Paradoja del cuervo

Un cuervo negro y una colección de no negros. La paradoja de cuervo sugiere que ambos de estas imágenes aportan evidencia a la suposición de que todos los cuervos son negros.

La paradoja del cuervo, también conocida como paradoja de Hempel, cuervos de Hempel, o raramente la paradoja de la ornitología de interior, es una paradoja que surge de la cuestión de qué constituye evidencia de la verdad de una afirmación. Observar objetos que no son ni negros ni cuervos puede aumentar formalmente la probabilidad de que todos los cuervos sean negros aunque, intuitivamente, estas observaciones no estén relacionadas.

Este problema fue propuesto por el lógico Carl Gustav Hempel en la década de 1940 para ilustrar una contradicción entre la lógica inductiva y la intuición.

Paradoja

Hempel describe la paradoja en términos de la hipótesis:

1) Todos los cuervos son negros. En forma de implicación, esto se puede expresar como: Si algo es un cuervo, entonces es negro.

Por contraposición, esta declaración es equivalente a:

2) Si algo no es negro, entonces no es un cuervo.

En todas las circunstancias en las que (2) es verdadero, (1) también lo es, y del mismo modo, en todas las circunstancias en las que (2) es falso (es decir, si se imagina un mundo en el que algo que no era negro, sin embargo, era existió un cuervo), (1) también es falso.

Dada una declaración general como todos los cuervos son negros, una forma de la misma declaración que se refiere a una instancia observable específica de la clase general normalmente se consideraría como evidencia para esa declaración general. Por ejemplo,

3) Mi cuervo de mascotas es negro.

es evidencia que apoya la hipótesis de que todos los cuervos son negros.

La paradoja surge cuando se aplica este mismo proceso al enunciado (2). Al ver una manzana verde, se puede observar:

4) Esta manzana verde no es negra, y no es un cuervo.

Por el mismo razonamiento, esta declaración es evidencia de que (2) si algo no es negro, entonces no es un cuervo. Pero dado que (como arriba) esta declaración es lógicamente equivalente a (1) todos los cuervos son negros, se deduce que la vista de una manzana verde es evidencia que apoya la noción de que todos los cuervos son negros. Esta conclusión parece paradójica porque implica que se ha obtenido información sobre los cuervos mirando una manzana.

Resoluciones propuestas

El criterio de Nicod dice que solo las observaciones de los cuervos deberían afectar la opinión de uno sobre si todos los cuervos son negros. La observación de más instancias de cuervos negros debería respaldar la opinión, la observación de cuervos blancos o de color debería contradecirla, y las observaciones de no cuervos no deberían tener ninguna influencia.

La condición de equivalencia de Hempel establece que cuando una proposición, X, proporciona evidencia a favor de otra proposición Y, entonces X también proporciona evidencia a favor de cualquier proposición que sea lógicamente equivalente a Y.

Siendo realistas, el conjunto de cuervos es finito. El conjunto de cosas no negras es infinito o está más allá de la enumeración humana. Para confirmar la afirmación 'Todos los cuervos son negros', sería necesario observar todos los cuervos. Esto es difícil pero posible. Para confirmar la afirmación 'Todas las cosas que no son negras no son cuervos', sería necesario examinar todas las cosas que no son negras. Esto no es posible. Observar un cuervo negro podría considerarse una cantidad finita de evidencia confirmatoria, pero observar un cuervo que no sea negro sería una cantidad infinitesimal de evidencia.

La paradoja muestra que el criterio de Nicod y la condición de equivalencia de Hempel no son consistentes entre sí. Una resolución a la paradoja debe rechazar al menos uno de:

1. casos negativos sin influencia (PC),
2. Condiciones de equivalencia (CE), o
3. validación por casos positivos (NC).

Una resolución satisfactoria también debe explicar por qué ingenuamente parece haber una paradoja. Las soluciones que aceptan la conclusión paradójica pueden hacer esto presentando una proposición que intuitivamente sabemos que es falsa pero que se confunde fácilmente con (PC), mientras que las soluciones que rechazan (EC) o (NC) deben presentar una proposición que intuitivamente sabemos que es falsa. ser cierto, pero eso se confunde fácilmente con (EC) o (NC).

Aceptar a los no cuervos como relevantes

Aunque esta conclusión de la paradoja parece contraria a la intuición, algunos enfoques aceptan que las observaciones de los no cuervos (de color) pueden, de hecho, constituir evidencia válida en apoyo de las hipótesis sobre (la negrura universal de) los cuervos.

Resolución de Hempel

El mismo Hempel aceptó la conclusión paradójica, argumentando que la razón por la que el resultado parece paradójico es que poseemos información previa sin la cual la observación de un no-cuervo que no sea negro proporcionaría evidencia de que todos los cuervos son negros.

Ilustra esto con el ejemplo de la generalización "Todas las sales de sodio se queman en amarillo," y nos pide que consideremos la observación que ocurre cuando alguien sostiene un trozo de hielo puro en una llama incolora que no se vuelve amarilla:

Este resultado confirmaría la afirmación: "Lo que no queme amarillo no es sal sodio", y por consiguiente, en virtud de la condición de equivalencia, confirmaría la formulación original. ¿Por qué esto nos impresiona como paradójico? La razón se hace evidente cuando comparamos la situación anterior con el caso de un experimento donde un objeto cuya constitución química es aún desconocida para nosotros se sostiene en una llama y no lo convierte en amarillo, y donde el análisis posterior lo revela para no contener sal sodio. Este resultado, sin duda debemos estar de acuerdo, es lo que se espera sobre la base de la hipótesis... así los datos aquí obtenidos constituyen evidencia confirmativa de la hipótesis... En los casos aparentemente paradójicos de confirmación, a menudo no estamos juzgando la relación de la evidencia dada, E solo a la hipótesis H... presentamos tácitamente una comparación de H con un cuerpo de evidencia que consiste en E junto con una cantidad adicional de información que tenemos a nuestra disposición; en nuestra ilustración, esta información incluye el conocimiento (1) que la sustancia utilizada en el experimento es hielo, y (2) que el hielo no contiene sal de sodio. Si asumimos esta información adicional dada, entonces, por supuesto, el resultado del experimento no puede añadir fuerza a la hipótesis que se examina. Pero si tenemos cuidado de evitar esta referencia tácita al conocimiento adicional... las paradojas desaparecen.

