Tiempo espacial

En física, el espacio-tiempo es un modelo matemático que combina las tres dimensiones del espacio y una dimensión del tiempo en una sola variedad de cuatro dimensiones. Los diagramas de espacio-tiempo se pueden usar para visualizar efectos relativistas, como por qué diferentes observadores perciben de manera diferente dónde y cuándo ocurren los eventos.

Hasta el siglo XX, se suponía que la geometría tridimensional del universo (su expresión espacial en términos de coordenadas, distancias y direcciones) era independiente del tiempo unidimensional. El físico Albert Einstein ayudó a desarrollar la idea del espacio-tiempo como parte de su teoría de la relatividad. Antes de su trabajo pionero, los científicos tenían dos teorías separadas para explicar los fenómenos físicos: las leyes de la física de Isaac Newton describían el movimiento de objetos masivos, mientras que los modelos electromagnéticos de James Clerk Maxwell explicaban las propiedades de la luz. Sin embargo, en 1905, Einstein basó un trabajo sobre la relatividad especial en dos postulados:

• Las leyes de la física son invariantes (es decir, idénticas) en todos los sistemas inerciales (es decir, marcos de referencia no acelerados)
• La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales, independientemente del movimiento de la fuente de luz.

La consecuencia lógica de tomar estos postulados juntos es la unión inseparable de las cuatro dimensiones, hasta ahora asumidas como independientes, del espacio y el tiempo. Surgen muchas consecuencias contrarias a la intuición: además de ser independiente del movimiento de la fuente de luz, la velocidad de la luz es constante independientemente del marco de referencia en el que se mida; las distancias e incluso el ordenamiento temporal de pares de eventos cambian cuando se miden en diferentes marcos de referencia inerciales (esta es la relatividad de la simultaneidad); y la aditividad lineal de las velocidades ya no es válida.

Einstein enmarcó su teoría en términos de cinemática (el estudio de los cuerpos en movimiento). Su teoría fue un avance sobre la teoría de los fenómenos electromagnéticos de Lorentz de 1904 y la teoría electrodinámica de Poincaré. Aunque estas teorías incluían ecuaciones idénticas a las que introdujo Einstein (por ejemplo, la transformación de Lorentz), eran esencialmente modelos ad hoc propuestos para explicar los resultados de varios experimentos, incluido el famoso experimento del interferómetro de Michelson-Morley, que eran extremadamente difíciles de encajar. paradigmas existentes.

En 1908, Hermann Minkowski, una vez uno de los profesores de matemáticas de un joven Einstein en Zúrich, presentó una interpretación geométrica de la relatividad especial que fusionaba el tiempo y las tres dimensiones espaciales del espacio en un solo continuo de cuatro dimensiones ahora conocido como Minkowski. espacio. Una característica clave de esta interpretación es la definición formal del intervalo de espacio-tiempo. Aunque las mediciones de distancia y tiempo entre eventos difieren para las mediciones realizadas en diferentes marcos de referencia, el intervalo de espacio-tiempo es independiente del marco de referencia inercial en el que se registran.

La interpretación geométrica de la relatividad de Minkowski resultó ser vital para el desarrollo de Einstein de su teoría general de la relatividad de 1915, en la que mostró cómo la masa y la energía curvan el espacio-tiempo plano en una variedad pseudo-riemanniana.

Introducción

Definiciones

La mecánica clásica no relativista trata el tiempo como una cantidad universal de medida que es uniforme en todo el espacio y separada del espacio. La mecánica clásica asume que el tiempo tiene un ritmo de paso constante, independiente del estado de movimiento del observador o cualquier cosa externa. Además, supone que el espacio es euclidiano; asume que el espacio sigue la geometría del sentido común.

En el contexto de la relatividad especial, el tiempo no se puede separar de las tres dimensiones del espacio, porque la tasa observada a la que pasa el tiempo para un objeto depende de la velocidad del objeto en relación con el observador. La relatividad general también proporciona una explicación de cómo los campos gravitatorios pueden ralentizar el paso del tiempo para un objeto visto por un observador fuera del campo.

En el espacio ordinario, una posición se especifica mediante tres números, conocidos como dimensiones. En el sistema de coordenadas cartesianas, se denominan x, y y z. Una posición en el espacio-tiempo se denomina evento y requiere que se especifiquen cuatro números: la ubicación tridimensional en el espacio, más la posición en el tiempo (Fig. 1). Un evento se representa mediante un conjunto de coordenadas x, y, z y t. El espacio-tiempo es, por lo tanto, de cuatro dimensiones. Los eventos matemáticos tienen duración cero y representan un solo punto en el espacio-tiempo.

La trayectoria de una partícula a través del espacio-tiempo puede considerarse como una sucesión de eventos. La serie de eventos se puede vincular para formar una línea que representa el progreso de una partícula a través del espacio-tiempo. Esa línea se llama la línea mundial de la partícula.

Matemáticamente, el espacio es un Manifold, que es decir, parece localmente "flat" cerca de cada punto de la misma manera que, a pequeña escala, un globo aparece plano. Un factor de escala, c{displaystyle c} (convencionadamente llamado velocidad de la luz) relaciona distancias medida en el espacio con distancias medida en el tiempo. La magnitud de este factor de escala (cerca de 300.000 kilómetros o 190.000 millas en el espacio equivalente a un segundo en el tiempo), junto con el hecho de que el tiempo espacial es múltiples, implica que a velocidades ordinarias, no relativistas y a distancias ordinarias y a escala humana, es poco que los humanos puedan observar que es notablemente diferente de lo que podrían observar si el mundo fuera Euclidean. Fue sólo con el advenimiento de mediciones científicas sensibles a mediados del siglo XVIII, como el experimento Fizeau y el experimento Michelson-Morley, que comenzaron a notarse discrepancias desconcertantes entre las observaciones y las predicciones basadas en la hipótesis implícita del espacio euclidiano.

Figura 1-1. Cada ubicación en tiempo espacial está marcada por cuatro números definidos por un marco de referencia: la posición en el espacio, y el tiempo (que se puede visualizar como la lectura de un reloj situado en cada posición en el espacio). El 'observador' sincroniza los relojes según su propio marco de referencia.

En la relatividad especial, un observador, en la mayoría de los casos, significará un marco de referencia a partir del cual se mide un conjunto de objetos o eventos. Este uso difiere significativamente del significado ordinario del término en inglés. Los marcos de referencia son construcciones inherentemente no locales, y de acuerdo con este uso del término, no tiene sentido hablar de un observador como si tuviera una ubicación. En la figura 1-1, imagine que el marco en consideración está equipado con una densa red de relojes, sincronizados dentro de este marco de referencia, que se extiende indefinidamente a lo largo de las tres dimensiones del espacio. Cualquier ubicación específica dentro de la red no es importante. El enrejado de los relojes se utiliza para determinar la hora y la posición de los eventos que tienen lugar dentro de todo el marco. El término observador se refiere al conjunto completo de relojes asociados con un marco de referencia inercial. En este caso idealizado, cada punto en el espacio tiene un reloj asociado y, por lo tanto, los relojes registran cada evento instantáneamente, sin demora de tiempo entre un evento y su registro. Sin embargo, un observador real verá un retraso entre la emisión de una señal y su detección debido a la velocidad de la luz. Para sincronizar los relojes, en la reducción de datos posterior a un experimento, se corregirá la hora en que se recibe una señal para reflejar su hora real si hubiera sido registrada por una red idealizada de relojes.

En muchos libros sobre relatividad especial, especialmente en los más antiguos, la palabra "observador" se usa en el sentido más ordinario de la palabra. Suele quedar claro por el contexto qué significado se ha adoptado.

Los físicos distinguen entre lo que uno mide u observa (después de haber eliminado los retrasos en la propagación de la señal), versus lo que uno ve visualmente sin tales correcciones. La falta de comprensión de la diferencia entre lo que uno mide/observa versus lo que uno ve es la fuente de muchos errores entre los estudiantes principiantes de la relatividad.

Historia

Figura 1-2. Michelson y Morley esperaban que el movimiento a través del éter causaría un cambio de fase diferencial entre la luz que atraviesa los dos brazos de su aparato. La explicación más lógica de su resultado negativo, aether dragging, estaba en conflicto con la observación de la aberración estelar.

A mediados del siglo XIX, se consideró que varios experimentos, como la observación del punto de Arago y las mediciones diferenciales de la velocidad de la luz en el aire frente al agua, habían probado la naturaleza ondulatoria de la luz en oposición a una teoría corpuscular. Entonces se asumió que la propagación de ondas requería la existencia de un medio ondulante; en el caso de las ondas de luz, se consideró que se trataba de un hipotético éter luminífero. Sin embargo, los diversos intentos por establecer las propiedades de este hipotético medio arrojaron resultados contradictorios. Por ejemplo, el experimento de Fizeau de 1851, realizado por el físico francés Hippolyte Fizeau, demostró que la velocidad de la luz en el agua corriente era menor que la suma de la velocidad de la luz en el aire más la velocidad del agua en una cantidad dependiente del agua& #39;s índice de refracción. Entre otras cuestiones, la dependencia del arrastre parcial del éter implícito en este experimento del índice de refracción (que depende de la longitud de onda) llevó a la desagradable conclusión de que el éter simultáneamente fluye a diferentes velocidades para diferentes colores. de luz. El famoso experimento de Michelson-Morley de 1887 (Fig. 1-2) no mostró ninguna influencia diferencial de los movimientos de la Tierra a través del éter hipotético sobre la velocidad de la luz, y la explicación más probable, el arrastre completo del éter, estaba en conflicto con la observación de la aberración estelar.

George Francis FitzGerald en 1889 y Hendrik Lorentz en 1892 propusieron de forma independiente que los cuerpos materiales que viajaban a través del éter fijo se veían afectados físicamente por su paso, contrayéndose en la dirección del movimiento en una cantidad que era exactamente la necesaria para explicar el resultados negativos del experimento de Michelson-Morley. (No se producen cambios de longitud en direcciones transversales a la dirección del movimiento).

Para 1904, Lorentz había ampliado su teoría de tal manera que había llegado a ecuaciones formalmente idénticas a las que Einstein derivaría más tarde (es decir, la transformación de Lorentz), pero con una interpretación fundamentalmente diferente. Como teoría de la dinámica (el estudio de las fuerzas y los pares y su efecto sobre el movimiento), su teoría asumía deformaciones físicas reales de los constituyentes físicos de la materia. Las ecuaciones de Lorentz predijeron una cantidad a la que llamó hora local, con la que podía explicar la aberración de la luz, el experimento de Fizeau y otros fenómenos. Sin embargo, Lorentz consideraba que la hora local era solo una herramienta matemática auxiliar, un truco por así decirlo, para simplificar la transformación de un sistema a otro.

Otros físicos y matemáticos de principios de siglo estuvieron cerca de llegar a lo que actualmente se conoce como espacio-tiempo. El propio Einstein señaló que con tanta gente desentrañando piezas separadas del rompecabezas, "la teoría especial de la relatividad, si consideramos su desarrollo en retrospectiva, estaba lista para ser descubierta en 1905".

Hendrik Lorentz

Henri Poincaré

Albert Einstein

Hermann Minkowski

Figura 1-3.

Un ejemplo importante es Henri Poincaré, quien en 1898 argumentó que la simultaneidad de dos eventos es una cuestión de convención. En 1900, reconoció que la "hora local" es en realidad lo que indican los relojes en movimiento al aplicar una definición operativa explícita de sincronización de relojes asumiendo una velocidad de la luz constante. En 1900 y 1904, sugirió la indetectabilidad inherente del éter al enfatizar la validez de lo que llamó el principio de la relatividad, y en 1905/1906 perfeccionó matemáticamente la teoría de los electrones de Lorentz para ponerla de acuerdo con el postulado de la relatividad. Mientras discutía varias hipótesis sobre la gravitación invariante de Lorentz, introdujo el concepto innovador de un espacio-tiempo de 4 dimensiones al definir varios cuatro vectores, a saber, cuatro posiciones, cuatro velocidades y cuatro fuerzas. Sin embargo, no siguió el formalismo de 4 dimensiones en artículos posteriores, afirmando que esta línea de investigación parecía "implicar un gran dolor por un beneficio limitado", y finalmente concluyó que "el lenguaje tridimensional parece el más adecuado a la descripción de nuestro mundo". Además, incluso en 1909, Poincaré seguía creyendo en la interpretación dinámica de la transformada de Lorentz. Por estas y otras razones, la mayoría de los historiadores de la ciencia argumentan que Poincaré no inventó lo que ahora se llama relatividad especial.

En 1905, Einstein introdujo la relatividad especial (aunque sin utilizar las técnicas del formalismo del espacio-tiempo) en su comprensión moderna como teoría del espacio y el tiempo. Si bien sus resultados son matemáticamente equivalentes a los de Lorentz y Poincaré, Einstein demostró que las transformaciones de Lorentz no son el resultado de interacciones entre la materia y el éter, sino que se refieren a la naturaleza del espacio y el tiempo en sí. Obtuvo todos sus resultados al reconocer que toda la teoría puede basarse en dos postulados: el principio de relatividad y el principio de la constancia de la velocidad de la luz.

Einstein realizó su análisis en términos de cinemática (el estudio de cuerpos en movimiento sin referencia a fuerzas) en lugar de dinámica. Su trabajo de introducción al tema estaba lleno de imágenes vívidas que involucraban el intercambio de señales de luz entre relojes en movimiento, mediciones cuidadosas de las longitudes de las varillas en movimiento y otros ejemplos similares.

Además, en 1905, Einstein reemplazó los intentos previos de una relación electromagnética masa-energía al introducir la equivalencia general de masa y energía, que fue fundamental para su posterior formulación del principio de equivalencia en 1907, que declara la equivalencia de la inercia y la energía. masa gravitatoria. Al usar la equivalencia masa-energía, Einstein demostró, además, que la masa gravitatoria de un cuerpo es proporcional a su contenido de energía, que fue uno de los primeros resultados en el desarrollo de la relatividad general. Si bien parecería que al principio no pensó geométricamente sobre el espacio-tiempo, en el desarrollo posterior de la relatividad general, Einstein incorporó completamente el formalismo del espacio-tiempo.

Cuando Einstein publicó en 1905, otro de sus competidores, su antiguo profesor de matemáticas Hermann Minkowski, también había llegado a la mayoría de los elementos básicos de la relatividad especial. Max Born relató un encuentro que había hecho con Minkowski, buscando ser alumno/colaborador de Minkowski:

Fui a Colonia, conocí a Minkowski y escuché su célebre conferencia 'Espacio y Tiempo' pronunciada el 2 de septiembre de 1908. [...] Me dijo más tarde que llegó a él como un gran shock cuando Einstein publicó su papel en el que se pronunciaba la equivalencia de los diferentes tiempos locales de observadores que se mueven unos con otros; porque había llegado a las mismas conclusiones independientemente, pero no las publicó porque deseaba primero trabajar la estructura matemática en todo su esplendor. Nunca hizo un reclamo prioritario y siempre dio a Einstein su parte completa en el gran descubrimiento.

Minkowski se había preocupado por el estado de la electrodinámica después de los experimentos disruptivos de Michelson al menos desde el verano de 1905, cuando Minkowski y David Hilbert dirigieron un seminario avanzado al que asistieron destacados físicos de la época para estudiar los artículos de Lorentz., Poincaré et al. Sin embargo, no está del todo claro cuándo comenzó Minkowski a formular la formulación geométrica de la relatividad especial que llevaría su nombre, o en qué medida fue influenciado por la interpretación tetradimensional de la transformación de Lorentz de Poincaré. Tampoco está claro si alguna vez apreció completamente la contribución crítica de Einstein a la comprensión de las transformaciones de Lorentz, pensando en el trabajo de Einstein como una extensión del trabajo de Lorentz.

Figura 1-4. Transparencia a mano presentada por Minkowski en su 1908 Raum und Zeit conferencia

El 5 de noviembre de 1907 (poco más de un año antes de su muerte), Minkowski presentó su interpretación geométrica del espacio-tiempo en una conferencia en la sociedad matemática de Göttingen con el título El principio de la relatividad (Das Relativitätsprinzip). El 21 de septiembre de 1908, Minkowski presentó su famosa charla, Espacio y tiempo (Raum und Zeit), ante la Sociedad Alemana de Científicos y Médicos. Las palabras iniciales de Space and Time incluyen la famosa declaración de Minkowski de que "De ahora en adelante, el espacio para sí mismo y el tiempo para sí mismo se reducirán por completo a una mera sombra, y solo a una especie de la unión de los dos preservará la independencia." Space and Time incluyó la primera presentación pública de diagramas de espacio-tiempo (Fig. 1-4), e incluyó una demostración notable de que el concepto de intervalo invariante (discutido a continuación), junto con la observación empírica de que la velocidad de la luz es finita, permite derivar la totalidad de la relatividad especial.

El concepto de espacio-tiempo y el grupo de Lorentz están estrechamente relacionados con ciertos tipos de geometrías esféricas, hiperbólicas o conformes y sus grupos de transformación ya desarrollados en el siglo XIX, en los que se utilizan intervalos invariantes análogos al intervalo del espacio-tiempo.

Einstein, por su parte, desdeñó inicialmente la interpretación geométrica de la relatividad especial de Minkowski, considerándola como überflüssige Gelehrsamkeit (conocimiento superfluo). Sin embargo, para completar su búsqueda de la relatividad general que comenzó en 1907, la interpretación geométrica de la relatividad resultó ser vital y, en 1916, Einstein reconoció plenamente su deuda con Minkowski, cuya interpretación facilitó enormemente la transición a la relatividad general. Dado que existen otros tipos de espaciotiempo, como el espaciotiempo curvo de la relatividad general, el espaciotiempo de la relatividad especial se conoce hoy como espaciotiempo de Minkowski.

Espacio-tiempo en relatividad especial

Intervalo de espacio-tiempo

En tres dimensiones, la distancia Δ Δ d{displaystyle Delta {d} entre dos puntos se puede definir utilizando el teorema pitagórico:

()Δ Δ d)2=()Δ Δ x)2+()Δ Δ Sí.)2+()Δ Δ z)2{displaystyle (Delta {d})}{2}=(Delta {x}^{2}+() Delta {y})} {2}+(Delta {z})}{2}}

Aunque dos espectadores pueden medir la posición x, y y z de los dos puntos utilizando diferentes sistemas de coordenadas, la distancia entre los los puntos serán los mismos para ambos (asumiendo que están midiendo usando las mismas unidades). La distancia es "invariante".

