Número

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Un número es un objeto matemático que se usa para contar, medir y etiquetar. Los ejemplos originales son los números naturales 1, 2, 3, 4, etc. Los números se pueden representar en lenguaje con palabras numéricas. Más universalmente, los números individuales pueden representarse mediante símbolos, llamados numerales; por ejemplo, "5" es un número que representa el número cinco. Como solo se puede memorizar una cantidad relativamente pequeña de símbolos, los números básicos se organizan comúnmente en un sistema numérico, que es una forma organizada de representar cualquier número. El sistema de numeración más común es el sistema de numeración hindú-árabe, que permite la representación de cualquier número usando una combinación de diez símbolos numéricos fundamentales, llamados dígitos.Además de su uso para contar y medir, los números se utilizan a menudo para etiquetas (como los números de teléfono), para pedidos (como los números de serie) y para códigos (como los ISBN). En el uso común, un numeral no se distingue claramente del número que representa.

En matemáticas, la noción de número se ha ampliado a lo largo de los siglos para incluir 0, números negativos, números racionales como un medio ${displaystyle left({tfrac {1}{2}}right)}$ , números reales como la raíz cuadrada de 2 ${ estilo de visualización izquierda ({ sqrt {2}} derecha)}$ y π, y números complejos que amplían los números reales con un raíz cuadrada de −1 (y sus combinaciones con números reales sumando o restando sus múltiplos). Los cálculos con números se realizan con operaciones aritméticas, siendo las más familiares la suma, la resta, la multiplicación, la división y la exponenciación. Su estudio o uso se llama aritmética, un término que también puede referirse a la teoría de números, el estudio de las propiedades de los números.

Además de sus usos prácticos, los números tienen un significado cultural en todo el mundo. Por ejemplo, en la sociedad occidental, el número 13 a menudo se considera desafortunado y "un millón" puede significar "mucho" en lugar de una cantidad exacta. Aunque ahora se considera una pseudociencia, la creencia en un significado místico de los números, conocido como numerología, impregnó el pensamiento antiguo y medieval. La numerología influyó mucho en el desarrollo de las matemáticas griegas, estimulando la investigación de muchos problemas de teoría de números que siguen siendo de interés en la actualidad.

Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a desarrollar muchas abstracciones diferentes que comparten ciertas propiedades de los números y pueden verse como una extensión del concepto. Entre los primeros estaban los números hipercomplejos, que consisten en varias extensiones o modificaciones del sistema de números complejos. En las matemáticas modernas, los sistemas numéricos se consideran importantes ejemplos especiales de estructuras algebraicas más generales, como anillos y campos, y la aplicación del término "número" es una cuestión de convención, sin un significado fundamental.

Historia

Números

Los números deben distinguirse de los números, los símbolos utilizados para representar números. Los egipcios inventaron el primer sistema numérico cifrado, y los griegos siguieron mapeando sus números de conteo en los alfabetos jónico y dórico. Los números romanos, un sistema que usaba combinaciones de letras del alfabeto romano, siguieron siendo dominantes en Europa hasta la difusión del sistema superior de numeración arábigo-hindú alrededor de finales del siglo XIV, y el sistema de numeración arábigo-hindú sigue siendo el sistema más común para representar números en el mundo de hoy. La clave de la eficacia del sistema fue el símbolo del cero, que fue desarrollado por los antiguos matemáticos indios alrededor del año 500 d.C.

Primer uso de los números

Se han descubierto huesos y otros artefactos con marcas cortadas en ellos que muchos creen que son marcas de conteo. Estas marcas de conteo pueden haber sido utilizadas para contar el tiempo transcurrido, como el número de días, los ciclos lunares o para llevar registros de cantidades, como de animales.

Un sistema de conteo no tiene concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna), lo que limita su representación de números grandes. No obstante, los sistemas de conteo se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto.

El primer sistema conocido con valor posicional fue el sistema mesopotámico de base 60 (c. 3400 a. C.) y el sistema de base 10 más antiguo conocido data del 3100 a. C. en Egipto.

