Movimiento circular

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En física, el movimiento circular es el movimiento de un objeto a lo largo de la circunferencia de un círculo o la rotación a lo largo de una trayectoria circular. Puede ser uniforme, con velocidad angular de rotación constante y velocidad constante, o no uniforme con una velocidad de rotación variable. La rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo tridimensional implica el movimiento circular de sus partes. Las ecuaciones de movimiento describen el movimiento del centro de masa de un cuerpo. En el movimiento circular, la distancia entre el cuerpo y un punto fijo en la superficie permanece igual.

Los ejemplos de movimiento circular incluyen: un satélite artificial que orbita la Tierra a una altura constante, las aspas de un ventilador de techo que giran alrededor de un eje, una piedra que está atada a una cuerda y se balancea en círculos, un automóvil que toma una curva en una carrera pista, un electrón que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme y un engranaje que gira dentro de un mecanismo.

Dado que el vector de velocidad del objeto cambia constantemente de dirección, el objeto en movimiento experimenta una aceleración por una fuerza centrípeta en la dirección del centro de rotación. Sin esta aceleración, el objeto se movería en línea recta, de acuerdo con las leyes de movimiento de Newton.

Movimiento circular uniforme

En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo que recorre una trayectoria circular a velocidad constante. Dado que el cuerpo describe un movimiento circular, su distancia al eje de rotación permanece constante en todo momento. Aunque la rapidez del cuerpo es constante, su velocidad no es constante: la velocidad, una cantidad vectorial, depende tanto de la rapidez del cuerpo como de su dirección de desplazamiento. Esta velocidad cambiante indica la presencia de una aceleración; esta aceleración centrípeta es de magnitud constante y está dirigida en todo momento hacia el eje de rotación. Esta aceleración es, a su vez, producida por una fuerza centrípeta también de magnitud constante y dirigida hacia el eje de rotación.

En el caso de rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido que no es despreciablemente pequeño en comparación con el radio de la trayectoria, cada partícula del cuerpo describe un movimiento circular uniforme con la misma velocidad angular, pero con velocidad y aceleración que varían con el posición con respecto al eje.

Fórmulas

Para el movimiento en un círculo de radio r, la circunferencia del círculo es C = 2 πr. Si el período de una rotación es T, la velocidad angular de rotación, también conocida como velocidad angular, ω es:

{displaystyle omega ={frac {2pi }{T}}=2pi f={frac {dtheta }{dt}}}

y las unidades son radianes/segundo.

La velocidad del objeto que recorre el círculo es:

{displaystyle v={frac {2pi r}{T}}=omega r}

El ángulo θ barrido en un tiempo t es:

{displaystyle theta =2pi {frac {t}{T}}=omega t}

La aceleración angular, α, de la partícula es:

{displaystyle alpha ={frac {domega}{dt}}}

En el caso de movimiento circular uniforme, α será cero.

La aceleración debida al cambio de dirección es:

{displaystyle a_{c}={frac {v^{2}}{r}}=omega^{2}r}

La fuerza centrípeta y centrífuga también se puede encontrar usando la aceleración:

{displaystyle F_{c}={dot {p}}~~{overset {{dot {m}}=0}{=}}~~ma_{c}={frac {mv^{2 }}{r}}}

Las relaciones vectoriales se muestran en la Figura 1. El eje de rotación se muestra como un vector ω perpendicular al plano de la órbita y con una magnitud ω = dθ / dt. La dirección de ω se elige usando la regla de la mano derecha. Con esta convención para representar la rotación, la velocidad viene dada por un producto vectorial vectorial como

{displaystyle mathbf {v} ={boldsymbol {omega}}times mathbf {r},}

que es un vector perpendicular tanto a ω como a r (t), tangencial a la órbita y de magnitud ω r. Asimismo, la aceleración está dada por

{displaystyle mathbf {a} ={boldsymbol {omega }}times mathbf {v} ={boldsymbol {omega }}times left({boldsymbol {omega }}times mathbf {r} derecho),}

que es un vector perpendicular tanto a ω como a v (t) de magnitud ω | v | = ω r y en dirección exactamente opuesta a r (t).

