuencia.

Ejemplos

Los siguientes son varios ejemplos de convergencia de conjuntos. Se han dividido en secciones con respecto a la métrica utilizada para inducir la topología en el conjunto X.

Usando la métrica discreta

El Borel-Cantelli lemma es un ejemplo de aplicación de estos constructos.

Usando la métrica discreta o la métrica euclidiana

Considere el conjunto X = {0,1} y la secuencia de subconjuntos:

${displaystyle (X_{n})=({0},{1},{0},{1},{0},{1},dots).}$

Los elementos "odd" y "even" de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {0}, {0},...) y ({1}, {1}, {1},...), que tienen puntos límite 0 y 1, respectivamente, y por lo tanto el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se pueden tomar de la (X_n) secuencia en su conjunto, y por lo tanto el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Eso es,
lim supX_n = {0,1}
lim infX_n = {}

Sin embargo, para (Y_n- Sí.Z_n- Sí.
lim supY_n = lim infY_n = limY_n = {0}
lim supZ_n = lim infZ_n = limZ_n = {1}

Considere el conjunto X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} y la secuencia de subconjuntos:

${displaystyle (X_{n})=({50},{20},{-100},{-25},{0},{1},{0},{1},{0},{1},dots).}$

Como en los dos ejemplos anteriores,
lim supX_n = {0,1}
lim infX_n = {}

Es decir, los cuatro elementos que no coinciden con el patrón no afectan la inf de la lima y sup de la lima porque sólo hay finitamente muchos de ellos. De hecho, estos elementos podrían colocarse en cualquier lugar de la secuencia. Mientras tanto colas de la secuencia se mantiene, los límites exteriores e interiores serán inalterados. Los conceptos conexos esenciales límites interiores y externos, que utilizan el supremum esencial y el infimum esencial, proporcionan una modificación importante que "squashes" contablemente muchos (más que finitamente muchos) adiciones intersticiales.

Usando la métrica Euclideana

Considere la secuencia de subconjuntos de números racionales:

${displaystyle (X_{n})=({0},{1},{1/2},{1/2},{2/3},{1/3},{3/4},{1/4},dots).}$

Los elementos "odd" y "even" de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4},...) y ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4},...), que tienen puntos límite 1 y 0, respectivamente, y por lo tanto el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se pueden tomar de la (X_n) secuencia en su conjunto, y por lo tanto el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Así que, como en el ejemplo anterior,
lim supX_n = {0,1}
lim infX_n = {}

Sin embargo, para (Y_n({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4},) y (Z_n({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}:
lim supY_n = lim infY_n = limY_n = {1}
lim supZ_n = lim infZ_n = limZ_n = {0}

En cada uno de estos cuatro casos, los elementos de los conjuntos de limitación no son elementos de ninguno de los conjuntos de la secuencia original.

El límite Ω (es decir, conjunto límite) de una solución a un sistema dinámico es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. Porque las trayectorias se acercan cada vez más a este conjunto límite, las colas de estas trayectorias convergencia al límite establecido.

Por ejemplo, un sistema LTI que es la conexión de cascada de varios sistemas estables con un sistema LTI de segunda orden sin igual (es decir, ratio de amortiguación cero) oscilará sin cesar después de ser perturbado (por ejemplo, una campana ideal después de ser golpeado). Por lo tanto, si la posición y velocidad de este sistema se trazan entre sí, las trayectorias se acercarán a un círculo en el espacio estatal. Este círculo, que es el conjunto límite de Ω del sistema, es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. El círculo representa el locus de una trayectoria correspondiente a un tono sinusoidal puro; es decir, la salida del sistema se acerca/aproxima un tono puro.

Definiciones generalizadas

Las definiciones anteriores son inadecuadas para muchas aplicaciones técnicas. De hecho, las definiciones anteriores son especializaciones de las siguientes definiciones.

Definición de un conjunto

El límite inferior de un conjunto X ⊆ Y es el ínfimo de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

${displaystyle liminf X:=inf ,{xin Y:x{text{ is a limit point of }}X},}$

Del mismo modo, el límite superior de X es el supremo de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

${displaystyle limsup X:=sup ,{xin Y:x{text{ is a limit point of }}X},}$

Tenga en cuenta que el conjunto X debe definirse como un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado Y que también es un espacio topológico para que estas definiciones tengan sentido. Además, tiene que ser un entramado completo para que la suprema y la ínfima existan siempre. En ese caso todo conjunto tiene un límite superior y un límite inferior. También tenga en cuenta que el límite inferior y el límite superior de un conjunto no tienen que ser elementos del conjunto.

Definición de bases de filtro

Tome un espacio topológico X y una base de filtro B en ese espacio. El conjunto de todos los puntos de conglomerado para esa base de filtro viene dado por

${displaystyle bigcap ,{{overline {B}}_{0}:B_{0}in B}}$

Donde ${overline {B}}_{0}$ es el cierre de $B_{0}$ . Este es claramente un conjunto cerrado y es similar al conjunto de puntos límite de un conjunto. Supongamos que X es también un conjunto parcialmente ordenado. El límite superior de la base del filtro B se define como

${displaystyle limsup B:=sup ,bigcap ,{{overline {B}}_{0}:B_{0}in B}}$

cuando ese supremo existe. Cuando X tiene un orden total, es un retículo completo y tiene la topología de orden,

${displaystyle limsup B=inf ,{sup B_{0}:B_{0}in B}.}$

Del mismo modo, el límite inferior de la base del filtro B se define como

${displaystyle liminf B:=inf ,bigcap ,{{overline {B}}_{0}:B_{0}in B}}$

cuando ese mínimo existe; si X está totalmente ordenado, es un retículo completo y tiene la topología de orden, entonces

${displaystyle liminf B=sup ,{inf B_{0}:B_{0}in B}.}$

Si el límite inferior y el límite superior concuerdan, entonces debe haber exactamente un punto de conglomerado y el límite de la base del filtro es igual a este único punto de conglomerado.

Especialización en secuencias y redes

Tenga en cuenta que las bases de filtro son generalizaciones de redes, que son generalizaciones de secuencias. Por lo tanto, estas definiciones dan el límite inferior y límite superior de cualquier red (y por lo tanto cualquier secuencia) también. Por ejemplo, tome espacio topológico $X$ y la red $(x_{alpha })_{alpha in A}$ , donde $(A,{leq })$ es un conjunto dirigido y $x_{alpha }in X$ para todos $alpha in A$ . La base de filtro ("de colas") generada por esta red es $B$ definidas por

$B:={{x_{alpha }:alpha _{0}leq alpha }:alpha _{0}in A}.,$

Por lo tanto, el límite inferior y límite superior de la red son iguales al límite superior y límite inferior de $B$ respectivamente. Del mismo modo, para el espacio topológico $X$ , tomar la secuencia $(x_{n})$ Donde $x_{n}in X$ para cualquier $nin mathbb {N}$ . La base de filtro ("de colas") generada por esta secuencia es $C$ definidas por

$C:={{x_{n}:n_{0}leq n}:n_{0}in mathbb {N} }.,$

Por lo tanto, el límite inferior y límite superior de la secuencia son iguales al límite superior y límite inferior de $C$ respectivamente.

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