En relatividad especial, sin embargo, la distancia entre dos puntos ya no es la misma si la miden dos observadores diferentes cuando uno de los observadores se está moviendo, debido a la contracción de Lorentz. La situación es aún más complicada si los dos puntos están separados tanto en el tiempo como en el espacio. Por ejemplo, si un observador ve que ocurren dos eventos en el mismo lugar, pero en momentos diferentes, una persona que se mueve con respecto al primer observador verá que los dos eventos ocurren en lugares diferentes, porque (desde su punto de vista) son estacionarios., y la posición del evento se aleja o se acerca. Por lo tanto, se debe utilizar una medida diferente para medir la "distancia" entre dos eventos.

En cuatro dimensiones, el analógico a distancia es el intervalo. Aunque el tiempo viene como una cuarta dimensión, se trata diferentemente que las dimensiones espaciales. Por lo tanto, el espacio de Minkowski difiere en aspectos importantes del espacio euclidiano cuadrienal. La razón fundamental para fusionar el espacio y el tiempo en tiempo espacial es que el espacio y el tiempo no son invariables por separado, lo que es decir que, en las condiciones adecuadas, los distintos observadores discrepan sobre la duración del tiempo entre dos eventos (por causa de la dilatación del tiempo) o la distancia entre los dos eventos (por contracción prolongada). Pero la relatividad especial proporciona un nuevo invariante, llamado el intervalo de tiempo, que combina distancias en el espacio y en el tiempo. Todos los observadores que miden el tiempo y la distancia entre ambos eventos terminarán computando el mismo intervalo espacial. Supongamos que un observador mide dos eventos separados a tiempo Δ Δ t{displaystyle Delta t} y una distancia espacial Δ Δ x.{displaystyle Delta x.} Luego el intervalo de tiempo espacial ()Δ Δ s)2{displaystyle (Delta {s}} {2}} entre los dos eventos que están separados por una distancia Δ Δ x{displaystyle Delta {x} en el espacio y por Δ Δ ct=cΔ Δ t{displaystyle Delta {ct}=cDelta t} en el ct{displaystyle ct}-coordinado es:

()Δ Δ s)2=()Δ Δ ct)2− − ()Δ Δ x)2,{displaystyle (Delta s)^{2}=(Delta ct)^{2}-(Delta x)^{2}

o para tres dimensiones espaciales,

()Δ Δ s)2=()Δ Δ ct)2− − ()Δ Δ x)2− − ()Δ Δ Sí.)2− − ()Δ Δ z)2.{displaystyle (Delta s)^{2}=(Delta ct)^{2}-(Delta x)^{2}-(Delta y)^{2}-(Delta z)^{2}.}

La constante c,{displaystyle c,} la velocidad de la luz, convierte unidades de tiempo (como segundos) en unidades espaciales (como metros). El intervalo cuadrado Δ Δ s2{displaystyle Delta s^{2} es una medida de separación entre eventos A y B que están separados por el tiempo y además el espacio separado ya sea porque hay dos objetos separados que están ocurriendo, o porque un solo objeto en el espacio se está moviendo inercialmente entre sus eventos. El intervalo de separación se deriva mediante la separación de la distancia espacial que separa el evento B del evento A y la restringe de la plaza de la distancia espacial viajada por una señal de luz en ese mismo intervalo de tiempo Δ Δ t{displaystyle Delta t}. Si la separación del evento se debe a una señal de luz, entonces esta diferencia desaparece y Δ Δ s=0{displaystyle Delta s=0}.

Cuando el evento considerado es infinitesimalmente cercano entre sí, entonces podemos escribir

ds2=c2dt2− − dx2− − dSí.2− − dz2.{displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-di^{2}-dz^{2}

En un marco inercial diferente, digamos con coordenadas ()t.,x.,Sí..,z.){displaystyle (t',x',y',z')}, el intervalo de tiempo espacial ds.{displaystyle ds} puede ser escrito en la misma forma que arriba. Debido a la constancia de la velocidad de la luz, los eventos de luz en todos los marcos inerciales pertenecen a intervalo cero, ds=ds.=0{displaystyle ds=ds=0}. Para cualquier otro evento infinitesimal donde dsل ل 0{displaystyle dsneq 0}, uno puede probar que ds2=ds.2{displaystyle ¿Qué?que a su vez conduce a la integración s=s.{displaystyle s=s}. La invariancia del intervalo de cualquier evento entre todos los marcos interciales de referencia es uno de los resultados fundamentales de la teoría especial de la relatividad.

Aunque para la brevedad, se suele ver las expresiones de intervalo expresadas sin deltas, incluso en la mayoría de las siguientes discusiones, se debe entender que en general, x{displaystyle x} medios Δ Δ x{displaystyle Delta {x}, etc. Siempre nos preocupa diferencias de valores espaciales o temporales de coordenadas pertenecientes a dos eventos, y dado que no hay origen preferido, los valores de coordenadas individuales no tienen significado esencial.

Gráfico 2 a 1. Diagrama espacial que ilustra dos fotones, A y B, originados en el mismo evento, y un objeto de velocidad más lenta, C

La ecuación anterior es similar al teorema pitagórico, excepto con un signo menos entre el ()ct)2{displaystyle (ct)^{2} y el x2{displaystyle x^{2} términos. El intervalo espacio es la cantidad s2,{displaystyle s^{2} no s{displaystyle s} en sí mismo. La razón es que a diferencia de las distancias en la geometría euclidiana, los intervalos en el espacio de Minkowski pueden ser negativos. En lugar de tratar con raíces cuadradas de números negativos, los físicos suelen considerar s2{displaystyle s^{2} como un símbolo distinto en sí mismo, en lugar de la plaza de algo.

En general s2{displaystyle s^{2} puede asumir cualquier valor del número real. Si s2{displaystyle s^{2} es positivo, el intervalo de tiempo espacial se conoce como tiempo. Puesto que la distancia espacial atravesada por cualquier objeto masivo es siempre menos que la distancia viajada por la luz durante el mismo intervalo de tiempo, los intervalos reales siempre son temporales. Si s2{displaystyle s^{2} es negativo, se dice que el intervalo espacio es espacio, donde el intervalo espacial es imaginario. Los intervalos de tiempo espacial son iguales a cero cuando x=± ± ct.{displaystyle x=pm ct.} En otras palabras, el intervalo espacial entre dos eventos en la línea mundial de algo que se mueve a la velocidad de la luz es cero. Tal intervalo se denomina ligero o nulo. Un fotón que llega a nuestro ojo desde una estrella distante no habrá envejecido, a pesar de haber (desde nuestra perspectiva) pasado años en su paso.

Un diagrama de tiempo espacial se dibuja típicamente con un solo espacio y una única coordinación de tiempo. El gráfico 2-1 presenta un diagrama de tiempo espacial que ilustra las líneas del mundo (es decir, caminos en tiempo espacial) de dos fotones, A y B, originarios del mismo evento y yendo en direcciones opuestas. Además, C ilustra la línea mundial de un objeto de velocidad más lenta que ligera. El tiempo vertical es escalado por c{displaystyle c} para que tenga las mismas unidades (metros) que la coordinación horizontal del espacio. Desde que los fotones viajan a la velocidad de la luz, sus líneas mundiales tienen una pendiente de ±1. En otras palabras, cada metro que un fotón viaja a la izquierda o a la derecha requiere aproximadamente 3.3 nanosegundos de tiempo.

Hay dos convenciones de signos en uso en la literatura sobre relatividad:

s2=()ct)2− − x2− − Sí.2− − z2{displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

y

s2=− − ()ct)2+x2+Sí.2+z2{displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Estas convenciones de signos están asociadas con las firmas métricas (+−−−) y (−+++). Una variación menor es colocar la coordenada de tiempo al final en lugar de al principio. Ambas convenciones son ampliamente utilizadas dentro del campo de estudio.

Marcos de referencia

Figura 2-2. Diagrama Galileo de dos marcos de referencia en configuración estándar

Figura 2–3. a) Diagrama Galileo de dos marcos de referencia en la configuración estándar, b) diagrama espacial de dos marcos de referencia, c) diagrama espacial que muestra el camino de un pulso de luz reflejado

Para comprender cómo se comparan entre sí las coordenadas del espacio-tiempo medidas por los observadores en diferentes marcos de referencia, es útil trabajar con una configuración simplificada con marcos en una configuración estándar. Con cuidado, esto permite simplificación de las matemáticas sin pérdida de generalidad en las conclusiones a las que se llega. En la Fig. 2-2, se muestran dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos convencionales de 3 espacios) en movimiento relativo. El marco S pertenece a un primer observador O, y el marco S′ (pronunciado "S primo") pertenece a un segundo observador O′.

• El x, Sí., z ejes de marco S están orientados paralelamente a los ejes primos respectivos del marco S′.
• Frame S′ se mueve en el x-dirección del marco S con una velocidad constante v medida en el marco S.
• Los orígenes de los marcos S y S′ son coincidentes cuando el tiempo t = 0 para el marco S y t′ = 0 para el marco S′.

fig. 2-3a vuelve a dibujar la figura 2-2 con una orientación diferente. La figura 2-3b ilustra un diagrama de espacio-tiempo desde el punto de vista del observador O. Dado que S y S′ tienen una configuración estándar, sus orígenes coinciden en los tiempos t = 0 en el marco S y t′ = 0 en el marco S′. El eje ct′ pasa por los eventos en el marco S′ que tienen x′ = 0. Pero los puntos con x′ = 0 se están moviendo en la dirección x del cuadro S con velocidad v, de modo que no coincidan con el eje ct en ningún momento distinto de cero. Por lo tanto, el eje ct′ está inclinado con respecto al eje ct un ángulo θ dado por

#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )=v/c.{displaystyle tan(theta)=v/c.}

El eje x′ también está inclinado con respecto al eje x. Para determinar el ángulo de esta inclinación, recordamos que la pendiente de la línea universal de un pulso de luz es siempre ±1. La figura 2-3c presenta un diagrama de espacio-tiempo desde el punto de vista del observador O′. El evento P representa la emisión de un pulso de luz en x′ = 0, ct′ = −a. El pulso se refleja en un espejo situado a una distancia a de la fuente de luz (evento Q) y regresa a la fuente de luz en x′ = 0, ct ′ = a (evento R).

Los mismos eventos P, Q, R se trazan en la Fig. 2-3b en el marco del observador O. Los caminos de luz tienen pendientes = 1 y −1, de modo que △PQR forma un triángulo rectángulo con PQ y QR ambos. a 45 grados de los ejes x y ct. Dado que OP = OQ = OR, el ángulo entre x′ y x también debe ser θ.

Mientras que el marco de reposo tiene ejes de espacio y tiempo que se encuentran en ángulos rectos, el marco en movimiento se dibuja con ejes que se encuentran en un ángulo agudo. Los marcos son en realidad equivalentes. La asimetría se debe a distorsiones inevitables en la forma en que las coordenadas del espacio-tiempo se pueden representar en un plano cartesiano, y no debe considerarse más extraña que la forma en que, en una proyección Mercator de la Tierra, los tamaños relativos de las masas de tierra cerca de los polos (Groenlandia y Antártida) son muy exageradas en relación con las masas de tierra cerca del ecuador.

Cono de luz

Figura 2-4. El cono de luz centrado en un evento divide el resto de tiempo espacial en el futuro, el pasado, y "en otro lugar"

En la figura 2-4, el evento O está en el origen de un diagrama de espacio-tiempo y las dos líneas diagonales representan todos los eventos que tienen un intervalo de espacio-tiempo cero con respecto al evento de origen. Estas dos líneas forman lo que se llama el cono de luz del evento O, ya que al agregar una segunda dimensión espacial (Fig. 2-5) se obtiene la apariencia de dos conos circulares rectos que se encuentran con sus vértices en O Un cono se extiende hacia el futuro (t>0), el otro hacia el pasado (t<0).

Figura 2-5. Cono de luz en espacio 2D más una dimensión del tiempo

Un cono (doble) de luz divide el espacio-tiempo en regiones separadas con respecto a su vértice. El interior del futuro cono de luz consta de todos los eventos que están separados del vértice por más tiempo (distancia temporal) del necesario para cruzar su distancia espacial a la velocidad de la luz; estos eventos comprenden el futuro temporal del evento O. Asimismo, el pasado temporal comprende los eventos interiores del pasado cono de luz. Entonces, en intervalos temporales Δct es mayor que Δx, lo que hace que los intervalos temporales sean positivos. La región exterior al cono de luz consta de eventos que están separados del evento O por más espacio del que se puede cruzar a la velocidad de la luz en el tiempo dado. Estos eventos comprenden la llamada región espacial del evento O, indicada como "En otro lugar" en la figura 2-4. Se dice que los eventos en el cono de luz en sí son similares a la luz (o separados por cero) de O. Debido a la invariancia del intervalo de espacio-tiempo, todos los observadores asignarán el mismo cono de luz a cualquier evento dado, y por lo tanto estarán de acuerdo en esta división del espacio-tiempo.

El cono de luz tiene un papel fundamental dentro del concepto de causalidad. Es posible que una señal no más rápida que la velocidad de la luz viaje desde la posición y el tiempo de O hasta la posición y el tiempo de D (Fig. 2-4). Por lo tanto, es posible que el evento O tenga una influencia causal en el evento D. El futuro cono de luz contiene todos los eventos que podrían estar causalmente influenciados por O. Asimismo, es posible que una señal que no sea más rápida que la velocidad de la luz viajan desde la posición y el tiempo de A hasta la posición y el tiempo de O. El cono de luz pasado contiene todos los eventos que podrían tener una influencia causal en O. Por el contrario, suponiendo que las señales no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, cualquier evento, como p. B o C, en la región similar al espacio (En otro lugar), no pueden afectar el evento O, ni pueden ser afectados por el evento O empleando dicha señalización. Bajo esta suposición, se excluye cualquier relación causal entre el evento O y cualquier evento en la región similar al espacio de un cono de luz.

Relatividad de la simultaneidad

Figura 2-6. Animación que ilustra la relatividad de la simultaneidad

Todos los observadores estarán de acuerdo en que para cualquier evento dado, un evento dentro del futuro cono de luz del evento dado ocurre después del evento dado. Del mismo modo, para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz pasado del evento dado ocurre antes del evento dado. La relación antes-después observada para eventos separados en el tiempo permanece sin cambios sin importar el marco de referencia del observador, es decir, sin importar cómo se mueva el observador. La situación es bastante diferente para eventos separados en forma de espacio. La figura 2-4 se dibujó a partir del marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0. A partir de este marco de referencia, se observa que ocurre el evento C después del evento O, y se observa que el evento B ocurre antes del evento O. Desde un marco de referencia diferente, el orden de estos eventos no relacionados causalmente se puede invertir. En particular, se observa que si dos eventos son simultáneos en un marco de referencia particular, están necesariamente separados por un intervalo similar al espacio y, por lo tanto, no están relacionados causalmente. La observación de que la simultaneidad no es absoluta, sino que depende del marco de referencia del observador, se denomina relatividad de la simultaneidad.

fig. 2-6 ilustra el uso de diagramas de espacio-tiempo en el análisis de la relatividad de la simultaneidad. Los eventos en el espacio-tiempo son invariantes, pero los marcos de coordenadas se transforman como se discutió anteriormente para la figura 2-3. Los tres eventos (A, B, C) son simultáneos desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0. Desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0.3c, los eventos parecen ocurren en el orden C, B, A. Desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = −0.5 c, los eventos parecen ocurrir en el orden A, B, C. La línea blanca representa un plano de simultaneidad que se mueve desde el pasado del observador hacia el futuro del observador, destacando los eventos que residen en él. El área gris es el cono de luz del observador, que permanece invariable.

Un intervalo espacial similar da la misma distancia que un observador mediría si los eventos que se midieran fueran simultáneos al observador. Por lo tanto, un intervalo espacial proporciona una medida distancia adecuada, es decir, la verdadera distancia = − − s2.{displaystyle {sqrt {}}} Del mismo modo, un intervalo de tiempo similar al espacio da la misma medida del tiempo que sería presentado por el cosquilleo acumulativo de un reloj que se mueve a lo largo de una línea mundial dada. Por lo tanto, un intervalo temporal proporciona una medida tiempo apropiado = s2.{displaystyle {sqrt {}}}}

Hipérbola invariante

Figura 2-7. a) Familias de hiperbolae invariable, b) Hiperboloides de dos hojas y una hoja

En el espacio euclidiano (que solo tiene dimensiones espaciales), el conjunto de puntos equidistantes (usando la métrica euclidiana) de algún punto forman un círculo (en dos dimensiones) o una esfera (en tres dimensiones). En (1+1)-dimensional el espacio-tiempo de Minkowski (que tiene una dimensión temporal y una espacial), los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante lejos del origen (usando la métrica de Minkowski) forman curvas dadas por las dos ecuaciones

()ct)2− − x2=± ± s2,{displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=pm s^{2}

con s2{displaystyle s^{2}una constante real positiva. Estas ecuaciones describen dos familias de hiperbolae en un x–ct diagrama espacial, que se denomina hiperbolae invariante.

En la figura 2-7a, cada hipérbola magenta conecta todos los eventos que tienen una separación espacial fija desde el origen, mientras que las hipérbolas verdes conectan eventos con la misma separación temporal.

La hipérbola magenta, que cruza la x axis, son curvas de tiempo, que es decir que estas hiperbolas representan caminos reales que pueden ser atravesados por partículas (constantly accelerating) en tiempo espacial: Entre los dos eventos en una hiperbola es posible una relación de causalidad, porque la inversa de la pendiente —representando la velocidad necesaria— para todos los secantes es menos que c{displaystyle c}. Por otro lado, la hiperbola verde, que cruza la ct axis, son curvas espaciales porque todos los intervalos y estos hiperbolae son intervalos espaciales: Ninguna causalidad es posible entre dos puntos en uno de estos hiperbolae, porque todos los secantes representan velocidades más grandes que c{displaystyle c}.

fig. 2-7b refleja la situación en el espacio-tiempo (1+2)-dimensional Minkowski (una dimensión temporal y dos espaciales) con los hiperboloides correspondientes. Las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos espaciales desde el origen generan hiperboloides de una hoja, mientras que las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos temporales desde el origen generan hiperboloides de dos hojas.

El límite dimensional (1+2) entre los hiperboloides de tipo espacial y temporal, establecido por los eventos que forman un intervalo de espacio-tiempo cero hasta el origen, se forma mediante la degeneración de los hiperboloides al cono de luz. En dimensiones (1+1), las hipérbolas degeneran en las dos líneas grises de 45° representadas en la figura 2-7a.