Solución bayesiana estándar

Una de las resoluciones propuestas más populares es aceptar la conclusión de que la observación de una manzana verde proporciona evidencia de que todos los cuervos son negros, pero argumentar que la cantidad de confirmación proporcionada es muy pequeña, debido a la gran discrepancia entre el número de cuervos y el número de objetos no negros. De acuerdo con esta resolución, la conclusión parece paradójica porque intuitivamente estimamos que la cantidad de evidencia proporcionada por la observación de una manzana verde es cero, cuando en realidad es distinta de cero pero extremadamente pequeña.

Yo. La presentación de J. Good de este argumento en 1960 es quizás la más conocida, y las variaciones del argumento han sido populares desde entonces, aunque se presentó en 1958 y las primeras formas del argumento aparecieron ya en 1940.

El argumento de Good consiste en calcular el peso de la evidencia proporcionada por la observación de un cuervo negro o un zapato blanco a favor de la hipótesis de que todos los cuervos en una colección de objetos son negros. El peso de la evidencia es el logaritmo del factor de Bayes, que en este caso es simplemente el factor por el cual cambia la probabilidad de la hipótesis cuando se realiza la observación. El argumento es el siguiente:

Supongamos que hay N{displaystyle N} objetos que se pueden ver en cualquier momento, de los cuales r{displaystyle r} son cuervos y b{displaystyle b} son negros, y que N{displaystyle N} objetos cada uno tiene probabilidad 1N{fnMicroc} {1}{N}} de ser visto. Vamos Hi{displaystyle H_{i} sea la hipótesis de que hay i{displaystyle i} cuervos no negros, y suponen que las hipótesis H1,H2,...,Hr{displaystyle H_{1},H_{2}, son inicialmente equiprobable. Entonces, si vemos un cuervo negro, el factor Bayes a favor de H0{displaystyle H_{0} es

rN/promedio()r− − 1N,r− − 2N,...,1N)=2rr− − 1{displaystyle {tfrac {fnh}{fn} {fn} {fnh}}} {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}} {\fn}}}}}}}}}}}} { Big /}{text{average}left({tfrac {r-1}{N}},{tfrac {r-2}{N}},{tfrac {1}{N}right) = {cHFF} {cH00}}}

i.e. alrededor de 2 si el número de cuervos en existencia se sabe que es grande. Pero el factor si vemos un zapato blanco es sólo

N− − bN/promedio()N− − b− − 1N,N− − b− − 2N,...,max()0,N− − b− − rN)){displaystyle {tfrac {N-b}{N}{ Big /}{text{average}left({tfrac {N-b-1}{N} {tfrac} {N-b-2}{N}},max(0,{tfrac {N-b-r}{N}}}right)}

=N− − bmax()N− − b− − r2− − 12,12()N− − b− − 1)){displaystyle = {fnMicroc {N-b}{max left(N-b-{tfrac {}{2}-{tfrac {1}{2}\ {fnMicroc {1} {2} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}}

y esto supera la unidad por sólo alrededor r/()2N− − 2b){displaystyle r/(2N-2b)} si N− − b{displaystyle N-b. es grande en comparación con r{displaystyle r}. Así, el peso de la evidencia proporcionada por la vista de un zapato blanco es positivo, pero es pequeño si se sabe que el número de cuervos es pequeño en comparación con el número de objetos no negros.

Muchos de los defensores de esta resolución y variantes de la misma han sido defensores de la probabilidad bayesiana, y ahora se la conoce comúnmente como la solución bayesiana, aunque, como observa Chihara, "no existe tal cosa como la solución bayesiana. Hay muchas 'soluciones' que los bayesianos han propuesto usando técnicas bayesianas." Los enfoques notables que utilizan técnicas bayesianas (algunos de los cuales aceptan !PC y en su lugar rechazan NC) incluyen a Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum, Howson y Urbach, Mackie y Hintikka, quien afirma que su enfoque es "más bayesiano que la llamada 'solución bayesiana' de la misma paradoja". Los enfoques bayesianos que hacen uso de la teoría de la inferencia inductiva de Carnap incluyen Humburg, Maher y Fitelson & Hawthorne. Vranas introdujo el término "Solución bayesiana estándar" para evitar confusión.

Enfoque Carnap

Maher acepta la conclusión paradójica y la refina:

Un no-raven (de cualquier color) confirma que todos los cuervos son negros porque

i) la información de que este objeto no es un cuervo elimina la posibilidad de que este objeto sea un contraejemplo para la generalización, y

ii) reduce la probabilidad de que los objetos no conservados sean cuervos, reduciendo así la probabilidad de que sean contraexamples a la generalización.