Cero

El primer uso documentado conocido del cero data del año 628 d. C. y apareció en Brāhmasphutasiddhānta, la obra principal del matemático indio Brahmagupta. Trató el 0 como un número y analizó las operaciones que lo involucran, incluida la división. En ese momento (siglo VII), el concepto claramente había llegado a Camboya como números jemeres, y la documentación muestra que la idea se extendió más tarde a China y al mundo islámico.

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que menciona el cero como un número, por lo tanto, Brahmagupta generalmente se considera el primero en formular el concepto de cero. Dio reglas para usar cero con números negativos y positivos, como "cero más un número positivo es un número positivo, y un número negativo más cero es el número negativo". El Brāhmasphuṭasiddhānta es el texto más antiguo conocido que trata el cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente un dígito de marcador de posición para representar otro número como lo hicieron los babilonios o como un símbolo de la falta de cantidad como lo hicieron Ptolomeo y los romanos.

El uso de 0 como número debe distinguirse de su uso como marcador de posición en los sistemas de valor de posición. Muchos textos antiguos usaban 0. Los textos babilónicos y egipcios lo usaban. Los egipcios usaban la palabra nfr para denotar saldo cero en la contabilidad de partida doble. Los textos indios usaban la palabra sánscrita Shunye o shunya para referirse al concepto de vacío. En los textos de matemáticas, esta palabra a menudo se refiere al número cero. De manera similar, Pāṇini (siglo V a. C.) usó el operador nulo (cero) en Ashtadhyayi, un ejemplo temprano de una gramática algebraica para el idioma sánscrito (ver también Pingala).

Hay otros usos del cero antes de Brahmagupta, aunque la documentación no es tan completa como en el Brāhmasphutasiddhānta.

Los registros muestran que los antiguos griegos parecían inseguros sobre el estado del 0 como número: se preguntaban "¿cómo puede 'nada' ser algo?" dando lugar a interesantes argumentos filosóficos y, en el período medieval, religiosos sobre la naturaleza y existencia del 0 y el vacío. Las paradojas de Zenón de Elea dependen en parte de la interpretación incierta del 0. (Los antiguos griegos incluso cuestionaron si el 1 era un número).

El pueblo olmeca tardío del centro-sur de México comenzó a usar un símbolo para el cero, un glifo de concha, en el Nuevo Mundo, posiblemente en el siglo IV a. C. pero ciertamente en el 40 a.. La aritmética maya usaba base 4 y base 5 escrita como base 20. George I. Sánchez en 1961 informó un ábaco de "dedo" de base 4, base 5.

Para el año 130 d. C., Ptolomeo, influenciado por Hiparco y los babilonios, usaba un símbolo para el 0 (un círculo pequeño con una barra superior larga) dentro de un sistema de numeración sexagesimal que, de lo contrario, usaba números griegos alfabéticos. Debido a que se usó solo, no solo como marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un cero verdadero en el Viejo Mundo. En manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica (Almagest), el cero helenístico se había transformado en la letra griega Omicron (que de otro modo significaría 70).

Otro cero verdadero se usó en tablas junto con números romanos en 525 (primer uso conocido por Dionysius Exiguus), pero como palabra, nulla significa nada, no como símbolo. Cuando la división produjo 0 como resto, se usó nihil, que también significa nada. Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros computadores medievales (calculadores de Pascua). Beda o un colega usaron un uso aislado de su inicial, N, en una tabla de números romanos alrededor de 725, un verdadero símbolo de cero.

Números negativos

El concepto abstracto de números negativos se reconoció ya en el año 100-50 a. C. en China. Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático contienen métodos para encontrar las áreas de las figuras; Se usaron barras rojas para indicar coeficientes positivos, negras para negativos. La primera referencia en una obra occidental fue en el siglo III dC en Grecia. Diofanto se refirió a la ecuación equivalente a 4 x + 20 = 0 (la solución es negativa) en Aritmética, diciendo que la ecuación daba un resultado absurdo.

