Ondícula de Haar

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La onda Haar

En matemáticas, la onda de Haar es una secuencia de "forma cuadrada" funciones que juntas forman una base o familia de ondículas. El análisis Wavelet es similar al análisis de Fourier en que permite representar una función objetivo en un intervalo en términos de una base ortonormal. La secuencia de Haar ahora se reconoce como la primera base de wavelet conocida y se usa ampliamente como ejemplo de enseñanza.

La secuencia de Haar fue propuesta en 1909 por Alfréd Haar. Haar usó estas funciones para dar un ejemplo de un sistema ortonormal para el espacio de funciones cuadradas integrables en el intervalo unitario [0, 1]. El estudio de las wavelets, e incluso el término "wavelet", no llegó hasta mucho más tarde. Como caso especial de la ondícula de Daubechies, la ondícula de Haar también se conoce como Db1.

La wavelet de Haar es también la wavelet más simple posible. La desventaja técnica de la wavelet de Haar es que no es continua y, por lo tanto, no es diferenciable. Sin embargo, esta propiedad puede ser una ventaja para el análisis de señales con transiciones repentinas (señales discretas), como el monitoreo de fallas de herramientas en máquinas.

La función de onda madre de Haar $psi(t)$ se puede describir como

<math alttext="{displaystyle psi (t)={begin{cases}1quad &0leq t<{frac {1}{2}},\-1&{frac {1}{2}}leq t↑ ↑ ()t)={}10≤ ≤ t.12,− − 112≤ ≤ t.1,0De lo contrario.{displaystyle psi (t)={begin{cases}1quad &0leq t made{frac {1}{2}}},\-1 Pulse{frac {1}}leq tse1, {}mbox{otherwise.}}end{cases}}}}}}}}}}<img alt="psi (t)={begin{cases}1quad &0leq t<{frac {1}{2}},\-1&{frac {1}{2}}leq t

Su función de escalado $varphi (t)$ se puede describir como

<math alttext="{displaystyle varphi (t)={begin{cases}1quad &0leq tφ φ ()t)={}10\leq \leq t.1,0De lo contrario.{displaystyle varphi (t)={begin{cases}1quad &0leq t made1, limit{mbox{otherwise.}}end{cases}}} <img alt="{displaystyle varphi (t)={begin{cases}1quad &0leq t

Funciones Haar y sistema Haar

Por cada par n, k de enteros en $mathbb {Z}$ , el Función Haar ↑_n,k se define en la línea real $mathbb {R}$ por la fórmula

{displaystyle psi _{n,k}(t)=2^{n/2}psi (2^{n}t-k),quad tin mathbb {R}.}

Esta función es compatible con el intervalo de apertura derecha I_n,k = [ k2⁻ⁿ, (k+1)2⁻ⁿ), i.e., desaparece fuera de ese intervalo. Tiene 0 integral y 1 norma en el espacio HilbertL²() $mathbb {R}$ ),

{displaystyle int _{mathbb {R} }psi _{n,k}(t),dt=0,quad |psi _{n,k}|_{L^{2}(mathbb {R})}^{2}=int _{mathbb {R} }psi _{n,k}(t)^{2},dt=1.}

Las funciones de Haar son ortogonales por pares,

{displaystyle int _{mathbb {R} }psi _{n_{1},k_{1}}(t)psi _{n_{2},k_{2}}(t),dt=delta _{n_{1}n_{2}}delta _{k_{1}k_{2}},}

Donde $delta _{ij}$ representa al delta Kronecker. Aquí está la razón de la ortogonalidad: cuando los dos intervalos de apoyo $I_{{n_{1},k_{1}}}$ y $I_{{n_{2},k_{2}}}$ no son iguales, entonces son descompuestos, o de lo contrario el menor de los dos soportes, dicen $I_{{n_{1},k_{1}}}$ , está contenido en la parte inferior o en la parte superior del otro intervalo, en el cual la función $psi _{{n_{2},k_{2}}}$ permanece constante. A continuación, en este caso, que el producto de estas dos funciones Haar es un múltiplo de la primera función Haar, por lo que el producto tiene 0 integral.