Para alcanzar (ii), apela a la teoría de Carnap de la probabilidad inductiva, que es (desde el punto de vista Bayesiano) una manera de asignar probabilidades anteriores que implementa naturalmente la inducción. Según la teoría de Carnap, la probabilidad posterior, P()FaSilencioE){displaystyle P(Fa sometida)}, ese objeto, a{displaystyle a}, tendrá un predicado, F{displaystyle F}, después de la evidencia E{displaystyle E} se ha observado, es decir:

P()FaSilencioE)=nF+λ λ P()Fa)n+λ λ {displaystyle P(Fa princesa) = {fnMicroc {n_{F}+lambda P(Fa)}{n+lambda }

Donde P()Fa){displaystyle P(Fa)} es la probabilidad inicial de que a{displaystyle a} tiene el predicado F{displaystyle F}; n{displaystyle n} es el número de objetos que se han examinado (según las pruebas disponibles) E{displaystyle E}); nF{displaystyle No. es el número de objetos examinados que resultaron tener el predicado F{displaystyle F}, y λ λ {displaystyle lambda } es una constante que mide resistencia a la generalización.

Si λ λ {displaystyle lambda } está cerca de cero, P()FaSilencioE){displaystyle P(Fa sometida)} será muy cercano a uno después de una sola observación de un objeto que resultó tener el predicado F{displaystyle F}, mientras que si λ λ {displaystyle lambda } es mucho más grande que n{displaystyle n}, P()FaSilencioE){displaystyle P(Fa sometida)} estará muy cerca P()Fa){displaystyle P(Fa)} independientemente de la fracción de objetos observados que tenían el predicado F{displaystyle F}.

Usando este enfoque carnapiano, Maher identifica una proposición que intuitivamente (y correctamente) sabemos que es falsa, pero que fácilmente confundimos con la conclusión paradójica. La proposición en cuestión es que observar a los no cuervos nos dice sobre el color de los cuervos. Si bien esto es intuitivamente falso y también es falso de acuerdo con la teoría de inducción de Carnap, observar a los no cuervos (de acuerdo con esa misma teoría) nos hace reducir nuestra estimación del número total de cuervos y, por lo tanto, reduce el número estimado. de posibles contraejemplos a la regla de que todos los cuervos son negros.

Por lo tanto, desde el punto de vista bayesiano-carnapiano, la observación de un no-cuervo no nos dice nada sobre el color de los cuervos, pero nos dice sobre el predominio de los cuervos y respalda "Todos los cuervos son negros" al reducir nuestra estimación del número de cuervos que podrían no ser negros.

Papel del conocimiento previo

Gran parte de la discusión sobre la paradoja en general y el enfoque bayesiano en particular se ha centrado en la relevancia del conocimiento previo. Sorprendentemente, Maher muestra que, para una gran clase de posibles configuraciones de conocimientos previos, la observación de un no-cuervo que no es negro proporciona exactamente la misma cantidad de confirmación que la observación de un cuervo negro. Las configuraciones del conocimiento de fondo que considera son las que proporciona una proposición de muestra, es decir, una proposición que es una conjunción de proposiciones atómicas, cada una de las cuales atribuye un solo predicado a un solo individuo, sin dos proposiciones atómicas que involucran al mismo individuo. Así, una proposición de la forma "A es un cuervo negro y B es un zapato blanco" puede considerarse una propuesta de muestra tomando "cuervo negro" y "zapato blanco" ser predicados.

La prueba de Maher parece contradecir el resultado del argumento bayesiano, que era que la observación de un no-cuervo que no es negro proporciona mucha menos evidencia que la observación de un cuervo negro. La razón es que el conocimiento previo que Good y otros usan no puede expresarse en forma de una proposición de muestra; en particular, las variantes del enfoque bayesiano estándar a menudo suponen (como hizo Good en el argumento citado anteriormente) que el número total de cuervos, objetos no negros y/o el número total de objetos, son cantidades conocidas. Maher comenta que, "La razón por la que pensamos que hay más cosas no negras que los cuervos es porque eso ha sido cierto para las cosas que hemos observado hasta la fecha". La evidencia de este tipo puede representarse mediante una proposición de muestra. Pero... dada cualquier proposición de muestra como evidencia de fondo, un no-cuervo no negro confirma A tan fuertemente como lo hace un cuervo negro... Por lo tanto, mi análisis sugiere que esta respuesta a la paradoja [es decir, el bayesiano estándar] no puede ser correcto."

Fitelson & Hawthorne examinó las condiciones bajo las cuales la observación de un no-negro no-raven proporciona menos evidencia que la observación de un cuervo negro. Lo muestran, si a{displaystyle a} es un objeto seleccionado al azar, Ba{displaystyle Ba! es la proposición de que el objeto es negro, y Ra{displaystyle Ra. es la proposición de que el objeto es un cuervo, entonces la condición:

P()Bā ̄ SilencioH̄ ̄ )P()RaSilencioH̄ ̄ )− − P()Bā ̄ SilencioRaH̄ ̄ )≥ ≥ P()BaSilencioRaH̄ ̄ )P()Bā ̄ SilencioH)P()RaSilencioH){fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {c { {Ba}Sobrevivir{overline {H})} {P(Ra habit{overline {H}}}} - P({overline {Ba}tuvoRa{overline {H}}) geq P(Ba habitRa{overline {H}){frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}

es suficiente que la observación de un no-cuervo que no sea negro proporcione menos evidencia que la observación de un cuervo negro. Aquí, una línea sobre una proposición indica la negación lógica de esa proposición.

Esta condición no nos dice cuán grande la diferencia en las pruebas proporcionadas es, pero un cálculo posterior en el mismo documento muestra que el peso de las pruebas proporcionadas por un cuervo negro excede el que proporciona un no negro − − log⁡ ⁡ P()BaSilencioRaH̄ ̄ ){displaystyle -log P(Ba imperRa{overline {H}}}. Esto es igual a la cantidad de información adicional (en pedazos, si la base del logaritmo es 2) que se proporciona cuando un cuervo de color desconocido se descubre como negro, dada la hipótesis de que no todos los cuervos son negros.

