Número hiperreal

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Infinitesimals (ε) and infinities (ω) on the hyperreal number line (1/ε = ω/1)

En matemáticas, el sistema de números hiperreales es una forma de tratar cantidades infinitas e infinitesimales (infinitamente pequeñas pero distintas de cero). Los hiperreales, o reales no estándar, *R, son una extensión de los números reales R que contienen números mayores que cualquier cosa de la forma

{displaystyle 1+1+cdots +1}

(para cualquier número finito de términos).

Tales números son infinitos y sus recíprocos son infinitesimales. El término "hiper-real" Fue presentado por Edwin Hewitt en 1948.

Los números hiperreal satisfacen el principio de transferencia, una versión rigurosa de la ley heurística de Leibniz de continuidad. El principio de transferencia establece que las verdaderas declaraciones de primera orden sobre R son también válidos en *R. Por ejemplo, la ley de adición comunitaria, x+Sí. = Sí.+x, sostiene para los hiperrealistas tal como lo hace para los reales; desde R es un campo cerrado real, así que es *R. Desde ${displaystyle sin({pi n}=0}$ para todos los enteros n, uno también tiene ${displaystyle sin({pi H}=0}$ para todos los hiperintegers ${displaystyle H.$ . El principio de transferencia para ultrapoderes es una consecuencia del teorema de Łoś de 1955.

Las preocupaciones sobre la solidez de los argumentos que involucran infinitesimales se remontan a las antiguas matemáticas griegas, cuando Arquímedes reemplazó tales demostraciones con otras que usaban otras técnicas, como el método de agotamiento. En la década de 1960, Abraham Robinson demostró que los hiperreales eran lógicamente consistentes si y solo si los reales lo eran. Esto disipó el temor de que cualquier prueba que involucrara infinitesimales pudiera ser poco sólida, siempre que fueran manipulados de acuerdo con las reglas lógicas delineadas por Robinson.

La aplicación de números hiperreales y, en particular, el principio de transferencia a los problemas de análisis se denomina análisis no estándar. Una aplicación inmediata es la definición de los conceptos básicos de análisis como el derivado e integral de forma directa, sin pasar por complicaciones lógicas de múltiples cuantificadores. Así, el derivado de f()x) se convierte ${displaystyle f'(x)=operatorname {st} left({frac {f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}right)}$ para un infinitesimal ${displaystyle Delta x}$ , donde st(·) denota la función de la parte estándar, que "redondea" cada hiperreal finito al real más cercano. Del mismo modo, la integral se define como la parte estándar de una suma infinita adecuada.

El principio de transferencia

La idea del sistema hiperreal es extender los números reales R para formar un sistema *R que incluya números infinitesimales e infinitos, pero sin cambiar ninguno de los elementos elementales. axiomas del álgebra. Cualquier enunciado de la forma "para cualquier número x..." eso es cierto para los reales también lo es para los hiperreales. Por ejemplo, el axioma que establece "para cualquier número x, x + 0 = x" todavía se aplica. Lo mismo es cierto para la cuantificación de varios números, por ejemplo, "para cualquier número x e y, xy = yx ." Esta capacidad de transferir enunciados de los reales a los hiperreales se denomina principio de transferencia. Sin embargo, declaraciones de la forma "para cualquier conjunto de números S..." no puede transferirse. Las únicas propiedades que difieren entre los reales y los hiperreales son aquellas que se basan en la cuantificación sobre conjuntos u otras estructuras de nivel superior, como funciones y relaciones, que normalmente se construyen a partir de conjuntos. Cada conjunto real, función y relación tiene su extensión hiperreal natural, satisfaciendo las mismas propiedades de primer orden. Los tipos de oraciones lógicas que obedecen a esta restricción en la cuantificación se denominan declaraciones en lógica de primer orden.

El principio de transferencia, sin embargo, no significa que R y *R tengan un comportamiento idéntico. Por ejemplo, en *R existe un elemento ω tal que

{displaystyle 1 1+1 0omegaquad 1+1+1 0 0 1+1+1+1 0 = 0,3.}

pero no existe tal número en R. (En otras palabras, *R no es arquimediano). Esto es posible porque la inexistencia de ω no se puede expresar como una declaración de primer orden.

Uso en análisis

Las notaciones informales para cantidades no reales han aparecido históricamente en el cálculo en dos contextos: como infinitesimales, como dx, y como el símbolo ∞, usado, por ejemplo, en los límites de integración de integrales impropias..

