Nodos de Chebyshev

En el análisis numérico, los nodos de Chebyshev son números algebraicos reales específicos, es decir, las raíces de los polinomios de Chebyshev de primera especie. A menudo se utilizan como nodos en la interpolación polinomial porque el polinomio de interpolación resultante minimiza el efecto del fenómeno de Runge.

Definición

Para un entero positivo dado n los nodos de Chebyshev en el intervalo (−1, 1) son

$${displaystyle x_{k}=cos left({frac {2k-1}{2n}pi right),quad k=1,ldotsn.}$$

Estas son las raíces del polinomio de Chebyshev de primer tipo de grado n. Para nodos en un intervalo arbitrario [a, b] se puede utilizar una transformación afín:

$${displaystyle x_{k}={2} {2} {a+b)+{frac {1}{2} {b-a)cos left({frac {2k-1}{2n}pi right),quad k=1,ldotsn.}$$

Aproximación

Los ganglios Chebyshev son importantes en la teoría de la aproximación porque forman un conjunto particularmente bueno de nodos para la interpolación polinomio. Dada la función f en el intervalo ${displaystyle [-1,+1]}$ y ${displaystyle n}$ puntos ${displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{n}$ en ese intervalo, el polinomio de interpolación es ese polinomio único ${displaystyle P_{n-1}$ de grado en la mayoría ${displaystyle n-1}$ que tiene valor ${displaystyle f(x_{i})}$ en cada punto ${displaystyle x_{i}}$. El error de interpolación en ${displaystyle x}$ es

$${displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={frac {(n)} {xi)}{n}}prod ¿Qué?$$

${displaystyle xi }$

$${displaystyle max _{xin [-1,1] ¿Qué?$$

Este producto es un polinomio mónico de grado n. Se puede demostrar que el valor absoluto máximo (norma máxima) de cualquier polinomio está acotado desde abajo por 2¹⁻ⁿ. Este límite se logra mediante los polinomios de Chebyshev escalados 2¹⁻ⁿ T_n , que también son mónicos. (Recuerde que |T_n(x)| ≤ 1 para x ∈ [−1, 1].) Por lo tanto, cuando los nodos de interpolación x _i son las raíces de T_n , el error satisface

$${fnMicrosoft Sans Serif}max _{xi in [-1,1]}left perpetuaf^{n-1} {xi)}máximo _{xi in [-1,1]}left perpetuaf^{(n)}(xi)derecha sobre la vida.}$$

$${displaystyle left WordPressf(x)-P_{n-1}(x)right sometidaleq {frac {1}{2^{n-1}n!}left({frac {b-a}{2}right)}max _{xi in [a,b]}left sometidaf^{(n)}(xi)right sobre la vida.}$$