Número hipercomplejo

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En matemáticas, número hipercomplejo es un término tradicional para un elemento de un álgebra unital de dimensión finita sobre el campo de los números reales. El estudio de los números hipercomplejos a fines del siglo XIX forma la base de la teoría moderna de representación de grupos.

Historia

En el siglo XIX, los sistemas numéricos llamados cuaterniones, tesarinas, cocuaterniones, bicuaterniones y octoniones se convirtieron en conceptos establecidos en la literatura matemática, agregados a los números reales y complejos. El concepto de número hipercomplejo los abarcaba a todos y requería una disciplina para explicarlos y clasificarlos.

El proyecto de catalogación comenzó en 1872 cuando Benjamin Peirce publicó primero su Álgebra asociativa lineal, y fue llevado adelante por su hijo Charles Sanders Peirce. Lo más importante es que identificaron el nilpotent y los elementos idempotent como números hipercomplex útiles para clasificaciones. La construcción Cayley-Dickson utilizó involuciones para generar números complejos, quaternions y octonions fuera del sistema de números reales. Hurwitz y Frobenius demostraron teoremas que ponen límites a la hipercomplejidad: El teorema de Hurwitz dice álgebras de composición real de dimensiones finitas son los reales $mathbb {R}$ , los complejos $mathbb {C}$ , las quaternions $mathbb {H}$ , y las octoniones $mathbb {O}$ , y el teorema de Frobenius dice que los únicos álgebras de división asociativa real son $mathbb {R}$ , $mathbb {C}$ , y $mathbb {H}$ . En 1958 J. Frank Adams publicó una nueva generalización en términos de invariantes de Hopf en H- espacios que aún limitan la dimensión a 1, 2, 4 o 8.

Fue el álgebra matricial lo que aprovechó los sistemas hipercomplejos. Primero, las matrices contribuyeron con nuevos números hipercomplejos como matrices reales de 2 × 2 (ver Cuaternión dividido). Pronto, el paradigma matricial comenzó a explicar a los demás a medida que se representaban mediante matrices y sus operaciones. En 1907, Joseph Wedderburn demostró que los sistemas hipercomplejos asociativos podían representarse mediante matrices cuadradas o producto directo de álgebras de matrices cuadradas. A partir de esa fecha, el término preferido para un sistema hipercomplejo se convirtió en álgebra asociativa, como se ve en el título de la tesis de Wedderburn en la Universidad de Edimburgo. Tenga en cuenta, sin embargo, que los sistemas no asociativos como los octoniones y los cuaterniones hiperbólicos representan otro tipo de número hipercomplejo.

Como explica Hawkins, los números hipercomplejos son peldaños para aprender sobre los grupos de Lie y la teoría de la representación de grupos. Por ejemplo, en 1929, Emmy Noether escribió sobre "cantidades hipercomplejas y teoría de la representación". En 1973, Kantor y Solodovnikov publicaron un libro de texto sobre números hipercomplejos que se tradujo en 1989.

Karen Parshall ha escrito una exposición detallada del apogeo de los números hipercomplejos, incluido el papel de matemáticos como Theodor Molien y Eduard Study. Para la transición al álgebra moderna, Bartel van der Waerden dedica treinta páginas a los números hipercomplejos en su Historia del álgebra.

Definición

Una definición de Número hipercomplex es dado por Kantor & Solodovnikov (1989) como un elemento de un álgebra finita-dimensional sobre los números reales que es unitario pero no necesariamente asociativo o conmutativo. Los elementos se generan con coeficientes de número real $(a_0, dots, a_n)$ para una base ${ 1, i_1, dots, i_n }$ . Cuando sea posible, es convencional elegir la base para que $i_k^2 in { -1, 0, +1 }$ . Un enfoque técnico para los números hipercomplex dirige la atención primero a los de la dimensión dos.

Álgebras reales bidimensionales

Teorema: Hasta el isomorfismo, hay exactamente tres álgebras unitarias bidimensionales sobre los reales: los números complejos ordinarios, los números complejos divididos y los números duales. En particular, toda álgebra unitaria bidimensional sobre los reales es asociativa y conmutativa.

Prueba: dado que el álgebra es bidimensional, podemos elegir una base {1, u}. Dado que el álgebra está cerrada al cuadrado, el elemento de base no real u se eleva al cuadrado a una combinación lineal de 1 y u:

{displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}

para algunos números reales a₀ y a₁.

