Paradoja del mentiroso

En filosofía y lógica, la paradoja clásica del mentiroso, paradoja del mentiroso o antinomia del mentiroso es la declaración de un mentiroso de que está mintiendo: por ejemplo, declarando que "estoy mintiendo". Si el mentiroso en verdad miente, entonces el mentiroso está diciendo la verdad, lo que significa que el mentiroso acaba de mentir. En "esta oración es mentira" la paradoja se fortalece para hacerla susceptible a un análisis lógico más riguroso. Todavía se le llama generalmente la "paradoja del mentiroso", aunque la abstracción se hace precisamente del mentiroso que hace la declaración. Intentar asignar a esta declaración, el mentiroso fortalecido, un valor de verdad binario clásico conduce a una contradicción.

Si "esta oración es falsa" es verdadera, entonces es falsa, pero la oración dice que es falsa, y si es falsa, entonces debe ser verdadera, y así sucesivamente.

Historia

La paradoja de Epiménides (alrededor del 600 a. C.) se ha sugerido como un ejemplo de la paradoja del mentiroso, pero no son lógicamente equivalentes. Según los informes, el vidente semimítico Epiménides, un cretense, declaró que "todos los cretenses son mentirosos". Sin embargo, la afirmación de Epiménides de que todos los cretenses son mentirosos puede resolverse como falsa, dado que conoce al menos a otro cretense que no miente (alternativamente, puede tomarse como una mera afirmación de que todos los cretenses mienten, no que decir solo mentiras).

El nombre de la paradoja se traduce como pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) en griego antiguo. Una versión de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubúlides de Mileto, que vivió en el siglo IV a. Según los informes, Eubulides preguntó: "Un hombre dice que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?"

La paradoja fue discutida una vez por San Jerónimo en un sermón:

"Dije en mi alarma, ¡Todo hombre es un mentiroso!" ¿Está David diciendo la verdad o está mintiendo? Si es verdad que todo hombre es mentiroso, y la declaración de David, "Todo hombre es mentiroso" es verdad, entonces David también está mintiendo; él también es un hombre. Pero si él también está mintiendo, su declaración de que "Todo hombre es mentiroso", en consecuencia, no es verdadera. Cualquiera que sea la forma en que dirija la proposición, la conclusión es una contradicción. Dado que David mismo es un hombre, se sigue que él también está mintiendo; pero si miente porque todo hombre es mentiroso, su mentira es de otro tipo.

El filósofo y gramático indio Bhartrhari (finales del siglo V d. C.) era muy consciente de la paradoja del mentiroso que formuló como "todo lo que digo es falso" (sarvam mithyā bravīmi). Analiza esta declaración junto con la paradoja de la "insignificabilidad" y explora el límite entre las declaraciones que no son problemáticas en la vida diaria y las paradojas.

Hubo discusión sobre la paradoja del mentiroso en la tradición islámica temprana durante al menos cinco siglos, a partir de finales del siglo IX, y aparentemente sin estar influenciado por ninguna otra tradición. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī podría haber sido el primer lógico en identificar la paradoja del mentiroso como autorreferencial.

Explicación y variantes

El problema de la paradoja del mentiroso es que parece mostrar que las creencias comunes sobre la verdad y la falsedad en realidad conducen a una contradicción. Se pueden construir oraciones a las que no se les puede asignar consistentemente un valor de verdad, aunque estén completamente de acuerdo con las reglas gramaticales y semánticas.

La versión más simple de la paradoja es la oración:R: Esta afirmación (A) es falsa.

Si (A) es verdadera, entonces "Esta afirmación es falsa" es verdadera. Por lo tanto, (A) debe ser falso. La hipótesis de que (A) es verdadera lleva a la conclusión de que (A) es falsa, una contradicción.

