Movimiento hiperbólico

En geometría, los movimientos hiperbólicos son automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico. Bajo la composición de mapeos, los movimientos hiperbólicos forman un grupo continuo. Se dice que este grupo caracteriza el espacio hiperbólico. Felix Klein cultivó este enfoque de la geometría en su programa de Erlangen. La idea de reducir la geometría a su grupo característico fue desarrollada particularmente por Mario Pieri en su reducción de las nociones primitivas de geometría a meros puntos y movimiento.

Los movimientos hiperbólicos a menudo se toman de la geometría inversa: son mapeos compuestos de reflejos en una línea o un círculo (o en un hiperplano o una hiperesfera para espacios hiperbólicos de más de dos dimensiones). Para distinguir los movimientos hiperbólicos, se toma como absoluto una línea o un círculo en particular. La condición es que lo absoluto debe ser un conjunto invariante de todos los movimientos hiperbólicos. Lo absoluto divide el plano en dos componentes conectados, y los movimientos hiperbólicos no deben permutar estos componentes.

Uno de los contextos más frecuentes para la geometría inversa y los movimientos hiperbólicos es el estudio de las asignaciones del plano complejo mediante transformaciones de Möbius. Los libros de texto sobre funciones complejas suelen mencionar dos modelos comunes de geometría hiperbólica: el modelo de semiplano de Poincaré, donde lo absoluto es la línea real en el plano complejo, y el modelo de disco de Poincaré, donde lo absoluto es el círculo unitario en el plano complejo. Los movimientos hiperbólicos también se pueden describir en el modelo hiperboloide de geometría hiperbólica.

Este artículo muestra estos ejemplos del uso de movimientos hiperbólicos: la extensión de la métrica d()a,b)=Silenciolog⁡ ⁡ ()b/a)Silencio{displaystyle d(a,b)=vert log(b/a)vert } al medio plano, y en la ubicación de una cuasisfera de un sistema de número hipercomplejo.

Movimientos en el plano hiperbólico

Cada movimiento (transformación o isometría) del plano hiperbólico respecto de sí mismo puede realizarse como la composición de como máximo tres reflexiones. En un espacio hiperbólico n-dimensional, pueden ser necesarias hasta n+1 reflexiones. (Esto también es válido para las geometrías euclidiana y esférica, pero la clasificación siguiente es diferente).

Todas las isometrías del plano hiperbólico se pueden clasificar en estas clases:

• Protección de orientación
  • la isometría de identidad — nada se mueve; cero reflexiones; cero grados de libertad.
  • inversión a través de un punto (media vuelta) – dos reflexiones a través de líneas perpendiculares mutuamente que pasan por el punto dado, es decir, una rotación de 180 grados alrededor del punto; dos grados de libertad.
  • rotación alrededor de un punto normal — dos reflexiones a través de líneas que pasan por el punto dado (incluye la inversión como un caso especial); los puntos se mueven en círculos alrededor del centro; tres grados de libertad.
  • "rotación" alrededor de un punto ideal (horolación) — dos reflexiones a través de líneas que conducen al punto ideal; los puntos se mueven a lo largo de horociclos centrados en el punto ideal; dos grados de libertad.
  • traducción a lo largo de una línea recta – dos reflexiones a través de líneas perpendiculares a la línea dada; señala la línea dada moverse a lo largo de los hiperciclos; tres grados de libertad.
• Reversión de la orientación
  • reflexión a través de una línea —una reflexión; dos grados de libertad.
  • reflexión combinada a través de una línea y traducción a lo largo de la misma línea: la reflexión y la traducción conmutan; tres reflexiones requeridas; tres grados de libertad.

Introducción de la métrica en el modelo de semiplano de Poincaré

Los puntos del modelo de semiplano HP de Poincaré se dan en coordenadas cartesianas como {(x,y): y > 0} o en coordenadas polares como {(r cos a, r sin a): 0 < a < π, r > 0 }. Se considerará que los movimientos hiperbólicos son una composición de tres movimientos hiperbólicos fundamentales. Sea p = (x,y) o p = (r porque a, r sen a), p ∈ HP.

