Ortonormalidad

En álgebra lineal, dos vectores en un espacio de producto interno son ortonormales si son vectores unitarios ortogonales (o perpendiculares a lo largo de una línea). Un conjunto de vectores forma un conjunto ortonormal si todos los vectores en el conjunto son mutuamente ortogonales y todos de longitud unitaria. Un conjunto ortonormal que forma una base se llama base ortonormal.

Resumen intuitivo

La construcción de la ortogonalidad de los vectores está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de vectores perpendiculares a espacios de mayor dimensión. En el plano cartesiano, se dice que dos vectores son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90° (es decir, si forman un ángulo recto). Esta definición se puede formalizar en el espacio cartesiano definiendo el producto escalar y especificando que dos vectores en el plano son ortogonales si su producto escalar es cero.

Del mismo modo, la construcción de la norma de un vector está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de la longitud de un vector a espacios de mayor dimensión. En el espacio cartesiano, la norma de un vector es la raíz cuadrada del vector punteado consigo mismo. Eso es,

.. x.. =x⋅ ⋅ x{displaystylefnMitbf {x} "Principalmente" {x}}

Muchos resultados importantes en álgebra lineal tratan con conjuntos de dos o más vectores ortogonales. Pero a menudo, es más fácil trabajar con vectores de longitud unitaria. Es decir, a menudo simplifica las cosas al considerar solo vectores cuya norma es igual a 1. La noción de restringir los pares ortogonales de vectores solo a aquellos de longitud unitaria es lo suficientemente importante como para recibir un nombre especial. Dos vectores que son ortogonales y de longitud 1 se dice que son ortonormales.

Ejemplo sencillo

¿Qué aspecto tiene un par de vectores ortonormales en el espacio euclidiano bidimensional?

Sean u = (x₁, y₁) y v = (x₂ , y₂). Considere las restricciones en x₁, x₂, y₁, y₂ requeridas para hacer u y v forman un par ortonormal.

• De la restricción de la ortogonalidad, u • v = 0.
• De la restricción de longitud de la unidad u, SilenciouTENCIÓN: 1.
• De la restricción de longitud de la unidad v, SilenciovTENCIÓN: 1.

La expansión de estos términos da 3 ecuaciones:

1. x1x2+Sí.1Sí.2=0{displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0quad }
2. x12+Sí.12=1{displaystyle {sqrt {{2}}=1}
3. x22+Sí.22=1{displaystyle {sqrt {fnK}}=1}

Convertir de cartesiano en coordenadas polares, y considerando la Ecuación ()2){displaystyle (2)} y Ecuación ()3){displaystyle (3)} inmediatamente da el resultado r₁ =₂ 1. En otras palabras, exigir que los vectores sean de longitud unitaria restringe los vectores a mentir en el círculo unitario.

Después de la sustitución, Ecuación ()1){displaystyle (1)} se convierte en #⁡ ⁡ Silencio Silencio 1#⁡ ⁡ Silencio Silencio 2+pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio 1pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio 2=0{displaystyle cos theta _{1}cos theta _{2}+sin theta _{1}sin theta _{2}=0}. Reorganización da #⁡ ⁡ Silencio Silencio 1=− − cot⁡ ⁡ Silencio Silencio 2{displaystyle tan theta _{1}=-cot theta ¿Qué?. Usando una identidad trigonométrica para convertir el término cotangente

#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 1)=#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2+π π 2){displaystyle tan(theta _{1})=tan left(theta _{2}+{tfrac {pi }{2}right)}

⇒ ⇒ Silencio Silencio 1=Silencio Silencio 2+π π 2{displaystyle Rightarrow theta ♪ {1}=theta ¿Qué? } {2}}

Está claro que en el plano, los vectores ortonormales son simplemente radios del círculo unitario cuya diferencia de ángulos es igual a 90°.

Definición

Vamos V{displaystyle {fnMithcal}} ser un espacio de producción interior. Un conjunto de vectores

{}u1,u2,...... ,un,...... }▪ ▪ V{displaystyle left{u_{1},u_{2},ldotsu_{n},ldots right}in {mathcal {V}}

se llama ortonormal si y solo si

О О i,j:.. ui,uj.. =δ δ ij{displaystyle forall i,j:langle U_{i},u_{j}rangle =delta _{ij}

Donde δ δ ij{displaystyle delta ¿Qué? es el Kronecker delta y .. ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ .. {displaystyle langle cdotcdot rangle } es el producto interior definido sobre V{displaystyle {fnMithcal}}.

Importancia

Los conjuntos ortonormales no son especialmente significativos por sí solos. Sin embargo, presentan ciertas características que los hacen fundamentales para explorar la noción de diagonalizabilidad de ciertos operadores en espacios vectoriales.