Durante los años 600, los números negativos se usaban en la India para representar las deudas. La referencia anterior de Diofanto fue discutida más explícitamente por el matemático indio Brahmagupta, en Brāhmasphutasiddhānta en 628, quien usó números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que sigue en uso hoy. Sin embargo, en el siglo XII en India, Bhaskara da raíces negativas para las ecuaciones cuadráticas pero dice que el valor negativo "en este caso no debe tomarse, porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas".

Los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron al concepto de números negativos hasta el siglo XVII, aunque Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podían interpretarse como deudas (capítulo 13 de Liber Abaci, 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos). René Descartes las llamó raíces falsas porque surgían en polinomios algebraicos, pero también encontró una manera de intercambiar raíces verdaderas y raíces falsas. Al mismo tiempo, los chinos indicaban números negativos dibujando un trazo diagonal a través del dígito distinto de cero más a la derecha del numeral del número positivo correspondiente. El primer uso de números negativos en una obra europea fue de Nicolás Chuquet durante el siglo XV. Los usó como exponentes, pero se refirió a ellos como "números absurdos".

Tan recientemente como en el siglo XVIII, era una práctica común ignorar cualquier resultado negativo devuelto por las ecuaciones asumiendo que no tenían sentido.

Numeros racionales

Es probable que el concepto de números fraccionarios se remonte a tiempos prehistóricos. Los antiguos egipcios utilizaron su notación de fracciones egipcias para números racionales en textos matemáticos como el Papiro matemático Rhind y el Papiro Kahun. Los matemáticos clásicos griegos e indios realizaron estudios de la teoría de los números racionales, como parte del estudio general de la teoría de los números. El más conocido de ellos es los Elementos de Euclides, que data aproximadamente del 300 a. De los textos indios, el más relevante es el Sthananga Sutra, que también cubre la teoría de los números como parte de un estudio general de las matemáticas.

El concepto de fracciones decimales está estrechamente relacionado con la notación de valor posicional decimal; los dos parecen haberse desarrollado en tándem. Por ejemplo, es común que el sutra matemático jainista incluya cálculos de aproximaciones de fracciones decimales a pi o la raíz cuadrada de 2. De manera similar, los textos matemáticos babilónicos usaban fracciones sexagesimales (base 60) con gran frecuencia.

Numeros irracionales

El primer uso conocido de los números irracionales se encuentra en los Sulba Sutras de la India, compuestos entre el 800 y el 500 a. La primera prueba de la existencia de números irracionales generalmente se atribuye a Pitágoras, más específicamente al pitagórico Hippasus de Metapontum, quien produjo una prueba (muy probablemente geométrica) de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. La historia cuenta que Hippasus descubrió los números irracionales cuando tratando de representar la raíz cuadrada de 2 como una fracción. Sin embargo, Pitágoras creía en el carácter absoluto de los números y no podía aceptar la existencia de los números irracionales. No podía refutar su existencia por medio de la lógica, pero no podía aceptar los números irracionales, por lo que, supuestamente y denunciado con frecuencia, condenó a Hippaso a morir ahogado, para impedir la difusión de esta desconcertante noticia.

El siglo XVI trajo la aceptación europea final de los números enteros y fraccionarios negativos. En el siglo XVII, los matemáticos generalmente usaban fracciones decimales con notación moderna. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX que los matemáticos separaron los irracionales en partes algebraicas y trascendentales, y una vez más emprendieron el estudio científico de los irracionales. Había permanecido casi inactivo desde Euclides. En 1872, la publicación de las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor,y se produjo Richard Dedekind. En 1869, Charles Méray había tomado el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría generalmente se refiere al año 1872. El método de Weierstrass fue expuesto completamente por Salvatore Pincherle (1880), y el de Dedekind ha recibido una prominencia adicional a través del trabajo posterior del autor. (1888) y respaldo de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind fundamenta la suya en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de los números reales, separando todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido aportes posteriores de la mano de Weierstrass, Kronecker y Méray.