Como ejemplo del principio de transferencia, la afirmación de que para cualquier número distinto de cero x, 2x ≠ x, es verdadera para el real números, y está en la forma requerida por el principio de transferencia, por lo que también es cierto para los números hiperreales. Esto demuestra que no es posible usar un símbolo genérico como ∞ para todas las cantidades infinitas en el sistema hiperreal; las cantidades infinitas difieren en magnitud de otras cantidades infinitas, y los infinitesimales de otros infinitesimales.

Del mismo modo, el uso casual de 1/0 = ∞ no es válido, ya que el principio de transferencia se aplica a la afirmación de que el cero no tiene inverso multiplicativo. La contrapartida rigurosa de dicho cálculo sería que si ε es un infinitesimal distinto de cero, entonces 1/ε es infinito.

Para cualquier número hiperreal finito x, la parte estándar, st(x), se define como el número real más cercano a x; necesariamente difiere de x Sólo infinitamente. La función estándar de la parte también se puede definir para números hiperreal infinitos como sigue: Si x es un número hiperreal infinito positivo, set st(x) para ser el número real extendido ${displaystyle +infty }$ , y también, si x es un número hiperreal infinito negativo, set st(xPara ser ${displaystyle -infty }$ (la idea es que un número hiperreal infinito debe ser más pequeño que el infinito absoluto "verdadero", pero más cercano a él que cualquier número real es).

Diferenciación

Uno de los usos clave del sistema numérico hiperreal es dar un significado preciso al operador diferencial d como lo usó Leibniz para definir la derivada y la integral.

Para cualquier función de valor real ${displaystyle f,}$ el diferencial ${displaystyle df}$ se define como un mapa que envía cada par ordenado ${displaystyle (x,dx)}$ (donde) ${displaystyle x}$ es real y ${displaystyle dx}$ es no cero infinitesimal) a un infinitesimal

{displaystyle df(x,dx):=operatorname {st} left({frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}right) Dx.}

Tenga en cuenta que la notación de la variable " ${displaystyle dx}$ " utilizado para denotar cualquier infinitesimal es consistente con la definición anterior del operador ${displaystyle d,}$ por si uno interpreta ${displaystyle x}$ (como se hace comúnmente) para ser la función ${displaystyle f(x)=x,}$ entonces por cada ${displaystyle (x,dx)}$ el diferencial ${displaystyle d(x)}$ igualará el infinitesimal ${displaystyle dx}$ .

Una función de valor real ${displaystyle f}$ se dice que es diferente en un punto ${displaystyle x}$ si el cociente

{displaystyle {frac {df(x,dx)}{dx}=operatorname {st} left({frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}right)}

es lo mismo para todos los no cero infinitos ${displaystyle dx.}$ Si es así, este cociente se llama derivado de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle x}$ .

Por ejemplo, encontrar el derivado de la función ${displaystyle f(x)=x^{2}$ , vamos ${displaystyle dx}$ ser un no cero infinitesimal. Entonces,

${displaystyle {frac {df(x,dx)}{dx}}}$	${displaystyle =operatorname {st}left({frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}right)}}$
	${displaystyle =operatorname {st} left({frac {x^{2}+2xcdot dx+(dx)}-x^{2}{dx}right)}$
	${displaystyle =operatorname {st} left({frac {2xcdot dx+(dx)^{2}}{dx}right)}$
	${displaystyle =operatorname {st} left({frac {2xcdot {fnMicrosoft Sans Serif}}derecho)}$
	${displaystyle =operatorname {st} left(2x+dxright)}$
	${displaystyle =2x}$

El uso de la parte estándar en la definición de la derivada es una alternativa rigurosa a la práctica tradicional de despreciar el cuadrado de una cantidad infinitesimal. Los números duales son un sistema numérico basado en esta idea. Después de la tercera línea de la diferenciación anterior, el método típico desde Newton hasta el siglo XIX habría sido simplemente descartar el término dx². En el sistema hiperreal, dx² ≠ 0, ya que dx es distinto de cero, y el principio de transferencia se puede aplicar al enunciado de que el cuadrado de cualquier número distinto de cero es distinto de cero. Sin embargo, la cantidad dx² es infinitesimalmente pequeña comparada con dx; es decir, el sistema hiperreal contiene una jerarquía de cantidades infinitesimales.

Integración

Otro uso clave del sistema numérico hiperreal es dar un significado preciso al signo de integral ∫ utilizado por Leibniz para definir la integral definida.