Fitelson & Hawthorne explica que:

En circunstancias normales, p=P()BaSilencioRaH̄ ̄ ){displaystyle p=P(Ba habitRa{overline {H}}} puede estar en algún lugar alrededor de 0.9 o 0.95; así 1/p{displaystyle 1/p} está en algún lugar alrededor de 1.11 o 1.05. Por lo tanto, puede parecer que una sola instancia de un cuervo negro no produce mucho más apoyo que un no negro. Sin embargo, bajo condiciones plausibles se puede demostrar que una secuencia de n{displaystyle n} instancias (es decir, de los cuervos negros, en comparación con los no negros) producen una proporción de ratios de probabilidad en el orden ()1/p)n{displaystyle (1/p)^{n}, que explota significativamente para grandes n{displaystyle n}.

Los autores señalan que su análisis es completamente consistente con la suposición de que un no cuervo que no es negro proporciona una cantidad de evidencia extremadamente pequeña, aunque no intenta probarlo; simplemente calculan la diferencia entre la cantidad de evidencia que proporciona un cuervo negro y la cantidad de evidencia que proporciona un cuervo que no es negro.

Disputando la inducción de instancias positivas

Algunos enfoques para resolver la paradoja se centran en el paso inductivo. Discuten si la observación de un caso particular (como un cuervo negro) es el tipo de evidencia que necesariamente aumenta la confianza en la hipótesis general (como que los cuervos son siempre negros).

Pista falsa

Good da un ejemplo de conocimiento previo con respecto al cual la observación de un cuervo negro disminuye la probabilidad de que todos los cuervos sean negros:

Supongamos que sabemos que estamos en uno u otro de dos mundos, y la hipótesis, H, bajo consideración es que todos los cuervos en nuestro mundo son negros. Sabemos de antemano que en un mundo hay cien cuervos negros, no cuervos no negros, y un millón de otras aves; y que en el otro mundo hay mil cuervos negros, un cuervo blanco y un millón de otras aves. Un pájaro es seleccionado equiprobablemente al azar de todas las aves en nuestro mundo. Resulta ser un cuervo negro. Esto es una evidencia fuerte... que estamos en el segundo mundo, donde no todos los cuervos son negros.

Good concluye que el zapato blanco es una "pista falsa": A veces, incluso un cuervo negro puede constituir evidencia en contra de la hipótesis de que todos los cuervos son negros, por lo que el hecho de que el la observación de un zapato blanco puede apoyarlo no es sorprendente y no vale la pena prestarle atención. El criterio de Nicod es falso, según Good, por lo que no se sigue la conclusión paradójica.

Hempel rechazó esto como una solución a la paradoja, insistiendo en que la proposición 'c es un cuervo y es negro' debe ser considerado "por sí mismo y sin referencia a ninguna otra información", y señalando que "... fue enfatizado en la sección 5.2(b) de mi artículo en Mind... que la misma apariencia de paradoja en casos como el del zapato blanco resulta en parte de la falta de observación de esta máxima."

La pregunta que surge entonces es si la paradoja debe entenderse en el contexto de la ausencia absoluta de información de fondo (como sugiere Hempel), o en el contexto de la información de fondo que realmente poseemos sobre cuervos y objetos negros, o con teniendo en cuenta todas las configuraciones posibles de la información de fondo.

Good había demostrado que, para algunas configuraciones de conocimientos previos, el criterio de Nicod es falso (siempre que estemos dispuestos a equiparar "soporte inductivo" con "aumentar la probabilidad de" 34; – ver más abajo). Quedaba la posibilidad de que, con respecto a nuestra configuración actual de conocimiento, que es muy diferente del ejemplo de Good, el criterio de Nicod aún podría ser cierto y, por lo tanto, aún podríamos llegar a la conclusión paradójica. Hempel, por otro lado, insiste en que nuestro conocimiento previo en sí mismo es la pista falsa, y que deberíamos considerar la inducción con respecto a una condición de ignorancia perfecta.

Buena bebé

En su resolución propuesta, Maher implícitamente hizo uso del hecho de que la proposición "Todos los cuervos son negros" es altamente probable cuando es altamente probable que no haya cuervos. Good había usado este hecho antes para responder a la insistencia de Hempel de que se debía entender que el criterio de Nicod se mantenía en ausencia de información de fondo:

...imagina un bebé recién nacido infinitamente inteligente que tenga circuitos neuronales incorporados que le permitan lidiar con la lógica formal, la sintaxis inglesa y la probabilidad subjetiva. Ahora podría argumentar, después de definir un cuervo en detalle, que es extremadamente improbable que haya algún cuervo, y por lo tanto es muy probable que todos los cuervos sean negros, es decir, que H{displaystyle H. es verdad. 'Por otro lado', sigue argumentando, 'si hay cuervos, entonces hay una posibilidad razonable de que sean de una variedad de colores. Por lo tanto, si fuera a descubrir que incluso un cuervo negro existe consideraría H{displaystyle H. para ser menos probable de lo que era inicialmente. '

Esto, según Good, es lo más cerca que uno puede esperar razonablemente de una condición de ignorancia perfecta, y parece que la condición de Nicod sigue siendo falsa. Maher hizo más preciso el argumento de Good al usar la teoría de inducción de Carnap para formalizar la noción de que si hay un cuervo, entonces es probable que haya muchos.

El argumento de Maher considera un universo de exactamente dos objetos, cada uno de los cuales es muy poco probable que sea un cuervo (una posibilidad entre mil) y razonablemente improbable que sea negro (una posibilidad entre diez). Utilizando la fórmula de inducción de Carnap, encuentra que la probabilidad de que todos los cuervos sean negros disminuye de 0,9985 a 0,8995 cuando se descubre que uno de los dos objetos es un cuervo negro.