Si (A) es falso, entonces "Esta declaración es falsa" es falso. Por lo tanto, (A) debe ser verdadera. La hipótesis de que (A) es falsa lleva a la conclusión de que (A) es verdadera, otra contradicción. De cualquier manera, (A) es tanto verdadero como falso, lo cual es una paradoja.

Sin embargo, que se pueda demostrar que la oración mentirosa es verdadera si es falsa y falsa si es verdadera ha llevado a algunos a concluir que "no es ni verdadera ni falsa". Esta respuesta a la paradoja es, en efecto, el rechazo de la afirmación de que todo enunciado tiene que ser verdadero o falso, también conocido como principio de bivalencia, un concepto relacionado con la ley del tercero excluido.

La propuesta de que el enunciado no es ni verdadero ni falso ha dado lugar a la siguiente versión reforzada de la paradoja:Esta afirmación no es cierta. (B)

Si (B) no es ni verdadera ni falsa, entonces no debe ser verdadera. Dado que esto es lo que (B) afirma, significa que (B) debe ser cierto. Dado que inicialmente (B) no era cierto y ahora es cierto, surge otra paradoja.

Otra reacción a la paradoja de (A) es postular, como lo ha hecho Graham Priest, que el enunciado es tanto verdadero como falso. Sin embargo, incluso el análisis de Priest es susceptible de la siguiente versión del mentiroso:Esta afirmación es sólo falsa. (C)

Si (C) es tanto verdadero como falso, entonces (C) solo es falso. Pero entonces, no es cierto. Dado que inicialmente (C) era cierto y ahora no lo es, es una paradoja. Sin embargo, se ha argumentado que al adoptar una semántica relacional de dos valores (en oposición a la semántica funcional), el enfoque dialético puede superar esta versión del Mentiroso.

También hay versiones de varias oraciones de la paradoja del mentiroso. La siguiente es la versión de dos oraciones:La siguiente afirmación es verdadera. (D1)La afirmación anterior es falsa. (D2)

Suponga que (D1) es verdadero. Entonces (D2) es verdadero. Esto significaría que (D1) es falso. Por lo tanto, (D1) es tanto verdadero como falso.

Suponga que (D1) es falso. Entonces (D2) es falso. Esto significaría que (D1) es verdadero. Por lo tanto (D1) es tanto verdadero como falso. De cualquier manera, (D1) es tanto verdadero como falso: la misma paradoja que (A) anterior.

La versión de múltiples oraciones de la paradoja del mentiroso se generaliza a cualquier secuencia circular de tales declaraciones (donde la última declaración afirma la verdad/falsedad de la primera declaración), siempre que haya un número impar de declaraciones que afirmen la falsedad de su sucesor; la siguiente es una versión de tres oraciones, y cada declaración afirma la falsedad de su sucesora:E2 es falso. (E1)E3 es falso. (E2)E1 es falso. (E3)

Suponga que (E1) es verdadera. Entonces (E2) es falso, lo que significa que (E3) es verdadero y, por lo tanto, (E1) es falso, lo que lleva a una contradicción.

Suponga que (E1) es falso. Entonces (E2) es verdadero, lo que significa que (E3) es falso y, por lo tanto, (E1) es verdadero. De cualquier manera, (E1) es tanto verdadero como falso, la misma paradoja que con (A) y (D1).

Hay muchas otras variantes y muchos complementos posibles. En la construcción normal de oraciones, la versión más simple del complemento es la oración:Esta declaración es verdadera. (F)

Si se supone que F tiene un valor de verdad, entonces presenta el problema de determinar el objeto de ese valor. Pero es posible una versión más simple, suponiendo que la sola palabra 'verdadero' tiene un valor de verdad. Lo análogo a la paradoja es suponer que la sola palabra 'falso' también tiene un valor de verdad, a saber, que es falso. Esto revela que la paradoja puede reducirse al acto mental de suponer que la idea misma de falacia tiene un valor de verdad, es decir, que la idea misma de falacia es falsa: un acto de tergiversación. Entonces, la versión simétrica de la paradoja sería:La siguiente afirmación es falsa. (G1)La afirmación anterior es falsa. (G2)

