Operador diferencial

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Típicamente operador lineal definido en términos de diferenciación de funciones

Una función armónica definida en un anulus. Las funciones armónicas son exactamente las funciones que se encuentran en el núcleo del operador de Laplace, un importante operador diferencial.

En matemáticas, un operador diferencial es un operador definido como una función del operador de diferenciación. Es útil, primero como cuestión de notación, considerar la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función y devuelve otra función (al estilo de una función de orden superior en informática).

Este artículo considera principalmente operadores diferenciales lineales, que son el tipo más común. Sin embargo, también existen operadores diferenciales no lineales, como la derivada de Schwarzian.

Definición

Dado un entero no negativo m, una orden... $m$ operador diferencial lineal es un mapa $P$ desde un espacio de función ${mathcal {F}}_{1}$ a otro espacio de función ${mathcal {F}}_{2}$ que se puede escribir como:

{displaystyle P=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }(x)D^{alpha }}

{displaystyle alpha =(alpha _{1},alpha _{2},cdotsalpha _{n})}

{displaystyle |alpha |=alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}}

alpha

a_{alpha }(x)

{displaystyle D^{alpha }}

{displaystyle D^{alpha }={frac {partial ^{|alpha |}}{partial x_{1}^{alpha _{1}}partial x_{2}^{alpha _{2}}cdots partial x_{n}^{alpha _{n}}}}}

Así por una función ${displaystyle fin {mathcal {F}}_{1}}$ :

{displaystyle Pf=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }(x){frac {partial ^{|alpha |}f}{partial x_{1}^{alpha _{1}}partial x_{2}^{alpha _{2}}cdots partial x_{n}^{alpha _{n}}}}}

La notación ${displaystyle D^{alpha }}$ se justifica (es decir, independiente del orden de diferenciación) debido a la simetría de los segundos derivados.

El polinomio p obtenido por sustitución D por variables $xi$ dentro P se llama símbolo total de P; es decir, el símbolo total de P arriba es:

{displaystyle p(x,xi)=sum _{|alpha |leq m}a_{alpha }(x)xi ^{alpha }}

{displaystyle xi ^{alpha }=xi _{1}^{alpha _{1}}cdots xi _{n}^{alpha _{n}}.}

{displaystyle sigma (x,xi)=sum _{|alpha |=m}a_{alpha }(x)xi ^{alpha }}

se llama el símbolo principal de P. Si bien el símbolo total no está intrínsecamente definido, el símbolo principal está intrínsecamente definido (es decir, es una función en el paquete cotangente).

Más generalmente, sean E y F paquetes de vectores sobre una variedad X. Entonces el operador lineal

P:C^{infty }(E)to C^{infty }(F)

es un operador diferencial de orden $k$ si, en las coordenadas locales en X, tenemos

{displaystyle Pu(x)=sum _{|alpha |=k}P^{alpha }(x){frac {partial ^{alpha }u}{partial x^{alpha }}}+{text{lower-order terms}}}

donde, para cada α multi-índice, $P^{alpha }(x):Eto F$ es un mapa de paquetes, simétrico en los índices α.

Los coeficientes de orden k^th de P se transforman como un tensor simétrico

{displaystyle sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)otimes Eto F}

cuyo dominio es el producto tensorial de la k^ésima potencia simétrica del fibrado cotangente de X con E, y cuyo codominio es F. Este tensor simétrico se conoce como el símbolo principal (o simplemente el símbolo) de P.

El sistema de coordenadas xⁱ permite una trivialización local del fibrado cotangente por las coordenadas diferenciales dx ⁱ, que determinan las coordenadas de fibra ξ_i. En términos de una base de tramas e_μ, f_ν de E y F, respectivamente, el operador diferencial P se descompone en componentes

(Pu)_{nu }=sum _{mu }P_{{nu mu }}u_{mu }

en cada sección u de E. Aquí P_νμ es el operador diferencial escalar definido por

P_{{nu mu }}=sum _{{alpha }}P_{{nu mu }}^{alpha }{frac {partial }{partial x^{alpha }}}.