Maher concluye que no solo es verdadera la conclusión paradójica, sino que el criterio de Nicod es falso en ausencia de conocimiento previo (excepto por el conocimiento de que el número de objetos en el universo es dos y que los cuervos son menos probable que las cosas negras).

Predicados distinguidos

Quine argumentó que la solución a la paradoja radica en el reconocimiento de que ciertos predicados, a los que llamó tipos naturales, tienen un estatus distinguido con respecto a la inducción. Esto se puede ilustrar con el ejemplo de Nelson Goodman del predicado grue. Un objeto es grue si es azul antes (digamos) de 2023 y verde después. Claramente, esperamos que los objetos que eran azules antes de 2023 sigan siendo azules después, pero no esperamos que los objetos que eran azules antes de 2023 sean azules después de 2023, ya que después de 2023 serían verdes. La explicación de Quine es que 'blue' es una especie natural; un predicado privilegiado que podemos usar para la inducción, mientras que "grue" no es un tipo natural y el uso de la inducción conduce a un error.

Esto sugiere una resolución a la paradoja: el criterio de Nicod es cierto para tipos naturales, como "azul" y "negro", pero es falso para predicados artificiales, como "grue" o "no cuervo". La paradoja surge, según esta resolución, porque implícitamente interpretamos que el criterio de Nicod se aplica a todos los predicados cuando en realidad solo se aplica a las clases naturales.

Hintikka adoptó otro enfoque, que favorece predicados específicos sobre otros. Hintikka estaba motivado para encontrar un enfoque bayesiano de la paradoja que no hiciera uso del conocimiento sobre las frecuencias relativas de los cuervos y las cosas negras. Argumentos sobre frecuencias relativas, sostiene, no siempre pueden dar cuenta de la irrelevancia percibida de la evidencia que consiste en observaciones de objetos de tipo A con el fin de aprender sobre objetos de tipo no-A.

Su argumento se puede ilustrar reformulando la paradoja usando predicados que no sean "cuervo" y "negro". Por ejemplo, "Todos los hombres son altos" es equivalente a 'Todas las personas bajas son mujeres', por lo que observar que una persona seleccionada al azar es una mujer baja debería proporcionar evidencia de que todos los hombres son altos. A pesar de que carecemos de conocimientos previos que indiquen que hay muchísimo menos hombres que personas de baja estatura, todavía nos inclinamos a rechazar la conclusión. El ejemplo de Hintikka es: "... una generalización como 'ningún cuerpo material es infinitamente divisible' parece no verse afectado en absoluto por las cuestiones relativas a las entidades inmateriales, independientemente de lo que uno piense de las frecuencias relativas de las entidades materiales e inmateriales en el universo de discurso de uno.

Su solución es introducir un orden en el conjunto de predicados. Cuando el sistema lógico está equipado con este orden, es posible restringir el alcance de una generalización como "Todos los cuervos son negros" de modo que se aplica solo a los cuervos y no a las cosas que no son negras, ya que la orden privilegia a los cuervos sobre las cosas que no son negras. Como él lo dice:

"Si estamos justificados en asumir que el alcance de la generalización "Todos los cuervos son negros" puede ser restringido a los cuervos, entonces esto significa que tenemos alguna información externa en la que podemos confiar en la situación fáctica. La paradoja surge del hecho de que esta información, que colorea nuestra visión espontánea de la situación, no se incorpora en los tratamientos habituales de la situación inductiva".

Rechazos de la condición de equivalencia de Hempel

Algunos enfoques para la resolución de la paradoja rechazan la condición de equivalencia de Hempel. Es decir, es posible que no consideren evidencia que respalde la declaración todos los objetos que no sean negros no son cuervos para respaldar necesariamente declaraciones lógicamente equivalentes como todos los cuervos son negros.

Confirmación selectiva

Scheffler y Goodman adoptaron un enfoque de la paradoja que incorpora la opinión de Karl Popper de que las hipótesis científicas nunca se confirman realmente, solo se falsean.

El enfoque comienza señalando que la observación de un cuervo negro no prueba que "Todos los cuervos son negros" pero falsea la hipótesis contraria, "Ningún cuervo es negro". Un no cuervo que no sea negro, por otro lado, es consistente con "Todos los cuervos son negros" y con "Ningún cuervo es negro". Como dicen los autores:

... la declaración de que todos los cuervos son negros no es simplemente satisfecho por evidencia de un cuervo negro pero es favorecida por tal evidencia, ya que un cuervo negro desconfirma la afirmación contraria de que todos los cuervos no son negros, es decir, satisface su negación. Un cuervo negro, en otras palabras, satisface la hipótesis que todos los cuervos son negros en lugar de no: así confirma selectivamente que todos los cuervos son negros.

La confirmación selectiva viola la condición de equivalencia ya que un cuervo negro confirma selectivamente "Todos los cuervos son negros" pero no 'Todas las cosas que no son negras no son cuervos'.

Inducción probabilística o no probabilística

El concepto de confirmación selectiva de Scheffler y Goodman es un ejemplo de una interpretación de "proporciona evidencia a favor de..." que no coincide con "aumentar la probabilidad de..." Esta debe ser una característica general de todas las resoluciones que rechazan la condición de equivalencia, ya que las proposiciones lógicamente equivalentes deben tener siempre la misma probabilidad.