La búsqueda de raíces de ecuaciones de grado quíntico y superior fue un desarrollo importante, el teorema de Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) demostró que no podían resolverse mediante radicales (fórmulas que involucran solo operaciones aritméticas y raíces). Por lo tanto, era necesario considerar el conjunto más amplio de números algebraicos (todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas). Galois (1832) vinculó las ecuaciones polinómicas a la teoría de grupos dando lugar al campo de la teoría de Galois.

Las fracciones continuas, estrechamente relacionadas con los números irracionales (y debido a Cataldi, 1613), recibieron atención de manos de Euler, y a principios del siglo XIX cobraron prominencia a través de los escritos de Joseph Louis Lagrange. Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) y Günther (1872) han realizado otras contribuciones notables. Ramus primero conectó el sujeto con los determinantes, dando como resultado, con las contribuciones posteriores de Heine, Möbius y Günther, la teoría de Kettenbruchdeterminanten.

Números trascendentales y reales

La existencia de números trascendentales fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Hermite demostró en 1873 que e es trascendental y Lindemann demostró en 1882 que π es trascendental. Finalmente, Cantor demostró que el conjunto de todos los números reales es incontablemente infinito, pero el conjunto de todos los números algebraicos es contablemente infinito, por lo que hay un incontablemente infinito número de números trascendentales.

Infinitos e infinitesimales

La primera concepción conocida del infinito matemático aparece en el Yajur Veda, una antigua escritura india, que en un punto dice: "Si quitas una parte del infinito o agregas una parte al infinito, lo que queda es el infinito". El infinito fue un tema popular de estudio filosófico entre los matemáticos jainistas c. 400 a.C. Distinguieron entre cinco tipos de infinito: infinito en una y dos direcciones, infinito en área, infinito en todas partes e infinito perpetuamente. El símbolo ${ estilo de visualización { texto {∞}}}$ se usa a menudo para representar una cantidad infinita.

Aristóteles definió la noción occidental tradicional del infinito matemático. Distinguió entre el infinito real y el infinito potencial, siendo el consenso general que solo el último tenía un valor verdadero. Dos nuevas ciencias de Galileo Galilei discutió la idea de correspondencias uno a uno entre conjuntos infinitos. Pero el siguiente gran avance en la teoría lo hizo Georg Cantor; en 1895 publicó un libro sobre su nueva teoría de conjuntos, introduciendo, entre otras cosas, los números transfinitos y formulando la hipótesis del continuo.

En la década de 1960, Abraham Robinson demostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse y utilizarse rigurosamente para desarrollar el campo del análisis no estándar. El sistema de números hiperreales representa un método riguroso para tratar las ideas sobre los números infinitos e infinitesimales que matemáticos, científicos e ingenieros han utilizado de manera casual desde la invención del cálculo infinitesimal por parte de Newton y Leibniz.

Una versión geométrica moderna del infinito viene dada por la geometría proyectiva, que introduce "puntos ideales en el infinito", uno para cada dirección espacial. Se postula que cada familia de líneas paralelas en una dirección dada converge al punto ideal correspondiente. Esto está estrechamente relacionado con la idea de los puntos de fuga en el dibujo en perspectiva.

Números complejos

La primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos se produjo en el trabajo del matemático e inventor Garza de Alejandría en el siglo I dC, cuando consideró el volumen de un tronco de pirámide imposible. Se hicieron más prominentes cuando en el siglo XVI matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano descubrieron fórmulas cerradas para las raíces de polinomios de tercer y cuarto grado. Pronto se dio cuenta de que estas fórmulas, incluso si uno solo estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos.