Dilatación del tiempo y contracción de la longitud

Figura 2-8. La hiperbola invariante comprende los puntos que se pueden alcanzar desde el origen en un tiempo fijo adecuado por los relojes que viajan a diferentes velocidades

fig. 2-8 ilustra la hipérbola invariable para todos los eventos que se pueden alcanzar desde el origen en un tiempo propio de 5 metros (aproximadamente 1,67×10⁻⁸ s). Las diferentes líneas del mundo representan relojes que se mueven a diferentes velocidades. Un reloj que está estacionario con respecto al observador tiene una línea universal que es vertical, y el tiempo transcurrido medido por el observador es el mismo que el tiempo propio. Para un reloj que viaja a 0,3 c, el tiempo transcurrido medido por el observador es de 5,24 metros (1,75×10⁻⁸ s), mientras que para un reloj que viaja a 0,7 c, el tiempo transcurrido medido por el observador es de 7,00 metros (2,34×10⁻⁸ s). Esto ilustra el fenómeno conocido como dilatación del tiempo. Los relojes que viajan más rápido tardan más (en el marco del observador) en marcar la misma cantidad de tiempo propio, y viajan más a lo largo del eje x dentro de ese tiempo propio de lo que habrían hecho sin la dilatación del tiempo. La medición de la dilatación del tiempo por parte de dos observadores en diferentes marcos de referencia inerciales es mutua. Si el observador O mide los relojes del observador O′ como más lentos en su marco, el observador O′ a su vez medirá los relojes del observador O como más lentos.

Figura 2-9. En este diagrama de tiempo espacial, la longitud de 1 m de la varilla en movimiento, medida en el marco primogénito, es la distancia predestinada OC cuando se proyecta sobre el marco desprendido.

La contracción de la longitud, como la dilatación del tiempo, es una manifestación de la relatividad de la simultaneidad. La medición de la longitud requiere la medición del intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos que son simultáneos en el marco de referencia de uno. Pero los eventos que son simultáneos en un marco de referencia, en general, no son simultáneos en otros marcos de referencia.

fig. 2-9 ilustra los movimientos de una varilla de 1 m que se desplaza a 0,5 c a lo largo del eje x. Los bordes de la banda azul representan las líneas de mundo de los dos extremos de la barra. La hipérbola invariante ilustra eventos separados del origen por un intervalo espacial de 1 m. Los extremos O y B medidos cuando t′ = 0 son eventos simultáneos en el marco S′. Pero para un observador en el marco S, los eventos O y B no son simultáneos. Para medir la longitud, el observador en el cuadro S mide los puntos finales de la barra proyectada sobre el eje x a lo largo de sus líneas universales. La proyección de la hoja mundial de la varilla sobre el eje x produce la longitud en escorzo OC.

(no ilustrado) Dibujar una línea vertical a través de A de modo que interseque el eje x′ demuestra que, incluso cuando OB está en escorzo desde el punto de vista del observador O, OA también lo está en escorzo desde el punto de vista del observador O′. De la misma manera que cada observador mide los relojes del otro como lentos, cada observador mide las reglas del otro como contraídos.

En lo que respecta a la contracción de longitud mutua, la figura 2-9 ilustra que los marcos con y sin prima se giran mutuamente en un ángulo hiperbólico (análogo a los ángulos ordinarios en la geometría euclidiana). Debido a esta rotación, la proyección de una regla métrica imprimada sobre el eje x no imprimado se acorta, mientras que la proyección de una regla métrica no imprimada sobre el eje x′ imprimado también se acorta.

Dilatación temporal mutua y la paradoja de los gemelos

Dilatación mutua del tiempo

La dilatación mutua del tiempo y la contracción de la longitud tienden a sorprender a los principiantes como conceptos inherentemente contradictorios. Si un observador en el marco S mide un reloj, en reposo en el marco S', que corre más lento que el suyo', mientras que S' se mueve a una velocidad v en S, entonces el principio de relatividad requiere que un observador en el marco S' también mide un reloj en el marco S, moviéndose a la velocidad −v en S', como si fuera más lento que el de ella. Cómo dos relojes pueden correr ambos más lentos que el otro, es una pregunta importante que "va al corazón de la comprensión de la relatividad especial".

Esta aparente contradicción se deriva de no tener en cuenta correctamente las diferentes configuraciones de las medidas relacionadas necesarias. Estos ajustes permiten una explicación consistente de la contradicción solo aparente. No se trata del tictac abstracto de dos relojes idénticos, sino de cómo medir en un cuadro la distancia temporal de dos tictacs de un reloj en movimiento. Resulta que en la observación mutua de la duración entre tics de relojes, cada uno moviéndose en el marco respectivo, deben estar involucrados diferentes conjuntos de relojes. Para medir en el cuadro S la duración del tic de un reloj en movimiento W′ (en reposo en S′), se utilizan dos relojes sincronizados adicionales W₁ y W₂ en reposo en dos puntos fijados arbitrariamente en S con la distancia espacial d.

Dos eventos se pueden definir por la condición "dos relojes están simultáneamente en un lugar", es decir, cuando W′ pasa cada W₁ y W₂. Para ambos eventos se registran las dos lecturas de los relojes colocados. La diferencia de las dos lecturas de W₁ y W₂ es la distancia temporal de los dos eventos en S, y su distancia espacial es d. La diferencia de las dos lecturas de W′ es la distancia temporal de los dos eventos en S′. En S′ estos eventos sólo se separan en el tiempo, suceden en el mismo lugar en S′. Debido a la invariancia del intervalo espacial abarcado por estos dos eventos, y la separación espacial no cero d en S, la distancia temporal en S′ debe ser menor que la de S: la más pequeño distancia temporal entre los dos eventos, resultante de las lecturas del reloj móvil W′, pertenece al más lento reloj de funcionamiento W′.

Por el contrario, para juzgar en el marco S′ la distancia temporal de dos eventos en un reloj en movimiento W (en reposo en S), se necesitan dos relojes en reposo en S′.

En esta comparación el reloj W se mueve con velocidad −v. Grabar de nuevo las cuatro lecturas para los eventos, definidas por "dos relojes simultáneamente en un lugar", resulta en las distancias temporales análogas de los dos eventos, ahora temporalmente y espacialmente separados en S′, y sólo temporalmente separados pero colocados en S. Para mantener el intervalo de tiempo espacial invariante, la distancia temporal en S debe ser menor que en S′, debido a la separación espacial de los eventos en S′: ahora el reloj W se observa para correr más lento.

Las grabaciones necesarias para los dos juicios, con "un reloj en movimiento" y "dos relojes en reposo" en S o S′ respectivamente, involucra dos conjuntos diferentes, cada uno con tres relojes. Dado que hay diferentes conjuntos de relojes involucrados en las mediciones, no existe una necesidad inherente de que las mediciones sean recíprocamente "consistentes" tal que, si un observador mide que el reloj en movimiento es lento, el otro observador mide que el reloj de uno es rápido.

Figura 2-10. Dilatación de tiempo mutuo

fig. 2-10 ilustra la discusión previa de la dilatación mutua del tiempo con los diagramas de Minkowski. La imagen superior refleja las medidas vistas desde el cuadro S "en reposo" con ejes rectangulares, sin imprimar, y marco S′ "moviéndose con v > 0", coordinado por ejes oblicuos con imprimación, inclinados a la derecha; la imagen inferior muestra el cuadro S′ "en reposo" con coordenadas rectangulares imprimadas y marco S "moviéndose con −v < 0", con ejes oblicuos, sin imprimar, inclinados a la izquierda.

Cada línea trazada paralela a un eje espacial (x, x′) representa una línea de simultaneidad. Todos los eventos en dicha línea tienen el mismo valor de tiempo (ct, ct′). Asimismo, cada línea dibujada paralela a un eje temporal (ct, ct′) representa una línea de valores de coordenadas espaciales iguales (x, x′).

Uno puede designar en ambas imágenes el origen O (= O.) como el evento, donde el respectivo "reloj móvil" se colocó con el "primer reloj en reposo" en ambas comparaciones. Obviamente, para este evento las lecturas de ambos relojes en ambas comparaciones son cero. Como consecuencia, las líneas de los relojes en movimiento son las inclinadas a la derecha ct′-eje (imágenes superiores, reloj W′) y el inclinado a la izquierda ct-axes (imagenes inferiores, reloj W). El mundo de W₁ y W₁ son los ejes de tiempo vertical correspondientes (ct en las imágenes superiores, y ct′ en las imágenes inferiores).

En la imagen superior el lugar para W₂ se ha tomado A_x > 0, y por lo tanto la línea del mundo (no se muestra en las imágenes) de este reloj interseca la línea del reloj en movimiento (el ct′-eje) en el evento etiquetado A, donde "dos relojes están simultáneamente en un lugar". En la imagen inferior el lugar para W₂ se ha tomado C_x.0, y así en esta medición el reloj móvil W pasa W₂ en el evento C.

En la imagen superior ct-coordinado A_t del evento A (la lectura de W₂) está etiquetado B, dando así el tiempo transcurrido entre los dos eventos, medido con W₁ y W₂, como OB. Para una comparación, la longitud del intervalo de tiempo OA, medido con W′, debe ser transformado a la escala de la ct-Eje. Esto es hecho por la hiperbola invariante (ver también Fig. 2-8) a través de A, conectar todos los eventos con el mismo intervalo de tiempo espacial desde el origen A. Esto produce el evento C sobre ct-eje, y obviamente: OC.OB, el reloj de movimiento W′ funciona más lento.

Para mostrar la dilatación temporal mutua inmediatamente en la imagen superior, el evento D puede construirse como el evento en x′ = 0 (la ubicación del reloj W′ en S′), que es simultáneo a C (OC tiene el mismo intervalo de espacio-tiempo que OA) en S′. Esto muestra que el intervalo de tiempo OD es más largo que OA, mostrando que el "moving" el reloj corre más lento.

En la imagen inferior, el marco S se mueve con velocidad −v en el marco S′ en reposo. La línea de mundo del reloj W es el eje ct (inclinado hacia la izquierda), la línea de mundo de W′₁ es el eje ct′ vertical. y la línea de mundo de W′₂ es el evento vertical C, con la coordenada ct′ D. La hipérbola invariante a través del evento C escala el intervalo de tiempo OC a OA, que es más corto que OD; además, B se construye (similar a D en las imágenes superiores) como simultáneo a A en S, en x = 0. El resultado OB > OC corresponde de nuevo a lo anterior.

La palabra "medir" es importante. En la física clásica, un observador no puede afectar a un objeto observado, pero el estado de movimiento del objeto puede afectar las observaciones del observador sobre el objeto.

Paradoja de los gemelos

Muchas introducciones a la relatividad especial ilustran las diferencias entre la relatividad galileana y la relatividad especial planteando una serie de "paradojas". Estas paradojas son, de hecho, problemas mal planteados, resultado de nuestra falta de familiaridad con velocidades comparables a la velocidad de la luz. El remedio es resolver muchos problemas de la relatividad especial y familiarizarse con sus llamadas predicciones contrarias a la intuición. El enfoque geométrico para estudiar el espacio-tiempo se considera uno de los mejores métodos para desarrollar una intuición moderna.

La paradoja de los gemelos es un experimento mental que involucra a gemelos idénticos, uno de los cuales hace un viaje al espacio en un cohete de alta velocidad y regresa a casa para descubrir que el gemelo que permaneció en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo observa que el otro gemelo se mueve, por lo que, a primera vista, parecería que cada uno debería encontrar que el otro ha envejecido menos. La paradoja de los gemelos elude la justificación de la dilatación mutua del tiempo presentada anteriormente al evitar el requisito de un tercer reloj. Sin embargo, la paradoja de los gemelos no es una verdadera paradoja porque se entiende fácilmente dentro del contexto de la relatividad especial.

La impresión de que existe una paradoja proviene de una mala interpretación de lo que establece la relatividad especial. La relatividad especial no declara que todos los marcos de referencia sean equivalentes, solo marcos inerciales. El marco del gemelo que viaja no es inercial durante los períodos en los que está acelerando. Además, la diferencia entre los gemelos es detectable por observación: el gemelo que viaja necesita disparar sus cohetes para poder regresar a casa, mientras que el gemelo que se queda en casa no.

Figura 2-11. explicación espacial de la paradoja gemela

Estas distinciones deberían resultar en una diferencia en los gemelos' siglos. El diagrama de espacio-tiempo de la figura 2-11 presenta el caso simple de un gemelo que avanza en línea recta a lo largo del eje x e inmediatamente regresa. Desde el punto de vista del gemelo que se queda en casa, no hay nada desconcertante en la paradoja de los gemelos. El tiempo propio medido a lo largo de la línea del mundo del gemelo que viaja de O a C, más el tiempo propio medido de C a B, es menor que el tiempo propio del gemelo que se queda en casa medido de O a A a B. Las trayectorias más complejas requieren integrar el tiempo propio entre los eventos respectivos a lo largo de la curva (es decir, la integral de trayectoria) para calcular la cantidad total de tiempo propio experimentado por el gemelo que viaja.

Surgen complicaciones si la paradoja de los gemelos se analiza desde el punto de vista del gemelo viajero.

En lo sucesivo se utiliza la nomenclatura de Weiss, que designa al gemelo que se queda en casa como Terence y al gemelo que viaja como Stella.

Stella no está en un marco inercial. Dado este hecho, a veces se afirma incorrectamente que la resolución completa de la paradoja de los gemelos requiere la relatividad general:

A pure SR analysis would be as follows: Analizada en el marco de descanso de Stella, es inmóvil para todo el viaje. Cuando dispara sus cohetes para el cambio, experimenta una pseudo fuerza que se asemeja a una fuerza gravitacional. Los gráficos 2-6 y 2-11 ilustran el concepto de líneas (planos) de simultaneidad: Líneas paralelas a las del observador x-eje (xy-plane) representan conjuntos de eventos simultáneos en el marco de observador. En la Fig. 2-11, las líneas azules conectan eventos en la línea mundial de Terence que, desde el punto de vista de Stella, son simultáneos con eventos en su línea mundial. (La teoría, a su vez, observaría un conjunto de líneas horizontales de simultaneidad.) A lo largo de las patas de salida y de la entrada del viaje de Stella, mide los relojes de Terence corriendo más lento que el suyo. Pero durante la vuelta (es decir, entre las líneas azules audaces en la figura), un cambio se lleva a cabo en el ángulo de sus líneas de simultaneidad, correspondiente a un rápido paso de los eventos en la línea mundial de Terence que Stella considera simultáneo con ella misma. Por lo tanto, al final de su viaje, Stella encuentra que Terence ha envejecido más de lo que tiene.

Aunque no se requiere la relatividad general para analizar la paradoja de los gemelos, la aplicación del principio de equivalencia de la relatividad general proporciona una comprensión adicional del tema. Stella no está estacionaria en un marco inercial. Analizada en el marco de reposo de Stella, está inmóvil durante todo el viaje. Cuando se desplaza por inercia, su sistema de reposo es inercial y el reloj de Terence parecerá atrasarse. Pero cuando dispara sus cohetes para dar la vuelta, su marco de descanso es un marco acelerado y experimenta una fuerza que la empuja como si estuviera en un campo gravitatorio. Terence parecerá estar en lo alto de ese campo y, debido a la dilatación del tiempo gravitacional, su reloj parecerá correr rápido, tanto que el resultado neto será que Terence ha envejecido más que Stella cuando vuelvan a estar juntos. Los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no son exclusivos de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predirá la dilatación del tiempo gravitatorio si respeta el principio de equivalencia, incluida la teoría de Newton.

Gravitación

Esta sección introductoria se ha centrado en el espacio-tiempo de la relatividad especial, ya que es el más fácil de describir. El espacio-tiempo de Minkowski es plano, no tiene en cuenta la gravedad, es completamente uniforme y no sirve más que como un fondo estático para los eventos que tienen lugar en él. La presencia de la gravedad complica enormemente la descripción del espacio-tiempo. En la relatividad general, el espacio-tiempo ya no es un fondo estático, sino que interactúa activamente con los sistemas físicos que contiene. El espacio-tiempo se curva en presencia de materia, puede propagar ondas, desvía la luz y exhibe una serie de otros fenómenos. Algunos de estos fenómenos se describen en las secciones posteriores de este artículo.

Matemáticas básicas del espacio-tiempo

Transformaciones de Galileo

Un objetivo básico es poder comparar las mediciones realizadas por los observadores en movimiento relativo. Si hay un observador O en el marco S que ha medido las coordenadas de tiempo y espacio de un evento, asignando a este evento tres coordenadas cartesianas y el tiempo medido en su red de relojes sincronizados ( x, y, z, t) (ver Fig. 1-1). Un segundo observador O′ en un marco diferente S′ mide el mismo evento en su sistema de coordenadas y su red de relojes sincronizados (x′, y′, z′, t′). Con marcos inerciales, ningún observador está bajo aceleración, y un conjunto simple de ecuaciones nos permite relacionar las coordenadas (x, y, z, t) a (x′, y′, z ′, t′). Dado que los dos sistemas de coordenadas están en configuración estándar, lo que significa que están alineados con paralelos (x, y, z) coordenadas y que t = 0 cuando t ′ = 0, la transformación de coordenadas es la siguiente:

x.=x− − vt{displaystyle x'=x-vt}

Sí..=Sí.{displaystyle Sí.

z.=z{displaystyle z'=z}

t.=t.{displaystyle t'=t.}

Gráfico 3-1. Galilean Hora espacial y composición de las velocidades

fig. 3-1 ilustra que en la teoría de Newton, el tiempo es universal, no la velocidad de la luz. Considere el siguiente experimento mental: la flecha roja ilustra un tren que se mueve a 0,4 c con respecto a la plataforma. Dentro del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad de 0,4 c en el marco del tren. La flecha azul ilustra que una persona parada en las vías del tren mide la bala viajando a 0.8 c. Esto está de acuerdo con nuestras expectativas ingenuas.

Más generalmente, suponiendo que el marco S′ se mueve a una velocidad v con respecto al marco S, entonces dentro del marco S′, el observador O′ mide un objeto que se mueve con una velocidad u′. Velocidad u con respecto al cuadro S, ya que x = ut, x′ = x − vt , y t = t′, se puede escribir como x′ = ut − vt = (u − v)t = (u − v)t′. Esto conduce a u′ = x′/t′ y finalmente

u.=u− − v{displaystyle u'=u-v}ou=u.+v,{displaystyle u=u'+v,}

que es la ley galileana de sentido común para la suma de velocidades.

