Racional diádico

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Fracción con denominador un poder de dos

Razones Dyadicas en el intervalo de 0 a 1

En matemáticas, un racional diádico o racional binario es un número que se puede expresar como una fracción cuyo denominador es una potencia de dos. Por ejemplo, 1/2, 3/2 y 3/8 son racionales diádicos, pero 1/3 no lo es. Estos números son importantes en informática porque son los únicos con representaciones binarias finitas. Los racionales diádicos también tienen aplicaciones en pesos y medidas, compases musicales y educación matemática temprana. Pueden aproximar con precisión cualquier número real.

La suma, diferencia o producto de dos números racionales dyadicos es otro número racional dyadic, dado por una fórmula simple. Sin embargo, la división de un número racional dyadic por otro no siempre produce un resultado racional dyadic. Matemáticamente, esto significa que los números racionales dyadicos forman un anillo, que miente entre el anillo de los enteros y el campo de los números racionales. Este anillo puede ser denotado ${displaystyle mathbb {Z} [{tfrac {1}{2}}]}$ .

En matemáticas avanzadas, los números racionales diádicos son fundamentales para las construcciones del solenoide diádico, la función de signo de interrogación de Minkowski, las ondículas de Daubechies, el grupo de Thompson, el grupo 2 de Prüfer, los números surrealistas y números fusibles. Estos números son de orden isomorfo a los números racionales; forman un subsistema de los números 2-ádicos así como de los reales, y pueden representar las partes fraccionarias de los números 2-ádicos. Se han utilizado funciones desde números naturales hasta racionales diádicos para formalizar el análisis matemático en matemáticas inversas.

Aplicaciones

En medida

Pesos de cocina que miden fracciones dyadicas de una libra de 2 libras hasta 1/64 lb (1/4 oz)

Muchos sistemas tradicionales de pesos y medidas se basan en la idea de reducir a la mitad repetidamente, lo que produce racionales diádicos al medir cantidades fraccionarias de unidades. La pulgada se subdivide habitualmente en racionales diádicos en lugar de utilizar una subdivisión decimal. Las divisiones habituales del galón en medios galones, cuartos, pintas y tazas también son diádicas. Los antiguos egipcios usaban racionales diádicos en la medición, con denominadores de hasta 64. De manera similar, los sistemas de pesos de la civilización del valle del Indo se basan en su mayor parte en la reducción a la mitad repetida; la antropóloga Heather M.-L. Miller escribe que "reducir a la mitad es una operación relativamente simple con balanzas de barra, que es probablemente la razón por la que tantos sistemas de peso de este período usaban sistemas binarios".

En informática

Los racionales diádicos son fundamentales para la informática como un tipo de número fraccionario que muchas computadoras pueden manipular directamente. En particular, como un tipo de datos utilizado por las computadoras, los números de coma flotante a menudo se definen como números enteros multiplicados por potencias positivas o negativas de dos. Los números que se pueden representar con precisión en un formato de punto flotante, como los tipos de datos de punto flotante IEEE, se denominan números representables. Para la mayoría de las representaciones de coma flotante, los números representables son un subconjunto de los racionales diádicos. Lo mismo ocurre con los tipos de datos de punto fijo, que también usan potencias de dos implícitamente en la mayoría de los casos. Debido a la simplicidad de la computación con racionales diádicos, también se utilizan para la computación real exacta mediante la aritmética de intervalos y son fundamentales para algunos modelos teóricos de números computables.

Generar una variable aleatoria a partir de bits aleatorios, en una cantidad de tiempo fija, solo es posible cuando la variable tiene un número finito de resultados cuyas probabilidades son todos números racionales diádicos. Para variables aleatorias cuyas probabilidades no son diádicas, es necesario aproximar sus probabilidades mediante racionales diádicos o utilizar un proceso de generación aleatoria cuyo tiempo es en sí mismo aleatorio e ilimitado.

En música

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Cinco bares de Igor Stravinski El rito de primavera
mostrando firmas de tiempo ³
₁₆, ²
₁₆, ³
₁₆, y ²
₈

Las firmas de tiempo en la notación musical occidental tradicionalmente se escriben en forma de fracciones (por ejemplo: ²
₂ , ⁴
₄, o ⁶
₈), aunque la línea horizontal del pentagrama musical que separa el número superior e inferior suele omitirse cuando se escribe la firma por separado de su pentagrama. Como fracciones, generalmente son diádicas, aunque también se han utilizado firmas de tiempo no diádicas. El valor numérico de la firma, interpretado como una fracción, describe la duración de un compás como una fracción de una nota entera. Su numerador describe el número de tiempos por compás y el denominador describe la duración de cada tiempo.

