Núcleo (álgebra)

En álgebra, el núcleo de un homomorfismo (función que conserva la estructura) es generalmente la imagen inversa de 0 (excepto para grupos cuya operación se denota multiplicativamente, donde el núcleo es la imagen inversa de 1). Un caso especial importante es el núcleo de un mapa lineal. El núcleo de una matriz, también llamado espacio nulo, es el núcleo del mapa lineal definido por la matriz.

El núcleo de un homomorfismo se reduce a 0 (o 1) si y solo si el homomorfismo es inyectivo, es decir, si la imagen inversa de cada elemento consta de un solo elemento. Esto significa que el núcleo puede verse como una medida del grado en que el homomorfismo no es inyectivo.

Para algunos tipos de estructura, como grupos abelianos y espacios vectoriales, los núcleos posibles son exactamente las subestructuras del mismo tipo. Este no siempre es el caso y, a veces, los núcleos posibles han recibido un nombre especial, como subgrupo normal para grupos e ideales de dos lados para anillos.

Los kernels permiten definir objetos cocientes (también llamados álgebras cocientes en álgebra universal y cokernels en teoría de categorías). Para muchos tipos de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de los homomorfismos (o primer teorema del isomorfismo) establece que la imagen de un homomorfismo es isomorfa al cociente por el núcleo.

El concepto de kernel se ha extendido a estructuras tales que la imagen inversa de un solo elemento no es suficiente para decidir si un homomorfismo es inyectivo. En estos casos, el núcleo es una relación de congruencia.

Este artículo es una revisión de algunos tipos importantes de núcleos en estructuras algebraicas.

Encuesta de ejemplos

Mapas lineales

Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo (o más generalmente, módulos sobre un anillo) y sea T un espacio lineal mapa de V a W. Si 0_W es el vector cero de W, entonces el núcleo de T es la preimagen del subespacio cero {0_W}; es decir, el subconjunto de V que consta de todos aquellos elementos de V que son asignados por T al elemento 0_W. El núcleo generalmente se denota como ker T, o alguna variación del mismo:

${displaystyle ker T={mathbf {v} in V:T(mathbf {v}=mathbf {0} _{W}}}$

Dado que un mapa lineal conserva los vectores cero, el vector cero 0_V de V debe pertenecer al núcleo. La transformación T es inyectiva si y solo si su núcleo se reduce al subespacio cero.

El kernel ker T es siempre un subespacio lineal de V. Por tanto, tiene sentido hablar del espacio cociente V/(ker T). El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales establece que este espacio cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de T (que es un subespacio de W). Como consecuencia, la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen.

Si V y W son de dimensión finita y se han elegido bases, entonces T se puede describir mediante una matriz M , y el núcleo se puede calcular resolviendo el sistema homogéneo de ecuaciones lineales Mv = 0. En este caso, el núcleo de T puede identificarse con el núcleo de la matriz M, también llamado "espacio nulo" de M. La dimensión del espacio nulo, llamada nulidad de M, viene dada por el número de columnas de M menos el rango de M, como una consecuencia del teorema de rango-nulidad.

Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas a menudo equivale a calcular el kernel de ciertos operadores diferenciales. Por ejemplo, para encontrar todas las funciones dos veces diferenciables f de la línea real a sí misma tal que

${displaystyle xf''(x)+3f'(x)=f(x),}$

sea V el espacio de todas las funciones diferenciables dos veces, sea W el espacio de todas las funciones y defina un operador lineal T de V a W por

${displaystyle (Tf)(x)=xf'(x)+3f'(x)-f(x)}$

para f en V y x un número real arbitrario. Entonces todas las soluciones de la ecuación diferencial están en ker T.

Se pueden definir núcleos para homomorfismos entre módulos sobre un anillo de manera análoga. Esto incluye núcleos para homomorfismos entre grupos abelianos como un caso especial. Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en categorías abelianas generales; ver Kernel (teoría de categorías).

Homomorfismos de grupo

Sean G y H grupos y sea f un homomorfismo de grupo de G a H. Si e_H es el elemento de identidad de H, entonces el núcleo de < i>f es la preimagen del conjunto singleton {e_H}; es decir, el subconjunto de G que consta de todos aquellos elementos de G que son asignados por f al elemento e_H.

El kernel generalmente se denomina ker f (o una variación). En símbolos:

${displaystyle ker f=gin G:f(g)=e_{H}.}$

Dado que un homomorfismo de grupo conserva elementos de identidad, el elemento de identidad e_G de G debe pertenecer al núcleo.