En el caso más simple, la velocidad, la masa y el radio son constantes.

Considere un cuerpo de un kilogramo, moviéndose en un círculo de un metro de radio, con una velocidad angular de un radian por segundo.

La velocidad es de 1 metro por segundo.
La aceleración hacia adentro es de 1 metro por segundo cuadrado, v/ r.
Está sujeto a una fuerza centrípeta de 1 kilogramo metro por segundo cuadrado, que es un newton.
La cantidad de movimiento del cuerpo es de 1 kg·m·s.
El momento de inercia es de 1 kg·m.
El momento angular es de 1 kg·m ·s.
La energía cinética es de 1 julio.
La circunferencia de la órbita es de 2 π (~6,283) metros.
El período del movimiento es de 2 π segundos por vuelta.
La frecuencia es (2 π) hercios.

En coordenadas polares

Durante el movimiento circular, el cuerpo se mueve en una curva que se puede describir en el sistema de coordenadas polares como una distancia fija R desde el centro de la órbita tomada como origen, orientada en un ángulo θ (t) desde alguna dirección de referencia. Consulte la Figura 4. El vector de desplazamiento es $mathbf{r}$ el vector radial desde el origen hasta la ubicación de la partícula:

{displaystyle mathbf {r} (t)=R{sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t),,}

donde ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ es el vector unitario paralelo al vector radio en el tiempo t y apuntando en dirección opuesta al origen. Es conveniente introducir ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ también el vector unitario ortogonal a, a saber ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ . Es costumbre orientarse ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ para apuntar en la dirección de viaje a lo largo de la órbita.

La velocidad es la derivada temporal del desplazamiento:

{displaystyle mathbf {v} (t)={frac {d}{dt}}mathbf {r} (t)={frac {dR}{dt}}{hat {mathbf {u} }}_{R}(t)+R{frac {d{hat {mathbf {u} }}_{R}}{dt}},.}

Como el radio del círculo es constante, la componente radial de la velocidad es cero. El vector unitario ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ tiene una magnitud invariable en el tiempo de la unidad, por lo que a medida que varía el tiempo, su punta siempre se encuentra en un círculo de radio unitario, con un ángulo θ igual al ángulo de ${ matemáticas {r}} (t)$ . Si el desplazamiento de la partícula gira un ángulo dθ en el tiempo dt, también lo hace ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ , describiendo un arco en el círculo unitario de magnitud dθ. Vea el círculo unitario a la izquierda de la Figura 4. Por lo tanto:

{displaystyle {frac {d{sombrero {mathbf {u} }}_{R}}{dt}}={frac {dtheta}{dt}}{sombrero {mathbf {u} }}_{ theta }(t),,}

donde la dirección del cambio debe ser perpendicular a ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ (o, en otras palabras, a lo largo de ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ ) porque cualquier cambio ${displaystyle d{sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ en la dirección de ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ cambiaría el tamaño de ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ . El signo es positivo, porque un aumento en dθ implica que el objeto ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ se haya movido en la dirección de ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ . Por lo tanto la velocidad se convierte en:

{displaystylemathbf{v}(t)={frac{d}{dt}}mathbf{r}(t)=R{frac{d{hat{mathbf{u}}}_{ R}}{dt}}=R{frac {dtheta}{dt}}{hat {mathbf{u}}}_{theta}(t)=Romega {hat{mathbf {u}}}_{theta}(t),.}

La aceleración del cuerpo también se puede dividir en componentes radiales y tangenciales. La aceleración es la derivada temporal de la velocidad:

{displaystyle {begin{alineado}mathbf{a}(t)&={frac{d}{dt}}mathbf{v}(t)={frac{d}{dt}}left (Romega {hat {mathbf {u}}}_{theta}(t)right)\&=Rleft({frac {domega}{dt}}{hat { mathbf{u}}}_{theta}(t)+omega{frac{d{hat{mathbf{u}}}_{theta}}{dt}}right),. end{alineado}}}