Usando el método común de completar el cuadrado restando a₁u y sumando el complemento cuadrático a ²
₁/4 a ambos lados produce

{displaystyle u^{2}-a_{1}u+{frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}

Así ${textstyle left(u-{frac {1}{2}}a_{1}right)^{2}={tilde {u}}^{2}}$ Donde ${textstyle {tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ Los tres casos dependen de este valor real:

Si 4a₀ =a₁², la fórmula anterior produce .² = 0. Por lo tanto, . se puede identificar directamente con el elemento nilpotent $epsilon$ de la base ${ 1, ~epsilon }$ de los números duales.
Si 4a₀ −a₁², la fórmula anterior produce .² ■ 0. Esto conduce a los números de complejos divididos que tienen base normalizada ${ 1 ~j }$ con $j^2 = +1$ . Para obtener j desde ., este último debe ser dividido por el número real positivo ${textstyle amathrel {:=} {sqrt {a_{0}+{frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ que tiene el mismo cuadrado . Sí.
Si 4a₀ −a₁², la fórmula anterior produce .² 0. Esto conduce a los números complejos que han normalizado la base ${ 1 ~i }$ con $i^{2}=-1$ . Para ceder i desde ., este último tiene que ser dividido por un número real positivo ${textstyle amathrel {:=} {sqrt {{frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ que cuadrado al negativo de .².

Los números complejos son el único álgebra hipercomplex de 2 dimensiones que es un campo. Álgebras como los números de compartimento de división que incluyen raíces no reales de 1 también contienen idempotents ${textstyle {frac {1}{2}}(1pm j)}$ y cero divisores $(1 + j)(1 - j) = 0$ , por lo que tales álgebras no pueden ser álgebras de división. Sin embargo, estas propiedades pueden resultar muy significativas, por ejemplo en describir las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial.

En una edición de 2004 de Mathematics Magazine, las álgebras reales bidimensionales recibieron el nombre de "números complejos generalizados". La idea de razón cruzada de cuatro números complejos se puede extender a las álgebras reales bidimensionales.

Ejemplos de dimensiones superiores (más de un eje no real)

Álgebras de Clifford

Un álgebra de Clifford es el álgebra asociativa unitaria generada sobre un espacio vectorial subyacente equipado con una forma cuadrática. Sobre los números reales esto es equivalente a poder definir un producto escalar simétrico, u ⋅ v = 1/2(uv + vu) que se puede usar para ortogonalizar la forma cuadrática, para dar una base {e₁,..., e_k} tal que:

{displaystyle {frac {1}{2}}left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}right)={begin{cases}-1,0,+1&i=j,\0&inot =j.end{cases}}}

Imponer el cierre bajo la multiplicación genera un espacio multivector atravesado por una base de 2^k elementos, {1, e₁, e₂, e₃,..., e ₁e₂,..., e₁e₂e₃,...}. Estos pueden interpretarse como la base de un sistema numérico hipercomplejo. A diferencia de la base {e₁,..., e_k}, los elementos básicos restantes no necesitan anticonmutación, dependiendo de cuántos intercambios simples se deban realizar para intercambiar los dos factores. Entonces e₁e₂ = −e₂e₁, pero e₁(e₂e₃) = +(e ₂e₃)e₁.

Dejar de lado las bases que contienen un elemento e_i tales que e_i² = 0 (es decir, direcciones en el espacio original sobre el cual la forma cuadrática fue degenerada), los álgebras Clifford restantes pueden ser identificados por la etiqueta Cl_p,q() $mathbb {R}$ ), indicando que el álgebra se construye a partir de p elementos de base simples e_i² = +1, q con e_i² = 1 -, y dónde $mathbb {R}$ indica que esto es ser un álgebra Clifford sobre los reinos — es decir, los coeficientes de los elementos del álgebra son para ser números reales.

Estas álgebras, llamadas álgebras geométricas, forman un conjunto sistemático, que resultan muy útiles en problemas de física que involucran rotaciones, fases o espines, especialmente en mecánica clásica y cuántica, teoría electromagnética y relatividad.

Ejemplos son: los números complejos Cl_0,1() $mathbb {R}$ ), números descomplex Cl_1.0() $mathbb {R}$ ), quaternions Cl_0,2() $mathbb {R}$ ), biquaternions Cl_0,3() $mathbb {R}$ ), cuartos divididos Cl_1.1() $mathbb {R}$ Entendido._2,0() $mathbb {R}$ ) (el álgebra natural del espacio bidimensional); Cl_3,0() $mathbb {R}$ ) (el álgebra natural del espacio tridimensional, y el álgebra de las matrices Pauli); y el álgebra espacio tiempo Cl_1,3() $mathbb {R}$ ).

Los elementos del álgebra Cl_p,q() $mathbb {R}$ ) forma un incluso subalgebra Cl^[0]
_q+1,p() $mathbb {R}$ ) del álgebra Cl_q+1,p() $mathbb {R}$ ), que se puede utilizar para parametrar rotaciones en el álgebra más grande. Por lo tanto, hay una estrecha conexión entre números complejos y rotaciones en espacio bidimensional; entre cuaterniones y rotaciones en espacio tridimensional; entre números dividido-complejo y (hiperbólicos) rotaciones (transformaciones de Lorentz) en espacio 1+1-dimensional, etc.

Mientras que las construcciones de Cayley-Dickson y de complejo dividido con ocho o más dimensiones no son asociativas con respecto a la multiplicación, las álgebras de Clifford retienen la asociatividad en cualquier número de dimensiones.