Para cualquier función infinitesimal ${displaystyle varepsilon (x), }$ uno puede definir la integral ${displaystyle int (varepsilon) }$ como mapa enviando cualquier triple ordenado ${displaystyle (a,b,dx)}$ (donde) ${displaystyle a$ y ${displaystyleb}$ son reales, y ${displaystyle dx}$ es infinitesimal del mismo signo que ${displaystyle ,b-a}$ ) al valor

{displaystyle int _{a}^{b}(varepsilondx):=operatorname {st} left(sum _{n=0}varepsilon (a+n dx)right),}

Donde ${displaystyle N }$ es cualquier número hipernatural satisfactoria ${displaystyle 'operatorname {st} (N dx)=b-a.}$

Una función de valor real ${displaystyle f}$ se dice entonces que se puede integrar sobre un intervalo cerrado ${displaystyle [a,b]$ si para cualquier no cero infinitesimal ${displaystyle dx, }$ la integral

{displaystyle int _{a} {b}(f dx,dx)}

es independiente de la elección de ${displaystyle dx.}$ Si es así, esta integral se llama la integral definida (o antiderivativa) ${displaystyle f}$ on ${displaystyle [a,b].}$

Esto demuestra que al usar números hiperreales, la notación de Leibniz para la integral definida puede interpretarse como una expresión algebraica significativa (al igual que la derivada puede interpretarse como un cociente significativo).

Propiedades

Los hiperreales *R forman un campo ordenado que contiene los reales R como subcampo. A diferencia de los reales, los hiperreales no forman un espacio métrico estándar, sino que en virtud de su orden llevan una topología de orden.

El uso del artículo definido el en la frase los números hiperreales es algo engañoso porque no hay un único campo ordenado al que se haga referencia en la mayoría de los tratamientos. Sin embargo, un artículo de 2003 de Vladimir Kanovei y Saharon Shelah muestra que existe una extensión elemental de los reales definible, contablemente saturada (lo que significa ω-saturada, pero no, por supuesto, contable), que por lo tanto tiene un buen derecho al título de los números hiperreales. Además, el campo obtenido por la construcción de ultrapoderes a partir del espacio de todas las secuencias reales, es único hasta el isomorfismo si se asume la hipótesis del continuo.

La condición de ser un campo hiperreal es más fuerte que la de ser un campo cerrado real que contiene estrictamente R. También es más fuerte que el de ser un campo suprareal en el sentido de Dales y Woodin.

Desarrollo

Los hiperreales se pueden desarrollar axiomáticamente o mediante métodos orientados más constructivamente. La esencia del enfoque axiomático es afirmar (1) la existencia de al menos un número infinitesimal y (2) la validez del principio de transferencia. En la siguiente subsección ofrecemos un esquema detallado de un enfoque más constructivo. Este método permite construir los hiperreales si se le da un objeto de teoría de conjuntos llamado ultrafiltro, pero el ultrafiltro en sí no se puede construir explícitamente.

De Leibniz a Robinson

Cuando Newton y (más explícitamente) Leibniz introdujeron diferenciales, usaron infinitesimales y matemáticos posteriores como Euler y Cauchy aún los consideraban útiles. No obstante, estos conceptos fueron vistos desde el principio como sospechosos, especialmente por George Berkeley. La crítica de Berkeley se centró en un cambio percibido en la hipótesis en la definición de la derivada en términos de infinitesimales (o fluxiones), donde se supone que dx es distinto de cero al comienzo del cálculo, y para desaparecer en su conclusión (ver Fantasmas de cantidades que partieron para más detalles). Cuando en la década de 1800 el cálculo se asentó sobre una base firme mediante el desarrollo de la definición de límite (ε, δ) por parte de Bolzano, Cauchy, Weierstrass y otros, los infinitesimales se abandonaron en gran medida, aunque la investigación en campos no arquimedianos continuó (Ehrlich 2006).

Sin embargo, en la década de 1960, Abraham Robinson demostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse y usarse rigurosamente para desarrollar el campo del análisis no estándar. Robinson desarrolló su teoría de forma no constructiva, utilizando la teoría de modelos; sin embargo, es posible proceder usando solo álgebra y topología, y demostrando el principio de transferencia como consecuencia de las definiciones. En otras palabras, los números hiperreales per se, además de su uso en análisis no estándar, no tienen una relación necesaria con la teoría de modelos o la lógica de primer orden, aunque fueron descubiertos mediante la aplicación de técnicas de teoría de modelos de la lógica. De hecho, los campos hiperreales fueron introducidos originalmente por Hewitt (1948) mediante técnicas puramente algebraicas, utilizando una construcción de ultrapotencia.