El sistema Haar en la recta real es el conjunto de funciones

{displaystyle {1}cup {psi _{n,k}(t);:;nin mathbb {Z};kin mathbb {Z} }.}

Está completo en L²() $mathbb {R}$ ): El sistema Haar en la línea es una base ortonormal en L²() $mathbb {R}$ ).

Propiedades de las ondículas de Haar

La wavelet de Haar tiene varias propiedades notables:

Cualquier función real continua con soporte compacto se puede aproximar uniformemente por combinaciones lineales de ${displaystyle varphi (t),varphi (2t),varphi (4t),dotsvarphi (2^{n}t),dots }$ y sus funciones cambiadas. Esto se extiende a los espacios de función donde cualquier función en ellos puede ser aproximada por funciones continuas.
Cualquier función real continua en [0, 1] se puede aproximar uniformemente en [0, 1] por combinaciones lineales de la función constante1, $psi (t),psi (2t),psi (4t),dotspsi (2^{n}t),dots$ y sus funciones cambiadas.
Ortogonalidad en la forma
${displaystyle int _{-infty }^{infty }2^{(n+n_{1})/2}psi (2^{n}t-k)psi (2^{n_{1}}t-k_{1}),dt=delta _{nn_{1}}delta _{kk_{1}}.}$
Aquí, $delta _{ij}$ representa al delta Kronecker. La función dual de ↓t) est- Sí.
Funciones de onda/scaling con escala diferente n tener una relación funcional: desde
${displaystyle {begin{aligned}varphi (t)&=varphi (2t)+varphi (2t-1)\[.2em]psi (t)&=varphi (2t)-varphi (2t-1),end{aligned}}}$
sigue que los coeficientes de escala n puede calcularse por coeficientes de escala n+1:
Si ${displaystyle chi _{w}(k,n)=2^{n/2}int _{-infty }^{infty }x(t)varphi (2^{n}t-k),dt}$
y ${displaystyle mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}int _{-infty }^{infty }x(t)psi (2^{n}t-k),dt}$
entonces
$chi _{w}(k,n)=2^{{-1/2}}{bigl (}chi _{w}(2k,n+1)+chi _{w}(2k+1,n+1){bigr)}$
$mathrm{X} _{w}(k,n)=2^{{-1/2}}{bigl (}chi _{w}(2k,n+1)-chi _{w}(2k+1,n+1){bigr)}.$

Sistema de Haar en el intervalo unitario y sistemas relacionados

En esta sección, la discusión se restringe al intervalo unitario [0, 1] y a las funciones de Haar que se admiten en [0, 1]. El sistema de funciones considerado por Haar en 1910, llamado sistema Haar en [0, 1] en este artículo, consiste en el subconjunto de wavelets de Haar definidas como

<math alttext="{displaystyle {tin [0,1]mapsto psi _{n,k}(t);:;nin mathbb {N} cup {0},;0leq k{}t▪ ▪ [0,1]↦ ↦ ↑ ↑ n,k()t):n▪ ▪ N∪ ∪ {}0},0≤ ≤ k.2n},{displaystyle {tin [0,1]mapsto psi _{n,k}(t);;nin mathbb {N} cup {0},;0leq k won2^{n}}}<img alt="{displaystyle {tin [0,1]mapsto psi _{n,k}(t);:;nin mathbb {N} cup {0},;0leq k

con la adición de la función constante 1 en [0, 1].

En términos espaciales de Hilbert, este sistema de Haar en [0, 1] es un sistema ortonormal completo, es decir,, una base ortonormal, para el espacio L²([0, 1]) de funciones cuadradas integrables en el intervalo unitario.

El sistema de Haar en [0, 1] —con la función constante 1 como primer elemento, seguido de las funciones de Haar ordenadas según el ordenamiento lexicográfico de las parejas (n, k): es además una base monótona de Schauder para el espacio Lp([0, 1]) cuando 1 ≤ p < ∞. Esta base es incondicional cuando 1 < p < ∞.

