Números amistosos

Demostración, con varas, de la amabilidad del par de números (220,284)

Números amistosos son dos números naturales diferentes relacionados de tal forma que la suma de los divisores propios de cada uno es igual al otro número. Es decir, σ(a)=b y σ(b)=a, donde σ(n) es igual a la suma de los divisores positivos de n (ver también función divisor).

El par más pequeño de números amistosos es (220, 284). Son amistosos porque los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, de los cuales la suma es 284; y los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, de los cuales la suma es 220. (Un divisor propio de un número es un factor positivo de ese número que no sea el propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3.)

Los diez primeros pares amistosos son: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595)), (17296, 18416), (63020, 76084) y (66928, 66992). (secuencia A259180 en el OEIS). (Consulte también OEIS: A002025 y OEIS: A002046). Se desconoce si hay un número infinito de pares de números amistosos.

Un par de números amistosos constituye una secuencia alícuota de periodo 2. Un concepto relacionado es el de número perfecto, que es un número que es igual a la suma de sus propios divisores propios, es decir un número que forma una secuencia alícuota de período 1. Los números que son miembros de una secuencia alícuota con período mayor que 2 se conocen como números sociables.

Historia

Los números amistosos eran conocidos por los pitagóricos, quienes les atribuyeron muchas propiedades místicas. El matemático iraquí Thābit ibn Qurra (826–901) inventó una fórmula general mediante la cual se podrían derivar algunos de estos números alrededor del año 850. Otros matemáticos árabes que estudiaron los números amistosos son al-Majriti (fallecido en 1007), al-Baghdadi (980–1037) y al-Fārisī (1260–1320). El matemático iraní Muhammad Baqir Yazdi (siglo XVI) descubrió la pareja (9363584, 9437056), aunque esto se ha atribuido a menudo a Descartes. Gran parte del trabajo de los matemáticos orientales en esta área se ha olvidado.

La fórmula de Thābit ibn Qurra fue redescubierta por Fermat (1601–1665) y Descartes (1596–1650), a quienes a veces se le atribuye, y Euler (1707–1783) la extendió. Borho lo amplió aún más en 1972. Fermat y Descartes también redescubrieron pares de números amistosos conocidos por los matemáticos árabes. Euler también descubrió docenas de nuevos pares. El segundo par más pequeño, (1184, 1210), fue descubierto en 1867 por B. Nicolò I. Paganini, de 16 años (que no debe confundirse con el compositor y violinista), habiendo sido pasado por alto por matemáticos anteriores.

Para 1946 había 390 pares conocidos, pero la llegada de las computadoras ha permitido el descubrimiento de muchos miles desde entonces. Se han realizado búsquedas exhaustivas para encontrar todos los pares por debajo de un límite dado, extendiéndose este límite de 10⁸ en 1970, a 10¹⁰ en 1986, 10 ¹¹ en 1993, 10¹⁷ en 2015 y 10¹⁸ en 2016.

Hasta diciembre de 2022, hay más de 1 227 782 053 parejas amistosas conocidas.

Reglas para la generación

Si bien estas reglas generan algunos pares de números amistosos, se conocen muchos otros pares, por lo que estas reglas no son exhaustivas.

En particular, las dos reglas a continuación producen solo pares amistosos, por lo que no son de interés para el problema abierto de encontrar pares amistosos coprimos a 210 = 2·3·5·7, mientras que más de 1000 pares coprimos a 30 = Se conocen 2·3·5 [García, Pedersen & te Riele (2003), Sandor & Crstici (2004)].

Teorema de Thâbit ibn Qurra

El teorema de Thābit ibn Qurra es un método para descubrir números amistosos inventado en el siglo IX por el matemático árabe Thābit ibn Qurra.

Establece que si

p = 3×2^{n − 1} − 1,

q = 3×2ⁿ − 1,

r = 9×2^{2n − 1} − 1,

donde n > 1 es un número entero y p, q y r son números primos, entonces 2ⁿ×p×q y 2ⁿ×r son un par de números amistosos. Esta fórmula da los pares (220, 284) para n = 2, (17296, 18416) para n = 4 y (9363584, 9437056) para n = 7, pero no se conocen otros pares similares. Los números de la forma 3×2ⁿ − 1 se conocen como números de Thabit. Para que la fórmula de Ibn Qurra produzca un par amistoso, dos números Thabit consecutivos deben ser primos; esto restringe severamente los posibles valores de n.

Para establecer el teorema, Thâbit ibn Qurra probó nueve lemas divididos en dos grupos. Los tres primeros lemas tratan de la determinación de las partes alícuotas de un entero natural. El segundo grupo de lemas trata más específicamente de la formación de números perfectos, abundantes y deficientes.

Regla de Euler

La regla de Euler es una generalización del teorema de Thâbit ibn Qurra. Afirma que si

p = 2^{n − m} + 1)×2^m − 1,

q = 2^{n − m} + 1)×2ⁿ − 1,

r = 2^{n − m} + 1)²× 2^{m + n} − 1,

donde n > m > 0 son números enteros y p, q y r son números primos, entonces 2 ⁿ×p×q y 2 ⁿ×r son un par de números amistosos. El teorema de Thābit ibn Qurra corresponde al caso m = n − 1. La regla de Euler crea pares amistosos adicionales para (m,n) = (1,8), (29,40) sin que se conozcan otros. Euler (1747 & amp; 1750) en general encontró 58 nuevos pares aumentando el número de pares que entonces se conocían a 61.