Composición relativista de velocidades

Figura 3–2. Composición relativa de velocidades

La composición de las velocidades es bastante diferente en el espacio-tiempo relativista. Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, introducimos una abreviatura común para la relación de la velocidad de un objeto con respecto a la luz,

β β =v/c{displaystyle beta =v/c}

fig. 3-2a ilustra un tren rojo que avanza a una velocidad dada por v/c = β = s/a. Desde el marco preparado del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad dada por u′/c = β′ = n/m, donde la distancia se mide a lo largo de una línea paralela a la x′ eje en lugar de paralelo al eje negro x. ¿Cuál es la velocidad compuesta u de la bala relativa a la plataforma, representada por la flecha azul? Haciendo referencia a la figura 3-2b:

1. Desde la plataforma, la velocidad compuesta de la bala es dada por u = c()s + r)/(a + b).
2. Los dos triángulos amarillos son similares porque son triángulos rectos que comparten un ángulo común α. En el triángulo amarillo grande, la relación s/a = v/c = β.
3. Las proporciones de los lados correspondientes de los dos triángulos amarillos son constantes, de modo que r/a = b/s = n/m = β.. Así que... b = u.s/c y r = u.a/c.
4. Sustituir las expresiones para b y r en la expresión u en el paso 1 para producir la fórmula de Einstein para la adición de velocidades:

u=v+u.1+()vu./c2).{displaystyle u={v+u' over 1+(vu'/c^{2}}.}

La fórmula relativista para la suma de velocidades presentada anteriormente exhibe varias características importantes:

• Si u. y v son ambos muy pequeños en comparación con la velocidad de la luz, luego el producto vu./c² se vuelve extremadamente pequeño, y el resultado general se vuelve indistinguible de la fórmula galilea (fórmula de Newton) para la adición de velocidades: u=u.+v. La fórmula Galileo es un caso especial de la fórmula relativista aplicable a las velocidades bajas.
• Si u. se establece igual c, entonces la fórmula produce u=c independientemente del valor inicial de v. La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de sus movimientos relativos a la fuente emisora.

Revisión de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud

Figura 3-3. Diagramas de tiempo espacial que ilustran la dilatación del tiempo y la contracción de longitud

Es sencillo obtener expresiones cuantitativas para la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. La figura 3-3 es una imagen compuesta que contiene fotogramas individuales tomados de dos animaciones anteriores, simplificada y reetiquetada para los fines de esta sección.

Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, hay una variedad de diferentes notaciones abreviadas para ct:

T=ct{displaystyle mathrm {T} =ct} y w=ct{displaystyle w=ct} son comunes.

Uno también ve muy frecuentemente el uso de la convención c=1.{displaystyle c=1.}

Figura 3-4. Factor de Lorentz como función de velocidad

En la Fig. 3-3a, segmentos OA y OK representan intervalos de tiempo espacial iguales. Dilatación del tiempo está representada por la relación OB/OK. La hiperbola invariante tiene la ecuación w = √x² + k² Donde k=OK, y la línea roja que representa la línea mundial de una partícula en movimiento tiene la ecuación w=x/β=xc/v. Un poco de rendimientos de manipulación algebraica OB=OK/1− − v2/c2.{textstyle OB=OK/{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

La expresión que implica el símbolo de raíz cuadrada aparece muy frecuentemente en relatividad, y una sobre la expresión se llama el factor Lorentz, denotado por la letra griega gamma γ γ {displaystyle gamma }:

γ γ =11− − v2/c2=11− − β β 2{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}={frac} {1}{sqrt {1-beta ^{2}}}

Si v es mayor o igual a c, la expresión para γ γ {displaystyle gamma } se vuelve físicamente sin sentido, implicando que c es la velocidad máxima posible en la naturaleza. Para cualquier v mayor que cero, el factor Lorentz será mayor que uno, aunque la forma de la curva es tal que para velocidades bajas, el factor Lorentz está muy cerca de uno.

En la figura 3-3b, los segmentos OA y OK representan intervalos de espacio-tiempo iguales. La contracción de longitud está representada por la relación OB/OK. La hipérbola invariante tiene la ecuación x = √w² + k², donde k = OK, y los bordes de la banda azul que representan las líneas universales de los extremos de una barra en movimiento tienen pendiente 1/β = c/v. El evento A tiene coordenadas (x, w) = (γk, γβk). Como la recta tangente que pasa por A y B tiene la ecuación w = (x − OB)/β, tenemos tienen γβk = (γk − OB)/β y

OB/OK=γ γ ()1− − β β 2)=1γ γ {displaystyle OB/OK=gamma (1-beta ^{2}={frac {1}{gamma }

Transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Galileo y su consiguiente ley de sentido común de la suma de velocidades funcionan bien en nuestro mundo ordinario de baja velocidad de aviones, automóviles y pelotas. Sin embargo, a partir de mediados del siglo XIX, la instrumentación científica sensible comenzó a encontrar anomalías que no encajaban bien con la adición ordinaria de velocidades.

Las transformaciones de Lorentz se utilizan para transformar las coordenadas de un evento de un marco a otro en relatividad especial.

El factor de Lorentz aparece en las transformaciones de Lorentz:

t.=γ γ ()t− − vxc2)x.=γ γ ()x− − vt)Sí..=Sí.z.=z{displaystyle {begin{aligned}t' limit=gamma left(t-{frac {vx}{c^{2}}}}right)x'ciente=gamma left(x-vtright)y'ciendo=y'az'cerd {aligned}}}}}}}}}

Las transformaciones inversas de Lorentz son:

t=γ γ ()t.+vx.c2)x=γ γ ()x.+vt.)Sí.=Sí..z=z.{displaystyle {begin{aligned}t ventaja=gamma left(t'+{frac {vx'}{c^{2}}}}right)x postula=gamma left(x'+vt'right)\y 'y'z cl=z'end{aligned}}}

Cuando v ≪ c y x es lo suficientemente pequeño, el v²/c² y vx/c² se aproximan a cero, y el Las transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo.

t.=γ γ ()t− − vx/c2),{displaystyle t'=gamma (t-vx/c^{2}),} x.=γ γ ()x− − vt){displaystyle x'=gamma (x-vt)} etc., la mayoría de las veces significa realmente Δ Δ t.=γ γ ()Δ Δ t− − vΔ Δ x/c2),{displaystyle Delta t'=gamma (Delta t-vDelta x/c^{2}),} Δ Δ x.=γ γ ()Δ Δ x− − vΔ Δ t){displaystyle Delta x'=gamma (Delta x-vDelta t)} etc. Aunque para brevedad las ecuaciones de transformación de Lorentz están escritas sin deltas, x significa Δx, etc. Estamos, en general, siempre preocupados por el espacio y el tiempo diferencias entre eventos.

Llamar a un conjunto de transformaciones las transformaciones normales de Lorentz y al otro las transformaciones inversas es engañoso, ya que no hay una diferencia intrínseca entre los marcos. Diferentes autores llaman a uno u otro conjunto de transformaciones "inversa" colocar. Las transformaciones directa e inversa están trivialmente relacionadas entre sí, ya que el marco S solo puede moverse hacia adelante o hacia atrás con respecto a S′. Entonces, invertir las ecuaciones simplemente implica cambiar las variables primadas y no primadas y reemplazar v con −v.

Ejemplo: Terence y Stella están en una carrera espacial de Tierra a Marte. Terence es oficial en la línea inicial, mientras Stella es participante. At time t = t. = 0, la nave espacial de Stella se acelera instantáneamente a una velocidad de 0,5c. La distancia de la Tierra a Marte es de 300 segundos luz (sobre 90.0×10⁶km). Terence observa a Stella cruzando el reloj de última línea en t= 600.00 s. Pero Stella observa el tiempo en su cronómetro de la nave para ser t.. =γ γ ()t− − vx/c2)=519.62s{displaystyle t^{prime }=gammaleft(t-vx/c^{2}right)=519.62 {text{}} a medida que pasa la línea de meta, y calcula la distancia entre las líneas de inicio y acabado, medida en su marco, a ser 259.81 segundos luz (sobre 77,9×10⁶km).1).

Derivar las transformaciones de Lorentz

Figura 3-5. Derivación de la transformación de Lorentz

Ha habido muchas docenas de derivaciones de las transformaciones de Lorentz desde el trabajo original de Einstein en 1905, cada una con su enfoque particular. Aunque la derivación de Einstein se basó en la invariancia de la velocidad de la luz, existen otros principios físicos que pueden servir como puntos de partida. En última instancia, estos puntos de partida alternativos pueden considerarse diferentes expresiones del principio subyacente de localidad, que establece que la influencia que una partícula ejerce sobre otra no puede transmitirse instantáneamente.

La derivación proporcionada aquí e ilustrada en la figura 3-5 se basa en una presentada por Bais y hace uso de resultados anteriores de las secciones Composición relativista de velocidades, Dilatación del tiempo y Contracción de longitud. El evento P tiene coordenadas (w, x) en el "sistema de descanso" y coordenadas (w′, x′) en el marco rojo que se mueve con el parámetro de velocidad β = v/c. Para determinar w′ y x′ en términos de w y x (o al revés) es más fácil al principio derivar la transformación inversa de Lorentz.

1. No puede haber tal cosa como la expansión de longitud/contracción en las direcciones transversales. Sí.' debe ser igual Sí. y z. debe ser igual z, de lo contrario si una bola de 1 m de movimiento rápido podría encajar a través de un agujero circular de 1 m dependería del observador. El primer postulado de relatividad establece que todos los marcos inerciales son equivalentes, y la expansión/contracción transversal violaría esta ley.
2. Del dibujo, w = a + b y x=r+s
3. De resultados anteriores utilizando triángulos similares, sabemos que s/a=b/r = v/c=β.
4. Debido a la dilatación del tiempo, a=γw.
5. Sustitución de la ecuación (4) en s/a=β rendimientos s=γw.β.
6. Contracción de longitud y triángulos similares nos dan r=γx. y b=βr = βγx.
7. Sustituir las expresiones para s, a, r y b en las ecuaciones en el Paso 2 inmediatamente rendimiento

   w=γ γ w.+β β γ γ x.{displaystyle w=gamma w'+beta gamma x'}

   x=γ γ x.+β β γ γ w.{displaystyle x=gamma x'+beta gamma w'}

Las ecuaciones anteriores son expresiones alternativas para las ecuaciones t y x de la transformación inversa de Lorentz, como se puede ver sustituyendo ct por w, ct′ for w′ y v/c para β. A partir de la transformación inversa, las ecuaciones de la transformación directa se pueden derivar resolviendo para t′ y x′.

Linealidad de las transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz tienen una propiedad matemática llamada linealidad, ya que x′ y t′ se obtienen como combinaciones lineales de x y t, sin poderes superiores involucrados. La linealidad de la transformación refleja una propiedad fundamental del espacio-tiempo que se asumió tácitamente en la derivación, a saber, que las propiedades de los marcos de referencia inerciales son independientes de la ubicación y el tiempo. En ausencia de gravedad, el espacio-tiempo se ve igual en todas partes. Todos los observadores inerciales estarán de acuerdo en lo que constituye un movimiento acelerado y no acelerado. Cualquier observador puede usar sus propias medidas de espacio y tiempo, pero no hay nada absoluto en ellas. Las convenciones de otro observador funcionarán igual de bien.

Un resultado de la linealidad es que si se aplican secuencialmente dos transformaciones de Lorentz, el resultado también es una transformación de Lorentz.

Ejemplo: Terence observa que Stella se aleja de él a 0,500 c y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0,500 para relacionar las medidas de Stella con las suyas. Stella, en su cuadro, observa a Ursula alejándose de ella a 0,250 c, y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0,250 para relacionar las medidas de Ursula con las suyas. Debido a la linealidad de las transformaciones y la composición relativista de las velocidades, Terence puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0.666 para relacionar las transformaciones de Ursula medidas con las suyas.

Efecto Doppler

El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia o longitud de onda de una onda para un receptor y una fuente en movimiento relativo. Para simplificar, consideramos aquí dos escenarios básicos: (1) Los movimientos de la fuente y/o el receptor son exactamente a lo largo de la línea que los conecta (efecto Doppler longitudinal), y (2) los movimientos son en ángulo recto a dicha línea (efecto Doppler transversal). Estamos ignorando escenarios donde se mueven a lo largo de ángulos intermedios.

Efecto Doppler longitudinal

El análisis Doppler clásico se ocupa de las ondas que se propagan en un medio, como las ondas sonoras o las ondas de agua, y que se transmiten entre fuentes y receptores que se acercan o se alejan unos de otros. El análisis de tales ondas depende de si la fuente, el receptor o ambos se mueven en relación con el medio. Dado el escenario donde el receptor está estacionario con respecto al medio, y la fuente se está alejando directamente del receptor a una velocidad de v_s para un parámetro de velocidad de β_s, la longitud de onda aumenta y la frecuencia observada f viene dada por

f=11+β β sf0{displaystyle f={frac {1}{1+beta ¿Qué?

Por otro lado, dado el escenario donde la fuente está estacionaria y el receptor se está alejando directamente de la fuente a una velocidad de v_r para un parámetro de velocidad de β_r, la longitud de onda no cambia, pero la velocidad de transmisión de las ondas en relación con el receptor disminuye, y la frecuencia observada f está dada por

f=()1− − β β r)f0{displaystyle f=(1-beta _{r}f_{0}

Figura 3-6. Diagrama espacial del efecto Doppler relativista

La luz, a diferencia de las ondas de sonido o agua, no se propaga a través de un medio, y no hay distinción entre una fuente que se aleja del receptor o un receptor que se aleja de la fuente. Fig. 3-6 ilustra un diagrama relativista de tiempo espacial que muestra una fuente que se separa del receptor con un parámetro de velocidad β, para que la separación entre fuente y receptor a tiempo w es βw. Debido a la dilatación del tiempo, W=YW.. {displaystyle W=YW^{prime }. Desde la pendiente del rayo de luz verde es −1, T=W+β β w=γ γ w.. ()1+β β ){displaystyle {T}=W+beta w=gamma w^{prime }(1+beta)}. Por lo tanto, el efecto relativista Doppler es dado por

f=1− − β β 1+β β f0.{fnMicroc} {1-beta #{1+beta },f_{0}

Efecto Doppler transversal

Figura 3-7. Escenarios de efectos de Doppler transversales

Suponga que una fuente y un receptor, ambos acercándose entre sí en un movimiento inercial uniforme a lo largo de líneas que no se cruzan, están en su máxima aproximación entre sí. Parecería que el análisis clásico predice que el receptor no detecta ningún desplazamiento Doppler. Debido a sutilezas en el análisis, esa expectativa no es necesariamente cierta. Sin embargo, cuando se define apropiadamente, el desplazamiento Doppler transversal es un efecto relativista que no tiene un análogo clásico. Las sutilezas son estas:

En el escenario (a), el punto de máxima aproximación es independiente del marco y representa el momento en el que no hay cambio en la distancia frente al tiempo (es decir, dr/dt = 0 donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) y, por lo tanto, no hay desplazamiento Doppler longitudinal. La fuente observa que el receptor está iluminado por luz de frecuencia f′, pero también observa al receptor como si tuviera un reloj dilatado en el tiempo. Por lo tanto, en el cuadro S, el receptor está iluminado por una luz desplazada hacia el azul de frecuencia

f=f.γ γ =f./1− − β β 2{displaystyle f=f'gamma =f'/{sqrt {1-beta ^{2}}}

En el escenario (b), la ilustración muestra que el receptor está iluminado por la luz de cuando la fuente estaba más cerca del receptor, aunque la fuente se haya movido. Debido a que los relojes de la fuente están dilatados en el tiempo medidos en el marco S, y dado que dr/dt era igual a cero en este punto, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, se desplaza hacia el rojo con la frecuencia

f=f./γ γ =f.1− − β β 2{displaystyle f=f'/gamma =f'{sqrt {1-beta ^{2}}}

Escenarios (c) y (d) pueden ser analizados por simples argumentos de dilatación temporal. En (c), el receptor observa la luz de la fuente como siendo injertado por un factor de γ γ {displaystyle gamma }, y en (d), la luz es rediseñada. La única complicación aparente es que los objetos orbitantes están en movimiento acelerado. Sin embargo, si un observador inercial mira un reloj acelerado, sólo la velocidad instantánea del reloj es importante cuando la dilatación del tiempo de cálculo. (El contrario, sin embargo, no es cierto.) La mayoría de los informes de cambio transversal Doppler se refieren al efecto como un cambio de red y analizan el efecto en términos de escenarios (b) o (d).

Energía e impulso

Extendiendo el impulso a cuatro dimensiones

Gráfico 3-8. vector relativo del impulso espacial

En la mecánica clásica, el estado de movimiento de una partícula se caracteriza por su masa y su velocidad. El momento lineal, el producto de la masa y la velocidad de una partícula, es una cantidad vectorial que posee la misma dirección que la velocidad: p = mv. Es una cantidad conservada, lo que significa que si un sistema cerrado no se ve afectado por fuerzas externas, su momento lineal total no puede cambiar.

En la mecánica relativista, el vector de impulso se extiende a cuatro dimensiones. Añadido al vector de impulso es un componente de tiempo que permite que el vector de impulso espacial se transforme como el vector de posición espacial ()x,t){displaystyle (x,t)}. Al explorar las propiedades del impulso espacial, empezamos, en la Fig. 3-8a, examinando lo que una partícula parece descansar. En el marco de reposo, el componente espacial del impulso es cero, es decir. p= 0, pero el componente de tiempo es igual mc.

Podemos obtener los componentes transformados de este vector en el marco de movimiento utilizando las transformaciones de Lorentz, o podemos leerlo directamente de la figura porque sabemos que ()mc).. =γ γ mc{displaystyle (mc)}=gamma mc y p.. =− − β β γ γ mc{displaystyle p^{prime }=-beta gamma mc}, ya que los ejes rojos son reescalados por gamma. La figura 3-8b ilustra la situación tal como aparece en el marco móvil. Es evidente que los componentes de espacio y tiempo del cuatro-momentum van a la infinidad a medida que la velocidad del marco móvil se acerca c.

Usaremos esta información en breve para obtener una expresión para el impulso de cuatro.

Momento de la luz

Figura 3-9. Energía e impulso de luz en diferentes marcos inerciales

Las partículas de luz, o fotones, viajan a la velocidad de c, la constante que convencionalmente se conoce como velocidad de la luz. Esta declaración no es una tautología, ya que muchas formulaciones modernas de la relatividad no comienzan con la velocidad constante de la luz como postulado. Los fotones, por lo tanto, se propagan a lo largo de una línea universal similar a la luz y, en las unidades apropiadas, tienen los mismos componentes de espacio y tiempo para cada observador.

