Numero pentagonal

Un número pentagonal es un número figurado que extiende el concepto de números triangulares y cuadrados al pentágono, pero, a diferencia de los dos primeros, los patrones involucrados en la construcción de números pentagonales no son rotacionalmente simétricos.. El nésimo número pentagonal p_n es el número de puntos distintos en un patrón de puntos que consta de < i>contornos de pentágonos regulares con lados de hasta n puntos, cuando los pentágonos se superponen para que compartan un vértice. Por ejemplo, el tercero está formado por contornos que comprenden 1, 5 y 10 puntos, pero el 1 y 3 de los 5 coinciden con 3 de los 10, dejando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono y 2 adentro.

p_n viene dado por la fórmula:

${displaystyle P_{n}={frac {3n^{2}-n}{2}={binom} {n}{1}+3{binom} {n}{2}}$

para n ≥ 1. Los primeros números pentagonales son:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (secuencia A000326 en el OEIS).

El nésimo número pentagonal es la suma de n números enteros a partir de n (es decir, de n a 2n-1). También se mantienen las siguientes relaciones:

${displaystyle p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3}$

Los números pentagonales están estrechamente relacionados con los números triangulares. El nésimo número pentagonal es un tercio del (3n − 1)ésimo número triangular. Además, donde T_n es el nésimo número triangular:

${displaystyle ¿Qué?$

Los números pentagonales generalizados se obtienen a partir de la fórmula dada anteriormente, pero con n tomando valores en la secuencia 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., produciendo la secuencia:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (secuencia A001318 en el OEIS).

Los números pentagonales generalizados son importantes para la teoría de particiones de Euler, como se expresa en su teorema de los números pentagonales.

El número de puntos dentro del pentágono más externo de un patrón que forma un número pentagonal es en sí mismo un número pentagonal generalizado.

Otras propiedades

• ${displaystyle P_{n}$ para n título0 es el número de diferentes composiciones de ${displaystyle n+8}$ en partes n que no incluyen 2 o 3.
• ${displaystyle P_{n}$ es la suma de los primeros n números naturales congruentes a 1 mod 3.
• ${displaystyle p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}$

Números pentagonales generalizados y números hexagonales centrados

Los números pentagonales generalizados están estrechamente relacionados con los números hexagonales centrados. Cuando la matriz correspondiente a un número hexagonal centrado se divide entre su fila central y una fila adyacente, aparece como la suma de dos números pentagonales generalizados, siendo la pieza más grande un número pentagonal propiamente dicho:

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

En general:

${displaystyle 3n(n-1)+1={tfrac {1}{2}n(3n-1)+{tfrac {1}{2} {1-n){bigl (}3(1-n)-1{bigr)}}}} {bigr)}$

donde ambos términos de la derecha son números pentagonales generalizados y el primer término es un número pentagonal propiamente dicho (n ≥ 1). Esta división de matrices hexagonales centradas da números pentagonales generalizados como matrices trapezoidales, que pueden interpretarse como diagramas de Ferrers para su partición. De esta manera se pueden utilizar para demostrar el teorema del número pentagonal al que se hace referencia anteriormente.

Pruebas para números pentagonales

Dado un entero positivo x, para probar si es un número pentagonal (no generalizado) podemos calcular

${displaystyle n={frac {cHFF} {24x+1}+1}{6}}}$

El número x es pentagonal si y sólo si n es un número natural. En ese caso x es el nésimo número pentagonal.

Para números pentagonales generalizados, basta con comprobar si 24x + 1 es un cuadrado perfecto.

Para números pentagonales no generalizados, además de la prueba del cuadrado perfecto, también es necesario comprobar si

${displaystyle {sqrt {24x+1}equiv 5mod 6}$

Las propiedades matemáticas de los números pentagonales garantizan que estas pruebas sean suficientes para probar o refutar la pentagonalidad de un número.

Gnomon

El Gnomon del nésimo número pentagonal es:

${displaystyle p_{n+1}-p_{n}=3n+1}$

Números pentagonales cuadrados

Un número pentagonal cuadrado es un número pentagonal que también es un cuadrado perfecto.

Los primeros son:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 76814196821925818 69134354401, 73756990988431941623299373152801... (entrada OEIS A036353)