Existe un sistema Rademacher relacionado que consta de sumas de funciones de Haar,

r_{n}(t)=2^{{-n/2}}sum _{{k=0}}^{{2^{n}-1}}psi _{{n,k}}(t),quad tin [0,1], ngeq 0.

Observe que |r_n(t)| = 1 en [0, 1). Este es un sistema ortonormal pero no es completo. En el lenguaje de la teoría de la probabilidad, la secuencia de Rademacher es una instancia de una secuencia de variables aleatorias de Bernoulli independientes con media 0. La desigualdad de Khintchine expresa el hecho de que en todos los espacios L^p([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, la secuencia de Rademacher es equivalente a la base del vector unitario en ℓ². En particular, el tramo lineal cerrado de la secuencia de Rademacher en L^p([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, es isomorfo a ℓ².

El sistema Faber-Schauder

El sistema Faber-Schauder es la familia de funciones continuas en [0, 1] que consta de la función constante 1, y de múltiplos de integrales indefinidas de las funciones en el sistema de Haar en [0, 1], elegido para tener norma 1 en la norma máxima. Este sistema comienza con s₀ = 1, luego s₁(t) = t es la integral indefinida que se anula en 0 de la función 1, primer elemento de el sistema Haar en [0, 1]. A continuación, para cada número entero n ≥ 0, las funciones s_n,k están definidos por la fórmula

<math alttext="{displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}int _{0}^{t}psi _{n,k}(u),du,quad tin [0,1], 0leq ksn,k()t)=21+n/2∫ ∫ 0t↑ ↑ n,k()u)du,t▪ ▪ [0,1],0≤ ≤ k.2n.{displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}int _{0}ps _{n,k}(u),du,quad tin [0,1], 0leq k interpretado2^{n}<img alt="s_{{n,k}}(t)=2^{{1+n/2}}int _{0}^{t}psi _{{n,k}}(u),du,quad tin [0,1], 0leq k

Estas funciones s_n,k son continuo, lineal por partes, apoyado por el intervalo I_n,k que también admite ψ_n,k. La función s_n,k es igual a 1 en el punto medio x_n,k del intervalo I_n,k, lineal en ambas mitades de ese intervalo. Toma valores entre 0 y 1 en todas partes.

El sistema Faber-Schauder es una base de Schauder para el espacio C([0, 1]) de funciones continuas en [0, 1]. Por cada f en C([0, 1]), la suma parcial

f_{{n+1}}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+sum _{{m=0}}^{{n-1}}{Bigl (}sum _{{k=0}}^{{2^{m}-1}}a_{{m,k}}s_{{m,k}}{Bigr)}in C([0,1])

de la expansión en serie de f en el sistema Faber-Schauder es la función lineal continua por partes que concuerda con f en el 2 ⁿ + 1 puntos k2⁻ⁿ, donde 0 ≤ k ≤ 2ⁿ. A continuación, la fórmula

f_{{n+2}}-f_{{n+1}}=sum _{{k=0}}^{{2^{n}-1}}{bigl (}f(x_{{n,k}})-f_{{n+1}}(x_{{n,k}}){bigr)}s_{{n,k}}=sum _{{k=0}}^{{2^{n}-1}}a_{{n,k}}s_{{n,k}}

ofrece una forma de calcular la expansión de f paso a paso. Como f es uniformemente continua, la secuencia {f_n} converge uniformemente a f. De ello se deduce que la expansión de la serie de Faber-Schauder de f converge en C([0, 1]), y la suma de esta serie es igual a f.

