Cubo de Hilbert

En matemáticas, el cubo de Hilbert, llamado así por David Hilbert, es un espacio topológico que proporciona un ejemplo instructivo de algunas ideas en topología. Además, muchos espacios topológicos interesantes se pueden incrustar en el cubo de Hilbert; es decir, se pueden ver como subespacios del cubo de Hilbert (ver más abajo).

Definición

El cubo Hilbert se define mejor como el producto topológico de los intervalos [0,1/n]{displaystyle [0,1/n] para n=1,2,3,4,...... .{displaystyle n=1,2,3,4,ldots.} Es decir, es un cuboide de dimensión contablemente infinita, donde las longitudes de los bordes en cada dirección ortogonal forman la secuencia {}1/n}n▪ ▪ N.{displaystyle lbrace 1/nrbrace _{nin mathbb {N}.}

El cubo Hilbert es homeomórfico al producto de infinitamente muchas copias del intervalo de unidad [0,1].{displaystyle [0,1].} En otras palabras, es topológicamente indistinguible del cubo de unidad de dimensión contablemente infinita. Algunos autores utilizan el término "Hilbert cube" para significar este producto cartesiano en lugar del producto del [0,1n]{displaystyle left[0,{tfrac {1}right]}.

Si un punto en el cubo de Hilbert es especificado por una secuencia {}an}{displaystyle lbrace a_{n}rbrace } con 0≤ ≤ an≤ ≤ 1/n,{displaystyle 0leq a_{n}leq 1/n,} entonces un homeomorfismo al cubo de unidad dimensional infinito es dado por h()a)n=n⋅ ⋅ an.{displaystyle h(a)_{n}=ncdot a.

El cubo de Hilbert como espacio métrico

A veces es conveniente pensar en el cubo de Hilbert como un espacio métrico, de hecho como un subconjunto específico de un espacio separable de Hilbert (es decir, un espacio de Hilbert con una base de Hilbert considerablemente infinita). Para estos fines, es mejor no pensar en ello como producto de copias de [0,1],{displaystyle [0,1],} pero en su lugar

[0,1]× × [0,1/2]× × [0,1/3]× × ⋯ ⋯ ;{displaystyle [0,1]times [0,1/2]times [0,1/3]times cdots;}

()xn){displaystyle left(x_{n}right)}

0≤ ≤ xn≤ ≤ 1/n.{displaystyle 0leq x_{n}leq 1/n}

Cualquier secuencia de este tipo pertenece al espacio de Hilbert l l 2,{displaystyle ell _{2},} Así que el cubo Hilbert hereda una métrica de allí. Se puede demostrar que la topología inducida por la métrica es la misma que la topología del producto en la definición anterior.

Propiedades

Como producto de espacios compactos de Hausdorff, el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio compacto de Hausdorff como resultado del teorema de Tychonoff. La compacidad del cubo de Hilbert también se puede demostrar sin el axioma de elección mediante la construcción de una función continua del conjunto de Cantor habitual en el cubo de Hilbert.

In l l 2,{displaystyle ell _{2},} ningún punto tiene un barrio compacto (por eso, l l 2{displaystyle ell _{2} no es localmente compacto). Uno podría esperar que todos los subconjuntos compactos de l l 2{displaystyle ell _{2} son finitos-dimensionales. El cubo de Hilbert muestra que este no es el caso. Pero el cubo de Hilbert no es un barrio de ningún punto p{displaystyle p} porque su lado se vuelve más pequeño y más pequeño en cada dimensión, así que una bola abierta alrededor p{displaystyle p} de cualquier radio fijo 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">e■0{displaystyle e confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9cff5a013521b843a470ac9a285e3d382826eb" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/> debe salir del cubo en alguna dimensión.

Cualquier subconjunto compacto convexo de dimensiones infinitas l l 2{displaystyle ell _{2} es homeomorfo al cubo de Hilbert. El cubo Hilbert es un conjunto convexo, cuyo lazo es todo el espacio, pero cuyo interior está vacío. Esta situación es imposible en dimensiones finitas. El cono tangente al cubo en el vector cero es todo el espacio.

Cada subconjunto del cubo de Hilbert hereda del cubo de Hilbert las propiedades de ser tanto metrizable (y por lo tanto T4) como segundo contable. Es más interesante que lo contrario también se cumple: cada segundo espacio contable T4 es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert.

Cada subconjunto G_δ del cubo de Hilbert es un espacio polaco, un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico separable y completo. Por el contrario, todo espacio polaco es homeomorfo a un subconjunto Gδ del cubo de Hilbert.