Onda plana

En física, una onda plana es un caso especial de onda o campo: una cantidad física cuyo valor, en cualquier momento, es constante a través de cualquier plano que sea perpendicular a una dirección fija en el espacio.

Para cualquier posición x→ → {displaystyle {vec {x}} en el espacio y en cualquier momento t{displaystyle t}, el valor de tal campo se puede escribir como

F()x→ → ,t)=G()x→ → ⋅ ⋅ n→ → ,t),{displaystyle F({vec},t)=G({vec {x}cdot {vec {n},t),}

Donde n→ → {displaystyle {vec}} es un vector de longitud unitaria, y G()d,t){displaystyle G(d,t)} es una función que da el valor del campo como dependiente de sólo dos parámetros reales: el tiempo t{displaystyle t}, y el desplazamiento valorado en el escalar d=x→ → ⋅ ⋅ n→ → {displaystyle d={vec}cdot {vec}} del punto x→ → {displaystyle {vec {x}} a lo largo de la dirección n→ → {displaystyle {vec}}. El desplazamiento es constante sobre cada plano perpendicular a n→ → {displaystyle {vec}}.

Los valores del campo F{displaystyle F} puede ser scalars, vectores, o cualquier otra cantidad física o matemática. Pueden ser números complejos, como en una onda de plano exponencial compleja.

Cuando los valores de F{displaystyle F} son vectores, se dice que la onda es una onda longitudinal si los vectores siempre son collinear con el vector n→ → {displaystyle {vec}}, y una onda transversal si siempre son ortogonales (perpendicular) a ella.

Tipos especiales

Onda plana viajera

Los frentes de onda de un avión viajando en 3-espacio

A menudo el término "ola onda plana" se refiere específicamente a una ola de avión que viaja, cuya evolución en el tiempo se puede describir como simple traducción del campo en una constante velocidad de onda c{displaystyle c} a lo largo de la dirección perpendicular a los frentes de onda. Tal campo puede ser escrito como

F()x→ → ,t)=G()x→ → ⋅ ⋅ n→ → − − ct){displaystyle F({vec {x},t)=Gleft({vec {x}cdot {vec {}-ctright),}

Donde G()u){displaystyle G(u)} es ahora una función de un solo parámetro real u=d− − ct{displaystyle u=d-ct}, que describe el "profile" de la onda, a saber, el valor del campo a la vez t=0{displaystyle t=0}, por cada desplazamiento d=x→ → ⋅ ⋅ n→ → {displaystyle d={vec}cdot {vec}}. En ese caso, n→ → {displaystyle {vec}} se llama dirección de la propagación. Por cada desplazamiento d{displaystyle d}, el plano móvil perpendicular a n→ → {displaystyle {vec}} a distancia d+ct{displaystyle d+ct} desde el origen se llama "frontera de onda". Este avión viaja por la dirección de la propagación n→ → {displaystyle {vec}} con velocidad c{displaystyle c}; y el valor del campo es entonces el mismo, y constante en el tiempo, en cada uno de sus puntos.

Onda plana sinusoidal

El término también se utiliza, incluso más específicamente, para significar una onda de avión "monocromático" o sinusoidal: una onda de avión itinerante cuyo perfil G()u){displaystyle G(u)}es una función sinusoidal. Eso es,

F()x→ → ,t)=Apecado⁡ ⁡ ()2π π f()x→ → ⋅ ⋅ n→ → − − ct)+φ φ ){displaystyle F({vec {x},t)=Asin left(2pi f({vec {x}cdot {vec {n}-ct)+varphi right),}

El parámetro A{displaystyle A}, que puede ser un escalar o un vector, se llama la amplitud de la onda; el coeficiente de escalar f{displaystyle f} es su "frecuencia espacial"; y el escalar φ φ {displaystyle varphi } es su "fase".

Una onda plana verdadera no puede existir físicamente, porque tendría que llenar todo el espacio. Sin embargo, el modelo de onda plana es importante y ampliamente utilizado en física. Las ondas emitidas por cualquier fuente con una extensión finita en una gran región homogénea del espacio pueden aproximarse bien a las ondas planas cuando se observan en cualquier parte de esa región que sea lo suficientemente pequeña en comparación con su distancia desde la fuente. Es el caso, por ejemplo, de las ondas de luz de una estrella lejana que llegan a un telescopio.

Onda estacionaria plana

Una onda estacionaria es un campo cuyo valor se puede expresar como el producto de dos funciones, una que depende solo de la posición y la otra solo del tiempo. Una onda estacionaria plana, en particular, se puede expresar como

F()x→ → ,t)=G()x→ → ⋅ ⋅ n→ → )S()t){displaystyle F({vec},t)=G({vec {x}cdot {vec {n}),S(t)}

Donde G{displaystyle G. es una función de un parámetro escalar (el desplazamiento d=x→ → ⋅ ⋅ n→ → {displaystyle d={vec}cdot {vec}}) con los valores de escalar o vector, y S{displaystyle S. es una función escalar del tiempo.

Esta representación no es única, ya que los mismos valores de campo se obtienen si S{displaystyle S. y G{displaystyle G. son escaladas por factores recíprocos. Si SilencioS()t)Silencio{displaystyle Silencios(t) está vinculado en el intervalo de tiempo de interés (que suele ser el caso en contextos físicos), S{displaystyle S. y G{displaystyle G. se puede escalar para que el valor máximo SilencioS()t)Silencio{displaystyle Silencios(t) 1. Entonces SilencioG()x→ → ⋅ ⋅ n→ → )Silencio{cdot {cdot {fnh}}hmientras) será la máxima magnitud del campo vista en el momento x→ → {displaystyle {vec {x}}.

Propiedades

Una onda plana puede ser estudiada ignorando las direcciones perpendiculares al vector de dirección n→ → {displaystyle {vec}}; es decir, considerando la función G()z,t)=F()zn→ → ,t){displaystyle G(z,t)=F(z{vec {n},t)} como onda en un medio unidimensional.

Cualquier operador local, lineal o no, aplicado a una ola de avión produce una ola de avión. Cualquier combinación lineal de olas de avión con el mismo vector normal n→ → {displaystyle {vec}} es también una ola de avión.

Para una onda de plano escalar en dos o tres dimensiones, el gradiente del campo siempre es collinear con la dirección n→ → {displaystyle {vec}}; específicamente, Silencio Silencio F()x→ → ,t)=n→ → ∂ ∂ 1G()x→ → ⋅ ⋅ n→ → ,t){displaystyle nabla F({vec {x},t)={vec {n}partial _{1}G({vec {x}}cdot {vec {n}},t)}}, donde ∂ ∂ 1G{displaystyle partial _{1}G} es el derivado parcial de G{displaystyle G. con respecto al primer argumento.

La divergencia de una ola de avión de valor vectorial depende sólo de la proyección del vector G()d,t){displaystyle G(d,t)} en la dirección n→ → {displaystyle {vec}}. Específicamente,

()Silencio Silencio ⋅ ⋅ F)()x→ → ,t)=n→ → ⋅ ⋅ ∂ ∂ 1G()x→ → ⋅ ⋅ n→ → ,t){displaystyle (nabla cdot F)({vec {x}},t);=;{vec {n}cdot partial _{1}G({vec {x}cdot {vecdot {n},t)}}}}}

En particular, una onda plana transversal satisfice Silencio Silencio ⋅ ⋅ F=0{displaystyle nabla cdot F=0} para todos x→ → {displaystyle {vec {x}} y t{displaystyle t}.