La derivada temporal de ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ se encuentra de la misma manera que para ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ . Nuevamente, ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ es un vector unitario y su punta traza un círculo unitario con un ángulo que es π /2 + θ. Por lo tanto, un aumento en el ángulo dθ por ${ matemáticas {r}} (t)$ implica ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ trazar un arco de magnitud dθ, y como ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ es ortogonal a ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ , tenemos:

{displaystyle {frac {d{hat {mathbf {u}}}_{theta}}{dt}}=-{frac {dtheta}{dt}}{hat {mathbf { u}}}_{R}(t)=-omega{hat{mathbf{u}}}_{R}(t),,}

donde es necesario un signo negativo para mantener ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ la ortogonalidad a ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ . (De lo contrario, el ángulo entre ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{theta }(t)}$ y ${displaystyle {sombrero {mathbf {u} }}_{R}(t)}$ disminuiría con el aumento de dθ ). Vea el círculo unitario a la izquierda de la Figura 4. En consecuencia, la aceleración es:

{displaystyle {begin{alineado}mathbf {a}(t)&=Rleft({frac {domega}{dt}}{hat {mathbf{u}}}_{theta }(t)+omega {frac {d{hat {mathbf{u}}}_{theta}}{dt}}right)\&=R{frac {domega}{ dt}}{hat{mathbf{u}}}_{theta}(t)-omega^{2}R{hat{mathbf{u}}}_{R}(t),.end{alineado}}}

La aceleración centrípeta es la componente radial, que se dirige radialmente hacia adentro:

{displaystylemathbf{a}_{R}(t)=-omega^{2}R{hat{mathbf{u}}}_{R}(t),,}

mientras que la componente tangencial cambia la magnitud de la velocidad:

{displaystylemathbf{a}_{theta}(t)=R{frac{domega}{dt}}{hat{mathbf{u}}}_{theta}(t)= {frac {dRomega}{dt}}{hat {mathbf{u}}}_{theta}(t)={frac {dleft|mathbf{v}(t)right |}{dt}}{hat{mathbf{u}}}_{theta}(t),.}

Usando números complejos

El movimiento circular se puede describir usando números complejos. Sea el eje x el eje real y el $y$ eje el eje imaginario. La posición del cuerpo se puede dar entonces como $z$ , un "vector" complejo:

{displaystyle z=x+iy=Rleft(cos[theta (t)]+isin[theta (t)]right)=Re^{itheta (t)},, }

donde i es la unidad imaginaria, y $theta (t)$ es el argumento del número complejo en función del tiempo, t.

Como el radio es constante:

donde un punto indica diferenciación con respecto al tiempo.

Con esta notación la velocidad se convierte en:

{displaystyle v={dot {z}}={frac {d}{dt}}left(Re^{itheta [t]}right)=R{frac {d}{dt} }left(e^{itheta [t]}right)=Re^{itheta (t)}{frac {d}{dt}}left(itheta [t]right) =iR{dot {theta }}(t)e^{itheta (t)}=iomega Re^{itheta (t)}=iomega z}

y la aceleración se convierte en:

{displaystyle {begin{alineado}a&={dot {v}}=i{dot {omega }}z+iomega {dot {z}}=left(i{dot { omega }}-omega ^{2}right)z\&=left(i{dot {omega }}-omega ^{2}right)Re^{itheta (t)} \&=-omega ^{2}Re^{itheta (t)}+{dot {omega }}e^{i{frac {pi }{2}}}Re^{i theta (t)},.end{alineado}}}

El primer término es opuesto en dirección al vector de desplazamiento y el segundo es perpendicular a él, al igual que los resultados anteriores que se muestran antes.

Velocidad

La figura 1 ilustra los vectores de velocidad y aceleración para un movimiento uniforme en cuatro puntos diferentes de la órbita. Como la velocidad v es tangente a la trayectoria circular, no hay dos velocidades que apunten en la misma dirección. Aunque el objeto tiene una velocidad constante, su dirección siempre está cambiando. Este cambio en la velocidad es causado por una aceleración a, cuya magnitud (como la de la velocidad) se mantiene constante, pero cuya dirección también está siempre cambiando. La aceleración apunta radialmente hacia adentro (centrípetamente) y es perpendicular a la velocidad. Esta aceleración se conoce como aceleración centrípeta.