Propiedades

Los conjuntos ortonormales tienen ciertas propiedades muy atractivas que los hacen especialmente fáciles de trabajar.

• Theorem. Sie₁, e₂,... e_n} es una lista ortonormal de vectores, entonces
  О О a:=[a1,⋯ ⋯ ,an];.. a1e1+a2e2+⋯ ⋯ +anen.. 2=Silencioa1Silencio2+Silencioa2Silencio2+⋯ ⋯ +SilencioanSilencio2{displaystyle forall {textbf {a}:=[a_{1},cdotsa_{n}; {fnMicrobf} {e}_{1}+a_{2}{textbf {e}_{2}+cdots +a_{n}{textbf [e}_{n}fn}fnK}cdots - No.

  
• Theorem. Cada lista ortonormal de vectores es linealmente independiente.

Existencia

• Teorema de Gram-Schmidt. Siv₁, v₂,...v_n} es una lista linealmente independiente de vectores en un espacio de producción interior V{displaystyle {fnMithcal}}, entonces existe una lista ortonormal {e₁, e₂,...e_n} de vectores en V{displaystyle {fnMithcal}} tales que lapso()e₁, e₂,...e_n) lapso()v₁, v₂,...v_n).

La prueba del teorema de Gram-Schmidt es constructiva y se analiza extensamente en otro lugar. El teorema de Gram-Schmidt, junto con el axioma de elección, garantiza que todo espacio vectorial admite una base ortonormal. Este es posiblemente el uso más significativo de la ortonormalidad, ya que este hecho permite que los operadores en los espacios de productos internos se analicen en términos de su acción en los vectores de base ortonormales del espacio. Lo que resulta es una profunda relación entre la diagonalizabilidad de un operador y cómo actúa sobre los vectores de base ortonormales. Esta relación se caracteriza por el Teorema Espectral.

Ejemplos

Base estándar

La base estándar para el espacio de coordenadas Fⁿ es

{}e1, e2,...enDónde	e1 = (1, 0,..., 0)
	e2 = (0, 1,..., 0)
	⋮ ⋮ {displaystyle vdots }
	en = (0, 0,..., 1)

Dos vectores cualesquiera e_i, e_j donde i≠j son ortogonales, y todos los vectores son claramente de unidad de longitud. Entonces {e₁, e₂,...,e_n} forma una base ortonormal.

Funciones de valor real

Al referirse a funciones de valor real, generalmente se asume el producto interno L2 a menos que se indique lo contrario. Dos funciones φ φ ()x){displaystyle phi (x)} y ↑ ↑ ()x){displaystyle psi (x)} son ortonormales sobre el intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]} si

()1).. φ φ ()x),↑ ↑ ()x).. =∫ ∫ abφ φ ()x)↑ ↑ ()x)dx=0,and{displaystyle (1)quad langle phi (x),psi (x)rangle =int _{a}^{b}phi (x)psi (x)dx=0,quad {rm {y}}}}

()2)SilencioSilencioφ φ ()x)SilencioSilencio2=SilencioSilencio↑ ↑ ()x)SilencioSilencio2=[∫ ∫ abSilencioφ φ ()x)Silencio2dx]12=[∫ ∫ abSilencio↑ ↑ ()x)Silencio2dx]12=1.{displaystyle (2)quad ANTERIENDOphi (x) SUPERVISIÓN _{2}= "Antes" sobre la vida eterna_{2}=left[int _{a}^{b} "Antes" {1}{2}=left [int _{a}^{b}Upspsi (x) {1}{2}=1.}

Serie de Fourier

La serie de Fourier es un método para expresar una función periódica en términos de funciones de base sinusoidal. Tomando C[−π,π] como el espacio de todas las funciones de valor real continuas en el intervalo [−π,π] y tomando el producto interno como

.. f,g.. =∫ ∫ − − π π π π f()x)g()x)dx{displaystyle langle f,grangle =int _{-pi }{pi }f(x)g(x)dx}

Se puede demostrar que

{}12π π ,pecado⁡ ⁡ ()x)π π ,pecado⁡ ⁡ ()2x)π π ,...... ,pecado⁡ ⁡ ()nx)π π ,#⁡ ⁡ ()x)π π ,#⁡ ⁡ ()2x)π π ,...... ,#⁡ ⁡ ()nx)π π },n▪ ▪ N{fnMicrosoft Sans Serif} {N}

forma un conjunto ortonormal.

Sin embargo, esto tiene pocas consecuencias, porque C[−π,π] es de dimensión infinita y un conjunto finito de vectores no puede abarcarlo. Pero, eliminando la restricción de que n sea finito, el conjunto es denso en C[−π,π] y por lo tanto una base ortonormal de C[ −π,π].