En educación matemática

En las teorías del desarrollo infantil del concepto de fracción basadas en el trabajo de Jean Piaget, los números fraccionarios que surgen de la división por la mitad y la división repetida por la mitad se encuentran entre las primeras formas de fracciones en desarrollarse. Esta etapa de desarrollo del concepto de fracciones se ha denominado "reducción a la mitad algorítmica". La suma y la resta de estos números se pueden realizar en pasos que solo implican duplicar, reducir a la mitad, sumar y restar números enteros. Por el contrario, la suma y resta de fracciones más generales implica la multiplicación y factorización de enteros para llegar a un denominador común. Por lo tanto, las fracciones diádicas pueden ser más fáciles de calcular para los estudiantes que las fracciones más generales.

Definiciones y aritmética

Los números dyadic son los números racionales que resultan de dividir un entero por un poder de dos. Un número racional $p/q$ en términos más simples es un racional dyadic $q$ es un poder de dos. Otra forma equivalente de definir los racionales dyadic es que son los números reales que tienen una representación binaria terminante.

La suma, resta y multiplicación de dos racionales diádicos produce otro racional diádico, de acuerdo con las siguientes fórmulas:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {a}{2^{b}}}+{frac {c}{2^{d}}}&={frac {2^{d-min(b,d)}a+2^{b-min(b,d)}c}{2^{max(b,d)}}}\[6px]{frac {a}{2^{b}}}-{frac {c}{2^{d}}}&={frac {2^{d-min(b,d)}a-2^{b-min(b,d)}c}{2^{max(b,d)}}}\[6px]{frac {a}{2^{b}}}cdot {frac {c}{2^{d}}}&={frac {ac}{2^{b+d}}}end{aligned}}}

Sin embargo, el resultado de dividir un racional diádico por otro no es necesariamente un racional diádico. Por ejemplo, 1 y 3 son números racionales diádicos, pero 1/3 no lo es.

Propiedades adicionales

Dyadic racional aproximaciones a la raíz cuadrada de 2 (

{displaystyle {sqrt {2}}approx 1.4142}

), encontrado por redondeo al número entero más pequeño más cercano

1/2^{i}

para

{displaystyle i=0,1,2,dots }

La altura de la región rosa sobre cada aproximación es su error.

Números reales sin aproximaciones racionales dyadicas inusualmente exactas. Los círculos rojos rodean números que se aproximan dentro del error

{displaystyle {tfrac {1}{6}}/2^{i}}

por

{displaystyle n/2^{i}}

. Para números en el Cantor fractal fijado fuera de los círculos, todas las aproximaciones racionales dyadicas tienen errores mayores.

Todo número entero y todo medio entero es un racional diádico. Ambos cumplen la definición de ser un número entero dividido por una potencia de dos: cada número entero es un número entero dividido por uno (la potencia cero de dos), y cada medio entero es un número entero dividido por dos.

Cada número real puede ser arbitrariamente aproximado por razones dyadicas. En particular, para un número real $x$ , considerar los racionales dyadicos de la forma ${textstyle lfloor 2^{i}xrfloor /2^{i}}$ , Donde $i$ puede ser cualquier entero y ${displaystyle lfloor dots rfloor }$ denota la función del suelo que redondea su argumento a un entero. Estos números aproximados $x$ de abajo a dentro de un error $1/2^{i}$ , que se puede hacer arbitrariamente pequeño al elegir $i$ ser arbitrariamente grande. Para un subconjunto fractal de los números reales, este límite de error está dentro de un factor constante de óptima: para estos números, no hay aproximación ${displaystyle n/2^{i}}$ con error menor que un tiempo constante $1/2^{i}$ . La existencia de aproximaciones dyadicas exactas se puede expresar diciendo que el conjunto de todos los racionales dyadicos es denso en la línea real. Más fuertemente, este conjunto es uniformemente denso, en el sentido de que los racionales dyadicos con denominador $2^{i}$ están alineados uniformemente en la línea real.

Los racionales diádicos son precisamente aquellos números que poseen expansiones binarias finitas. Sus expansiones binarias no son únicas; hay una representación finita y otra infinita de cada racional diádico distinto de 0 (ignorando los 0 terminales). Por ejemplo, 0.11₂ = 0.10111...₂, dando dos representaciones diferentes para 3/4. Los racionales diádicos son los únicos números cuyas expansiones binarias no son únicas.

En matemáticas avanzadas

Estructura algebraica

Debido a que están cerrados bajo adición, resta y multiplicación, pero no división, los racionales dyadicos son un anillo pero no un campo. El anillo de los racionales dyadicos puede ser denotado ${displaystyle mathbb {Z} [{tfrac {1}{2}}]}$ , lo que significa que se puede generar evaluando polinomios con coeficientes enteros, en el argumento 1/2. Como anillo, los racionales dyadicos son una subringe de los números racionales, y una superación de los enteros. Algebraicamente, este anillo es la localización de los enteros con respecto al conjunto de poderes de dos.