Posibles resoluciones

Lógica difusa

En la lógica difusa, el valor de verdad de un enunciado puede ser cualquier número real entre 0 y 1, ambos inclusive, a diferencia de la lógica booleana, donde los valores de verdad solo pueden ser los valores enteros 0 o 1. En este sistema, el enunciado "Este afirmación es falsa" ya no es paradójico, ya que se le puede asignar un valor de verdad de 0,5, lo que lo convierte precisamente en mitad de verdad y mitad en falso. A continuación se muestra una explicación simplificada.

Denotemos el valor de verdad de la declaración "Esta declaración es falsa" por x. El enunciado se convierte

al generalizar el operador NOT al operador Zadeh equivalente de la lógica difusa, la declaración se convierte en

de lo que se deduce que

Alfredo Tarski

Alfred Tarski diagnosticó que la paradoja surge solo en lenguajes que son "semánticamente cerrados", por lo que se refiere a un lenguaje en el que es posible que una oración predique la verdad (o la falsedad) de otra oración en el mismo idioma (o incluso de sí mismo).). Para evitar la autocontradicción, cuando se discuten los valores de verdad es necesario imaginar niveles de lenguajes, cada uno de los cuales puede predicar la verdad (o la falsedad) solo de los lenguajes en un nivel inferior. Entonces, cuando una oración se refiere al valor de verdad de otra, es semánticamente superior. La oración a la que se hace referencia es parte del "lenguaje objeto", mientras que la oración de referencia se considera parte de un "metalenguaje" con respecto al lenguaje objeto. Es legítimo para oraciones en "idiomas" superior en la jerarquía semántica para referirse a oraciones inferiores en la jerarquía del "lenguaje", pero no al revés. Esto evita que un sistema se vuelva autorreferencial.

Sin embargo, este sistema es incompleto. A uno le gustaría poder hacer declaraciones como "Por cada declaración en el nivel α de la jerarquía, hay una declaración en el nivel α +1 que afirma que la primera declaración es falsa". Esta es una declaración verdadera y significativa sobre la jerarquía que define Tarski, pero se refiere a declaraciones en cada nivel de la jerarquía, por lo que debe estar por encima de cada nivel de la jerarquía y, por lo tanto, no es posible dentro de la jerarquía (aunque las versiones limitadas de la oración son posibles). A Saul Kripke se le atribuye la identificación de este carácter incompleto en la jerarquía de Tarski en su muy citado artículo "Esbozo de una teoría de la verdad", y se reconoce como un problema general en los lenguajes jerárquicos.

Arturo Prior

Arthur Prior afirma que no hay nada paradójico en la paradoja del mentiroso. Su afirmación (que atribuye a Charles Sanders Peirce y John Buridan) es que cada declaración incluye una afirmación implícita de su propia verdad. Así, por ejemplo, el enunciado "Es cierto que dos más dos son cuatro" no contiene más información que el enunciado "dos más dos son cuatro", porque la frase "es cierto que..." siempre está implícita. Y en el espíritu autorreferencial de la Paradoja del Mentiroso, la frase "es cierto que..." equivale a "toda esta afirmación es verdadera y...".

Por lo tanto, las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:Esta afirmación es falsa.Esta afirmación es verdadera y esta afirmación es falsa.

Este último es una simple contradicción de la forma "A y no A", y por lo tanto es falso. Por lo tanto, no hay paradoja porque la afirmación de que este mentiroso de dos conjuntos es falso no conduce a una contradicción. Eugene Mills presenta una respuesta similar.

Saul kripke

Saul Kripke argumentó que si una oración es paradójica o no puede depender de hechos contingentes. Si lo único que dice Smith sobre Jones esLa mayoría de lo que dice Jones sobre mí es falso.

y Jones dice solo estas tres cosas sobre Smith:Smith es un gran gastador.Smith es suave con el crimen.Todo lo que dice Smith sobre mí es verdad.