Para una trayectoria de radio r, cuando se barre un ángulo θ, la distancia recorrida en la periferia de la órbita es s = rθ. Por lo tanto, la velocidad de viaje alrededor de la órbita es

{displaystyle v=r{frac {dtheta }{dt}}=romega,}

donde la velocidad angular de rotación es ω. (Por reordenamiento, ω = v / r.) Por lo tanto, v es una constante, y el vector de velocidad v también gira con una magnitud constante v, a la misma velocidad angular ω.

Movimiento circular relativista

En este caso, el vector de tres aceleraciones es perpendicular al vector de tres velocidades,

{displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {a} =0.}

y el cuadrado de la aceleración propia, expresado como un invariante escalar, el mismo en todos los marcos de referencia,

{displaystyle alpha^{2}=gamma^{4}a^{2}+gamma^{6}left(mathbf{u}cdotmathbf{a}right)^{2},}

se convierte en la expresión para el movimiento circular,

{ estilo de visualización alfa ^ {2} = gamma ^ {4} a ^ {2}.}

o, tomando la raíz cuadrada positiva y usando las tres aceleraciones, llegamos a la aceleración adecuada para el movimiento circular:

{displaystyle alpha =gamma ^{2}{frac {v^{2}}{r}}.}

Aceleración

El círculo de la izquierda en la Figura 2 es la órbita que muestra los vectores de velocidad en dos momentos adyacentes. A la derecha, estas dos velocidades se mueven de modo que sus colas coincidan. Debido a que la velocidad es constante, los vectores de velocidad de la derecha trazan un círculo a medida que avanza el tiempo. Para un ángulo de barrido dθ = ω dt, el cambio en v es un vector en ángulo recto con v y de magnitud v dθ, lo que a su vez significa que la magnitud de la aceleración está dada por

{displaystyle a_{c}=v{frac {dtheta}{dt}}=vomega ={frac {v^{2}}{r}}}

\| v \|r	1 m/s3,6 km/h2,2 mph	2 m/s7,2 km/h4,5 mph	5 m/s18 km/h11 mph	10 m/s36 km/h22 mph	20 m/s72 km/h45 mph	50 m/s180 km/h110 mph	100 m/s360 km/h220 mph
caminar lento		Bicicleta		coche de la ciudad		Acrobacia aérea
10 cm3,9 pulgadas	centrífuga de laboratorio	10 m/s1,0 g	40 m/s4,1 g	250m /s25g	1,0 km/s100 g	4,0 km/s410 g	25 km/ s2500g	100 km/ s10000g
20 cm7,9 pulgadas		5,0 m/s0,51 g	20 m/s2,0 g	130m /s13g	500 m/ s51g	2,0 km/s200 g	13 km/ s1300g	50 km/ s5100g
50 cm1,6 pies		2,0 m/s0,20 g	8,0 m/ s0,82g	50 m/s5,1 g	200 m/s20 g	800 m/ s82g	5,0 km/ s510g	20 km/ s2000g
1 m3,3 pies	carrusel de juegos	1,0 m/s0,10 g	4,0 m/s0,41 g	25 m/s2,5 g	100 m/ s10g	400 m/s41 g	2,5 km/s250 g	10 km/ s1000g
2 m6,6 pies		500 mm/s0,051 g	2,0 m/s0,20 g	13 m/s1,3 g	50 m/s5,1 g	200 m/s20 g	1,3 km/s130 g	5,0 km/ s510g
5 m16 pies		200 mm/s0,020 g	800 mm/s0,082 g	5,0 m/s0,51 g	20 m/s2,0 g	80 m/s8,2 g	500 m/ s51g	2,0 km/s200 g
10 m33 pies	Bucle vertical de montaña rusa	100 mm/s0,010 g	400 mm/s0,041 g	2,5 m/s0,25 g	10 m/s1,0 g	40 m/s4,1 g	250m /s25g	1,0 km/s100 g
20 m66 pies		50 mm/s0,0051 g	200 mm/s0,020 g	1,3 m/s0,13 g	5,0 m/s0,51 g	20 m/ s2g	130m /s13g	500 m/ s51g
50 m160 pies		20 mm/s0,0020 g	80 mm/s0,0082 g	500 mm/s0,051 g	2,0 m/s0,20 g	8,0 m/ s0,82g	50 m/s5,1 g	200 m/s20 g
100 m330 pies	rampa de acceso a la autopista	10 mm/s0,0010 g	40 mm/s0,0041 g	250 mm/s0,025 g	1,0 m/s0,10 g	4,0 m/s0,41 g	25 m/s2,5 g	100 m/ s10g
200 m660 pies		5,0 mm/s0,00051 g	20 mm/s0,0020 g	130 m/s0,013 g	500 mm/s0,051 g	2,0 m/s0,20 g	13 m/s1,3 g	50 m/s5,1 g
500 m1600 pies		2,0 mm/s0,00020 g	8,0 mm/s0,00082 g	50 mm/s0,0051 g	200 mm/s0,020 g	800 mm/s0,082 g	5,0 m/s0,51 g	20 m/s2,0 g
1 km3300 pies	Ferrocarril de alta velocidad	1,0 mm/s0,00010 g	4,0 mm/s0,00041 g	25 mm/s0,0025 g	100 mm/s0,010 g	400 mm/s0,041 g	2,5 m/s0,25 g	10 m/s1,0 g