Con esta banalización, el símbolo principal ahora se puede escribir

{displaystyle (sigma _{P}(xi)u)_{nu }=sum _{|alpha |=k}sum _{mu }P_{nu mu }^{alpha }(x)xi _{alpha }u_{mu }.}

En el espacio cotangente sobre un punto fijo x de X, el símbolo $sigma _{P}$ define un polinomio homogéneo de grado k dentro $T_{x}^{*}X$ con valores en $operatorname {Hom}(E_{x},F_{x})$ .

Interpretación de Fourier

Un operador diferencial P y su símbolo aparecen naturalmente en relación con la transformada de Fourier de la siguiente manera. Sea ƒ una función de Schwartz. Luego por la transformada inversa de Fourier,

{displaystyle Pf(x)={frac {1}{(2pi)^{frac {d}{2}}}}int limits _{mathbf {R} ^{d}}e^{ixcdot xi }p(x,ixi){hat {f}}(xi),dxi.}

Esto exhibe P como un multiplicador de Fourier. Una clase más general de funciones p(x,ξ) que satisfacen como máximo condiciones de crecimiento polinomial en ξ bajo las cuales esta integral se comporta bien comprende los operadores pseudodiferenciales.

Ejemplos

El operador diferencial $P$ es elíptico si su símbolo es invertible; es decir, para cada no cero $theta in T^{*}X$ el mapa del paquete $sigma _{P}(thetadotstheta)$ es invertible. En un manifold compacto, sigue de la teoría elíptica que P es un operador de Fredholm: tiene núcleo finito-dimensional y cokernel.
En el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y parabólicas, los ceros del símbolo principal corresponden a las características de la ecuación diferencial parcial.
En aplicaciones a las ciencias físicas, operadores como el operador de Laplace desempeñan un papel importante en el establecimiento y la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
En la topología diferencial, los operadores derivados exteriores y derivados de Lie tienen significado intrínseco.
En álgebra abstracta, el concepto de derivación permite generalizaciones de operadores diferenciales, que no requieren el uso de cálculo. Con frecuencia tales generalizaciones se emplean en geometría algebraica y álgebra conmutativa. Vea también Jet (matemática).
En el desarrollo de funciones holomorfas de una variable compleja z = x + iSí., a veces una función compleja se considera una función de dos variables reales x y Sí.. El uso está hecho de los derivados de Wirtinger, que son operadores diferenciales parciales: ${displaystyle {frac {partial }{partial z}}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x}}-i{frac {partial }{partial y}}right)\quad {frac {partial }{partial {bar {z}}}}={frac {1}{2}}left({frac {partial }{partial x}}+i{frac {partial }{partial y}}right).}$ Este enfoque también se utiliza para estudiar funciones de varias variables complejas y funciones de una variable motor.
El operador diferencial del, también llamado nabla, es un importante operador diferencial vectorial. Aparece con frecuencia en la física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell. En coordenadas cartesianas tridimensionales, el del se define como

{displaystyle nabla =mathbf {hat {x}} {partial over partial x}+mathbf {hat {y}} {partial over partial y}+mathbf {hat {z}} {partial over partial z}.}

Del define el gradiente, y se utiliza para calcular el rizo, la divergencia, y Laplacian de diversos objetos.

Historia

El paso conceptual de escribir un operador diferencial como algo independiente se atribuye a Louis François Antoine Arbogast en 1800.

Anotaciones

El operador diferencial más común es la acción de tomar la derivada. Las notaciones comunes para tomar la primera derivada con respecto a una variable x incluyen:

{displaystyle {d over dx}}

D

{displaystyle D_{x},}

partial _{x}

Al tomar derivadas de orden n superior, el operador puede escribirse:

{displaystyle {d^{n} over dx^{n}}}

D^{n}

{displaystyle D_{x}^{n}}

, o

{displaystyle partial _{x}^{n}}

La derivada de una función f de un argumento x a veces se da como cualquiera de los siguientes:

{displaystyle [f(x)]'}

{displaystyle f'(x).}

El uso y la creación de la notación D se le atribuye a Oliver Heaviside, quien consideró operadores diferenciales de la forma

sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}

en su estudio de ecuaciones diferenciales.

Uno de los operadores diferenciales vistos con más frecuencia es el operador laplaciano, definido por

{displaystyle Delta =nabla ^{2}=sum _{k=1}^{n}{frac {partial ^{2}}{partial x_{k}^{2}}}.}

Otro operador diferencial es el operador Θ, u operador theta, definido por

Theta =z{d over dz}.

