Número de onda

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Frecuencia espacial de una ola

Diagrama que ilustra la relación entre el número de onda y las otras propiedades de las ondas armónicas.

En las ciencias físicas, el número de onda (también número de onda o repetición) es la frecuencia espacial de una onda, medida en ciclos por unidad de distancia (número de onda ordinario) o radianes por unidad de distancia (número de onda angular). Es análogo a la frecuencia temporal, que se define como el número de ciclos de onda por unidad de tiempo (frecuencia ordinaria) o radianes por unidad de tiempo (frecuencia angular).

En sistemas multidimensionales, el número de onda es la magnitud del vector de onda. El espacio de vectores de onda se llama espacio recíproco. Los números de onda y los vectores de onda desempeñan un papel esencial en la óptica y la física de la dispersión de ondas, como la difracción de rayos X, la difracción de neutrones, la difracción de electrones y la física de partículas elementales. Para las ondas mecánicas cuánticas, el número de onda multiplicado por la constante de Planck reducida es el momento canónico.

El número de onda se puede utilizar para especificar cantidades distintas de la frecuencia espacial. Por ejemplo, en espectroscopia óptica, a menudo se usa como una unidad de frecuencia temporal asumiendo una cierta velocidad de la luz.

Definición

El número de onda, tal como se usa en la espectroscopia y en la mayoría de los campos de la química, se define como el número de longitudes de onda por unidad de distancia, normalmente en centímetros (cm⁻¹):

{displaystyle {tilde {nu }};=;{frac {1}{lambda }},}

donde λ es la longitud de onda. A veces se le llama el "número de onda espectroscópico". Es igual a la frecuencia espacial. Un número de onda en cm inverso se puede convertir a una frecuencia en GHz al multiplicar por 29,9792458 (la velocidad de la luz en centímetros por nanosegundo). Una onda electromagnética a 29,9792458 GHz tiene una longitud de onda de 1 cm en el espacio libre.

En física teórica, un número de onda, definido como el número de radianes por unidad de distancia, a veces llamado "número de onda angular", se usa con más frecuencia:

{displaystyle k;=;{frac {2pi }{lambda }}}

Cuando número de onda está representado por el símbolo $.$ , una frecuencia todavía está siendo representada, aunque indirectamente. Como se describe en la sección de espectroscopia, esto se hace a través de la relación ${textstyle {frac {nu _{s}}{c}};=;{frac {1}{lambda }};equiv ;{tilde {nu }}}$ , donde $.$ _s es una frecuencia en hertz. Esto se hace por conveniencia ya que las frecuencias tienden a ser muy grandes.

El número de onda tiene dimensiones de longitud recíproca, por lo que su unidad SI es el recíproco de metros (m⁻¹). En espectroscopia, es habitual dar números de onda en unidades cgs (es decir, centímetros recíprocos; cm⁻¹); en este contexto, el número de onda se llamaba anteriormente kayser, en honor a Heinrich Kayser (algunos artículos científicos antiguos usaban esta unidad, abreviada como K, donde 1 K = 1 cm⁻¹). El número de onda angular se puede expresar en radianes por metro (rad⋅m⁻¹), o como se indicó anteriormente, ya que el radián no tiene dimensiones.

Para la radiación electromagnética en el vacío, el número de onda es directamente proporcional a la frecuencia ya la energía del fotón. Debido a esto, los números de onda se utilizan como una unidad de energía conveniente en espectroscopia.

Complejo

Un número de onda de valor complejo se puede definir para un medio con una permittividad relativa de valor complejo $varepsilon _{r}$ , relativa permeabilidad $mu _{r}$ índice de refracción n como:

{displaystyle k=k_{0}{sqrt {varepsilon _{r}mu _{r}}}=k_{0}n}

donde k₀ es el número de onda del espacio libre, como se muestra arriba. La parte imaginaria del número de onda expresa la atenuación por unidad de distancia y es útil en el estudio de campos evanescentes que decaen exponencialmente.

Ondas planas en medios lineales

El factor de propagación de una onda plana sinusoidal que se propaga en la dirección x en un material lineal viene dado por

{displaystyle P=e^{-jkx}}

dónde

${displaystyle k=k'-jk''={sqrt {-left(omega mu ''+jomega mu 'right)left(sigma +omega varepsilon ''+jomega varepsilon 'right)}};}$
${displaystyle k'=}$ constante de fase en las unidades de radio/metro
${displaystyle k''=}$ constante de atenuación en las unidades de nepers/metre
${displaystyle omega =}$ frecuencia en las unidades de radio/metros
${displaystyle x=}$ distancia viajada en x dirección
${displaystyle sigma =}$ conductividad en Siemens/metre
${displaystyle varepsilon =varepsilon '-jvarepsilon ''=}$ permiso complejo
${displaystyle mu =mu '-jmu ''=}$ permeabilidad compleja
$j=sqrt{-1}$

La convención de signos se elige por coherencia con la propagación en medios con pérdidas. Si la constante de atenuación es positiva, la amplitud de la onda disminuye a medida que la onda se propaga en la dirección x.