Además de formar un subanillo de los números reales, los números racionales diádicos forman un subanillo de los números 2-ádicos, un sistema de números que se puede definir a partir de representaciones binarias que son finitas a la derecha del punto binario pero puede extenderse infinitamente hacia la izquierda. Los números 2-ádicos incluyen todos los números racionales, no solo los racionales diádicos. Incrustar los racionales diádicos en los números 2-ádicos no cambia la aritmética de los racionales diádicos, pero les da una estructura topológica diferente a la que tienen como subanillo de los números reales. Como lo hacen en los reales, los racionales diádicos forman un subconjunto denso de los números 2-ádicos y son el conjunto de números 2-ádicos con expansiones binarias finitas. Todo número 2-ádico se puede descomponer en la suma de un entero 2-ádico y un racional diádico; en este sentido, los racionales diádicos pueden representar las partes fraccionarias de números 2-ádicos, pero esta descomposición no es única.

Addition of dyadic rationals modulo 1 (the quotient group ${displaystyle mathbb {Z} [{tfrac {1}{2}}]/mathbb {Z} }$ de los racionales dyadicos por los enteros) forma el grupo Prüfer 2-.

Solenoide diádico

Considerando solo las operaciones de suma y resta de los racionales diádicos les da la estructura de un grupo abeliano aditivo. La dualidad de Pontryagin es un método para comprender los grupos abelianos mediante la construcción de grupos duales, cuyos elementos son caracteres del grupo original, homomorfismos de grupo al grupo multiplicativo de los números complejos, con la multiplicación puntual como operación de grupo dual. El grupo dual de los racionales diádicos aditivos, construido de esta manera, también puede verse como un grupo topológico. Se llama solenoide diádico y es isomorfo al producto topológico de los números reales y los números biádicos, cociente por la incrustación diagonal de los racionales diádicos en este producto. Es un ejemplo de un protorus, un solenoide y un continuo indescomponible.

Funciones con racionales diádicos como puntos distinguidos

Mapas de funciones de Minkowski de números racionales a los racionales dyadic

Graph of the scaling and wavelet functions of Daubechies' wavelet

A Daubechies wavelet, mostrando puntos de no-smoothness en los racionales dyadic

Debido a que son un subconjunto denso de los números reales, los racionales diádicos, con su orden numérico, forman un orden denso. Al igual que con dos órdenes lineales densos contables ilimitados, según el teorema del isomorfismo de Cantor, los racionales diádicos son isomorfos al orden de los números racionales. En este caso, la función de signo de interrogación de Minkowski proporciona una biyección que conserva el orden entre el conjunto de todos los números racionales y el conjunto de racionales diádicos.

Los racionales diádicos juegan un papel clave en el análisis de las wavelets de Daubechies, como el conjunto de puntos donde la función de escala de estas wavelets no es suave. De manera similar, los racionales diádicos parametrizan las discontinuidades en el límite entre puntos estables e inestables en el espacio de parámetros del mapa de Hénon.

El conjunto de homeomorfismos lineales por partes desde el intervalo unitario hasta sí mismo que tienen pendientes de potencia de 2 y puntos de corte racionales diádicos forman un grupo bajo la operación de composición de funciones. Este es el grupo de Thompson, el primer ejemplo conocido de un grupo simple infinito pero finitamente presentado. El mismo grupo también se puede representar mediante una acción sobre árboles binarios con raíz, o mediante una acción sobre los racionales diádicos dentro del intervalo unitario.

Otras construcciones relacionadas

En matemáticas inversas, una forma de construir los números reales es representarlos como funciones de números no a racionales dyadic, donde el valor de una de estas funciones para el argumento $i$ es un racional dyadic con denominador $2^{i}$ que aproxima el número real dado. Definir números reales de esta manera permite que muchos de los resultados básicos del análisis matemático sean probados dentro de una teoría restringida de la aritmética de segundo orden llamada "análisis feasible" (BTFA).

Los números surrealistas son generados por un principio de construcción iterado que comienza generando todos los racionales diádicos finitos y luego crea nuevos y extraños tipos de números infinitos, infinitesimales y otros. Este sistema numérico es fundamental para la teoría de juegos combinatorios, y los racionales diádicos surgen naturalmente en esta teoría como el conjunto de valores de ciertos juegos combinatorios.

Los números fusibles son un subconjunto de los racionales dyadicos, el cierre del conjunto ${0}$ en el marco de la operación ${displaystyle x,ymapsto (x+y+1)/2}$ , restringido a pares $x,y$ con $<math alttext="{displaystyle |x-y|Silenciox- - Sí.Silencio.1{displaystyle tenciónx-y silencioso <img alt="{displaystyle |x-y|$ . Están bien ordenados, con el tipo de orden igual al número de epsilon $varepsilon _{0}$ . Para cada entero $n$ el número más pequeño que es más grande que $n$ tiene la forma ${displaystyle n+1/2^{k}}$ . La existencia de $k$ para cada uno $n$ no se puede probar en Peano aritmética, y $k$ crece tan rápidamente como una función de $n$ para $n=3$ es (en la notación de Knuth hacia arriba para grandes números) ya más grande que ${displaystyle 2uparrow ^{9}16}$ .