Una consecuencia de la teoría de Maxwell del electromagnetismo es que la luz lleva energía e impulso, y que su relación es una constante: E/p=c{displaystyle E/p=c}. Reordenando, E/c=p{displaystyle E/c=p}, y desde para fotones, los componentes espacio y tiempo son iguales, E/c Por lo tanto, debe equipararse con el componente de tiempo del vector de impulso espacial.

Los fotones viajan a la velocidad de la luz, pero tienen un impulso y una energía finitos. Para que esto sea así, el término de masa en γmc debe ser cero, lo que significa que los fotones son partículas sin masa. Infinito por cero es una cantidad mal definida, pero E/c está bien definida.

Por este análisis, si la energía de un fotón es igual E en el marco de descanso, es igual E.. =()1− − β β )γ γ E{displaystyle E^{prime }=(1-beta)gamma E} en un marco en movimiento. Este resultado se puede derivar mediante la inspección de la Fig. 3-9 o mediante la aplicación de las transformaciones de Lorentz, y es consistente con el análisis del efecto Doppler dado anteriormente.

Relación masa-energía

La consideración de las interrelaciones entre los diversos componentes del vector de momento relativista llevó a Einstein a varias conclusiones famosas.

• En el límite de baja velocidad como β = v/c enfoques cero, γ enfoques 1, por lo que el componente espacial del impulso relativista β β γ γ mc=γ γ mv{displaystyle beta gamma mc=gamma mv} enfoques mv, el término clásico para el impulso. Siguiendo esta perspectiva, γm puede ser interpretado como una generalización relativista m. Einstein propuso que masa relativista de un objeto aumenta con velocidad según la fórmula mrel=γ γ m{displaystyle m_{text{rel}=gamma m}.
• Del mismo modo, comparando el componente de tiempo del impulso relativista con el del foton, γ γ mc=mrelc=E/c{displaystyle gamma mc=m_{text{rel}c=E/c}Así que Einstein llegó a la relación E=mrelc2{displaystyle E=m_{text{rel}c^{2}. Simplificado al caso de velocidad cero, esta es la famosa ecuación de Einstein relativa energía y masa.

Otra forma de ver la relación entre masa y energía es considerar una expansión en serie de γmc² en baja velocidad:

E=γ γ mc2=mc21− − β β 2{displaystyle E=gamma mc^{2}={frac {mc^{2}{sqrt {1-beta ^{2}}} .. mc2+12mv2...{displaystyle approx mc^{2}+{frac {1}mv^{2}...}

El segundo término es solo una expresión de la energía cinética de la partícula. De hecho, la masa parece ser otra forma de energía.

El concepto de masa relativista que introdujo Einstein en 1905, m_rel, aunque ampliamente validado cada día en aceleradores de partículas de todo el mundo (o incluso en cualquier instrumentación cuyo uso depende de partículas de alta velocidad, como microscopios electrónicos, televisores a color antiguos, etc.), sin embargo, no ha demostrado ser un concepto fructífero en física en el sentido de que no es un concepto que ha servido de base para otros desarrollos teóricos. La masa relativista, por ejemplo, no juega ningún papel en la relatividad general.

Por esta razón, así como por cuestiones pedagógicas, la mayoría de los físicos actualmente prefieren una terminología diferente cuando se refieren a la relación entre masa y energía. "Masa relativista" es un término en desuso. El término "masa" por sí mismo se refiere a la masa en reposo o masa invariante, y es igual a la longitud invariante del vector momento relativista. Expresado como una fórmula,

E2− − p2c2=mDescansa2c4{displaystyle ¿Qué?

Esta fórmula se aplica a todas las partículas, sin masa y masiva. Para fotones donde m_Descansa equivale a cero, produce, E=± ± pc{displaystyle E=pm pc.

Cuatro impulsos

Debido a la estrecha relación entre la masa y la energía, el cuatrimomento (también llamado 4-momento) también se denomina 4-vector energía-momento. Usando una P mayúscula para representar el impulso de cuatro y una p minúscula para denotar el impulso espacial, el impulso de cuatro puede escribirse como

P↑ ↑ ()E/c,p→ → )=()E/c,px,pSí.,pz){displaystyle Pequiv (E/c,{vec {p})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z}) } o alternativamente,

P↑ ↑ ()E,p→ → )=()E,px,pSí.,pz){displaystyle Pequiv (E,{vec {p})=(E,p_{x},p_{y},p_{z}) } utilizando la convención c=1.{displaystyle c=1.}

Leyes de conservación

En física, las leyes de conservación establecen que ciertas propiedades medibles particulares de un sistema físico aislado no cambian a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. En 1915, Emmy Noether descubrió que detrás de cada ley de conservación se encuentra una simetría fundamental de la naturaleza. El hecho de que a los procesos físicos no les importa dónde en el espacio tienen lugar (simetría de traslación espacial) produce la conservación de la cantidad de movimiento, el hecho de que a tales procesos no les importa cuándo tienen lugar (simetría de traslación temporal) produce conservación de energía, y así sucesivamente. En esta sección, examinamos los puntos de vista newtonianos sobre la conservación de la masa, el momento y la energía desde una perspectiva relativista.

Impulso total

Figura 3-10. Conservación relativa del impulso

Para comprender cómo debe modificarse la visión newtoniana de la conservación de la cantidad de movimiento en un contexto relativista, examinamos el problema de dos cuerpos en colisión limitados a una sola dimensión.

En la mecánica newtoniana, se pueden distinguir dos casos extremos de este problema que producen matemáticas de mínima complejidad:

(1) Los dos cuerpos se rebotan uno del otro en una colisión completamente elástica.

(2) Los dos cuerpos se unen y continúan moviéndose como una sola partícula. Este segundo caso es el caso de colisión completamente inelástica.

Para ambos casos (1) y (2), se conservan el momento, la masa y la energía total. Sin embargo, la energía cinética no se conserva en casos de colisión inelástica. Una cierta fracción de la energía cinética inicial se convierte en calor.

En el caso 2), dos masas con impulsos p1=m1v1{displaystyle {boldsymbol {p}_{boldsymbol {1}=m_{1}{boldsymbol {fnK} {1}}y p2=m2v2{displaystyle {boldsymbol {p}_{boldsymbol {2}=m_{2}{boldsymbol {fnK} {2}} collide para producir una sola partícula de masa conservada m=m1+m2{displaystyle m=m_{1}+m_{2} viajar en el centro de la velocidad de masa del sistema original, vcm=()m1v1+m2v2)/()m1+m2){displaystyle {boldsymbol {v_{cm}}=left(m_{1}{boldsymbol {fnK}}m_{2}{boldsymbol ¿Qué?. El impulso total p=p1+p2{displaystyle {boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}} se conserva.

La figura 3-10 ilustra la colisión inelástica de dos partículas desde una perspectiva relativista. Los componentes del tiempo E1/c{displaystyle E_{1}/c} y E2/c{displaystyle E_{2}/c} total E/c del vector resultante, lo que significa que la energía se conserva. Del mismo modo, los componentes del espacio p1{displaystyle {boldsymbol {}} y p2{displaystyle {boldsymbol {}} añadir a la forma p del vector resultante. El cuatro meses es, como se espera, una cantidad conservada. Sin embargo, la masa invariante de la partícula fusionada, dada por el punto en que la hiperbola invariante del impulso total interseca el eje energético, no es igual a la suma de las masas invariantes de las partículas individuales que colisionaron. De hecho, es más grande que la suma de las masas individuales: m_{1}+m_{2}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m■m1+m2{displaystyle m confíam_{1}+m_{2}m_{1}+m_{2}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa1c448955bfa04450e152c63462699b995193f" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.169ex; height:2.343ex;"/>.

Al observar los eventos de este escenario en secuencia inversa, vemos que la no conservación de la masa es un hecho común: cuando una partícula elemental inestable se descompone espontáneamente en dos partículas más ligeras, la energía total se conserva, pero la masa no. Parte de la masa se convierte en energía cinética.

Elección de marcos de referencia

Figura 3-11.
(arriba) Marco de laboratorio.
(derecho) Center of Momentum Frame.

La libertad de elegir cualquier marco en el que realizar un análisis nos permite elegir uno que puede ser particularmente conveniente. Para el análisis de problemas de cantidad de movimiento y energía, el marco más conveniente suele ser el "marco del centro de cantidad de movimiento" (también llamado marco de momento cero o marco COM). Este es el marco en el que la componente espacial del momento total del sistema es cero. La figura 3-11 ilustra la ruptura de una partícula de alta velocidad en dos partículas hijas. En el marco del laboratorio, las partículas secundarias se emiten preferentemente en una dirección orientada a lo largo de la trayectoria de la partícula original. En el marco COM, sin embargo, las dos partículas hijas se emiten en direcciones opuestas, aunque sus masas y la magnitud de sus velocidades generalmente no son las mismas.

Conservación de energía y cantidad de movimiento

En un análisis newtoniano de partículas que interactúan, la transformación entre marcos es simple porque todo lo que es necesario es aplicar la transformación Galileo a todas las velocidades. Desde v.=v− − u{displaystyle v'=v-u}, el impulso p.=p− − mu{displaystyle p'=p-mu}. Si se observa que el impulso total de un sistema de partículas que interactúa se conserva en un solo marco, se observará también que se conservará en cualquier otro marco.

La conservación del impulso en el marco COM equivale al requisito de que p= 0 antes y después de la colisión. En el análisis Newtoniano, la conservación de la masa dicta que m=m1+m2{displaystyle m=m_{1}+m_{2}. En los escenarios unidimensionales simplificados que hemos estado considerando, sólo se necesita una restricción adicional antes de que se pueda determinar el momento saliente de las partículas, una condición energética. En el caso unidimensional de una colisión completamente elástica sin pérdida de energía cinética, las velocidades salientes de las partículas rebotadas en el marco COM serán exactamente iguales y opuestos a sus velocidades entrantes. En el caso de una colisión completamente inelástica con pérdida total de energía cinética, las velocidades salientes de las partículas rebotantes serán cero.

Newtonian momenta, calculado como p=mv{displaystyle p=mv}, no se comporta correctamente bajo la transformación de Lorentzian. La transformación lineal de las velocidades v.=v− − u{displaystyle v'=v-u} es reemplazado por el altamente no lineal v.. =()v− − u)/()1− − vuc2){displaystyle v^{prime }=(v-u){Big /}left(1-{frac {vu}{c^{2}}right)} para que un cálculo que demuestre la conservación del impulso en un marco sea inválido en otros marcos. Einstein se enfrentaba a tener que renunciar a la conservación del impulso, o cambiar la definición del impulso. Esta segunda opción fue lo que eligió.

Figura 3-12a. Diagrama de energía-momentum para la desintegración de un pión cargado.

Figura 3-12b. Análisis de la calculadora de la decaimiento de pión cargado.

La ley de conservación relativista de la energía y la cantidad de movimiento reemplaza las tres leyes clásicas de conservación de la energía, la cantidad de movimiento y la masa. La masa ya no se conserva de forma independiente, porque se ha subsumido en la energía relativista total. Esto hace que la conservación relativista de la energía sea un concepto más simple que en la mecánica no relativista, porque la energía total se conserva sin ninguna calificación. La energía cinética convertida en calor o energía potencial interna se manifiesta como un aumento de masa.

Más allá de lo básico

Los temas de esta sección tienen una dificultad técnica significativamente mayor que los de las secciones anteriores y no son esenciales para comprender Introducción al espacio-tiempo curvo.

Rapidez

Figura 4-1a. Un rayo a través del círculo de la unidad x² + Sí.² = 1 en el punto (cos a, pecado a), donde a es el doble de la zona entre el rayo, el círculo y el x-Eje.

Figura 4-1b. Un rayo a través de la unidad hiperbola x² − Sí.² = 1 en el punto (cosh a, sinh a), donde a es el doble de la zona entre el rayo, la hiperbola, y la x-Eje.

Gráfico 4-2 Parcela de las tres funciones hiperbólicas básicas: seno hiperbólico (sinh), cosina hiperbólico (cosh) y tangente hiperbólico (tanh). Sinh es rojo, el cosh es azul y el tanh es verde.

Las transformaciones de Lorentz relacionan las coordenadas de los eventos en un marco de referencia con las de otro marco. La composición relativista de velocidades se utiliza para sumar dos velocidades. Las fórmulas para realizar estos últimos cálculos no son lineales, lo que las hace más complejas que las fórmulas galileanas correspondientes.

Esta no linealidad es un artefacto de nuestra elección de parámetros. Hemos notado previamente que en un diagrama de espacio-tiempo x–ct, los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante desde el origen forman una hipérbola invariable. También hemos notado que los sistemas de coordenadas de dos marcos de referencia de espacio-tiempo en configuración estándar están rotados hiperbólicamente entre sí.

Las funciones naturales para expresar estas relaciones son los análogos hiperbólicos de las funciones trigonométricas. La figura 4-1a muestra un círculo unitario con sen(a) y coseno(a), siendo la única diferencia entre este diagrama y el familiar círculo unitario de trigonometría elemental que a se interpreta, no como el ángulo entre el rayo y el eje x, sino como el doble del área del sector barrido por el rayo del eje x. (Numéricamente, las medidas del ángulo y 2 × área para el círculo unitario son idénticas). La figura 4-1b muestra una hipérbola unitaria con senh(a) y cosh(a), donde a también se interpreta como el doble del área teñida. La figura 4-2 presenta gráficas de las funciones sinh, cosh y tanh.

Para el círculo unitario, la pendiente del rayo viene dada por

pendiente=#⁡ ⁡ a=pecado⁡ ⁡ a#⁡ ⁡ a.{displaystyle {text{slope}=tan a={frac {sin a}{cos a}}

En el plano cartesiano, rotación del punto (x, y) en el punto (x', y') por el ángulo θ viene dado por

()x.Sí..)=()#⁡ ⁡ Silencio Silencio − − pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio )()xSí.).{fnMicrosoft Sans Serif}={begin{pmatrix}cos} theta &-sin theta \sin theta &cos theta \end{pmatrix} {begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}}}}

En un diagrama espacial, el parámetro de velocidad β β {displaystyle beta } es el análogo de la pendiente. El rapidez, φ, se define por

β β ↑ ↑ Tanh⁡ ⁡ φ φ ↑ ↑ vc,{displaystyle beta equiv tanh phi equiv {frac {v}{c}}

dónde

Tanh⁡ ⁡ φ φ =pecado⁡ ⁡ φ φ cosh⁡ ⁡ φ φ =eφ φ − − e− − φ φ eφ φ +e− − φ φ .{displaystyle tanh phi ={frac {sinh phi }{cosh phi }={frac {e^{phi} }-e^{-phi. }+e^{-phi }}}

La rapidez definida anteriormente es muy útil en relatividad especial porque muchas expresiones adquieren una forma considerablemente más simple cuando se expresan en términos de ella. Por ejemplo, la rapidez es simplemente aditiva en la fórmula de suma de velocidad colineal;

β β =β β 1+β β 21+β β 1β β 2={displaystyle beta ={frac {beta ¿Qué? {2}{1+beta ¿Qué? ¿Qué? Tanh⁡ ⁡ φ φ 1+Tanh⁡ ⁡ φ φ 21+Tanh⁡ ⁡ φ φ 1Tanh⁡ ⁡ φ φ 2={displaystyle {frac {fnMicroc}tanh phi _{1}+tanh phi {2}{1+tanh phi _{1}tanh phi ¿Qué? Tanh⁡ ⁡ ()φ φ 1+φ φ 2),{displaystyle tanh(phi _{1}+phi _{2}),}

o en otras palabras, φ φ =φ φ 1+φ φ 2.{displaystyle phi =fisi} - ¿Qué?

Las transformaciones de Lorentz toman una forma simple cuando se expresan en términos de rapidez. El factor γ se puede escribir como

γ γ =11− − β β 2=11− − Tanh2⁡ ⁡ φ φ {displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-beta ^{2}}={frac {1} {fn}} =cosh⁡ ⁡ φ φ ,{displaystyle = 'cosh phi'

γ γ β β =β β 1− − β β 2=Tanh⁡ ⁡ φ φ 1− − Tanh2⁡ ⁡ φ φ {displaystyle gamma beta ={frac {beta ♫{sqrt {1-beta ^{2}}={frac {tanh phi {fnK}} =pecado⁡ ⁡ φ φ .{displaystyle =sinh phi.}

Las transformaciones que describen el movimiento relativo con velocidad uniforme y sin rotación de los ejes de coordenadas espaciales se denominan impulsos.

Sustituyendo γ y γβ en las transformaciones como se presentó anteriormente y reescribiendo en forma de matriz, el impulso de Lorentz en x -dirección se puede escribir como

()ct.x.)=()cosh⁡ ⁡ φ φ − − pecado⁡ ⁡ φ φ − − pecado⁡ ⁡ φ φ cosh⁡ ⁡ φ φ )()ctx),{begin{begin{pmatrix}ct'x'end{pmatrix}={begin{pmatrix}cosh phi &-sinh phi-sinh phi &cosh phi end{pmatrix}{begin{pmatrix}ctxend{pmatrix}}}}}

y el impulso de Lorentz inverso en la dirección x se puede escribir como

()ctx)=()cosh⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ φ φ cosh⁡ ⁡ φ φ )()ct.x.).{begin{begin{pmatrix}ctxend{pmatrix}={begin{pmatrix}cosh phi &sinh phi \sinh phi &cosh phi end{pmatrix}{begin{pmatrix}ct'x'end{pmatrix}}}}}

En otras palabras, los aumentos de Lorentz representan rotaciones hiperbólicas en el espacio-tiempo de Minkowski.

Las ventajas de usar funciones hiperbólicas son tales que algunos libros de texto como los clásicos de Taylor y Wheeler introducen su uso en una etapa muy temprana.

4 vectores

Cuatro vectores se han mencionado anteriormente en el contexto de energía-momentum 4 vectores, pero sin mucho énfasis. De hecho, ninguna de las derivaciones elementales de la relatividad especial los requiere. Pero una vez entendidos, los 4-vectores, y más generalmente los tensores, simplifican enormemente la comprensión matemática y conceptual de la relatividad especial. Trabajar exclusivamente con tales objetos conduce a fórmulas que son manifiestamente relativísticamente invariantes, lo que es una ventaja considerable en contextos no triviales. Por ejemplo, demostrar la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell en su forma habitual no es trivial, mientras que es simplemente un cálculo de rutina (realmente no más que una observación) utilizando la formulación del tensor de intensidad de campo. Por otro lado, la relatividad general, desde el principio, se basa en gran medida en cuatro vectores y, más generalmente, en tensores, que representan entidades físicamente relevantes. Relacionarlos a través de ecuaciones que no dependen de coordenadas específicas requiere tensores, capaces de conectar tales 4-vectores incluso dentro de un espacio-tiempo curvo, y no solo dentro una plana como en la relatividad especial. El estudio de los tensores está fuera del alcance de este artículo, que proporciona solo una discusión básica del espacio-tiempo.