La longitud de onda, la velocidad de fase y la profundidad de la piel tienen relaciones simples con los componentes del número de onda:

{displaystyle lambda ={frac {2pi }{k'}}qquad v_{p}={frac {omega }{k'}}qquad delta ={frac {1}{k''}}}

En ecuaciones de onda

Aquí suponemos que la onda es regular en el sentido de que las diferentes cantidades que describen la onda, como la longitud de onda, la frecuencia y, por lo tanto, el número de onda, son constantes. Ver wavepacket para la discusión del caso cuando estas cantidades no son constantes.

En general, el número de onda angular k (es decir, la magnitud del vector de onda) viene dado por

k = frac{2pi}{lambda} = frac{2pinu}{v_mathrm{p}}=frac{omega}{v_mathrm{p}}

donde ν es la frecuencia de la onda, λ es la longitud de onda, ω = 2πν es la frecuencia angular de la onda, y v_p es la velocidad de fase de la onda. La dependencia del número de onda de la frecuencia (o más comúnmente la frecuencia del número de onda) se conoce como relación de dispersión.

Para el caso especial de una onda electromagnética en el vacío, en la que la onda se propaga a la velocidad de la luz, k viene dado por:

k = frac{E}{hbar c}

donde E es la energía de la onda, ħ es la constante de Planck reducida y c es la velocidad de la luz en el vacío.

Para el caso especial de una onda de materia, por ejemplo una onda de electrones, en la aproximación no relativista (en el caso de una partícula libre, es decir, la partícula no tiene energía potencial):

k equiv frac{2pi}{lambda} = frac{p}{hbar}= frac{sqrt{2 m E }}{hbar}

Aquí p es el momento de la partícula, m es la masa de la partícula, E es la energía cinética de la partícula, y ħ es la constante de Planck reducida.

El número de onda también se usa para definir la velocidad del grupo.

En espectroscopia

En espectroscopia, "número de onda" ${tilde {nu }}$ se refiere a una frecuencia que ha sido dividida por la velocidad de la luz en vacío generalmente en centímetros por segundo (cm.s⁻¹):

{displaystyle {tilde {nu }}={frac {nu }{c}}={frac {omega }{2pi c}}.}

La razón histórica para usar este número de onda espectroscópico en lugar de la frecuencia es que es una unidad conveniente cuando se estudian espectros atómicos contando franjas por cm con un interferómetro: el número de onda espectroscópico es el recíproco de la longitud de onda de la luz en el vacío:

lambda _{{{rm {vac}}}}={frac {1}{{tilde nu }}},

que sigue siendo esencialmente el mismo en el aire, por lo que el número de onda espectroscópico está directamente relacionado con los ángulos de la luz dispersada por las rejillas de difracción y la distancia entre las franjas en los interferómetros, cuando esos instrumentos funcionan en el aire o en el vacío. Dichos números de onda se utilizaron por primera vez en los cálculos de Johannes Rydberg en la década de 1880. El principio de combinación de Rydberg-Ritz de 1908 también se formuló en términos de números de onda. Unos años más tarde, las líneas espectrales podrían entenderse en la teoría cuántica como diferencias entre los niveles de energía, siendo la energía proporcional al número de onda o frecuencia. Sin embargo, los datos espectroscópicos seguían tabulándose en términos de número de onda espectroscópico en lugar de frecuencia o energía.

Por ejemplo, los números de onda espectroscópicos del espectro de emisión del hidrógeno atómico vienen dados por la fórmula de Rydberg:

{displaystyle {tilde {nu }}=Rleft({frac {1}{{n_{text{f}}}^{2}}}-{frac {1}{{n_{text{i}}}^{2}}}right),}

donde R es la constante de Rydberg, y n_i y n_f son los números cuánticos principales de los niveles inicial y final respectivamente (n_i es mayor que n_f para emisión).

Un número de onda espectroscópico se puede convertir en energía por fotón E mediante la relación de Planck:

{displaystyle E=hc{tilde {nu }}.}

También se puede convertir en longitud de onda de luz:

{displaystyle lambda ={frac {1}{n{tilde {nu }}}},}

donde n es el índice de refracción del medio. Tenga en cuenta que la longitud de onda de la luz cambia a medida que pasa a través de diferentes medios, sin embargo, el número de onda espectroscópico (es decir, la frecuencia) permanece constante.

Centímetro inverso convencional (cm)⁻¹) unidades se utilizan para ${tilde {nu }}$ , tan a menudo que tales frecuencias espaciales son declaradas por algunos autores "en números de onda", transfiriendo incorrectamente el nombre de la cantidad a la unidad CGS cm⁻¹ en sí mismo.

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