Si Smith realmente gasta mucho pero no es blando con el crimen, entonces tanto el comentario de Smith sobre Jones como el último comentario de Jones sobre Smith son paradójicos.

Kripke propone una solución de la siguiente manera. Si el valor de verdad de una declaración está ligado en última instancia a algún hecho evaluable sobre el mundo, esa declaración está "fundamentada". Si no, esa declaración es "infundada". Las declaraciones infundadas no tienen un valor de verdad. Las declaraciones mentirosas y las declaraciones parecidas a mentirosas no tienen fundamento y, por lo tanto, no tienen valor de verdad.

Jon Barwise y John Etchemendy

Jon Barwise y John Etchemendy proponen que la oración del mentiroso (que interpretan como sinónimo del mentiroso fortalecido) es ambigua. Basan esta conclusión en una distinción que hacen entre una "negación" y una "negación". Si el mentiroso quiere decir: "No es cierto que esta declaración sea verdadera", entonces se está negando a sí mismo. Si significa, "Esta afirmación no es verdadera", entonces se está negando a sí misma. Continúan argumentando, basándose en la semántica de la situación, que el "mentiroso de negación" puede ser verdadero sin contradicción, mientras que el "mentiroso de negación" puede ser falso sin contradicción. Su libro de 1987 hace un uso intensivo de la teoría de conjuntos no bien fundamentada.

Dialeteísmo

Graham Priest y otros lógicos, incluidos JC Beall y Bradley Armour-Garb, han propuesto que la oración del mentiroso debe considerarse tanto verdadera como falsa, un punto de vista conocido como dialeteísmo. El dialeteísmo es la opinión de que hay verdaderas contradicciones. El dialeteísmo plantea sus propios problemas. La principal de ellas es que, dado que el dialeteísmo reconoce la paradoja del mentiroso, una contradicción intrínseca, como verdadera, debe descartar el principio de explosión reconocido desde hace mucho tiempo, que afirma que cualquier proposición puede deducirse de una contradicción, a menos que el dialeteísta esté dispuesto a aceptar. trivialismo: la opinión de que todas las proposiciones son verdaderas. Dado que el trivialismo es una visión intuitivamente falsa, los dialeteístas casi siempre rechazan el principio de explosión. Las lógicas que lo rechazan se llaman paraconsistentes..

No cognitivismo

Andrew Irvine ha argumentado a favor de una solución no cognitivista a la paradoja, sugiriendo que algunas oraciones aparentemente bien formadas no serán ni verdaderas ni falsas y que "los criterios formales por sí solos inevitablemente resultarán insuficientes" para resolver la paradoja.