No uniforme

En un movimiento circular no uniforme, un objeto se mueve en una trayectoria circular con una velocidad variable. Dado que la velocidad está cambiando, hay una aceleración tangencial además de la aceleración normal.

En el movimiento circular no uniforme, la aceleración neta (a) tiene la dirección de Δ v, que se dirige dentro del círculo pero no pasa por su centro (ver figura). La aceleración neta puede descomponerse en dos componentes: aceleración tangencial y aceleración normal, también conocida como aceleración centrípeta o radial. A diferencia de la aceleración tangencial, la aceleración centrípeta está presente tanto en el movimiento circular uniforme como en el no uniforme.

En el movimiento circular no uniforme, la fuerza normal no siempre apunta en la dirección opuesta del peso. Aquí hay un ejemplo con un objeto que viaja en un camino recto y luego vuelve a hacer un bucle en un camino recto nuevamente.

Este diagrama muestra la fuerza normal apuntando en otras direcciones en lugar de opuestas a la fuerza del peso. La fuerza normal es en realidad la suma de las fuerzas radial y tangencial. El componente de la fuerza del peso es responsable de la fuerza tangencial aquí (hemos despreciado la fuerza de fricción). La fuerza radial (fuerza centrípeta) se debe al cambio en la dirección de la velocidad como se discutió anteriormente.

En un movimiento circular no uniforme, la fuerza normal y el peso pueden apuntar en la misma dirección. Ambas fuerzas pueden apuntar hacia abajo, pero el objeto permanecerá en una trayectoria circular sin caer hacia abajo. Primero, veamos por qué la fuerza normal puede apuntar hacia abajo en primer lugar. En el primer diagrama, digamos que el objeto es una persona sentada dentro de un avión, las dos fuerzas apuntan hacia abajo solo cuando alcanza la parte superior del círculo. La razón de esto es que la fuerza normal es la suma de la fuerza tangencial y la fuerza centrípeta. La fuerza tangencial es cero en la parte superior (ya que no se realiza trabajo cuando el movimiento es perpendicular a la dirección de la fuerza aplicada. Aquí la fuerza del peso es perpendicular a la dirección del movimiento del objeto en la parte superior del círculo) y los puntos de fuerza centrípeta hacia abajo, por lo que la fuerza normal también apuntará hacia abajo. Desde un punto de vista lógico, una persona que viaja en el avión estará boca abajo en la parte superior del círculo. En ese momento, el asiento de la persona en realidad está empujando hacia abajo a la persona, que es la fuerza normal.