En 1995, Ian R. Porteous escribió sobre "El reconocimiento de las subálgebras" en su libro sobre álgebras de Clifford. Su Proposición 11.4 resume los casos hipercomplejos:

Vamos A ser un álgebra asociativa real con elemento de unidad 1. Entonces

1 genera $mathbb {R}$ (Álgebra de números reales),
cualquier subalgebra bidimensional generada por un elemento e₀ de A tales que e₀² = 1 - es isomorfo a $mathbb {C}$ (Álgebra de números complejos),
cualquier subalgebra bidimensional generada por un elemento e₀ de A tales que e₀² = 1 es isomorfo a $mathbb {R}$ ² (paires de números reales con producto a base de componente, isomorfos al álgebra de números dividido-complejo),
cualquier subalgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto {e₀, e₁} de elementos mutuamente anticommutantes A tales que $e_0 ^2 = e_1 ^2 = -1$ es isomorfo a $mathbb {H}$ (Álgebra de quaternions),
cualquier subalgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto {e₀, e₁} de elementos mutuamente anticommutantes A tales que $e_0 ^2 = e_1 ^2 = 1$ es isomorfo a M₂() $mathbb {R}$ ) (2 × 2 matrices reales, coquaternions),
cualquier subalgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto {e₀, e₁, e₂} de elementos mutuamente anticommutantes A tales que $e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = -1$ es isomorfo a ² $mathbb {H}$ (split-biquaternions),
cualquier subalgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto {e₀, e₁, e₂} de elementos mutuamente anticommutantes A tales que $e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = 1$ es isomorfo a M₂() $mathbb {C}$ )2 × 2 matrices complejas, biquaternions, álgebra Pauli).

Construcción Cayley-Dickson

Cayley Q8 gráfico de multiplicación de cuaternión mostrando ciclos de multiplicación i (red), j (verde) and k (azul). En el archivo SVG, arrastre o haga clic en una ruta para destacarlo.

Todos los álgebras Clifford Cl_p,q() $mathbb {R}$ ) aparte de los números reales, números complejos y las quaterniones contienen elementos no reales que cuadran a +1; y por lo tanto no pueden ser álgebras de división. La construcción Cayley-Dickson toma un enfoque diferente para ampliar los números complejos. Esto genera sistemas de número de dimensión 2ⁿ, n = 2, 3, 4,... ${displaystyle left{1,i_{1},dotsi_{2^{n}-1}right}}$ , donde todos los elementos de base no real anti-commute y satisfacer $i_m^2 = -1$ . En 8 o más dimensiones (n ≥ 3Estos álgebras no son asociativas. En 16 o más dimensiones (n ≥ 4Estos álgebras también tienen cero visores.

Las primeras álgebras de esta secuencia son los cuaterniones de cuatro dimensiones, los octoniones de ocho dimensiones y los sedeniones de 16 dimensiones. Se pierde una simetría algebraica con cada aumento de dimensionalidad: la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa, la multiplicación de octoniones no es asociativa y la norma de los sedeniones no es multiplicativa.

La construcción de Cayley-Dickson se puede modificar insertando un letrero adicional en algunas etapas. Luego genera las "split algebras" en la colección de álgebras de composición en lugar de las álgebras de división:

números split-complex con base

{displaystyle {1,,i_{1}}}

satisfacción

{displaystyle i_{1}^{2}=+1}

cuartos divididos con base

{displaystyle {1,,i_{1},,i_{2},,i_{3}}}

satisfacción

{displaystyle i_{1}^{2}=-1,,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}

, y

divisiones con base

{displaystyle {1,,i_{1},,dots,i_{7}}}

satisfacción

i_1^2 = i_2^2 = i_3^2 = -1

{displaystyle i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.}

A diferencia de los números complejos, los números complejos divididos no son algebraicamente cerrados y además contienen divisores de cero no triviales e idempotentes no triviales. Al igual que con los cuaterniones, los cuaterniones divididos no son conmutativos, sino que además contienen nilpotentes; son isomorfas a las matrices cuadradas de dimensión dos. Los octoniones divididos no son asociativos y contienen nilpotentes.

Productos tensores

El producto tensorial de dos álgebras cualesquiera es otra álgebra, que puede usarse para producir muchos más ejemplos de sistemas numéricos hipercomplejos.

En particular, tomar productos tensores con los números complejos (considerados como álgebras sobre los reinos) conduce a tesarinas cuatridimensionales ${displaystyle mathbb {C} otimes _{mathbb {R} }mathbb {C} }$ , biquaternions de ocho dimensiones ${displaystyle mathbb {C} otimes _{mathbb {R} }mathbb {H} }$ octoniones complejas de 16 dimensiones ${displaystyle mathbb {C} otimes _{mathbb {R} }mathbb {O} }$ .

Más ejemplos

números bicomplex: un espacio vectorial 4-dimensional sobre los reinos, 2-dimensional sobre los números complejos, isomorfo a tesarinas.
números multicomplex: 2ⁿ-dimensionales espacios vectoriales sobre los reales, 2ⁿ⁻¹-dimensional sobre los números complejos
álgebra de composición: álgebra con una forma cuadrática que compone con el producto

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