El perspectivismo de Bhartrhari

El gramático-filósofo indio Bhartrhari (finales del siglo V d.C.) se ocupó de paradojas como la del mentiroso en una sección de uno de los capítulos de su obra maestra Vākyapadīya. Aunque cronológicamente precede a todos los tratamientos modernos del problema de la paradoja del mentiroso, sólo recientemente ha sido posible para aquellos que no pueden leer las fuentes sánscritas originales confrontar sus puntos de vista y análisis con los de los lógicos y filósofos modernos debido a ediciones y traducciones suficientemente confiables. de su trabajo solo han comenzado a estar disponibles desde la segunda mitad del siglo XX. La solución de Bhartrhari encaja en su enfoque general del lenguaje, el pensamiento y la realidad, que algunos han caracterizado como "relativista", "sin compromiso" o "perspectivista".sarvam mithyā bravīmi "todo lo que digo es falso") Bhartrhari identifica un parámetro oculto que puede convertir situaciones no problemáticas en la comunicación diaria en una paradoja obstinada. La solución de Bhartrhari se puede entender en términos de la solución propuesta en 1992 por Julian Roberts: "Las paradojas se consumen a sí mismas. Pero podemos mantener separados los lados en conflicto de la contradicción por el simple recurso de la contextualización temporal: lo que es 'verdadero' con respecto a uno un punto en el tiempo no tiene por qué ser así en otro... La fuerza general del argumento 'austiniano' no es simplemente que 'las cosas cambian', sino que la racionalidad es esencialmente temporal en el sentido de que necesitamos tiempo para reconciliar y administrar lo que de otro modo ser estados mutuamente destructivos".Según la sugerencia de Robert, es el factor "tiempo" el que nos permite reconciliar las "partes del mundo" separadas que juegan un papel crucial en la solución de Barwise y Etchemendy. La capacidad del tiempo para impedir una confrontación directa de las dos "partes del mundo" es aquí externa al "mentiroso". Sin embargo, a la luz del análisis de Bhartrhari, la extensión en el tiempo que separa dos perspectivas sobre el mundo o dos "partes del mundo" (la parte anterior y la parte posterior a la función cumple su tarea) es inherente a cualquier "función": también la función de significar que subyace en cada enunciado, incluido el "mentiroso".) – surge, en el caso del mentiroso y otras paradojas como la paradoja de la insignificabilidad (paradoja de Bhartrhari), cuando se hace abstracción de esta función (vyāpāra) y su extensión en el tiempo, al aceptar una función opuesta simultánea (apara vyāpāra) deshaciendo El anterior.

Estructura lógica

Para una mejor comprensión de la paradoja del mentiroso, es útil escribirla de una manera más formal. Si "este enunciado es falso" se denota con A y se busca su valor de verdad, es necesario encontrar una condición que restrinja la elección de los posibles valores de verdad de A. Debido a que A es autorreferencial, es posible dar la condición por una ecuación.

Si se supone que alguna afirmación, B, es falsa, se escribe "B = falso". El enunciado (C) de que el enunciado B es falso se escribiría como "C = 'B = falso ' ". Ahora, la paradoja del mentiroso se puede expresar como el enunciado A, que A es falso:A = "A = falso"

Esta es una ecuación a partir de la cual se podría obtener el valor de verdad de A = "esta declaración es falsa". En el dominio booleano "A = falso" es equivalente a "no A" y por lo tanto la ecuación no tiene solución. Esta es la motivación para la reinterpretación de A. El enfoque lógico más simple para hacer que la ecuación tenga solución es el enfoque dialeteísta, en cuyo caso la solución es que A sea tanto "verdadero" como "falso". Otras resoluciones incluyen en su mayoría algunas modificaciones de la ecuación; Arthur Prior afirma que la ecuación debería ser "A = 'A = falso y A = verdadero ' " y, por lo tanto, A es falso. En la lógica del verbo computacional, la paradoja del mentiroso se extiende a afirmaciones como "Escucho lo que dice; dice lo que no escucho".

Aplicaciones

El primer teorema de incompletitud de Gödel

Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas fundamentales de la lógica matemática que establecen las limitaciones inherentes de los sistemas axiomáticos suficientemente poderosos para las matemáticas. Los teoremas fueron probados por Kurt Gödel en 1931 y son importantes en la filosofía de las matemáticas. En términos generales, al probar el primer teorema de incompletitud, Gödel usó una versión modificada de la paradoja del mentiroso, reemplazando "esta oración es falsa" por "esta oración no es demostrable", llamada "oración G de Gödel". Su prueba mostró que para cualquier teoría T suficientemente poderosa, G es verdadera, pero no demostrable en T. El análisis de la verdad y demostrabilidad de G es una versión formalizada del análisis de la verdad de la oración mentirosa.