La razón por la cual el objeto no cae cuando se le somete únicamente a fuerzas hacia abajo es simple. Piense en lo que mantiene un objeto en alto después de que se lanza. Una vez que un objeto se lanza al aire, solo existe la fuerza hacia abajo de la gravedad terrestre que actúa sobre el objeto. Eso no significa que una vez que se lanza un objeto al aire, caerá instantáneamente. Lo que mantiene a ese objeto en el aire es su velocidad. La primera de las leyes de movimiento de Newton establece que la inercia de un objeto lo mantiene en movimiento, y dado que el objeto en el aire tiene una velocidad, tenderá a seguir moviéndose en esa dirección.

También se puede lograr una velocidad angular variable para un objeto que se mueve en una trayectoria circular si el cuerpo giratorio no tiene una distribución de masa homogénea. Para objetos no homogéneos, es necesario abordar el problema como en.

Aplicaciones

La resolución de aplicaciones relacionadas con el movimiento circular no uniforme implica el análisis de fuerzas. Con movimiento circular uniforme, la única fuerza que actúa sobre un objeto que se desplaza en un círculo es la fuerza centrípeta. En el movimiento circular no uniforme, hay fuerzas adicionales que actúan sobre el objeto debido a una aceleración tangencial distinta de cero. Aunque hay fuerzas adicionales que actúan sobre el objeto, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto tendrá que ser igual a la fuerza centrípeta.

{displaystyle {begin{aligned}F_{text{net}}&=ma\F_{text{net}}&=ma_{r}\F_{text{net}}&={ fracción {mv^{2}}{r}}\F_{text{net}}&=F_{c}end{alineado}}}

La aceleración radial se utiliza al calcular la fuerza total. La aceleración tangencial no se usa para calcular la fuerza total porque no es responsable de mantener el objeto en una trayectoria circular. La única aceleración responsable de mantener un objeto en movimiento en un círculo es la aceleración radial. Dado que la suma de todas las fuerzas es la fuerza centrípeta, dibujar la fuerza centrípeta en un diagrama de cuerpo libre no es necesario y, por lo general, no se recomienda.

Usando ${displaystyle F_{text{red}}=F_{c}}$ , podemos dibujar diagramas de cuerpo libre para enumerar todas las fuerzas que actúan sobre un objeto y luego igualarlo a ${displaystyle F_{c}}$ . Luego, podemos resolver lo que sea desconocido (esto puede ser masa, velocidad, radio de curvatura, coeficiente de fricción, fuerza normal, etc.). Por ejemplo, la imagen anterior que muestra un objeto en la parte superior de un semicírculo se expresaría como ${displaystyle F_{c}=n+mg}$ .

En el movimiento circular uniforme, la aceleración total de un objeto en una trayectoria circular es igual a la aceleración radial. Debido a la presencia de aceleración tangencial en el movimiento circular no uniforme, eso ya no es cierto. Para encontrar la aceleración total de un objeto en circular no uniforme, encuentre la suma vectorial de la aceleración tangencial y la aceleración radial.

{displaystyle {sqrt {a_{r}^{2}+a_{t}^{2}}}=a}

La aceleración radial sigue siendo igual a ${textstyle {frac {v^{2}}{r}}}$ . La aceleración tangencial es simplemente la derivada de la velocidad en cualquier punto dado: ${textstyle a_{t}={frac {dv}{dt}}}$ . Esta suma raíz de cuadrados de aceleraciones radiales y tangenciales separadas solo es correcta para el movimiento circular; para el movimiento general dentro de un plano con coordenadas polares, se debe agregar $(r,theta)$ el término de Coriolis, mientras que la aceleración radial se convierte en. ${textstyle a_{c}=2left({frac {dr}{dt}}right)left({frac {dtheta}{dt}}right)}$ $a}$ ${textstyle a_{r}={frac {-v^{2}}{r}}+{frac {d^{2}r}{dt^{2}}}}$