El homomorfismo f es inyectable si y sólo si su núcleo es sólo el conjunto de singleton {e_G}. Si f no fueron inyectables, entonces los elementos no inyectables pueden formar un elemento distinto de su núcleo: existiría ${displaystyle a,bin G}$ tales que ${displaystyle aneq b}$ y ${displaystyle f(a)=f(b)}$. Así ${displaystyle f(a)f(b)}{-1}=e_{H}$. f es un homomorfismo de grupo, por lo que se conservan las inversas y las operaciones de grupo, dando ${displaystyle fleft(ab^{-1}right)=e_{H}$; en otras palabras, ${displaystyle ab^{-1}in ker f}$, y ker f no sería el singleton. Por el contrario, elementos distintos del núcleo violan directamente la inyección: si existiría un elemento ${displaystyle gneq e_{G}in ker f}$, entonces ${displaystyle f(g)=f(e_{G})=e_{H}$, por lo tanto f no sería inyectable.

ker f es un subgrupo de G y además es un subgrupo normal. Por lo tanto, hay un grupo de cociente correspondiente G/(ker f). Esto es isomorfo a f(G), la imagen de G bajo f (que es un subgrupo de < i>H también), por el primer teorema de isomorfismo para grupos.

En el caso especial de los grupos abelianos, no hay desviación del apartado anterior.

Ejemplo

Sea G el grupo cíclico de 6 elementos {0, 1, 2, 3, 4, 5} con suma modular, H sea el cíclico en 2 elementos {0, 1} con suma modular, y f el homomorfismo que mapea cada elemento g en G al elemento g módulo 2 en H. Entonces ker f = {0, 2, 4} , ya que todos estos elementos se asignan a 0_H . El grupo de cocientes G/(ker f) tiene dos elementos: {0, 2, 4} y {1, 3, 5} . De hecho, es isomorfo a H.

Homomorfismos de anillos

Sean R y S anillos (asumidos unitarios) y sea f un homomorfismo de anillos de R a S. Si 0_S es el elemento cero de S, entonces el núcleo de f es su kernel como un mapa lineal sobre los enteros o, de manera equivalente, como grupos aditivos. Es la preimagen del ideal cero {0_S}, es decir, el subconjunto de R formado por todos aquellos elementos de R que son asignados por f al elemento 0_S. El núcleo generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${displaystyle operatorname {ker} f={rin R:f(r)=0_{S} {mbox{}}}}$

Dado que un homomorfismo de anillo conserva elementos cero, el elemento cero 0_R de R debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su kernel es solo el conjunto singleton {0_R}. Este siempre es el caso si R es un campo y S no es el anillo cero.

Dado que ker f contiene la identidad multiplicativa solo cuando S es el anillo cero, resulta que el kernel generalmente no es un subanillo de R.< /i> El núcleo es un subrng y, más precisamente, un ideal de dos caras de R. Por tanto, tiene sentido hablar del cociente anillo R/(ker f). El primer teorema de isomorfismo para anillos establece que este anillo cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un subanillo de S). (Tenga en cuenta que los anillos no necesitan ser unitarios para la definición del kernel).

Hasta cierto punto, esto puede considerarse como un caso especial de la situación de los módulos, ya que estos son todos bimódulos sobre un anillo R:

• R en sí mismo;
• cualquier ideal de dos caras R (como ker f);
• cualquier anillo de cociente R (como R/(ker) f)); y
• el codomain de cualquier homomorfismo de anillo cuyo dominio es R (como S, el codominio de f).

Sin embargo, el teorema del isomorfismo da un resultado más fuerte, porque los isomorfismos de anillos preservan la multiplicación mientras que los isomorfismos de módulos (incluso entre anillos) en general no lo hacen.

Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en álgebras generales de Mal'cev.

Homomorfismos monoide

Sean M y N monoides y sea f un homomorfismo monoide de M a n. Entonces el kernel de f es el subconjunto del producto directo M × M que consta de todos los pares ordenados de elementos de M cuyos componentes están mapeados por f al mismo elemento en N. El núcleo generalmente se denota ker f (o una variación del mismo). En símbolos:

${displaystyle operatorname {ker} f=left{left(m,m'right)in Mtimes M:f(m)=fleft(m'right)right.}$

Dado que f es una función, los elementos de la forma (m, m) debe pertenecer al kernel. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto diagonal {(m, m): m en M} .

Resulta que ker f es una relación de equivalencia sobre M y, de hecho, una relación de congruencia. Por lo tanto, tiene sentido hablar del monoide cociente M/(ker f). El primer teorema de isomorfismo para monoides establece que este monoide cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un submonoide de N; para la relación de congruencia).

Esto tiene un sabor muy diferente al de los ejemplos anteriores. En particular, la preimagen del elemento de identidad de N no es suficiente para determinar el núcleo de f.