El sistema Franklin

El sistema Franklin se obtiene del sistema Faber-Schauder mediante el procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt. Dado que el sistema Franklin tiene el mismo tramo lineal que el sistema Faber-Schauder, este tramo es denso en C([0, 1]), por lo tanto, en L²([0, 1]). Por lo tanto, el sistema de Franklin es una base ortonormal para L²([0, 1]), que consta de funciones lineales continuas por tramos. P. Franklin demostró en 1928 que este sistema es una base de Schauder para C([0, 1]). El sistema de Franklin también es una base de Schauder incondicional para el espacio L^p([0, 1]) cuando 1 < p < ∞. El sistema de Franklin proporciona una base de Schauder en el álgebra de disco A(D). Esto fue demostrado en 1974 por Bočkarev, después de que la existencia de una base para el álgebra de disco permaneció abierta durante más de cuarenta años.

La construcción de Bočkarev de una base de Schauder en A(D) es la siguiente: sea f un Lipschitz de valor complejo función en [0, π]; entonces f es la suma de una serie de cosenos con coeficientes absolutamente sumables. Sea T(f) el elemento de A(D) definido por la serie de potencias complejas con el mismo coeficientes,

left{f:xin [0,pi ]rightarrow sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}cos(nx)right}longrightarrow left{T(f):zrightarrow sum _{{n=0}}^{infty }a_{n}z^{n},quad |z|leq 1right}.

La base de Bočkarev para A(D) está formada por las imágenes debajo de T de las funciones en el sistema de Franklin en [0, π]. La descripción equivalente de Bočkarev para el mapeo T comienza extendiendo f a una función par de Lipschitz g₁ en [−π, π], identificado con una función de Lipschitz en el círculo unitario T. A continuación, sea g₂ la función conjugada de g₁ y defina T(f) sea la función en A(D) cuyo valor en el límite T de D es igual a g₁ + ig₂.

Cuando se trata de funciones continuas de 1 periodicidad, o más bien con funciones continuas f en [0, 1] tales que f(0) = f(1), se elimina la función s₁(t) = t del sistema Faber-Schauder, para obtener el sistema Faber-Schauder periódico. El sistema periódico de Franklin se obtiene por ortonormalización a partir del sistema periódico de Faber--Schauder. Uno puede probar el resultado de Bočkarev en A(D) demostrando que el sistema periódico de Franklin en [0, 2π] es una base para un espacio de Banach A_r isomorfo a A(D). El espacio A_r consta de funciones continuas complejas sobre el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua.

Matriz de Haar

La matriz de Haar 2×2 que está asociada con la wavelet de Haar es

H_{2}={begin{bmatrix}1&1\1&-1end{bmatrix}}.

Usando el transformado de onda discreta, se puede transformar cualquier secuencia $(a_{0},a_{1},dotsa_{{2n}},a_{{2n+1}})$ de longitud incluso en una secuencia de dos-componentes-vectores ${displaystyle left(left(a_{0},a_{1}right),left(a_{2},a_{3}right),dotsleft(a_{2n},a_{2n+1}right)right)}$ . Si un derecho-multiplie cada vector con la matriz $H_{2}$ , uno consigue el resultado $left(left(s_{0},d_{0}right),dotsleft(s_{n},d_{n}right)right)$ de una etapa de la rápida transformación Haar-wavelet. Normalmente uno separa las secuencias s y d y continúa con la transformación de la secuencia s. Secuencia s a menudo se conoce como promedios parte, mientras que d es conocido como detalles parte.

Si uno tiene una secuencia de longitud múltiplo de cuatro, uno puede construir bloques de 4 elementos y transformarlos de manera similar con la matriz Haar 4×4

H_{4}={begin{bmatrix}1&1&1&1\1&1&-1&-1\1&-1&0&0\0&0&1&-1end{bmatrix}},

que combina dos etapas de la transformada rápida de Haar-wavelet.

Compare con una matriz de Walsh, que es una matriz 1/–1 no localizada.

Por lo general, la matriz de Haar 2N×2N se puede derivar mediante la siguiente ecuación.

H_{{2N}}={begin{bmatrix}H_{{N}}otimes [1,1]\I_{{N}}otimes [1,-1]end{bmatrix}}

Donde

I_{{N}}={begin{bmatrix}1&0&dots &0\0&1&dots &0\vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&dots &1end{bmatrix}}

otimes

es el producto Kronecker.