La construcción ultrapotente

Vamos a construir un campo hiperreal mediante secuencias de reales. De hecho, podemos sumar y multiplicar secuencias por componentes; Por ejemplo:

{fnMicrosoft Sans Serif}(b_{0},b_{2},ldots)+(b_{0},b_{1},b_{2},ldots)=(a_{0}+b_{0},a_{1},a_{2}+b_{2},ldots)

y analógicamente para la multiplicación. Esto convierte el conjunto de tales secuencias en un anillo conmutativo, que es de hecho un álgebra real A. Tenemos una incrustación natural R dentro A identificando el número real r con la secuencia (r, r, r,...) y esta identificación conserva las operaciones algebraicas correspondientes de los reales. La motivación intuitiva es, por ejemplo, representar un número infinitesimal usando una secuencia que se aproxima a cero. El inverso de tal secuencia representaría un número infinito. Como veremos a continuación, las dificultades surgen debido a la necesidad de definir reglas para comparar esas secuencias de una manera que, aunque inevitablemente algo arbitraria, debe ser autoconsistente y bien definida. Por ejemplo, podemos tener dos secuencias que difieren en sus primeras n miembros, pero son iguales después de eso; tales secuencias deben considerarse claramente que representan el mismo número hiperreal. Del mismo modo, la mayoría de las secuencias oscilan aleatoriamente para siempre, y debemos encontrar alguna manera de tomar tal secuencia e interpretarla como, digamos, ${displaystyle 7+epsilon }$ , donde ${displaystyle epsilon }$ es un cierto número infinitesimal.

Comparar secuencias es, por lo tanto, un asunto delicado. Podríamos, por ejemplo, tratar de definir una relación entre secuencias en forma de componentes:

{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}

pero aquí nos encontramos con problemas, ya que algunas entradas de la primera secuencia pueden ser más grandes que las entradas correspondientes de la segunda secuencia, y algunas otras pueden ser más pequeñas. Se sigue que la relación así definida es sólo un orden parcial. Para evitar esto, tenemos que especificar qué posiciones importan. Dado que hay una cantidad infinita de índices, no queremos que importen los conjuntos finitos de índices. Cualquier ultrafiltro libre U en los números naturales proporciona una elección consistente de conjuntos de índices importantes; estos se pueden caracterizar como ultrafiltros que no contienen conjuntos finitos. (La buena noticia es que el lema de Zorn garantiza la existencia de muchas U; la mala noticia es que no se pueden construir explícitamente). Pensamos en U como singularizar aquellos conjuntos de índices que "importan": Escribimos (a₀, a_{1< /sub>, a₂,...) ≤ (b₀, b₁, b₂,...) si y solo si el conjunto de los números naturales { n: a_n ≤ b_n } es en U.}

Este es un pedido total y se convierte en un pedido total si acordamos no distinguir entre dos secuencias a y b si a ≤ b y b ≤ a. Con esta identificación se construye el campo ordenado *R de hiperreales. Desde un punto de vista algebraico, U nos permite definir un ideal maximal correspondiente I en el anillo conmutativo A (es decir, el conjunto de los secuencias que desaparecen en algún elemento de U), y luego definir *R como A/I; como cociente de un anillo conmutativo por un ideal maximal, *R es un campo. Esto también se anota A/U, directamente en términos del ultrafiltro libre U; los dos son equivalentes. La maximalidad de I se deriva de la posibilidad de, dada una secuencia a, construir una secuencia b invirtiendo los elementos no nulos de a y no alterar sus entradas nulas. Si el conjunto en el que desaparece a no está en U, el producto ab se identifica con el número 1, y cualquier ideal que contenga 1 debe ser A. En el campo resultante, estos a y b son inversos.

El campo A/U es una ultrapotencia de R. Dado que este campo contiene R, tiene cardinalidad al menos la del continuo. Como A tiene cardinalidad

{displaystyle (2^{aleph _{0}}}{aleph ¿Qué? ¿Qué? ♪♪

no es más grande que ${displaystyle 2^{aleph - Sí.$ , y por lo tanto tiene la misma cardinalidad R.

