Operador normal

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(en un complejo espacio Hilbert) operador lineal continuo

En matemáticas, especialmente en análisis funcional, un operador normal en un espacio complejo de Hilbert H es un operador lineal continuo N: H → H que conmuta con su adjunto hermitiano N*, es decir: NN* = N*N.

Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral se cumple para ellos. La clase de operadores normales se entiende bien. Ejemplos de operadores normales son

operadores unitarios: N* = N⁻¹
Operadores ermitianos (es decir, operadores autónomos): N* = N
Operadores de Skew-Hermitian: N* =N
operadores positivos: N = MM* para algunos M (so N es auto-adjunto).

Una matriz normal es la expresión matricial de un operador normal en el espacio de Hilbert Cⁿ.

Propiedades

Los operadores normales se caracterizan por el teorema espectral. Un operador normal compacto (en particular, un operador normal en un espacio lineal de dimensión finita) es unitariamente diagonalizable.

Vamos $T$ ser un operador vinculado. Lo siguiente es equivalente.

$T$ es normal.
$T^{*}$ es normal.
${displaystyle |Tx|=|T^{*}x|}$ para todos $x$ (utilización ${displaystyle |Tx|^{2}=langle T^{*}Tx,xrangle =langle TT^{*}x,xrangle =|T^{*}x|^{2}}$ ).
Las partes autoadjuntas y anti-self adyacentes $T$ Comute. Eso es, si $T$ está escrito como ${displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$ con ${displaystyle T_{1}:={frac {T+T^{*}}{2}}}$ y ${displaystyle i,T_{2}:={frac {T-T^{*}}{2}},}$ entonces ${displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

Si $N$ es un operador normal, entonces $N$ y ${displaystyle N^{*}}$ tienen el mismo núcleo y el mismo rango. En consecuencia, la gama de $N$ es denso si y sólo si $N$ es inyectable. De otra manera, el núcleo de un operador normal es el complemento ortogonal de su gama. Sigue que el núcleo del operador ${displaystyle N^{k}}$ coincide con la de $N$ para cualquier $k.$ Por lo tanto, todo valor generalizado de un operador normal es genuino. $lambda$ es un valor de un operador normal $N$ si y sólo si su complejo conjugado ${overline {lambda }}$ es un eigenvalue de ${displaystyle N^{*}.}$ Eigenvectores de un operador normal correspondiente a diferentes eigenvalues son ortogonales, y un operador normal estabiliza el complemento ortogonal de cada uno de sus eigenspaces. Esto implica el teorema espectral habitual: cada operador normal en un espacio finito-dimensional es diagonalizable por un operador unitario. También hay una versión infinita del teorema espectral expresada en términos de medidas de valor de proyección. El espectro residual de un operador normal está vacío.

El producto de los operadores normales que se desplazan vuelve a ser normal; esto no es trivial, pero se sigue directamente del teorema de Fuglede, que establece (en una forma generalizada por Putnam):

N_{1}

N_{2}

son operadores normales y si

A

es un operador lineal vinculado tal que

{displaystyle N_{1}A=AN_{2},}

entonces

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

La norma del operador de un operador normal es igual a su radio numérico y radio espectral.

Un operador normal coincide con su transformada de Aluthge.

Propiedades en caso de dimensión finita

Si un operador normal T en un espacio de Hilbert real o complejo de dimensión finita (espacio de producto interno) H estabiliza un subespacio V, entonces también estabiliza su complemento ortogonal V^⊥. (Esta afirmación es trivial en el caso de que T sea autoadjunto).

Prueba. Sea P_V la proyección ortogonal sobre V. Entonces la proyección ortogonal sobre V^⊥ es 1_H−P _V. El hecho de que T estabiliza V se puede expresar como (1_H−P_V)TP_V = 0, o TP_V = P_VTP_V. El objetivo es mostrar que P_VT(1_H−P_V) = 0.

Sea X = P_VT(1_H−P_V). Dado que (A, B) ↦ tr(AB*) es un producto interior en el espacio de endomorfismos de H, es suficiente mostrar que tr(XX*) = 0. Primero observamos que

{displaystyle {begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\&=P_{V}T({boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.end{aligned}}}

Ahora usando las propiedades de la traza y de las proyecciones ortogonales tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {tr} (XX^{*})&=operatorname {tr} left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}right)\&=operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\&=operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\&=operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\&=operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{text{using the hypothesis that }}T{text{ stabilizes }}V\&=operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\&=operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\&=0.end{aligned}}}

El mismo argumento pasa por los operadores normales compactos en espacios dimensionales infinitos Hilbert, donde uno hace uso del producto interior Hilbert-Schmidt, definido por tr(AB*) adecuadamente interpretado. Sin embargo, para los operadores normales consolidados, el complemento ortogonal a un subespacio estable puede no ser estable. Sigue que el espacio de Hilbert no puede ser en general azotado por eigenvectores de un operador normal. Considerar, por ejemplo, el cambio bilateral (o el cambio de dos caras) que se está realizando $ell ^{2}$ , que es normal, pero no tiene eigenvalues.

Los subespacios invariantes de un desplazamiento que actúa sobre el espacio de Hardy se caracterizan por el teorema de Beurling.

Elementos normales de álgebras

La noción de operadores normales se generaliza a un álgebra involutiva:

Se dice que un elemento x de un álgebra involutiva es normal si xx* = x*x.

Los elementos autoadjuntos y unitarios son normales.

El caso más importante es cuando tal álgebra es un C*-álgebra.

Operadoras normales no limitadas

(feminine)

La definición de operadores normales se generaliza naturalmente a alguna clase de operadores ilimitados. Explícitamente, se dice que un operador cerrado N es normal si

N^{*}N=NN^{*}.

Aquí, la existencia del adjunto N* requiere que el dominio de N sea denso, y la igualdad incluye la afirmación de que el dominio de N* N es igual a NN*, lo que no es necesariamente el caso en general.

Los operadores normales equivalentes son precisamente aquellos para los que

|Nx|=|N^{*}x|qquad

con

{displaystyle {mathcal {D}}(N)={mathcal {D}}(N^{*}).}

El teorema espectral sigue siendo válido para operadores ilimitados (normales). Las pruebas funcionan por reducción a operadores acotados (normales).

Generalización

El éxito de la teoría de los operadores normales condujo a varios intentos de generalización al debilitar el requisito de conmutatividad. Las clases de operadores que incluyen operadores normales son (en orden de inclusión)

Operadores hiponormales
Normaloides
Operadores paranormales
Operadores cuasinormales
Operadores subnormales

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