Esto a veces también se llama el operador de homogeneidad, porque sus funciones propias son los monomios en z:

{displaystyle Theta (z^{k})=kz^{k},quad k=0,1,2,dots }

En n variables el operador de homogeneidad viene dado por

{displaystyle Theta =sum _{k=1}^{n}x_{k}{frac {partial }{partial x_{k}}}.}

Como en una variable, los espacios propios de Θ son los espacios de funciones homogéneas. (Teorema de la función homogénea de Euler)

Al escribir, siguiendo la convención matemática común, el argumento de un operador diferencial generalmente se coloca en el lado derecho del propio operador. A veces se utiliza una notación alternativa: El resultado de aplicar el operador a la función del lado izquierdo del operador y del lado derecho del operador, y la diferencia obtenida al aplicar el operador diferencial a las funciones de ambos lados, se denotan por flechas de la siguiente manera:

f{overleftarrow {partial _{x}}}g=gcdot partial _{x}f

f{overrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}g

f{overleftrightarrow {partial _{x}}}g=fcdot partial _{x}g-gcdot partial _{x}f.

Esta notación de flecha bidireccional se usa con frecuencia para describir la corriente de probabilidad de la mecánica cuántica.

Adjunto de una operadora

(feminine)

Dado un operador diferencial lineal $T$

{displaystyle Tu=sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}

T^{*}

{displaystyle langle Tu,vrangle =langle u,T^{*}vrangle }

langle cdotcdot rangle

Adjunto formal en una variable

En el espacio funcional de funciones integrables al cuadrado en un intervalo real $(a, b)$ , el escalar producto se define por

{displaystyle langle f,grangle =int _{a}^{b}{overline {f(x)}},g(x),dx,}

donde la línea f()x) denota el complejo conjugado de f()x). Si uno más añade la condición de que f o g desaparece como $xto a$ y $xto b$ , uno también puede definir el conjunto de T por

{displaystyle T^{*}u=sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}left[{overline {a_{k}(x)}}uright].}

Esta fórmula no depende explícitamente de la definición del producto escalar. Por lo tanto, a veces se elige como una definición del operador adjunto. Cuando $T^{*}$ se define según esta fórmula, se llama la formal adjoint de T.

Un operador (formalmente) autoadjunto es un operador igual a su propio adjunto (formal).

Varias variables

Si Ω es un dominio en Rⁿ, y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L2(Ω) por dualidad de manera análoga:

langle f,P^{*}grangle _{L^{2}(Omega)}=langle Pf,grangle _{L^{2}(Omega)}

para todas las funciones suaves L² f, g. Dado que las funciones suaves son densas en L², esto define el adjunto en un subconjunto denso de L²: P ^* es un operador densamente definido.

Ejemplo

El operador Sturm-Liouville es un ejemplo bien conocido de un operador autoadjunto formal. Este operador diferencial lineal de segundo orden L se puede escribir en la forma

{displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}

Esta propiedad se puede probar utilizando la definición adjunta formal anterior.

Este operador es fundamental para la teoría de Sturm-Liouville, donde se consideran las funciones propias (análogas a los vectores propios) de este operador.

Propiedades de los operadores diferenciales

La diferenciación es lineal, es decir,

{displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}

{displaystyle D(af)=a(Df),}

donde f y g son funciones, y a es una constante.

Cualquier polinomio en D con coeficientes de función también es un operador diferencial. También podemos componer operadores diferenciales por la regla

{displaystyle (D_{1}circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}

Entonces se requiere cierto cuidado: en primer lugar, cualquier coeficiente de función en el operador D₂ debe ser diferenciable tantas veces como la aplicación de D ₁ requiere. Para obtener un anillo de dichos operadores, debemos suponer derivadas de todos los órdenes de los coeficientes utilizados. En segundo lugar, este anillo no será conmutativo: un operador gD no es lo mismo en general que Dg. Por ejemplo tenemos la relación básica en mecánica cuántica:

{displaystyle Dx-xD=1.}

El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, por el contrario, conmutativo. Se puede caracterizar de otra manera: consiste en los operadores invariantes a la traducción.

Los operadores diferenciales también obedecen al teorema del desplazamiento.