Definición de 4-vectores

Un 4-tuple, A=()A0,A1,A2,A3){displaystyle A=left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}right)} es un "4-vector" si su componente A_i transformar entre marcos según la transformación de Lorentz.

Si usas ()ct,x,Sí.,z){displaystyle (ct,x,y,z)} coordenadas, A es un 4-vector si se transforma (en el x-dirección) según

A0.=γ γ ()A0− − ()v/c)A1)A1.=γ γ ()A1− − ()v/c)A0)A2.=A2A3.=A3{displaystyle {begin{aligned}A_{0}' limit=gammaleft(A_{0}-(v/c)A_{1}right)A_{1}' {=gammaleft(A_{1}-(v/c)A_{0}right)A_{2}'endA_{2} {2}} {}}}} {}}}}{0}}}}{0}}{0}}}}{0}{0}}}{0}}}}}}}} {}}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}{}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}

que proviene simplemente de reemplazar ct con A₀ y x con A₁ en la presentación anterior de la transformación de Lorentz.

Como de costumbre, cuando escribimos x, t, etc. generalmente queremos decir Δx, Δt etc..

Los últimos tres componentes de un 4-vector debe ser un vector estándar en el espacio tridimensional. Por lo tanto, un 4-vector debe transformarse ()cΔ Δ t,Δ Δ x,Δ Δ Sí.,Δ Δ z){displaystyle (cDelta t,Delta x,Delta y,Delta z)} bajo transformaciones de Lorentz, así como rotaciones.

Propiedades de los 4-vectores

• Cierre bajo combinación lineal: Si A y B son 4-vectores, entonces C=aA+aB{displaystyle C=aA+aB} es también un 4-vector.
• Invariancia del producto interno: Si A y B son 4-vectores, entonces su producto interno (producto escalar) es invariante, es decir, su producto interno es independiente del marco en el que se calcula. Observe cómo el cálculo del producto interior difiere del cálculo del producto interior de un 3-vector. En lo siguiente, A→ → {displaystyle {vec}} y B→ → {displaystyle {vec}} son 3-vectores:

A⋅ ⋅ B↑ ↑ {displaystyle Acdot Bequiv } A0B0− − A1B1− − A2B2− − A3B3↑ ↑ {displaystyle - ¿Qué? A0B0− − A→ → ⋅ ⋅ B→ → {displaystyle A_{0}B_{0}-{vec {A}cdot {vec}

Además de ser invariable bajo la transformación de Lorentz, el producto interior anterior también es invariante bajo rotación en 3-espacio.

Se dice que hay dos vectores ortogonal si A⋅ ⋅ B=0.{displaystyle Acdot B=0.} A diferencia del caso con 3-vectores, ortogonal 4-vectores no están necesariamente en ángulos rectos entre sí. La regla es que dos 4-vectores son ortogonales si se compensan por ángulos iguales y opuestos de la línea 45° que es la línea mundial de un rayo de luz. Esto implica una luz similar 4-vector es ortogonal con en sí misma.

• Invariancia de la magnitud de un vector: La magnitud de un vector es el producto interior de un 4-vector con sí mismo, y es una propiedad independiente del marco. Al igual que con intervalos, la magnitud puede ser positiva, negativa o cero, de modo que los vectores se denominan temporal, espacial o nulo (como luz). Tenga en cuenta que un vector nulo no es el mismo que un vector cero. Un vector nulo es uno para el cual A⋅ ⋅ A=0,{displaystyle Acdot A=0,} un vector cero es uno cuyos componentes son todos cero. Los casos especiales que ilustran la invariancia de la norma incluyen el intervalo invariable c2t2− − x2{displaystyle C^{2}t^{2}-x^{2} y la longitud invariable del vector de impulso relativista E2− − p2c2.{displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}

Ejemplos de 4-vectores

• Desplazamiento 4-vector: De lo contrario conocido como separación espacial, esto es ()Δt, Δx, Δy, Δz), o para separaciones infinitesimal, ()dt, dx, dy, dz).

dS↑ ↑ ()dt,dx,dSí.,dz){displaystyle dSequiv (dt,dx,dy,dz)}

• Velocity 4-vector: Esto resulta cuando el desplazamiento 4-vector se divide por dτ τ {displaystyle dtau }, donde dτ τ {displaystyle dtau } es el momento adecuado entre los dos eventos que producen dt, dx, dy, y dz.

V↑ ↑ dSdτ τ =()dt,dx,dSí.,dz)dt/γ γ ={displaystyle Vequiv {frac {dS}{dtau {fnMicrosoft Sans Serif}{dt/gamma }= γ γ ()1,dxdt,dSí.dt,dzdt)={displaystyle gamma left(1,{frac {dx}{dt}} {frac {y}{dt}}},{frac {dz}{dt}right)=} ()γ γ ,γ γ v→ → ){displaystyle (gammagamma {vec}}

Figura 4-3a. Los marcos de referencia momentáneamente comoving de una partícula acelerante como se observa desde un marco estacionario.

Figura 4-3b. Los marcos de referencia momentáneamente a lo largo de la trayectoria de un observador acelerado (centro).

El 4-velocity es tangente a la línea mundial de una partícula, y tiene una longitud igual a una unidad de tiempo en el marco de la partícula.

Una partícula acelerada no tiene un marco inercial en el que siempre está en reposo. Sin embargo, siempre se puede encontrar un marco inercial que se asemeja momentáneamente con la partícula. Este marco, el momentarily comoving reference frame (MCRF), permite la aplicación de la relatividad especial al análisis de partículas aceleradas.

Desde que los fotones se mueven en líneas nulas, dτ τ =0{displaystyle dtau =0} para un fotón, y un 4-velocity no se puede definir. No hay marco en el que se descanse un fotón, y no se puede establecer MCRF a lo largo del camino de un fotón.

• Energy-momentum 4-vector:

P↑ ↑ ()E/c,p→ → )=()E/c,px,pSí.,pz){displaystyle Pequiv (E/c,{vec {p})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z}) }

Como se indicó antes, hay diferentes tratamientos para el momento energético 4-vector para que también se pueda ver expresado como ()E,p→ → ){displaystyle (E,{vec})} o ()E,p→ → c).{displaystyle (E,{vec {}c).} El primer componente es la energía total (incluida la masa) de la partícula (o sistema de partículas) en un marco dado, mientras que los componentes restantes son su impulso espacial. El movimiento energético 4-vector es una cantidad conservada.

• Aceleración 4-vector: Esto resulta de tomar el derivado de la velocidad 4-vector con respecto a τ τ .{displaystyle tau.}

A↑ ↑ dVdτ τ ={displaystyle Aequiv {frac {dV}{dtau }= ddτ τ ()γ γ ,γ γ v→ → )={displaystyle {frac {dtau} {gammagamma {vec}}=} γ γ ()dγ γ dt,d()γ γ v→ → )dt){displaystyle gamma left({frac {dgamma }{dt}},{frac {d(gamma {vec {v}}}{dt}right)}}

• Fuerza 4-vector: Este es el derivado del impulso 4-vector con respecto a τ τ .{displaystyle tau.}

F↑ ↑ dPdτ τ ={displaystyle Fequiv {frac {d}{dtau }= γ γ ()dEdt,dp→ → dt)={displaystyle gamma left({frac {dE}{dt}}{frac {d{vec} {} {} {}} {}} {}}} {}}} {}}}} {}}} {}}} {}}} {}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} γ γ ()dEdt,f→ → ){displaystyle gamma left {frac {dt}} {vec {f}right)}

Como era de esperar, los componentes finales de los 4-vectores anteriores son todos 3-vectores estándar correspondientes a 4-vectores class="nowrap">3-impulso, 3-fuerza etc.

4-vectores y ley física

El primer postulado de la relatividad especial declara la equivalencia de todos los marcos inerciales. Una ley física que se cumple en un marco debe aplicarse en todos los marcos, ya que de lo contrario sería posible diferenciar entre marcos. Los momentos newtonianos no se comportan correctamente bajo la transformación lorentziana, y Einstein prefirió cambiar la definición de momento a una que involucrara 4 vectores en lugar de renunciar a la conservación del momento.

Las leyes físicas deben basarse en construcciones que sean independientes del marco. Esto significa que las leyes físicas pueden tomar la forma de ecuaciones que conectan escalares, que siempre son independientes del marco. Sin embargo, las ecuaciones que involucran 4-vectores requieren el uso de tensores con rango apropiado, que en sí mismos pueden considerarse como construidos a partir de 4-vectores .

Aceleración

Es un error común pensar que la relatividad especial es aplicable solo a marcos de referencia inerciales y que no puede manejar objetos que se aceleran o marcos de referencia que se aceleran. En realidad, los objetos que se aceleran generalmente se pueden analizar sin necesidad de lidiar con fotogramas que se aceleran. Solo cuando la gravitación es significativa se requiere la relatividad general.

Sin embargo, el manejo adecuado de fotogramas acelerados requiere cierto cuidado. La diferencia entre la relatividad especial y la general es que (1) En la relatividad especial, todas las velocidades son relativas, pero la aceleración es absoluta. (2) En la relatividad general, todo movimiento es relativo, ya sea de inercia, aceleración o rotación. Para adaptarse a esta diferencia, la relatividad general utiliza el espacio-tiempo curvo.

En esta sección, analizamos varios escenarios que involucran marcos de referencia acelerados.

La paradoja de la nave espacial Dewan-Beran-Bell

La paradoja de la nave espacial Dewan-Beran-Bell (la paradoja de la nave espacial de Bell) es un buen ejemplo de un problema en el que el razonamiento intuitivo sin la ayuda de la percepción geométrica del enfoque del espacio-tiempo puede generar problemas.

Figura 4-4. Paradoja de nave espacial Dewan–Beran–Bell

En la Fig. 4-4, dos naves espaciales idénticas flotan en el espacio y están en reposo una con respecto a la otra. Están conectados por una cuerda que es capaz de estirarse solo una cantidad limitada antes de romperse. En un instante dado en nuestro marco, el marco del observador, ambas naves espaciales aceleran en la misma dirección a lo largo de la línea que las separa con la misma aceleración propia constante. ¿Se romperá la cuerda?

Cuando la paradoja era nueva y relativamente desconocida, incluso los físicos profesionales tenían dificultades para encontrar la solución. Dos líneas de razonamiento conducen a conclusiones opuestas. Ambos argumentos, que se presentan a continuación, son defectuosos aunque uno de ellos arroja la respuesta correcta.

1. Para los observadores en el marco de descanso, las naves espaciales comienzan una distancia L separar y mantener la misma distancia separada durante la aceleración. Durante la aceleración, L es una distancia contratada larga de la distancia L' = γL en el marco de las naves espaciales aceleradoras. Después de bastante tiempo, γ aumentará a un factor suficientemente grande que la cadena debe romper.
2. Vamos A y B ser las naves traseras y delanteras. En el marco de las naves espaciales, cada nave espacial ve a la otra nave espacial haciendo lo mismo que está haciendo. A dice que B tiene la misma aceleración que tiene, y B ve que A coincide con ella cada movimiento. Así que las naves espaciales permanecen a la misma distancia, y la cuerda no se rompe.

El problema con el primer argumento es que no hay un "marco de las naves espaciales". No puede haber, porque las dos naves espaciales miden una distancia creciente entre los dos. Debido a que no existe un marco común de las naves espaciales, la longitud de la cuerda está mal definida. Sin embargo, la conclusión es correcta, y el argumento es mayormente correcto. El segundo argumento, sin embargo, ignora por completo la relatividad de la simultaneidad.

Figura 4-5. Las líneas curvas representan las líneas mundiales de dos observadores A y B que se aceleran en la misma dirección con la misma aceleración de magnitud constante. En A' y B', los observadores dejan de acelerarse. Las líneas desgarradas son líneas de simultaneidad para cualquier observador antes de que comience la aceleración y después de que se detenga la aceleración.

Un diagrama de espacio (Fig. 4-5) hace que la solución correcta a esta paradoja sea casi inmediatamente evidente. Dos observadores en Minkowski aceleran con una magnitud constante k{displaystyle k} aceleración para el tiempo adecuado σ σ {displaystyle sigma } (Aceleración y tiempo transcurrido medido por los propios observadores, no un observador inercial). Son comoving e inercial antes y después de esta fase. En la geometría de Minkowski, la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad A.B.{displaystyle A'B'} resulta ser mayor que la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad AB{displaystyle AB}.

El aumento de longitud se puede calcular con la ayuda de la transformación de Lorentz. Si, como se ilustra en la Fig. 4-5, la aceleración está terminada, los barcos permanecerán en un offset constante en algún marco S..{displaystyle S'.} Si xA{displaystyle x_{A}} y xB=xA+L{displaystyle x_{B}=x_{A}+L} son las posiciones de los barcos en S,{displaystyle S,} las posiciones en el marco S.{displaystyle S' son:

xA.=γ γ ()xA− − vt)xB.=γ γ ()xA+L− − vt)L.=xB.− − xA.=γ γ L{displaystyle {begin{aligned}x'_{A} limit=gammaleft(x_{A}-vtright)x'_{B} limit=gammaleft(x_{A}+L-vtright)L'ciendo=x'_{B}-x'_{A}=gamma Lend{aligned}}

La "paradoja", como era, viene de la forma en que Bell construyó su ejemplo. En la discusión habitual de la contracción de Lorentz, la longitud de reposo es fija y la longitud de movimiento se acorta como medida en el marco S{displaystyle S.. Como se muestra en la Fig. 4-5, el ejemplo de Bell afirma las longitudes de movimiento AB{displaystyle AB} y A.B.{displaystyle A'B} medido en el marco S{displaystyle S. para ser fijo, forzando así la longitud del marco de reposo A.B.{displaystyle A'B'} in frame S.{displaystyle S' para aumentar.

Observador acelerado con horizonte

Ciertas configuraciones de problemas de relatividad especial pueden llevar a comprender fenómenos normalmente asociados con la relatividad general, como los horizontes de eventos. En el texto que acompaña a la figura 2-7, las hipérbolas magenta representaban caminos reales que son seguidos por un viajero en constante aceleración en el espacio-tiempo. Durante los períodos de aceleración positiva, la velocidad del viajero apenas se acerca a la velocidad de la luz, mientras que, medida en nuestro marco, la aceleración del viajero disminuye constantemente.

Figura 4-6. Un observador relativista acelerado con horizonte. Otra ilustración bien elaborada del mismo tema puede verse aquí.

Fig. 4-6 detalla varias características de los movimientos del viajero con más especificidad. En cualquier momento dado, su eje espacial está formado por una línea que pasa por el origen y su posición actual sobre la hiperbola, mientras que su eje temporal es el tangente a la hiperbola en su posición. El parámetro de velocidad β β {displaystyle beta } acerca de un límite de uno como ct{displaystyle ct} aumenta. Igualmente, γ γ {displaystyle gamma } se acerca al infinito.

La forma de la hipérbola invariante corresponde a una trayectoria de aceleración propia constante. Esto es demostrable de la siguiente manera:

1. Recordamos que β β =ct/x.{displaystyle beta =ct/x.}
2. Desde c2t2− − x2=s2,{displaystyle ¿Qué? concluimos que β β ()ct)=ct/c2t2− − s2.{displaystyle beta (ct)=ct/{sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}
3. γ γ =1/1− − β β 2={displaystyle gamma =1/{sqrt {1-beta ^{2}}= c2t2− − s2/s{fnK}/s}
4. De la ley de la fuerza relativista, F=dp/dt={displaystyle F=dp/dt=dpc/d()ct)=d()β β γ γ mc2)/d()ct).{displaystyle dpc/d(ct)=d(beta gamma mc^{2})/d(ct).}
5. Sustitución β β ()ct){displaystyle beta (ct)} del paso 2 y la expresión γ γ {displaystyle gamma } del paso 3 rendimientos F=mc2/s,{displaystyle F=mc^{2}/s,} que es una expresión constante.

fig. 4-6 ilustra un escenario calculado específico. Terence (A) y Stella (B) inicialmente están juntos a 100 horas luz del origen. Stella despega en el tiempo 0, su nave espacial acelera a 0,01 c por hora. Cada veinte horas, Terence transmite por radio actualizaciones a Stella sobre la situación en el hogar (líneas verdes sólidas). Stella recibe estas transmisiones regulares, pero la distancia cada vez mayor (compensada en parte por la dilatación del tiempo) hace que reciba las comunicaciones de Terence cada vez más tarde según lo medido en su reloj, y nunca recibe ninguna comunicación. de Terence después de 100 horas en su reloj (líneas verdes discontinuas).

Después de 100 horas según el reloj de Terence, Stella entra en una región oscura. Ha viajado fuera del futuro temporal de Terence. Por otro lado, Terence puede seguir recibiendo los mensajes de Stella indefinidamente. Solo tiene que esperar lo suficiente. El espacio-tiempo se ha dividido en distintas regiones separadas por un horizonte de eventos aparente. Mientras Stella continúe acelerando, nunca podrá saber qué sucede detrás de este horizonte.

Introducción al espacio-tiempo curvo

Proposiciones básicas

Las teorías de Newton asumieron que el movimiento tiene lugar en el contexto de un marco de referencia euclidiano rígido que se extiende por todo el espacio y todo el tiempo. La gravedad está mediada por una fuerza misteriosa, que actúa instantáneamente a lo largo de una distancia, cuyas acciones son independientes del espacio intermedio. En contraste, Einstein negó que haya un marco de referencia euclidiano de fondo que se extienda por todo el espacio. Tampoco existe tal cosa como una fuerza de gravitación, solo la estructura del propio espacio-tiempo.

Gráfico 5-1 Efectos de marea.

En términos de espacio-tiempo, la trayectoria de un satélite que orbita alrededor de la Tierra no está dictada por las influencias distantes de la Tierra, la Luna y el Sol. En cambio, el satélite se mueve por el espacio solo en respuesta a las condiciones locales. Dado que el espacio-tiempo es localmente plano en todas partes cuando se considera en una escala suficientemente pequeña, el satélite siempre sigue una línea recta en su marco inercial local. Decimos que el satélite siempre sigue la trayectoria de una geodésica. No se puede descubrir evidencia de gravitación siguiendo los movimientos de una sola partícula.