Pares regulares

Sea (m, n ) ser un par de números amistosos con m < n, y escriba m = gM y n = gN donde g es el máximo común divisor de m y n . Si M y N son coprimos con g y libres de cuadrados, entonces el par (m, n) se dice que es regular (secuencia < span class="nowrap external">A215491 en el OEIS); en caso contrario, se denomina irregular o exótico. Si (m, n) es regular y M y N tienen i y j factores primos respectivamente, entonces (m, n) se dice que es de tipo< /b> (i, j).

Por ejemplo, con (m, n) = (220, 284), el máximo común divisor es 4 y así M = 55 y N = 71. Por lo tanto, (220, 284) es regular de tipo (2, 1).

Parejas gemelas amistosas

Un par amistoso (m, n) es gemelo si no hay enteros entre m y n pertenecientes a cualquier otra pareja amistosa (secuencia A273259 en el OEIS).

Otros resultados

En todos los casos conocidos, los números de un par son pares o impares. No se sabe si existe un par par-impar de números amistosos, pero si existe, el número par debe ser un número cuadrado o dos veces uno, y el número impar debe ser un número cuadrado. Sin embargo, existen números amistosos en los que los dos miembros tienen diferentes factores primos más pequeños: se conocen siete pares de este tipo. Además, cada par conocido comparte al menos un factor primo común. No se sabe si existe un par de números amistosos coprimos, aunque si los hay, el producto de los dos debe ser mayor que 10⁶⁷. Además, un par de números amistosos coprimos no se puede generar con la fórmula de Thabit (arriba), ni con ninguna fórmula similar.

En 1955, Paul Erdős demostró que la densidad de los números amistosos, en relación con los números enteros positivos, era 0.

En 1968, Martin Gardner señaló que la mayoría de las parejas amistosas conocidas en su época tienen sumas divisibles por 9 y una regla para caracterizar las excepciones (secuencia A291550 en la OEIS) fue obtenido.

Según la conjetura de la suma de pares amistosos, a medida que el número de números amistosos se acerca al infinito, el porcentaje de las sumas de los pares amistosos divisible por diez se acerca al 100% (secuencia A291422< /span> en el OEIS).

Existen pares amistosos gaussianos.

Referencias en la cultura popular

• Los números amistosos aparecen en la novela The Housekeeper and the Professor por Yōko Ogawa, y en la película japonesa basada en ella.
• Paul Auster's collection of short stories entitled Tales verdaderos de la vida americana contiene una historia ('Mathematical Aphrodisiac' de Alex Galt) en la que los números amistosos juegan un papel importante.
• Los números amistosos se presentan brevemente en la novela The Stranger House por Reginald Hill.
• Números amistosos se mencionan en la novela francesa El Teorema del Loro por Denis Guedj.
• Los números amistosos se mencionan en el JRPG Persona 4 Oro.
• Números amistosos aparecen en la novela visual Reescribir.
• Los números amistosos (220, 284) se mencionan en el episodio 13 del drama coreano Andante 2017.
• Números amistosos aparecen en la película griega The Other Me (2016 film).
• Los números amistosos se discuten en el libro Brian Cleggs ¿Son números reales?
• Números amistosos se mencionan en la novela 2020 Apeirogon por Colum McCann.

Generalizaciones

Tuplas amistosas

Números amistosos ${displaystyle (m,n)}$ satisfacer satisfacción ${displaystyle sigma (m)-m=n}$ y ${displaystyle sigma (n)-n=m}$ que pueden ser escritos juntos ${displaystyle sigma (m)=sigma (n)=m+n}$. Esto se puede generalizar a los tuples más grandes, decir ${displaystyle (n_{1},n_{2},ldotsn_{k}}$, donde requerimos

${displaystyle sigma (n_{1})=sigma (n_{2})=dots =sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+dots #$

Por ejemplo, (1980, 2016, 2556) es un triple amigable (secuencia A125490 en el OEIS), y (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) es un cuádruple amistoso (secuencia A036471 en la OEIS).

Los conjuntos múltiples amigables se definen de manera análoga y generalizan esto un poco más (secuencia A259307 en el OEIS).

Números sociables

Los números sociables son los números en las listas cíclicas de números (con una longitud mayor que 2) donde cada número es la suma de los divisores adecuados del número anterior. Por ejemplo, ${displaystyle 1264460mapsto 1547860mapsto 1727636mapsto 1305184mapsto 1264460mapsto dots }$ son números sociables del orden 4.

Buscando números sociables

La secuencia aliquot puede ser representada como un gráfico dirigido, ${displaystyle G_{n,s}$, para un entero dado ${displaystyle n}$, donde ${displaystyle s(k)}$ denota los suma de los divisores adecuados ${displaystyle k}$. Ciclos en ${displaystyle G_{n,s}$ representan números sociables dentro del intervalo ${displaystyle [1,n]}$. Dos casos especiales son bucles que representan números perfectos y ciclos de longitud dos que representan pares amistosos.