El producto Kronecker de $Aotimes B$ , donde $A$ es una matriz m×n y $B$ es una matriz p×q, se expresa como

Aotimes B={begin{bmatrix}a_{{11}}B&dots &a_{{1n}}B\vdots &ddots &vdots \a_{{m1}}B&dots &a_{{mn}}Bend{bmatrix}}.

Una matriz Haar de 8 puntos no normalizada $H_{8}$ se muestra a continuación

H_{{8}}={begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\0&0&0&0&1&1&-1&-1\1&-1&0&0&0&0&0&0&\0&0&1&-1&0&0&0&0\0&0&0&0&1&-1&0&0&\0&0&0&0&0&0&1&-1end{bmatrix}}.

Tenga en cuenta que la matriz anterior es una matriz de Haar no normalizada. La matriz de Haar requerida por la transformada de Haar debe normalizarse.

De la definición de la matriz Haar $H$ , se puede observar que, a diferencia de la transformación Fourier, $H$ tiene sólo elementos reales (es decir, 1, -1 o 0) y no es simétrico.

Toma el 8-punto Matriz Haar $H_{8}$ como ejemplo. La primera fila de $H_{8}$ mide el valor promedio, y la segunda fila de $H_{8}$ mide un componente de baja frecuencia del vector de entrada. Las dos filas siguientes son sensibles a la primera y segunda mitad del vector de entrada respectivamente, que corresponde a componentes de frecuencia moderada. Las cuatro filas restantes son sensibles a las cuatro secciones del vector de entrada, que corresponde a componentes de alta frecuencia.

Transformada de Haar

La transformada de Haar es la más simple de las transformadas wavelet. Esta transformada multiplica en cruz una función contra la ondícula de Haar con varios cambios y estiramientos, como la transformada de Fourier multiplica en cruz una función contra una onda sinusoidal con dos fases y muchos estiramientos.

Introducción

La transformada de Haar es una de las funciones de transformada más antiguas, propuesta en 1910 por el matemático húngaro Alfréd Haar. Se encuentra efectivo en aplicaciones como la compresión de señales e imágenes en ingeniería eléctrica e informática, ya que proporciona un enfoque simple y computacionalmente eficiente para analizar los aspectos locales de una señal.

La transformada de Haar se deriva de la matriz de Haar. A continuación se muestra un ejemplo de una matriz de transformación de Haar de 4 × 4.

H_{4}={frac {1}{2}}{begin{bmatrix}1&1&1&1\1&1&-1&-1\{sqrt {2}}&-{sqrt {2}}&0&0\0&0&{sqrt {2}}&-{sqrt {2}}end{bmatrix}}

La transformada de Haar se puede considerar como un proceso de muestreo en el que las filas de la matriz de transformación actúan como muestras de resolución cada vez más fina.

Compare con la transformada de Walsh, que también es 1/–1, pero no está localizada.

Propiedad

La transformada de Haar tiene las siguientes propiedades

No hay necesidad de multiplicaciones. Requiere sólo adiciones y hay muchos elementos con valor cero en la matriz Haar, por lo que el tiempo de cálculo es corto. Es más rápido que Walsh transform, cuya matriz está compuesta de +1 y −1.
La longitud de entrada y salida es la misma. Sin embargo, la longitud debe ser un poder de 2, es decir, $N=2^{k},kin {mathbb {N}}$ .
Se puede utilizar para analizar la característica localizada de las señales. Debido a la propiedad ortogonal de la función Haar, se pueden analizar los componentes de frecuencia de la señal de entrada.

Transformada de Haar y Transformada inversa de Haar

La transformada de Haar y_n de una función de entrada n x_n es

y_{n}=H_{n}x_{n}

La matriz de transformada de Haar es real y ortogonal. Por lo tanto, la transformada inversa de Haar se puede derivar mediante las siguientes ecuaciones.