Es imposible que la observación de un cuervo negro aumente la probabilidad de la proposición "Todos los cuervos son negros" sin causar exactamente el mismo cambio en la probabilidad de que "todas las cosas que no sean negras no sean cuervos". Si una observación apoya inductivamente lo primero pero no lo segundo, entonces "apoya inductivamente" debe referirse a algo distinto de los cambios en las probabilidades de las proposiciones. Una posible escapatoria es interpretar "All" como "Casi todos" – "Casi todos los cuervos son negros" no es equivalente a 'Casi todas las cosas que no son negras no son cuervos', y estas proposiciones pueden tener probabilidades muy diferentes.

Esto plantea la cuestión más amplia de la relación de la teoría de la probabilidad al razonamiento inductivo. Karl Popper argumentó que la teoría de la probabilidad por sí sola no puede explicar la inducción. Su argumento implica dividir una hipótesis, H{displaystyle H., en una parte que es deductivamente implicada por la evidencia, E{displaystyle E}Y otra parte. Esto se puede hacer de dos maneras.

Primero, considere la división:

H=AandBE=BandC{displaystyle H=A y B E=B y C}

Donde A{displaystyle A}, B{displaystyle B} y C{displaystyle C} son probabilísticamente independientes: P()AandB)=P()A)P()B){displaystyle P(A y B)=P(A)P(B)} y así sucesivamente. La condición necesaria para que tal división de H y E sea posible es P(H)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">P()HSilencioE)■P()H){displaystyle P(H habitE)}P(H)" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d6d5532ad2577fb8e0bd87860daa891e6a03fd" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.758ex; height:2.843ex;"/>, es decir, eso H{displaystyle H. es apoyado probabilísticamente por E{displaystyle E}.

La observación de Popper es que la parte, B{displaystyle B}, de H{displaystyle H. que recibe apoyo de E{displaystyle E} en realidad sigue deductivamente E{displaystyle E}, mientras que la parte de H{displaystyle H. que no sigue deductivamente E{displaystyle E} no recibe ningún apoyo en absoluto E{displaystyle E} – es decir, P()ASilencioE)=P()A){displaystyle P(A habitE)=P(A)}.

En segundo lugar, la división:

H=()HorE)and()HorĒ ̄ ){displaystyle H=(H o E) y (H o {fnMicrosoft Sans Ser)}

separaciones H{displaystyle H. en ()HorE){displaystyle (H or E)}, que como dice Popper, "es la parte más fuerte lógicamente H{displaystyle H. (o del contenido de H{displaystyle H.) que sigue [deductivamente] E{displaystyle E}", y ()HorĒ ̄ ){displaystyle (H o {fnMicrosoft Sans Ser)}, que, dice, "contiene todos H{displaystyle H. que va más allá E{displaystyle E}". Continúa:

¿Sí? E{displaystyle E}, en este caso, proporcionar cualquier soporte para el factor ()HorĒ ̄ ){displaystyle (H o {fnMicrosoft Sans Ser)}, que en presencia de E{displaystyle E} es solo necesario para obtener H{displaystyle H.? La respuesta es: No. Nunca lo hace. De hecho, E{displaystyle E} contraapoyos ()HorĒ ̄ ){displaystyle (H o {fnMicrosoft Sans Ser)} a menos P()HSilencioE)=1{displaystyle P(H habitE)=1} o P()E)=1{displaystyle P(E)=1} (que son posibilidades de ningún interés)....

Este resultado es completamente devastador para la interpretación inductiva del cálculo de probabilidad. Todo apoyo probabilístico es puramente deductivo: esa parte de una hipótesis que no es deductivamente implicada por la evidencia es siempre fuertemente contrapuesta por la evidencia... Hay tal cosa como el apoyo probabilístico; incluso podría haber algo como apoyo inductivo (aunque apenas lo pensamos). Pero el cálculo de la probabilidad revela que el apoyo probabilístico no puede ser apoyo inductivo.

Enfoque ortodoxo

La teoría ortodoxa de Neyman-Pearson de la prueba de hipótesis considera cómo decidir si aceptar o rechazar una hipótesis, en lugar de qué probabilidad asignar a la hipótesis. Desde este punto de vista, la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros" no se acepta gradualmente, ya que su probabilidad aumenta hacia uno a medida que se realizan más y más observaciones, sino que se acepta en una sola acción como resultado de evaluar los datos que ya se han recopilado. Como dicen Neyman y Pearson:

Sin esperar saber si cada hipótesis separada es verdadera o falsa, podemos buscar reglas para gobernar nuestro comportamiento con respecto a ellos, siguiendo las cuales aseguramos que, a largo plazo de la experiencia, no estaremos demasiado a menudo equivocados.

Según este enfoque, no es necesario asignar ningún valor a la probabilidad de una hipótesis, aunque ciertamente se debe tener en cuenta la probabilidad de los datos dados la hipótesis, o dada una hipótesis en competencia, al decidir si aceptar o rechazar. La aceptación o rechazo de una hipótesis conlleva el riesgo de error.

Esto contrasta con el enfoque bayesiano, que requiere que a la hipótesis se le asigne una probabilidad previa, que se revisa a la luz de los datos observados para obtener la probabilidad final de la hipótesis. En el marco bayesiano no hay riesgo de error ya que las hipótesis no se aceptan ni se rechazan; en cambio, se les asignan probabilidades.