En cualquier análisis del espacio-tiempo, la evidencia de la gravitación requiere que uno observe las aceleraciones relativas de dos cuerpos o dos partículas separadas. En la Fig. 5-1, dos partículas separadas, en caída libre en el campo gravitacional de la Tierra, exhiben aceleraciones de marea debido a las faltas de homogeneidad locales en el campo gravitacional, de modo que cada partícula sigue un camino diferente a través del espacio-tiempo. Las aceleraciones de marea que exhiben estas partículas entre sí no requieren fuerzas para su explicación. Más bien, Einstein los describió en términos de la geometría del espacio-tiempo, es decir, la curvatura del espacio-tiempo. Estas aceleraciones de marea son estrictamente locales. Es el efecto total acumulativo de muchas manifestaciones locales de curvatura lo que da como resultado la aparición de una fuerza gravitacional que actúa a gran distancia de la Tierra.

Dos proposiciones centrales subyacen a la relatividad general.

• El primer concepto crucial es coordinar la independencia: Las leyes de la física no pueden depender de qué sistema de coordinación uno utiliza. Esta es una importante extensión del principio de relatividad de la versión utilizada en la relatividad especial, que establece que las leyes de la física deben ser las mismas para cada observador que se mueve en marcos de referencia no acelerados (inerciales). En la relatividad general, para usar las propias palabras de Einstein (traducidas), "las leyes de la física deben ser de tal naturaleza que aplican a sistemas de referencia en cualquier tipo de movimiento." Esto conduce a una cuestión inmediata: En marcos acelerados, uno siente fuerzas que aparentemente permitirían evaluar el estado de aceleración en un sentido absoluto. Einstein resolvió este problema a través del principio de equivalencia.

Gráfico 5-2 Principio de equidad

• El principio de equivalencia establece que en cualquier región suficientemente pequeña del espacio, los efectos de la gravedad son los mismos que los de la aceleración.

En la Fig. 5-2, persona A está en una nave espacial, lejos de cualquier objeto masivo, que sufre una aceleración uniforme g. Persona B está en una caja descansando en la Tierra. Siempre que la nave espacial sea suficientemente pequeña para que los efectos de marea no sean mensurables (debido a la sensibilidad de la instrumentación de medición de gravedad actual, A y B supuestamente deberían ser lilliputados), no hay experimentos que A y B puedan realizar que les permitan saber en qué entorno están.

Una expresión alternativa del principio de equivalencia es señalar que en la ley universal de la gravedad de Newton, F = MMm_g/r² = m_gg y en la segunda ley de Newton, F = m_ia, No hay a priori razón por la cual la masa gravitacional m_g debe ser igual a la masa inercial m_i. El principio de equivalencia establece que estas dos masas son idénticas.

Pasar de la descripción elemental anterior del espacio-tiempo curvo a una descripción completa de la gravitación requiere cálculo tensorial y geometría diferencial, temas que requieren un estudio considerable. Sin estas herramientas matemáticas, es posible escribir sobre la relatividad general, pero no es posible demostrar ninguna derivación no trivial.

Curvatura del tiempo

Figura 5–3. El argumento de Einstein sugiere un cambio rojo gravitacional

En la discusión de la relatividad especial, las fuerzas no jugaron más que un papel secundario. La relatividad especial asume la capacidad de definir marcos de inercia que llenan todo el espacio-tiempo, todos cuyos relojes funcionan al mismo ritmo que el reloj en el origen. ¿Es esto realmente posible? En un campo gravitatorio no uniforme, el experimento dicta que la respuesta es no. Los campos gravitatorios hacen imposible construir un marco inercial global. En regiones lo suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, los marcos inerciales locales todavía son posibles. La relatividad general implica la unión sistemática de estos marcos locales en una imagen más general del espacio-tiempo.

Años antes de la publicación de la teoría general en 1916, Einstein usó el principio de equivalencia para predecir la existencia de rojiza gravitacional en el siguiente experimento de pensamiento: (i) Suponga que una torre de altura h (Fig. 5-3) se ha construido. ii) Suprimir una partícula de masa de descanso m desde la cima de la torre. Cae libremente con aceleración g, alcanzando el suelo con velocidad v = 2gh)^1/2, para que su energía total E, medido por un observador sobre el terreno, es m+12mv2c2=m+mghc2{displaystyle m+{frac {frac {2} {2}mv^{2} {c^{2}=m+{frac} {mgh}{c^{2}}} iii) Un convertidor de energía masiva transforma la energía total de la partícula en un solo fotón de alta energía, que dirige hacia arriba. iv) En la parte superior de la torre, un convertidor de masa de energía transforma la energía del fotón E' volver a una partícula de masa de descanso m'.

Debe ser que m = m', ya que de lo contrario se podría construir un dispositivo de movimiento perpetuo. Por lo tanto, predecimos que E' = m, de modo que

E.E=h.. .h.. =mm+mghc2=1− − ghc2{displaystyle {frac {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc} {hnu}{hnu }={frac {m}{m+{frac} {mgh}{c^{2}}}=1-{frac {} {c}}}

Un fotón que asciende en el campo gravitatorio de la Tierra pierde energía y se desplaza hacia el rojo. Los primeros intentos de medir este corrimiento al rojo a través de observaciones astronómicas no fueron concluyentes, pero las observaciones de laboratorio definitivas fueron realizadas por Pound & Rebka (1959) y más tarde por Pound & Snider (1964).

La luz tiene una frecuencia asociada, y esta frecuencia puede usarse para controlar el funcionamiento de un reloj. El corrimiento al rojo gravitatorio lleva a una conclusión importante sobre el tiempo mismo: la gravedad hace que el tiempo corra más lento. Supongamos que construimos dos relojes idénticos cuyas velocidades están controladas por alguna transición atómica estable. Coloque un reloj en la parte superior de la torre, mientras que el otro reloj permanece en el suelo. Un experimentador en la parte superior de la torre observa que las señales del reloj del suelo tienen una frecuencia más baja que las del reloj de al lado en la torre. La luz que sube por la torre es solo una ola, y es imposible que las crestas de las olas desaparezcan en el camino hacia arriba. A la parte superior de la torre llegan exactamente tantas oscilaciones de luz como las que se emiten en la parte inferior. El experimentador llega a la conclusión de que el reloj del suelo funciona con lentitud y puede confirmarlo bajando el reloj de la torre para compararlo con el reloj del suelo. Para una torre de 1 km, la discrepancia ascendería a unos 9,4 nanosegundos por día, fácilmente medible con instrumentación moderna.

No todos los relojes en un campo gravitatorio funcionan a la misma velocidad. Experimentos como el de Pound-Rebka han establecido firmemente la curvatura del componente temporal del espacio-tiempo. El experimento de Pound-Rebka no dice nada sobre la curvatura del componente espacial del espacio-tiempo. Pero los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no dependen en absoluto de los detalles de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predecirá la dilatación del tiempo gravitatorio si respeta el principio de equivalencia. Esto incluye la gravitación newtoniana. Una demostración estándar en relatividad general es mostrar cómo, en el "límite newtoniano" (es decir, las partículas se mueven lentamente, el campo gravitatorio es débil y el campo está estático), la curvatura del tiempo por sí sola es suficiente para derivar la ley de la gravedad de Newton.

La gravitación newtoniana es una teoría del tiempo curvo. La relatividad general es una teoría del tiempo curvo y del espacio curvo. Dado G como la constante gravitacional, M como la masa de una estrella newtoniana y cuerpos en órbita de masa insignificante a una distancia r de la estrella, el intervalo de espacio-tiempo para la gravitación newtoniana es uno para el cual solo el coeficiente de tiempo es variable:

Δ Δ s2=()1− − 2GMc2r)()cΔ Δ t)2− − ()Δ Δ x)2− − ()Δ Δ Sí.)2− − ()Δ Δ z)2{displaystyle Delta s^{2}=left(1-{frac {2GM}{c^{2}r}}right)(cDelta t)^{2}-,(Delta x)^{2}-( Delta y

Curvatura del espacio

El ()1− − 2GM/()c2r)){displaystyle (1-2GM/(c^{2}r)} coeficiente en frente de ()cΔ Δ t)2{displaystyle (cDelta t)}{2} describe la curvatura del tiempo en la gravitación Newtoniana, y esta curvatura representa completamente todos los efectos gravitatorios Newtonianos. Como se espera, este factor de corrección es directamente proporcional a G{displaystyle G. y M{displaystyle M}, y debido a r{displaystyle r} en el denominador, el factor de corrección aumenta a medida que uno se acerca al cuerpo gravitatorio, lo que significa que el tiempo es curvado.

Pero la relatividad general es una teoría del espacio curvo y del tiempo curvo, por lo que si hay términos que modifican los componentes espaciales del intervalo de espacio-tiempo presentado anteriormente, ¿no deberían verse sus efectos en, digamos, órbitas planetarias y satelitales debido a factores de corrección de curvatura aplicados a los términos espaciales?

La respuesta es que ellos son visto, pero los efectos son pequeños. La razón es que las velocidades planetarias son extremadamente pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, de modo que para planetas y satélites del sistema solar, el ()cΔ Δ t)2{displaystyle (cDelta t)}{2} término enana los términos espaciales.

A pesar de la minuciosidad de los términos espaciales, los primeros indicios de que algo andaba mal con la gravitación newtoniana se descubrieron hace más de un siglo y medio. En 1859, Urbain Le Verrier, en un análisis de las observaciones cronometradas disponibles de los tránsitos de Mercurio sobre el disco solar de 1697 a 1848, informó que la física conocida no podía explicar la órbita de Mercurio, a menos que existiera la posibilidad de un planeta o cinturón de asteroides dentro de la órbita de Mercurio. El perihelio de la órbita de Mercurio exhibió una tasa de precesión superior a la que podría explicarse por los tirones de los otros planetas. La capacidad de detectar y medir con precisión el valor minuto de esta precesión anómala (solo 43 segundos de arco por siglo tropical) es testimonio de la sofisticación de la astrometría del siglo XIX.

Figura 5-4. La relatividad general es una teoría del tiempo curvado y espacio curvado. Haga clic aquí para animar.

Como el famoso astrónomo que había descubierto antes la existencia de Neptuno "en la punta de su pluma" Mediante el análisis de oscilaciones en la órbita de Urano, el anuncio de Le Verrier desencadenó un largo período de dos décadas de 'vulcano-manía', mientras astrónomos profesionales y aficionados buscaban el hipotético nuevo planeta. Esta búsqueda incluyó varios avistamientos falsos de Vulcano. Finalmente se estableció que no existía tal planeta o cinturón de asteroides.

En 1916, Einstein demostraría que esta precesión anómala de Mercurio se explica por los términos espaciales en la curvatura del espacio-tiempo. La curvatura en el término temporal, siendo simplemente una expresión de la gravitación newtoniana, no tiene nada que ver con la explicación de esta precesión anómala. El éxito de su cálculo fue una poderosa indicación para los compañeros de Einstein de que la teoría general de la relatividad podría ser correcta.

La más espectacular de las predicciones de Einstein fue su cálculo de que los términos de curvatura en los componentes espaciales del intervalo de espacio-tiempo podrían medirse en la flexión de la luz alrededor de un cuerpo masivo. La luz tiene una pendiente de ±1 en un diagrama de espacio-tiempo. Su movimiento en el espacio es igual a su movimiento en el tiempo. Para la expresión de campo débil del intervalo invariante, Einstein calculó una curvatura de signo exactamente igual pero de signo opuesto en sus componentes espaciales.

Δ Δ s2=()1− − 2GMc2r)()cΔ Δ t)2{displaystyle Delta s^{2}=left(1-{frac {2GM}{c^{2}r}}right)(cDelta t)}{2}}− − ()1+2GMc2r)[()Δ Δ x)2+()Δ Δ Sí.)2+()Δ Δ z)2]{displaystyle -,left(1+{frac {2GM}{c^{2}r}right)left[(Delta x)^{2}+( Delta y

En la gravedad de Newton, el ()1− − 2GM/()c2r)){displaystyle (1-2GM/(c^{2}r)} coeficiente en frente de ()cΔ Δ t)2{displaystyle (cDelta t)}{2} predice doblar la luz alrededor de una estrella. En la relatividad general, ()1+2GM/()c2r)){displaystyle (1+2GM/(c^{2}r)} coeficiente en frente de [()Δ Δ x)2+()Δ Δ Sí.)2+()Δ Δ z)2]{displaystyle left[(Delta x)^{2}+() Delta y predice un duplicación de la curvatura total.

La historia de la expedición al eclipse de Eddington de 1919 y el ascenso a la fama de Einstein está bien contada en otros lugares.

Fuentes de la curvatura del espacio-tiempo

Figura 5-5. Componentes contravariantes del tensor de estrés-energía

En la teoría de la gravitación de Newton, la única fuente de fuerza gravitacional es la masa.

En cambio, la relatividad general identifica varias fuentes de curvatura espacial además de masa. En las ecuaciones de campo de Einstein, las fuentes de gravedad se presentan en el lado derecho en Tμ μ .. ,{displaystyle T_{munu },} el tensor de la energía.

fig. 5-5 clasifica las diversas fuentes de gravedad en el tensor tensión-energía:

• T00{displaystyle T^{00} (rojo): La densidad total de masa-energía, incluyendo cualquier contribución a la energía potencial de las fuerzas entre las partículas, así como la energía cinética de los movimientos térmicos aleatorios.
• T0i{displaystyle T^{0i} y Ti0{displaystyle T^{i0} (orange): Estos son términos de densidad de impulso. Incluso si no hay movimiento a granel, la energía puede ser transmitida por conducción de calor, y la energía conducida llevará impulso.
• Tij{displaystyle T^{ij} son las tasas de flujo de i-componente de impulso por unidad j-dirección. Incluso si no hay movimiento a granel, los movimientos térmicos aleatorios de las partículas darán lugar al flujo de impulso, por lo que i = j términos (verde) representan la presión isotrópica, y i ل j los términos (azul) representan estragos.

Una conclusión importante que se deriva de las ecuaciones es que, coloquialmente hablando, gravedad misma crea gravedad. La energía tiene masa. Incluso en la gravedad Newtoniana, el campo gravitacional está asociado con una energía, E=mgh,{displaystyle E=mgh,} llamada la energía potencial gravitacional. En la relatividad general, la energía del campo gravitacional se alimenta de nuevo en la creación del campo gravitacional. Esto hace que las ecuaciones no lineales y difíciles de resolver en cualquier otra cosa que los casos de campo débiles. La relatividad numérica es una rama de relatividad general usando métodos numéricos para resolver y analizar problemas, empleando a menudo supercomputadores para estudiar agujeros negros, ondas gravitacionales, estrellas de neutrones y otros fenómenos en el régimen de campo fuerte.

Energía-impulso

Figure 5-6. (left) Mass-energy warps spacetime. (derecha) Distribución de masa-energía rotativa con impulso angular J generar campos gravitomagneticos H.

En la relatividad especial, la masa-energía está estrechamente relacionada con el impulso. Así como el espacio y el tiempo son aspectos diferentes de una entidad más completa llamada espaciotiempo, la energía de masa y el momento son simplemente aspectos diferentes de una cantidad unificada de cuatro dimensiones llamada cuatro momentos. En consecuencia, si la masa-energía es una fuente de gravedad, el momento también debe ser una fuente. La inclusión del impulso como fuente de gravedad conduce a la predicción de que las masas en movimiento o en rotación pueden generar campos análogos a los campos magnéticos generados por cargas en movimiento, un fenómeno conocido como gravitomagnetismo.

Figura 5-7. Origen del gravitomagnetismo

Es bien sabido que la fuerza del magnetismo puede deducirse aplicando las reglas de la relatividad especial a cargos móviles. (Una manifestación elocuente de esto fue presentada por Feynman en el volumen II, Capítulo 13 a 6 de su Conferencias sobre Física, disponible en línea.) La lógica analógica se puede utilizar para demostrar el origen del gravitomagnetismo. En Fig. 5-7a, dos flujos paralelos, infinitamente largos de partículas masivas tienen velocidades iguales y opuestas −v y +v relativo a una partícula de prueba en reposo y centrado entre los dos. Debido a la simetría de la configuración, la fuerza neta en la La partícula central es cero. Assume v≪ ≪ c{displaystyle vll c} así que las velocidades son simplemente aditivos. Fig. 5-7b muestra exactamente la misma configuración, pero en el marco de la corriente superior. La partícula de prueba tiene una velocidad de +v, y el flujo inferior tiene una velocidad de +2v. Puesto que la situación física no ha cambiado, sólo el marco en el que se observan las cosas, la partícula de prueba no debe ser atraída hacia ninguna corriente. Pero no está claro que las fuerzas ejercidas en la partícula de prueba sean iguales. (1) Puesto que el flujo inferior se mueve más rápido que la parte superior, cada partícula en el flujo inferior tiene una mayor energía de masa que una partícula en la parte superior. (2) Debido a la contracción de Lorentz, hay más partículas por longitud de unidad en la corriente inferior que en la corriente superior. (3) Otra contribución a la masa gravitacional activa de la corriente inferior viene de un término de presión adicional que, en este momento, no tenemos suficiente fondo para discutir. Todos estos efectos juntos aparentemente exigirían que la partícula de prueba se dibujara hacia la corriente inferior.

La partícula de prueba no es atraída hacia la corriente de fondo debido a una fuerza dependiente de la velocidad que sirve para repeler una partícula que se mueve en la misma dirección que la corriente de fondo. Esta fuerza gravitatoria dependiente de la velocidad efecto es el gravitomagnetismo.

La materia en movimiento a través de un campo gravitomagnético está, por lo tanto, sujeta a los llamados efectos de arrastre de marco análogos a la inducción electromagnética. Se ha propuesto que tales fuerzas gravitomagnéticas son la base de la generación de los chorros relativistas (Fig. 5-8) expulsados por algunos agujeros negros supermasivos en rotación.

Presión y estrés

Las cantidades que están directamente relacionadas con la energía y el momento también deberían ser fuentes de gravedad, es decir, presión interna y tensión. En conjunto, masa-energía, impulso, presión y estrés sirven como fuentes de gravedad: colectivamente, son lo que le dice al espacio-tiempo cómo curvarse.

La relatividad general predice que la presión actúa como una fuente gravitatoria con exactamente la misma fuerza que la densidad de masa-energía. La inclusión de la presión como fuente de gravedad conduce a diferencias dramáticas entre las predicciones de la relatividad general y las de la gravitación newtoniana. Por ejemplo, el término de presión establece un límite máximo para la masa de una estrella de neutrones. Cuanto más masiva es una estrella de neutrones, más presión se requiere para soportar su peso contra la gravedad. Sin embargo, el aumento de la presión se suma a la gravedad que actúa sobre la masa de la estrella. Por encima de cierta masa determinada por el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, el proceso se descontrola y la estrella de neutrones colapsa en un agujero negro.