Álgebra universal

Todos los casos anteriores pueden unificarse y generalizarse en álgebra universal.

Caso general

Sean A y B estructuras algebraicas de un tipo dado y sea f un homomorfismo de ese tipo de A< /i> a B. Entonces el núcleo de f es el subconjunto del producto directo A × A que consta de todos esos pares ordenados de elementos de A cuyos componentes son mapeados por f al mismo elemento en B. El núcleo generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${displaystyle operatorname {ker} f=left{left(a,a'right)in Atimes A:f(a)=fleft(a'right)right}{mbox{}}}}}$

Como f es una función, los elementos de la forma (a, a) deben pertenecer al kernel.

El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es exactamente el conjunto diagonal {(a, a): a ∈ A}.

Es fácil ver que ker f es una relación de equivalencia sobre A y, de hecho, una relación de congruencia. Por tanto, tiene sentido hablar del álgebra cociente A/(ker f). El primer teorema de isomorfismo en álgebra universal general establece que este álgebra de cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es una subálgebra de B).

Tenga en cuenta que la definición de kernel aquí (como en el ejemplo del monoide) no depende de la estructura algebraica; es un concepto puramente teórico de conjuntos. Para obtener más información sobre este concepto general, fuera del álgebra abstracta, consulte el núcleo de una función.

Álgebras de Malcev

En el caso de las álgebras de Malcev, esta construcción se puede simplificar. Cada álgebra de Malcev tiene un elemento neutro especial (el vector cero en el caso de espacios vectoriales, el elemento identidad en el caso de grupos conmutativos y el elemento cero en el caso de anillos o módulos). El rasgo característico de un álgebra de Malcev es que podemos recuperar toda la relación de equivalencia ker f de la clase de equivalencia del elemento neutro.

Para ser específicos, sean A y B estructuras algebraicas de Malcev de un tipo dado y sea f un homomorfismo de ese tipo de A a B. Si e_B es el elemento neutral de B, entonces el núcleo de < i>f es la preimagen del conjunto singleton {e_B}; es decir, el subconjunto de A que consiste en todos aquellos elementos de A que son asignados por f al elemento e_B. El núcleo generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${displaystyle operatorname {ker} f={ain A:f(a)=e_{B} {mbox{}}}$

Dado que un homomorfismo del álgebra de Malcev conserva elementos neutros, el elemento de identidad e_A de A debe pertenecer a el núcleo El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su kernel es solo el conjunto singleton {e_A}.

La noción de ideal se generaliza a cualquier álgebra de Malcev (como subespacio lineal en el caso de espacios vectoriales, subgrupo normal en el caso de grupos, ideales de dos lados en el caso de anillos y submódulo en el caso de módulos). Resulta que ker f no es una subálgebra de A, pero es un ideal. Entonces tiene sentido hablar del álgebra cociente G/(ker f). El primer teorema de isomorfismo para las álgebras de Malcev establece que esta álgebra de cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es una subálgebra de B).

La conexión entre esto y la relación de congruencia para tipos de álgebras más generales es la siguiente. Primero, el kernel-como-un-ideal es la clase de equivalencia del elemento neutral e_A bajo el kernel-como-una-congruencia. Para la dirección inversa, necesitamos la noción de cociente en el álgebra de Mal'cev (que es división a ambos lados para grupos y resta para espacios vectoriales, módulos y anillos). Usando esto, los elementos a y b de A son equivalentes bajo el núcleo como congruencia si y solo si su cociente a/b es un elemento del kernel-como-un-ideal.

Álgebras con estructura no algebraica

A veces, las álgebras están equipadas con una estructura no algebraica además de sus operaciones algebraicas. Por ejemplo, se pueden considerar grupos topológicos o espacios vectoriales topológicos, que están equipados con una topología. En este caso, esperaríamos que el homomorfismo f conservara esta estructura adicional; en los ejemplos topológicos, nos gustaría que f fuera un mapa continuo. El proceso puede encontrarse con un inconveniente con las álgebras de cociente, que pueden no tener un buen comportamiento. En los ejemplos topológicos, podemos evitar problemas requiriendo que las estructuras algebraicas topológicas sean Hausdorff (como suele hacerse); entonces el núcleo (como sea que esté construido) será un conjunto cerrado y el espacio cociente funcionará bien (y también será Hausdorff).

Núcleos en teoría de categorías

La noción de núcleo en la teoría de categorías es una generalización de los núcleos de las álgebras abelianas; ver Kernel (teoría de categorías). La generalización categórica del núcleo como relación de congruencia es el par de núcleos. (También existe la noción de kernel de diferencia o ecualizador binario).