Se ha realizado un análisis de la paradoja desde el punto de vista ortodoxo, que conduce, entre otras intuiciones, a un rechazo de la condición de equivalencia:

Parece obvio que uno no puede ambos aceptar la hipótesis de que todos los P's son Q y también rechazan el contrapositivo, es decir, que todos los no-Q's no son-P. Sin embargo, es fácil ver que en la teoría Neyman-Pearson de las pruebas, una prueba de "Todos los P son Q" es no necesariamente una prueba de "Todos los no Q's no son P" o viceversa. Una prueba de "Todos los P son Q" requiere referencia a alguna hipótesis estadística alternativa de la forma r{displaystyle r} de todos los P's son Q, <math alttext="{displaystyle 0<r0.r.1{displaystyle 0cantador se hizo realidad]<img alt="0<r, mientras que una prueba de "Todos los no Q no son P" requiere referencia a alguna alternativa estadística de la forma r{displaystyle r} de todos los no-Q son no-P, <math alttext="{displaystyle 0<r0.r.1{displaystyle 0cantador se hizo realidad]<img alt="0<r. Pero estos dos conjuntos de posibles alternativas son diferentes... Así uno podría tener una prueba de H{displaystyle H. sin tener una prueba de su contrapositivo.

Rechazar la implicación material

Las siguientes proposiciones se implican entre sí: "Todo objeto es negro o no es un cuervo", "Todo cuervo es negro" y "Todo objeto no negro no es un cuervo." Son por tanto, por definición, lógicamente equivalentes. Sin embargo, las tres proposiciones tienen diferentes dominios: la primera proposición dice algo sobre 'todos los objetos', mientras que la segunda dice algo sobre 'todos los cuervos'.

La primera proposición es la única cuyo dominio de cuantificación no está restringido ("todos los objetos"), por lo que es la única que se puede expresar en lógica de primer orden. Es lógicamente equivalente a:

О О x,Rx→ → Bx{displaystyle forall x,Rx rightarrow Bx}

y también a

О О x,Bx̄ ̄ → → Rx̄ ̄ {displaystyle forall x,{overline {Bx}\justarrow {overline {Rx}}}

Donde → → {displaystyle rightarrow } indica el material condicional, según el cual "Si A{displaystyle A} entonces B{displaystyle B}" puede ser entendido como "B{displaystyle B} o Ā ̄ {displaystyle {fnK}}".

Varios autores han argumentado que la implicación material no capta plenamente el significado de "Si A{displaystyle A} entonces B{displaystyle B}" (ver las paradojas de la implicación material). "Por cada objeto, x{displaystyle x}, x{displaystyle x} es negro o no un cuervo" es verdadero cuando no hay cuervos. Es debido a esto que "Todos los cuervos son negros" es considerado como cierto cuando no hay cuervos. Además, los argumentos que Good y Maher solían criticar el criterio de Nicod (ver bebé de Good, arriba) se basaron en este hecho – que "Todos los cuervos son negros" es muy probable cuando es muy probable que no haya cuervos.

Decir que todos los cuervos son negros en ausencia de cuervos es una declaración vacía. Se refiere a nada. "Todos los cuervos son blancos" es igualmente relevante y verdadero, si se considera que esta declaración tiene alguna verdad o relevancia.

Algunos enfoques de la paradoja han buscado encontrar otras formas de interpretar "Si A{displaystyle A} entonces B{displaystyle B}" y todo A{displaystyle A} son B{displaystyle B}, que eliminaría la equivalencia percibida entre "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas no negras son no-ravens".

Uno de estos enfoques implica introducir una lógica de gran valor según la cual "Si A{displaystyle A} entonces B{displaystyle B}" tiene el valor de la verdad I{displaystyle Yo..., significa "indeterminado" o "inapropiado" cuando A{displaystyle A} es falso. En tal sistema, la contraposición no se permite automáticamente: "Si A{displaystyle A} entonces B{displaystyle B}" no es equivalente a "Si B̄ ̄ {displaystyle {B}} entonces Ā ̄ {displaystyle {fnK}}". En consecuencia, "Todos los cuervos son negros" no es equivalente a "Todas las cosas no negras son no-ravens".

En este sistema, cuando ocurre la contraposición, la modalidad del condicional involucrado cambia del indicativo ("Si ese trozo de mantequilla ha sido calentado a 32 °C entonces se ha derretido") al contrafactual ("Si ese trozo de mantequilla hubiera sido calentado a 32 °C, entonces se habría derretido&# 34;). Según este argumento, esto elimina la supuesta equivalencia que es necesaria para concluir que las vacas amarillas pueden informarnos sobre los cuervos:

En el uso gramático adecuado, un argumento contrapositivo no debe ser declarado enteramente en el indicativo. Así:

Por el hecho de que si este partido está rayado se encenderá, sigue que si no se enciende no se rascó.

es incómodo. Deberíamos decir:

Por el hecho de que si este partido está rayado se encenderá, sigue que si eran no para encenderlo lo haría. no han sido rascados....

Uno podría preguntarse qué efecto tiene esta interpretación de la Ley de Contraposición en la paradoja de confirmación de Hempel. "Si a{displaystyle a} es un cuervo entonces a{displaystyle a} es negro" es equivalente a "Si a{displaystyle a} no eran negros entonces a{displaystyle a} no sería un cuervo". Por lo tanto, cualquier cosa que confirme a este último también, por la Condición de Equivalencia, confirmar el primero. Verdadero, pero las vacas amarillas todavía no pueden figurar en la confirmación de "Todos los cuervos son negros" porque, en la ciencia, la confirmación se logra mediante la predicción, y las predicciones se declaran correctamente en el estado de ánimo indicativo. No tiene sentido preguntar qué confirma un contrafactual.

Diferentes resultados de aceptar las hipótesis

Varios comentaristas han observado que las proposiciones "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas que no son negras no son cuervos" sugerir diferentes procedimientos para probar las hipótesis. P.ej. Bueno escribe:

Como proposiciones las dos declaraciones son lógicamente equivalentes. Pero tienen un efecto psicológico diferente en el experimentador. Si se le pide que pruebe si todos los cuervos son negros, buscará un cuervo y decidirá si es negro. Pero si se le pide que pruebe si todas las cosas no negras son no-ravens puede buscar un objeto no negro y luego decidir si es un cuervo.