Los términos de tensión se vuelven muy significativos cuando se realizan cálculos como simulaciones hidrodinámicas de supernovas con colapso del núcleo.

Estas predicciones sobre los roles de la presión, el impulso y la tensión como fuentes de la curvatura del espacio-tiempo son elegantes y juegan un papel importante en la teoría. Con respecto a la presión, el universo primitivo estaba dominado por la radiación, y es muy poco probable que alguno de los datos cosmológicos relevantes (por ejemplo, abundancias de nucleosíntesis, etc.) pudiera reproducirse si la presión no contribuyera a la gravedad, o si no tuviera la misma fuerza como fuente de gravedad que masa-energía. Asimismo, la consistencia matemática de las ecuaciones de campo de Einstein se rompería si los términos de tensión no contribuyeran como fuente de gravedad.

Prueba experimental de las fuentes de curvatura del espacio-tiempo

Definiciones: Masa activa, pasiva e inercial

Bondi distingue entre diferentes tipos posibles de masa: (1) masa activama{displaystyle m_{a}) es la masa que actúa como fuente de un campo gravitacional; (2)masa pasivamp{displaystyle m_{p}) es la masa que reacciona a un campo gravitacional; (3) masa inercialmi{displaystyle #) es la masa que reacciona a la aceleración.

• mp{displaystyle m_{p} es lo mismo que Masa gravitacionalmg{displaystyle m_{g}) en el debate del principio de equivalencia.

En la teoría newtoniana,

• La tercera ley de acción y reacción dicta que ma{displaystyle m_{a} y mp{displaystyle m_{p} Debe ser lo mismo.
• Por otro lado, si mp{displaystyle m_{p} y mi{displaystyle # son iguales es un resultado empírico.

En relatividad general,

• La igualdad mp{displaystyle m_{p} y mi{displaystyle # está dictada por el principio de equivalencia.
• No hay principio de "acción y reacción" que dicte ninguna relación necesaria entre ma{displaystyle m_{a} y mp{displaystyle m_{p}.

La presión como fuente gravitatoria

Figura 5-9. (A) Cavendish experiment, (B) Kreuzer experiment

El experimento clásico para medir la fuerza de una fuente gravitacional (es decir, su masa activa) fue realizado por primera vez en 1797 por Henry Cavendish (Fig. 5-9a). Dos bolas pequeñas pero densas están suspendidas de un alambre fino, formando un equilibrio de torsión. Acercar dos grandes masas de prueba a las bolas introduce un par detectable. Dadas las dimensiones del aparato y la constante de resorte medible del alambre de torsión, se puede determinar la constante gravitatoria G.

Estudiar los efectos de la presión comprimiendo las masas de prueba es inútil, porque las presiones alcanzables en el laboratorio son insignificantes en comparación con la masa-energía de una bola de metal.

Sin embargo, las presiones electromagnéticas repulsivas resultantes de los protones apretados dentro de los núcleos atómicos suelen ser del orden de 10²⁸ atm ≈ 10³³ Pa ≈ 10 ³³ kg·s⁻²m⁻¹. Esto equivale a alrededor del 1 % de la densidad de masa nuclear de aproximadamente 10¹⁸kg/m³ (después de factorizar c² ≈ 9×10 ¹⁶m²s⁻²).

Figura 5-10. Experimento con láser lunar. (izquierda) Este retroflector fue dejado en la Luna por astronautas en la misión del Apolo 11. (derecha) Los astrónomos de todo el mundo han rebotado luz láser de los retroreflectores dejados por los astronautas de Apolo y los lunares rusos para medir precisamente la distancia entre la Tierra y la Luna.

Si la presión no actúa como fuente gravitatoria, entonces la relación ma/mp{displaystyle m_{a}/m_{p} debe ser menor para los núcleos con mayor número atómico Z, en que las presiones electrostáticas son más altas. L. B. Kreuzer (1968) realizó un experimento de Cavendish usando una masa Teflon suspendida en una mezcla de los líquidos tricloroetileno y dibromoetano con la misma densidad flotante que el Teflon (Fig. 5-9b). Fluorina tiene número atómico Z = 9, mientras que el bromo tiene Z = 35. Kreuzer encontró que la reposición de la masa de Teflon no causó deflexión diferencial de la barra de torsión, por lo que establecer masa activa y masa pasiva para ser equivalente a una precisión de 5×10^{; 5 -}.

Aunque Kreuzer originalmente consideró este experimento simplemente como una prueba de la relación entre la masa activa y la masa pasiva, Clifford Will (1976) reinterpretó el experimento como una prueba fundamental del acoplamiento de las fuentes a los campos gravitatorios.

En 1986, Bartlett y Van Buren observaron que el alcance del láser lunar había detectado un desplazamiento de 2 km entre el centro de figura de la luna y su centro de masa. Esto indica una asimetría en la distribución de Fe (abundante en el núcleo de la Luna) y Al (abundante en su corteza y manto). Si la presión no contribuyera por igual a la curvatura del espacio-tiempo como lo hace la masa-energía, la luna no estaría en la órbita predicha por la mecánica clásica. Usaron sus medidas para ajustar los límites de cualquier discrepancia entre la masa activa y pasiva a alrededor de 10⁻¹².

Gravitomagnetismo

Figura 5-11. Gravity Probe B confirmó la existencia del gravitomagnetismo

La existencia del gravitomagnetismo fue probada por Gravity Probe B (GP-B), una misión satelital que se lanzó el 20 de abril de 2004. La fase de vuelo espacial duró hasta 2005. El objetivo de la misión era medir la curvatura del espacio-tiempo cerca de la Tierra, con especial énfasis en el gravitomagnetismo.

Los resultados iniciales confirmaron el efecto geodésico relativamente grande (que se debe a la simple curvatura del espacio-tiempo y también se conoce como precesión de De Sitter) con una precisión de alrededor del 1 %. El efecto de arrastre de marco mucho más pequeño (que se debe al gravitomagnetismo y también se conoce como precesión de Lense-Thirring) fue difícil de medir debido a efectos de carga inesperados que causan una deriva variable en los giroscopios. Sin embargo, en agosto de 2008, se confirmó que el efecto de arrastre de fotogramas se encontraba dentro del 15 % del resultado esperado, mientras que el efecto geodésico se confirmó mejor que el 0,5 %.

Las mediciones subsiguientes del arrastre de marcos mediante observaciones de rango láser de los satélites LARES, LAGEOS-1 y LAGEOS-2 han mejorado en la medición GP-B, con resultados (a partir de 2016) que demuestran el efecto dentro del 5% de su valor teórico, aunque ha habido cierto desacuerdo sobre la precisión de este resultado.

Otro esfuerzo, el experimento Gyroscopes in General Relativity (GINGER), busca utilizar tres láseres de anillo de 6 m montados en ángulo recto entre sí a 1400 m por debajo de la superficie de la Tierra para medir este efecto.

Temas técnicos

¿El espacio-tiempo es realmente curvo?

En la visión convencionalista de Poincaré, los criterios esenciales según los cuales se debería seleccionar una geometría euclidiana frente a una no euclidiana serían la economía y la simplicidad. Un realista diría que Einstein descubrió que el espacio-tiempo no es euclidiano. Un convencionalista diría que a Einstein simplemente le resultó más conveniente usar geometría no euclidiana. El convencionalista mantendría que el análisis de Einstein no dice nada acerca de lo que realmente es la geometría del espacio-tiempo.

Dicho esto,

1. ¿Es posible representar la relatividad general en términos de espacio plano?

2. ¿Hay situaciones en las que una interpretación plana de la relatividad general puede ser más conveniente que la interpretación curvada de tiempo espacial habitual?

En respuesta a la primera pregunta, varios autores, incluidos Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg, etc., han proporcionado varias formulaciones de la gravitación como un campo en una variedad plana. Esas teorías se denominan de diversas formas "gravedad bimétrica", el "enfoque teórico de campo de la relatividad general", etc. Kip Thorne ha proporcionado una revisión popular de estas teorías.

El paradigma del espacio-tiempo plano postula que la materia crea un campo gravitacional que hace que las reglas se encojan cuando se giran de la orientación circunferencial a la radial, y eso hace que se dilaten las velocidades de tictac de los relojes. El paradigma del espacio-tiempo plano es completamente equivalente al paradigma del espacio-tiempo curvo en el sentido de que ambos representan los mismos fenómenos físicos. Sin embargo, sus formulaciones matemáticas son completamente diferentes. Los físicos que trabajan alternan rutinariamente entre el uso de técnicas de espacio-tiempo planas y curvas, según los requisitos del problema. El paradigma del espacio-tiempo plano resulta especialmente conveniente cuando se realizan cálculos aproximados en campos débiles. Por lo tanto, las técnicas de espacio-tiempo plano se utilizarán para resolver problemas de ondas gravitacionales, mientras que las técnicas de espacio-tiempo curvo se utilizarán en el análisis de agujeros negros.

Simetrías asintóticas

El grupo de simetría del espacio-tiempo para la Relatividad especial es el grupo de Poincaré, que es un grupo de diez dimensiones de tres aumentos de Lorentz, tres rotaciones y cuatro traslaciones del espacio-tiempo. Es lógico preguntar qué simetrías, si es que hay alguna, podrían aplicarse en la relatividad general. Un caso manejable podría ser considerar las simetrías del espacio-tiempo tal como las ven los observadores ubicados lejos de todas las fuentes del campo gravitatorio. La expectativa ingenua de las simetrías del espacio-tiempo asintóticamente planas podría ser simplemente extender y reproducir las simetrías del espacio-tiempo plano de la relatividad especial, a saber, el grupo de Poincaré.

En 1962, Hermann Bondi, M. G. van der Burg, A. W. Metzner y Rainer K. Sachs abordaron este problema de simetría asintótica para investigar el flujo de energía en el infinito debido a la propagación de ondas gravitacionales. Su primer paso fue decidir sobre algunas condiciones de contorno físicamente sensibles para colocar en el campo gravitatorio en el infinito similar a la luz para caracterizar lo que significa decir que una métrica es asintóticamente plana, sin hacer suposiciones a priori sobre la naturaleza de el grupo de simetría asintótica, ni siquiera la suposición de que tal grupo existe. Luego, después de diseñar lo que consideraban las condiciones de contorno más sensibles, investigaron la naturaleza de las transformaciones de simetría asintótica resultantes que dejan invariable la forma de las condiciones de contorno apropiadas para campos gravitatorios asintóticamente planos. Lo que encontraron fue que las transformaciones de simetría asintótica en realidad forman un grupo y la estructura de este grupo no depende del campo gravitacional particular que esté presente. Esto significa que, como era de esperar, se puede separar la cinemática del espacio-tiempo de la dinámica del campo gravitatorio al menos en el infinito espacial. La desconcertante sorpresa en 1962 fue su descubrimiento de un rico grupo de dimensión infinita (el llamado grupo BMS) como grupo de simetría asintótica, en lugar del grupo de Poincaré de dimensión finita, que es un subgrupo del grupo BMS. Las transformaciones de Lorentz no solo son transformaciones de simetría asintótica, también hay transformaciones adicionales que no son transformaciones de Lorentz sino transformaciones de simetría asintótica. De hecho, encontraron una infinidad adicional de generadores de transformación conocidos como supertraducciones. Esto implica la conclusión de que la Relatividad General (GR) no se reduce a la relatividad especial en el caso de campos débiles a largas distancias.

Geometría de Riemann

Colectores curvos

Por razones físicas, un continuum espacial se define matemáticamente como un manifold lorentziano de cuatro dimensiones, suave y conectado ()M,g){displaystyle (M,g)}. Esto significa la métrica de Lorentz suave g{displaystyle g} tiene firma ()3,1){displaystyle (3,1)}. La métrica determina el geometría de tiempo espacial, así como determinar la geodésica de partículas y rayos de luz. Sobre cada punto (evento) en este múltiple, las tablas de coordenadas se utilizan para representar observadores en marcos de referencia. Por lo general, coordenadas cartesianas ()x,Sí.,z,t){displaystyle (x,y,z,t)} se usan. Además, por el bien de la simplicidad, las unidades de medición son generalmente elegidas tal que la velocidad de la luz c{displaystyle c} es igual a 1.

Un marco de referencia (observador) se puede identificar con uno de estos gráficos de coordenadas; cualquier observador puede describir cualquier evento p{displaystyle p}. Otro marco de referencia puede ser identificado por un segundo gráfico de coordenadas p{displaystyle p}. Dos observadores (uno en cada marco de referencia) pueden describir el mismo evento p{displaystyle p} pero obtener diferentes descripciones.

Por lo general, muchas tablas de coordenadas superpuestas son necesarias para cubrir un múltiple. Dados dos cuadros de coordenadas, uno que contiene p{displaystyle p} (representando a un observador) y otro que contiene q{displaystyle q} (representando a otro observador), la intersección de los gráficos representa la región de tiempo espacial en la que ambos observadores pueden medir las cantidades físicas y, por consiguiente, comparar los resultados. La relación entre los dos conjuntos de medidas se da por una transformación no lineal de coordenadas en esta intersección. La idea de las tablas de coordenadas como observadores locales que pueden realizar mediciones en sus proximidades también tiene buen sentido físico, ya que así es como uno realmente recopila datos físicos — localmente.

Por ejemplo, dos observadores, uno de los cuales está en la Tierra, pero el otro que está en un cohete rápido a Júpiter, pueden observar un cometa que choca contra Júpiter (este es el evento p{displaystyle p}). En general, no estarán de acuerdo sobre la ubicación exacta y el tiempo de este impacto, es decir, tendrán diferentes 4-tuples ()x,Sí.,z,t){displaystyle (x,y,z,t)} (como están utilizando diferentes sistemas de coordenadas). Aunque sus descripciones cinemáticas difieren, las leyes dinámicas (físicas), como la conservación del impulso y la primera ley de la termodinámica, todavía se mantendrán. De hecho, la teoría de la relatividad requiere más que esto en el sentido de que estipula estas (y todas las demás leyes físicas) deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordinación. Esto introduce a los tensores en la relatividad, por la cual todas las cantidades físicas están representadas.

Se dice que las geodésicas son temporales, nulas o espaciales si el vector tangente a un punto de la geodésica es de esta naturaleza. Las trayectorias de partículas y haces de luz en el espacio-tiempo están representadas por geodésicas temporales y nulas (similares a la luz), respectivamente.

Personaje privilegiado del espacio-tiempo 3+1

Propiedades de n+m-tiempos espaciales dimensionales

Hay dos tipos de dimensiones: espaciales (bidirectionales) y temporales (unidireccionales). Que el número de dimensiones espaciales sea N y el número de dimensiones temporales T. Que N = 3 y T = 1, dejando a un lado las dimensiones compactadas invocadas por la teoría de cuerdas e indetectables hasta la fecha, se puede explicar apelando a las consecuencias físicas de dejar N difiere de 3 y T difiere de 1. El argumento es a menudo de carácter antropo y posiblemente el primero de su tipo, aunque antes de que el concepto completo llegara a ser vogue.

La idea implícita de que la dimensionalidad del universo es especial se atribuye primero a Gottfried Wilhelm Leibniz, quien en el Discurso sobre la metafísica sugirió que el mundo es "el que es al mismo tiempo el más simple de la hipótesis y el más rico de los fenómenos". Immanuel Kant sostuvo que el espacio tridimensional era una consecuencia de la inversa ley cuadrada de la gravitación universal. Mientras que el argumento de Kant es históricamente importante, John D. Barrow dijo que "tiene la línea de punzones de vuelta al frente: es la tridimensionalidad del espacio que explica por qué vemos leyes de fuerza inversa-cuadrada en la Naturaleza, no viceversa" (Barrow 2002: 204).

En 1920, Paul Ehrenfest mostró que si sólo hay una dimensión temporal y mayor que tres dimensiones espaciales, la órbita de un planeta sobre su El sol no puede permanecer estable. Lo mismo ocurre con la órbita de una estrella alrededor del centro de su galaxia. Ehrenfest también mostró que si hay un número uniforme de dimensiones espaciales, entonces las diferentes partes de un impulso de onda viajarán a diferentes velocidades. Si hay 5+2k{displaystyle 5+2k} dimensiones espaciales, donde k es un número entero positivo, luego los impulsos de onda se distorsionan. En 1922, Hermann Weyl afirmó que la teoría de Maxwell sobre el electromagnetismo se puede expresar en términos de una acción sólo para el múltiple cuatridimensional. Finalmente, Tangherlini mostró en 1963 que cuando hay más de tres dimensiones espaciales, las órbitas electrones alrededor de los núcleos no pueden ser estables; los electrones caerían en el núcleo o dispersarían.

Max Tegmark amplía el argumento anterior de la siguiente manera antropical. Si T difiere de 1, el comportamiento de los sistemas físicos no se puede predecir fiablemente del conocimiento de las ecuaciones diferenciales parciales pertinentes. En tal universo, la vida inteligente capaz de manipular la tecnología no podría surgir. Además, si T ■ 1, Tegmark sostiene que los protones y electrones serían inestables y podrían desintegrarse en partículas con mayor masa que ellos mismos. (Esto no es un problema si las partículas tienen una temperatura suficientemente baja.) Por último, si N 3, la gravedad de cualquier tipo se vuelve problemática, y el universo es probablemente demasiado simple para contener observadores. Por ejemplo, cuando N 3, los nervios no pueden cruzar sin interseccionar. Por lo tanto, los argumentos antropos y otros argumentos descartan todos los casos excepto N = 3 y T = 1, lo que sucede para describir el mundo que nos rodea.

Por otro lado, a la vista de crear agujeros negros de un gas monatómico ideal bajo su autogravedad, Wei-Xiang Feng mostró que (3+1)-dimensional es la dimensión marginal. Además, es la dimensionalidad única que puede permitirse una esfera de gas "estable" con una constante cosmológica "positiva". Sin embargo, un gas autogravitativo no puede estar atado estable si la esfera de masa es mayor que ~10²¹ masas solares debido a la pequeña positivaidad de la constante cosmológica observada.

En 2019, James Scargill argumentó que la vida compleja puede ser posible con dos dimensiones espaciales. Según Scargill, una teoría puramente escalar de la gravedad puede permitir una fuerza gravitatoria local, y las redes 2D pueden ser suficientes para redes neuronales complejas.

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