Los movimientos fundamentales son:

p → q =x + c, Sí.), c ▪ R (izquierda o derecha)

p → q =Sx, Sy), s (dilatación)

p → q =r ⁻¹ # a, r ⁻¹ pecado a) (inversión en semicírculo unidad).

Nota: el desplazamiento y la dilatación son asignaciones de geometría inversa compuestas por un par de reflexiones en líneas verticales o círculos concéntricos respectivamente.

Uso del semicírculo Z

Considere el triángulo {(0,0),(1,0),(1,tan a)}. Dado que 1 + tan²a = sec²a, la longitud de la hipotenusa del triángulo es sec a, donde sec denota la función secante. Establezca r = sec a y aplique el tercer movimiento hiperbólico fundamental para obtener q = (r cos a, r sin a) donde r = seg⁻¹a = porque a. Ahora

Silencioq – (1⁄2, 0)² =²a - 1⁄2)² +cos²a pecado²a = 1⁄4

de modo que q se encuentre en el semicírculo Z de radio ½ y centro (½, 0). Así, el rayo tangente en (1, 0) se asigna a Z mediante el tercer movimiento hiperbólico fundamental. Cualquier semicírculo puede redimensionarse mediante una dilatación al radio ½ y desplazarse a Z, luego la inversión lo lleva al rayo tangente. Entonces, el conjunto de movimientos hiperbólicos permuta los semicírculos con diámetros en y = 0, a veces con rayos verticales, y viceversa. Supongamos que uno acepta medir la longitud en rayos verticales utilizando una medida logarítmica:

d(()x,Sí.),(x,z) = ←z/Sí..

Luego, mediante movimientos hiperbólicos también se pueden medir distancias entre puntos en semicírculos: primero mueva los puntos a Z con el desplazamiento y la dilatación adecuados, luego colóquelos por inversión en el rayo tangente donde se encuentra el logarítmico. Se conoce la distancia.

Para m y n en HP, sea b la bisectriz perpendicular del segmento de recta que conecta m y n. Si b es paralelo a la abscisa, entonces m y n están conectados por un rayo vertical; de lo contrario, b se cruza la abscisa por lo que hay un semicírculo centrado en esta intersección que pasa por m y n. El conjunto de HP se convierte en un espacio métrico cuando se equipa con la distancia d(m,n) para m,n ∈ HP como se encuentra en el rayo vertical o semicírculo. A los rayos verticales y a los semicírculos se les llama líneas hiperbólicas en HP. La geometría de puntos y líneas hiperbólicas en HP es un ejemplo de geometría no euclidiana; sin embargo, la construcción de los conceptos de línea y distancia para HP se basa en gran medida en la geometría original de Euclides.

Movimientos del modelo de disco

Considere el disco D = {z ∈ C: z z* < 1 } en el plano complejo C. El plano geométrico de Lobachevsky se puede representar en D con arcos circulares perpendiculares al límite de D que significan líneas hiperbólicas. Utilizando la aritmética y la geometría de números complejos, y las transformaciones de Möbius, existe el modelo del disco de Poincaré del plano hiperbólico:

Supongamos que a y b son números complejos con a a* − b b* = 1. Tenga en cuenta que

Silenciobz + a****² −az + b****² =aa* − bb*)(1 - SilenciozSilencio²),

para que |z| < 1 implica |(az + b*)/(bz + a*)| < 1. Por tanto, el disco D es un conjunto invariante de la transformación de Möbius.

fz) =az + b*)/(bz + a*).

Dado que también permuta las líneas hiperbólicas, vemos que estas transformaciones son movimientos del modelo D de geometría hiperbólica. Una matriz compleja

q=()abbAlternativa Alternativa aAlternativa Alternativa){displaystyle q={begin{pmatrix}a golpebb^{*} {*}end{pmatrix}}

con aa* − bb* = 1, que es un elemento del grupo unitario especial SU(1,1).