Esto fue doblemente inquietante ya que ni siquiera consideraron que los números negativos estuvieran en terreno firme en ese momento. Cuando René Descartes acuñó el término "imaginario" para estas cantidades en 1637, lo hizo con intención despectiva. (Ver número imaginario para una discusión sobre la "realidad" de los números complejos). Otra fuente de confusión fue que la ecuación $left({sqrt {-1}}right)^{2}={sqrt {-1}}{sqrt {-1}}=-1$

parecía caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica ${ raíz cuadrada {a}} { raíz cuadrada {b}} = { raíz cuadrada {ab}},$

que es válido para números reales positivos a y b, y también se usó en cálculos de números complejos con uno de a, b positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad, y la identidad relacionada ${frac {1}{sqrt {a}}}={sqrt {frac {1}{a}}}$

en el caso de que tanto a como b sean negativas, incluso acosaba a Euler. Esta dificultad eventualmente lo llevó a la convención de usar el símbolo especial i en lugar de ${ sqrt {-1}}$ para protegerse contra este error.

El siglo XVIII vio el trabajo de Abraham de Moivre y Leonhard Euler. La fórmula de De Moivre (1730) establece: $mostrar estilo de visualización ( cos theta + i sin theta) ^ {n} = cos n theta + i sin n theta}$

mientras que la fórmula de análisis complejo de Euler (1748) nos dio: $mostrar estilo de visualización cos theta + i sin theta = e ^ {i theta}.}$

La existencia de los números complejos no fue completamente aceptada hasta que Caspar Wessel describió la interpretación geométrica en 1799. Carl Friedrich Gauss la redescubrió y popularizó varios años después, y como resultado la teoría de los números complejos recibió una notable expansión. La idea de la representación gráfica de números complejos había aparecido, sin embargo, ya en 1685, en De algebra tractatus de Wallis.

También en 1799, Gauss proporcionó la primera prueba generalmente aceptada del teorema fundamental del álgebra, mostrando que todo polinomio sobre los números complejos tiene un conjunto completo de soluciones en ese ámbito. La aceptación general de la teoría de los números complejos se debe a los trabajos de Augustin Louis Cauchy y Niels Henrik Abel, y especialmente a este último, quien fue el primero en utilizar audazmente los números complejos con un éxito bien conocido.

Gauss estudió números complejos de la forma a + bi, donde a y b son integrales o racionales (y i es una de las dos raíces de x + 1 = 0). Su alumno, Gotthold Eisenstein, estudió el tipo a + bω, donde ω es una raíz compleja de x − 1 = 0. Otras clases de números complejos (llamadas campos ciclotómicos) se derivan de las raíces de la unidad x − 1 = 0 para valores superiores valores de k. Esta generalización se debe en gran parte a Ernst Kummer, quien también inventó los números ideales, que fueron expresados como entidades geométricas por Felix Klein en 1893.

En 1850, Victor Alexandre Puiseux dio el paso clave de distinguir entre polos y puntos de ramificación e introdujo el concepto de puntos singulares esenciales. Esto eventualmente condujo al concepto del plano complejo extendido.

Números primos

Los números primos se han estudiado a lo largo de la historia registrada. Euclides dedicó un libro de los Elementos a la teoría de los números primos; en él demostró la infinitud de los primos y el teorema fundamental de la aritmética, y presentó el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de dos números.

En el 240 a. C., Eratóstenes usó el tamiz de Eratóstenes para aislar rápidamente los números primos. Pero la mayor parte del desarrollo posterior de la teoría de los números primos en Europa data del Renacimiento y épocas posteriores.

En 1796, Adrien-Marie Legendre conjeturó el teorema de los números primos, describiendo la distribución asintótica de números primos. Otros resultados relacionados con la distribución de los números primos incluyen la prueba de Euler de que la suma de los recíprocos de los números primos diverge y la conjetura de Goldbach, que afirma que cualquier número par suficientemente grande es la suma de dos números primos. Otra conjetura más relacionada con la distribución de los números primos es la hipótesis de Riemann, formulada por Bernhard Riemann en 1859. El teorema de los números primos fue finalmente probado por Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin en 1896. Las conjeturas de Goldbach y Riemann siguen sin probarse ni refutarse..