Una pregunta que podríamos hacernos es si, si hubiéramos elegido un ultrafiltro libre diferente V, el campo cociente A/U sería isomorfo como un campo ordenado a A/V. Esta pregunta resulta ser equivalente a la hipótesis del continuo; en ZFC con la hipótesis del continuo podemos probar que este campo es único hasta el isomorfismo de orden, y en ZFC con la negación de la hipótesis del continuo podemos probar que hay pares de campos isomórficos sin orden que son ambos ultrapoderes indexados contablemente de los reales.

Para obtener más información sobre este método de construcción, consulte ultraproducto.

Un enfoque intuitivo para la construcción ultrapotente

La siguiente es una forma intuitiva de entender los números hiperreales. El enfoque adoptado aquí es muy parecido al del libro de Goldblatt. Recuerde que las secuencias que convergen a cero a veces se llaman infinitamente pequeñas. Estos son casi los infinitesimales en un sentido; los infinitesimales verdaderos incluyen ciertas clases de secuencias que contienen una secuencia que converge a cero.

Veamos de dónde vienen estas clases. Considere primero las sucesiones de números reales. Forman un anillo, es decir, se pueden multiplicar, sumar y restar, pero no necesariamente dividir por un elemento distinto de cero. Los números reales se consideran como las sucesiones constantes, la sucesión es cero si es idénticamente cero, es decir, a_n = 0 para todo n.

En nuestro anillo de secuencias uno puede conseguir ab= 0 con ninguno a= 0 b= 0. Por lo tanto, si para dos secuencias ${displaystyle a,b}$ uno tiene ab= 0, al menos uno de ellos debe ser declarado cero. Sorprendentemente, hay una manera consistente de hacerlo. Como resultado, las clases de equivalencia de secuencias que difieren por alguna secuencia declarada cero formarán un campo, que se llama campo hiperreal. Contendrá los infinitesimals además de los números reales ordinarios, así como números infinitamente grandes (los recíprocos de infinitesimals, incluyendo aquellos representados por secuencias que divergen a infinito). También cada hiperreal que no sea infinitamente grande estará infinitamente cerca de un verdadero ordinario, en otras palabras, será la suma de un verdadero ordinario y un infinitesimal.

Esta construcción es paralela a la construcción de los reales de los racionales dados por Cantor. Comenzó con el anillo de las secuencias Cauchy de los racionales y declaró todas las secuencias que convergen a cero a ser cero. El resultado es el real. Para continuar la construcción de hiperreales, considere los cero conjuntos de nuestras secuencias, es decir, la ${fnMicrosoft Sans Serif}$ , es decir, ${displaystyle z(a)}$ es el conjunto de índices ${displaystyle i}$ para la cual ${displaystyle a_{i}=0}$ . Está claro que si ${displaystyle ab=0}$ , entonces la unión de ${displaystyle z(a)}$ y ${displaystyle z(b)}$ es N (el conjunto de todos los números naturales), por lo que:

Una de las secuencias que desaparecen en dos conjuntos complementarios debe ser declarada cero
Si ${displaystyle a}$ es declarado cero, ${displaystyle ab}$ debe ser declarado cero también, no importa lo que sea ${displaystyle b}$ Lo es.
Si ambos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son declarados cero, entonces ${displaystyle a^{2}+b^{2}$ debe ser declarado cero.

Ahora la idea es distinguir a un montón U de subconjuntos X de N y declarar que ${displaystyle a=0}$ si ${displaystyle z(a)}$ pertenece U. Desde las condiciones anteriores se puede ver que:

De dos conjuntos complementarios uno pertenece a U
Cualquier conjunto que tenga un subconjunto que pertenece a U, también pertenece a U.
Intersección de los dos conjuntos pertenecientes a U pertenece U.
Finalmente, no queremos que el conjunto vacío pertenezca a U porque entonces todo pertenecería a U, como cada conjunto tiene el conjunto vacío como subconjunto.

Cualquier familia de conjuntos que satisfaga (2–4) se denomina filtro (un ejemplo: los complementos de los conjuntos finitos, se denomina filtro de Fréchet y se utiliza en la teoría de límites habitual). Si (1) también se cumple, U se denomina ultrafiltro (porque no puede agregarle más conjuntos sin romperlo). El único ejemplo explícitamente conocido de un ultrafiltro es la familia de conjuntos que contienen un elemento dado (en nuestro caso, digamos, el número 10). Tales ultrafiltros se llaman triviales, y si los usamos en nuestra construcción, volvemos a los números reales ordinarios. Cualquier ultrafiltro que contenga un conjunto finito es trivial. Se sabe que cualquier filtro puede extenderse a un ultrafiltro, pero la prueba usa el axioma de elección. La existencia de un ultrafiltro no trivial (el lema del ultrafiltro) se puede agregar como un axioma adicional, ya que es más débil que el axioma de elección.