Más recientemente, se sugirió que "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas que no son negras no son cuervos" puede tener diferentes efectos cuando aceptado. El argumento considera situaciones en las que el número total o la prevalencia de cuervos y objetos negros son desconocidos, pero estimados. Cuando la hipótesis "Todos los cuervos son negros" se acepta, según el argumento, el número estimado de objetos negros aumenta, mientras que el número estimado de cuervos no cambia.

Se puede ilustrar considerando la situación de dos personas que tienen información idéntica sobre cuervos y objetos negros, y que tienen estimaciones idénticas de la cantidad de cuervos y objetos negros. Para ser concretos, suponga que hay 100 objetos en total y, de acuerdo con la información disponible para las personas involucradas, es probable que cada objeto sea un cuervo que no sea un cuervo, y que sea negro. como es ser no negro:

P()Ra)=12P()Ba)=12{displaystyle P(Ra)={frac {1}{2} P(Ba)={frac {1}{2}}}

y las proposiciones Ra,Rb{displaystyle Ra, Rb. son independientes para diferentes objetos a{displaystyle a}, b{displaystyle b} y así sucesivamente. Entonces el número estimado de cuervos es de 50; el número estimado de cosas negras es de 50; el número estimado de cuervos negros es de 25, y el número estimado de cuervos no negros (contrasmos a las hipótesis) es 25.

Una de las personas realiza una prueba estadística (por ejemplo, una prueba de Neyman-Pearson o la comparación del peso acumulado de la evidencia con un umbral) de la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros", mientras que la otra prueba la hipótesis de que "Todos los objetos no negros no son cuervos". Para simplificar, suponga que la evidencia utilizada para la prueba no tiene nada que ver con la colección de 100 objetos tratados aquí. Si la primera persona acepta la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros" luego, según el argumento, alrededor de 50 objetos cuyos colores antes estaban en duda (los cuervos) ahora se piensa que son negros, mientras que no se piensa nada diferente sobre los objetos restantes (los que no son cuervos). En consecuencia, debe estimar el número de cuervos negros en 50, el número de no cuervos negros en 25 y el número de no cuervos no negros en 25. Al especificar estos cambios, este argumento explícitamente restringe el dominio de "Todos los cuervos son negros" a los cuervos.

Por otro lado, si la segunda persona acepta la hipótesis de que "Todos los objetos que no son negros no son cuervos", entonces los aproximadamente 50 objetos que no son negros sobre los que no estaba seguro si cada uno era un cuervo, se pensará que no son cuervos. Al mismo tiempo, no se pensará nada diferente sobre los aproximadamente 50 objetos restantes (los objetos negros). En consecuencia, debe estimar el número de cuervos negros en 25, el número de no cuervos negros en 25 y el número de no cuervos no negros en 50. De acuerdo con este argumento, dado que las dos personas no están de acuerdo sobre sus estimaciones después de han aceptado las diferentes hipótesis, aceptando "Todos los cuervos son negros" no es equivalente a aceptar "Todas las cosas que no son negras no son cuervos"; aceptar lo primero significa estimar que más cosas son negras, mientras que aceptar lo segundo implica estimar que más cosas no son cuervos. Correspondientemente, continúa el argumento, el primero requiere como evidencia cuervos que resultan ser negros y el segundo requiere cosas no negras que resultan no ser cuervos.

Presuposiciones existenciales

Varios autores han argumentado que proposiciones de la forma "Todos A{displaystyle A} son B{displaystyle B}" presuponen que hay objetos que son A{displaystyle A}. Este análisis se ha aplicado a la paradoja de cuervo:

... H1{displaystyle H_{1}: "Todos los cuervos son negros" y H2{displaystyle H_{2}: "Todas las cosas no negras no son vengas" no son estrictamente equivalente...por sus diferentes presuposiciones existenciales. Además, aunque H1{displaystyle H_{1} y H2{displaystyle H_{2} describen la misma regularidad – la noexistencia de los cuervos no negros – tienen diferentes formas lógicas. Las dos hipótesis tienen diferentes sentidos e incorporan diferentes procedimientos para probar la regularidad que describen.

Una lógica modificada puede tener en cuenta las presuposiciones existenciales utilizando el operador presuposicional, '*'. Por ejemplo,

О О x,Alternativa Alternativa Rx→ → Bx{displaystyle forall x, *Rxrightarrow Bx}

puede indicar "Todos los cuervos son negros" al tiempo que indica que son los cuervos y no los objetos no negros los que se supone que existen en este ejemplo.

... la forma lógica de cada hipótesis lo distingue con respecto a su tipo recomendado de evidencia de apoyo: las instancias de sustitución posiblemente verdaderas de cada hipótesis se relacionan con diferentes tipos de objetos. El hecho de que las dos hipótesis incorporan diferentes tipos de procedimientos de prueba se expresa en el lenguaje formal prefijando al operador '*' a otro predicado. Por lo tanto, el operador presuposicional también es un operador relevante. Está prefijado al predicado 'x{displaystyle x} es un cuervo H1{displaystyle H_{1} porque los objetos relevantes para el procedimiento de prueba incorporado en "Todos los cuervos son negros" incluyen sólo cuervos; es prefijado al predicado 'x{displaystyle x} no está negro, dentro H2{displaystyle H_{2}, porque los objetos relevantes para el procedimiento de prueba incorporado en "Todas las cosas no negras son no-ravens" incluyen sólo cosas no negras.... Usando términos Fregean: cuando sus presuposiciones sostienen, las dos hipótesis tienen el mismo referente (valor verdadero), pero diferentes sentidos; es decir, expresan dos maneras diferentes para determinar ese valor de la verdad.