Clasificación principal

{ estilo de visualización: ; mathbb {C}}

{ estilo de visualización: ; mathbb {R}}

Los números se pueden clasificar en conjuntos, llamados sistemas numéricos, como los números naturales y los números reales. Las principales categorías de números son las siguientes:

$matemáticas {N}$	Natural	0, 1, 2, 3, 4, 5,... o 1, 2, 3, 4, 5,... $matemáticas {N} _{0}$ o $matemáticas {N} _{1}$ se utilizan a veces.
$matemáticas {Z}$	Entero	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
$matemáticas {Q}$	Racional	un/bdonde a y b son enteros y b no es 0
$matemáticas {R}$	Real	El límite de una sucesión convergente de números racionales
$matemáticas {C}$	Complejo	a + bi donde a y b son números reales e i es una raíz cuadrada formal de −1

Por lo general, no hay problema en identificar cada sistema numérico con un subconjunto propio del siguiente (por abuso de notación), porque cada uno de estos sistemas numéricos es canónicamente isomorfo a un subconjunto propio del siguiente. La jerarquía resultante permite, por ejemplo, hablar, formalmente correctamente, de números reales que son números racionales, y se expresa simbólicamente escribiendo $mathbb {N} subconjunto mathbb {Z} subconjunto mathbb {Q} subconjunto mathbb {R} subconjunto mathbb {C}$ .

Números naturales

Los números más familiares son los números naturales (a veces llamados números enteros o números de conteo): 1, 2, 3, etc. Tradicionalmente, la secuencia de números naturales comenzaba con 1 (0 ni siquiera se consideraba un número para los antiguos griegos). Sin embargo, en el siglo XIX, los teóricos de conjuntos y otros matemáticos comenzaron a incluir 0 (cardinalidad del conjunto vacío, es decir, 0 elementos, donde 0 es, por tanto, el número cardinal más pequeño) en el conjunto de los números naturales. Hoy en día, diferentes matemáticos usan el término para describir ambos conjuntos, incluyendo 0 o no. El símbolo matemático para el conjunto de todos los números naturales es N, también escrito $matemáticas {N}$ , y en ocasiones $matemáticas {N} _{0}$ o $matemáticas {N} _{1}$ cuando es necesario indicar si el conjunto debe comenzar con 0 o 1, respectivamente.

En el sistema numérico de base 10, de uso casi universal en la actualidad para operaciones matemáticas, los símbolos de los números naturales se escriben con diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La raíz o base es el número de dígitos numéricos únicos, incluido el cero, que utiliza un sistema numérico para representar números (para el sistema decimal, la base es 10). En este sistema de base 10, el dígito más a la derecha de un número natural tiene un valor posicional de 1, y cualquier otro dígito tiene un valor posicional diez veces mayor que el valor posicional del dígito a su derecha.

En la teoría de conjuntos, que es capaz de actuar como fundamento axiomático de las matemáticas modernas, los números naturales pueden representarse mediante clases de conjuntos equivalentes. Por ejemplo, el número 3 se puede representar como la clase de todos los conjuntos que tienen exactamente tres elementos. Alternativamente, en la aritmética de Peano, el número 3 se representa como sss0, donde s es la función "sucesora" (es decir, 3 es la tercera sucesora de 0). Son posibles muchas representaciones diferentes; todo lo que se necesita para representar formalmente el 3 es inscribir un cierto símbolo o patrón de símbolos tres veces.

Enteros

El negativo de un entero positivo se define como un número que produce 0 cuando se suma al entero positivo correspondiente. Los números negativos generalmente se escriben con un signo negativo (un signo menos). Como ejemplo, el negativo de 7 se escribe −7 y 7 + (−7) = 0. Cuando el conjunto de números negativos se combina con el conjunto de números naturales (incluido el 0), el resultado se define como el conjunto de números enteros, Z también escrito $matemáticas {Z}$ . Aquí la letra Z proviene del alemán Zahl 'número'. El conjunto de números enteros forma un anillo con las operaciones de suma y multiplicación.

Los números naturales forman un subconjunto de los enteros. Como no existe un estándar común para la inclusión o no del cero en los números naturales, los números naturales sin cero se denominan comúnmente números enteros positivos, y los números naturales con cero se denominan números enteros no negativos.