Anillo de operadores diferenciales polinómicos

Anillo de operadores diferenciales polinómicos univariados

Si R es un anillo, vamos $Rlangle D,Xrangle$ ser el anillo polinomio no conmutativo R en las variables D y X, y I el ideal de dos caras generado por DX − XD − 1. Luego el anillo de operadores diferenciales polinomios univarios sobre R es el anillo cociente $Rlangle D,Xrangle /I$ . Esto es un non-commutative anillo simple. Cada elemento puede ser escrito de una manera única como R- combinación lineal de monomiales de la forma ${displaystyle X^{a}D^{b}{text{ mod }}I}$ . Soporta una analogía de la división Euclideana de polinomios.

Módulos diferenciales sobre $R[X]$ (para la derivación estándar) se puede identificar con módulos sobre $Rlangle D,Xrangle /I$ .

Anillo de operadores diferenciales polinómicos multivariados

Si R es un anillo, vamos $Rlangle D_{1},ldotsD_{n},X_{1},ldotsX_{n}rangle$ ser el anillo polinomio no conmutativo R en las variables $D_{1},ldotsD_{n},X_{1},ldotsX_{n}$ , y I el ideal de dos caras generado por los elementos

{displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-delta _{i,j}, D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i}, X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}

para todos ${displaystyle 1leq i,jleq n,}$ Donde $delta$ es Kronecker delta. Luego el anillo de operadores polinomios multivariados R es el anillo cociente $Rlangle D_{1},ldotsD_{n},X_{1},ldotsX_{n}rangle /I$ .

Esto es un non-commutative anillo simple. Cada elemento puede ser escrito de una manera única como R- combinación lineal de monomiales de la forma ${displaystyle X_{1}^{a_{1}}ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}ldots D_{n}^{b_{n}}}$ .

Descripción independiente de coordenadas

En geometría diferencial y geometría algebraica, a menudo es conveniente tener una descripción independiente de las coordenadas de los operadores diferenciales entre dos paquetes de vectores. Sean E y F dos fibrados vectoriales sobre una variedad diferenciable M. Un mapeo R-lineal de secciones P: Γ(E) → Γ(F) se dice que es un operador diferencial lineal de k-ésimo orden si se factoriza a través del haz de jets J^k(E). En otras palabras, existe un mapeo lineal de paquetes de vectores

{displaystyle i_{P}:J^{k}(E)to F}

tal que

P=i_{P}circ j^{k}

donde j^k: Γ(E) → Γ(J^k(E)) es la prolongación que se asocia a cualquier sección de E su k-chorro.

Esto solo significa que para una sección determinada s de E, el valor de P(s) en un punto x ∈ M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de késimo orden de s en x. En particular, esto implica que P(s)(x) está determinado por el germen de s en x, que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre que muestra que lo contrario también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial.

Relación con el álgebra conmutativa

Una descripción equivalente, pero puramente algebraica de operadores diferenciales lineales es como sigue: un R- mapa lineal P es un koperador diferencial lineal, si para cualquier k+ 1 funciones lisas $f_{0},ldotsf_{k}in C^{infty }(M)$ tenemos

[f_{k},[f_{k-1},[cdots [f_{0},P]cdots ]]=0.

Aquí el soporte ${displaystyle [f,P]:Gamma (E)to Gamma (F)}$ se define como el conmutador

{displaystyle [f,P](s)=P(fcdot s)-fcdot P(s).}

Esta caracterización de los operadores diferenciales lineales muestra que son asignaciones particulares entre módulos sobre un álgebra conmutativa, lo que permite que el concepto se vea como parte del álgebra conmutativa.

Variantes

Un operador diferencial de orden infinito

Un operador diferencial de orden infinito es (aproximadamente) un operador diferencial cuyo símbolo total es una serie de potencias en lugar de un polinomio.

Operadora bidifferencial

(feminine)

Un operador diferencial que actúa en dos funciones ${displaystyle D(g,f)}$ se llama bidifferential operator. La noción aparece, por ejemplo, en una estructura de álgebra asociativa sobre una cuantificación de deformación de un álgebra Poisson.

Operadora microdiferencial

(feminine)

Un operador microdiferencial es un tipo de operador en un subconjunto abierto de un paquete cotangente, a diferencia de un subconjunto abierto de una variedad. Se obtiene extendiendo la noción de operador diferencial al paquete cotangente.

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