Para probar el primer teorema de incompletud, Gödel representó las declaraciones por números. Entonces, la teoría en cuestión, que se supone que prueba ciertos hechos sobre números, también prueba hechos sobre sus propios enunciados. Las preguntas sobre la demostrabilidad de los enunciados se representan como preguntas sobre las propiedades de los números, que serían decidibles por la teoría si fuera completa. En estos términos, la oración de Gödel establece que no existe ningún número natural con una propiedad extraña determinada. Un número con esta propiedad codificaría una prueba de la inconsistencia de la teoría. Si hubiera tal número, entonces la teoría sería inconsistente, contrariamente a la hipótesis de consistencia. Entonces, bajo el supuesto de que la teoría es consistente, no existe tal número.

No es posible reemplazar "no demostrable" con "falso" en una oración de Gödel porque el predicado "Q es el número de Gödel de una fórmula falsa" no se puede representar como una fórmula aritmética. Este resultado, conocido como teorema de indefinibilidad de Tarski, fue descubierto de forma independiente por Gödel (cuando estaba trabajando en la demostración del teorema de incompletitud) y por Alfred Tarski.

Desde entonces, George Boolos ha esbozado una prueba alternativa del primer teorema de incompletitud que utiliza la paradoja de Berry en lugar de la paradoja del mentiroso para construir una fórmula verdadera pero no demostrable.

En la cultura popular

La paradoja del mentiroso se usa ocasionalmente en la ficción para apagar las inteligencias artificiales, que se presentan como incapaces de procesar la oración. En el episodio "I, Mudd" de Star Trek: The Original Series, el Capitán Kirk y Harry Mudd utilizan la paradoja del mentiroso para confundir y, en última instancia, desactivar a un androide que los mantiene cautivos. En la serie de Doctor Who de 1973, The Green Death, el Doctor deja perplejo temporalmente al demente ordenador BOSS al preguntarle: "Si tuviera que decirle que lo siguiente que diría sería cierto, pero que lo último que dijera sería una mentira, ¿tú me crees?" BOSS intenta resolverlo pero no puede y finalmente decide que la pregunta es irrelevante y convoca a seguridad.

En el videojuego Portal 2 de 2011, la inteligencia artificial GLaDOS intenta usar la paradoja "esta oración es falsa" para matar a otra inteligencia artificial, Wheatley. Sin embargo, al carecer de la inteligencia para darse cuenta de que la declaración es una paradoja, simplemente responde: "Um, cierto. Iré con verdadero. Ahí, eso fue fácil". y no se ve afectado. Con humor, todas las demás IA presentes, excepto GLaDOS, todas las cuales son significativamente menos sensibles y lúcidas que ella y Wheatley, aún mueren al escuchar la paradoja. Sin embargo, GLaDOS luego señala que casi se suicida en su propio intento de matar a Wheatley.

La canción de Devo, Enough Said, incluye la letra Lo próximo que te diga será verdad / Lo último que dije fue falso.

En el séptimo episodio de Minecraft: Story Mode titulado "Acceso denegado", el personaje principal Jesse y sus amigos son capturados por una supercomputadora llamada PAMA. Después de que PAMA controla a dos de los amigos de Jesse, Jesse se entera de que PAMA se detiene al procesar y usa una paradoja para confundirlo y escapar con su último amigo. Una de las paradojas que el jugador puede hacerle decir es la paradoja del mentiroso.

En Douglas Adams The Hitchhiker's Guide to the Galaxy, capítulo 21, describe a un anciano solitario que habita un pequeño asteroide en las coordenadas espaciales donde debería haber sido un planeta entero dedicado a las formas de vida Biro. Este anciano afirmó repetidamente que nada era cierto, aunque más tarde se descubrió que estaba mintiendo.

La canción de 1994 de Rollins Band "Liar" aludía a la paradoja cuando el narrador termina la canción diciendo "Mentiré una y otra vez y seguiré mintiendo, lo prometo".

La canción de Robert Earl Keen "The Road Goes On and On" alude a la paradoja. Se cree ampliamente que la canción fue escrita como parte de la enemistad de Keen con Toby Keith, quien presumiblemente es el "mentiroso" al que se refiere Keen.