Ahora, si tomamos un ultrafiltro no trivial (que es una extensión del filtro Fréchet) y hacemos nuestra construcción, obtenemos como resultado los números hiperreales.

Si ${displaystyle f}$ es una función real de una variable real ${displaystyle x}$ entonces ${displaystyle f}$ naturalmente se extiende a una función hiperreal de una variable hiperreal por composición:

{displaystyle f({x_{n})={f(x_{n}}

Donde ${displaystyle {dots}}$ significa "la clase de equivalencia de la secuencia ${displaystyle dots }$ relativa a nuestro ultrafiltro", dos secuencias siendo en la misma clase si y sólo si el conjunto cero de su diferencia pertenece a nuestro ultrafiltro.

Todas las expresiones y fórmulas aritméticas tienen sentido para los hiperreales y se mantienen fieles si son verdaderas para los verdaderos ordinarios. Resulta que cualquier finito (es decir, tal que ${displaystyle Silenciox intimidada}$ para algunos reales ordinarios ${displaystyle a}$ ) hiperreal ${displaystyle x}$ será de la forma ${displaystyle y+d}$ Donde ${displaystyle y}$ es un ordinario (llamado estándar) real y ${displaystyle d}$ es un infinitesimal. Puede ser probado por el método de bisección utilizado para probar el teorema Bolzano-Weierstrass, la propiedad (1) de los ultrafilters resulta ser crucial.

Propiedades de los números infinitesimales e infinitos

Los elementos finitos F de *R forma un anillo local, y de hecho un anillo de valoración, con el ideal maximal único S ser los infinitesimals; el cociente F/S es isomorfo para los reales. Por lo tanto tenemos un mapeo homomorfo, st(x), de F a R cuyo núcleo consiste en los infinitesimals y que envía cada elemento x de F a un número real único cuya diferencia de x está en S; que es decir, es infinitesimal. Pon otra manera, cada uno. finito número real no estándar es "muy cercano" a un número real único, en el sentido de que si x es un verdadero no estándar finito, entonces existe uno y sólo un número real st(x. x– st(x) es infinitesimal. Este número st(x) se llama la parte estándar de x, conceptualmente lo mismo x al número real más cercano. Esta operación es un homomorfismo que conserva el orden y por lo tanto es bien hecho algebraicamente y orden teóricamente. Es orden-preservar aunque no isotónico; es decir, ${displaystyle xleq y}$ implicación ${displaystyle operatorname {st} (x)leq operatorname {st} (y)}$ , pero ${displaystyle xtraducidos}$ no implica ${displaystyle operatorname {st} (x) wonoperatorname {st} (y)}$ .

Lo hemos hecho, si ambos x y Sí. son finitos, ${displaystyle operatorname {st} (x+y)=operatorname {st} (x)+operatorname {st} (y)}$ ${displaystyle operatorname {st} (xy)=operatorname {st} (x)operatorname {st} (y)}$
Si x es finito y no infinitesimal. ${displaystyle operatorname {st} (1/x)=1/operatorname {st} (x)}$
x es real si y sólo si ${displaystyle operatorname {st} (x)=x}$

El mapa st es continuo con respecto a la topología de orden en los hiperreales finitos; de hecho, es localmente constante.

Campos hiperreales

Supongamos que X es un espacio de Tychonoff, también llamado espacio T_3.5, y C(X) es el álgebra de la realidad continua. funciones valiosas en X. Supongamos que M es un ideal maximal en C(X). Entonces el álgebra factorial A = C(X)/M es un cuerpo totalmente ordenado F que contiene los reales. Si F contiene estrictamente R entonces M se denomina ideal hiperreal (terminología debida a Hewitt (1948)) y F un campo hiperreal. Tenga en cuenta que no se supone que la cardinalidad de F sea mayor que R; de hecho puede tener la misma cardinalidad.

Un caso especial importante es donde la topología en X es la topología discreta; en este caso X se puede identificar con un número cardinal κ y C(X) con el álgebra real R^κ de funciones de κ a R. Los campos hiperreales que obtenemos en este caso se denominan ultrapoderes de R y son idénticos a los ultrapoderes construidos mediante ultrafiltros libres en la teoría de modelos.

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