Velocidad relativa

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La velocidad relativa ${displaystyle {vec {v}}_{Bmid A}}$ (también ${displaystyle {vec{v}}_{BA}}$ o ${displaystyle {vec {v}}_{Boperatorname {rel} A}}$ ) es la velocidad de un objeto u observador B en el marco de reposo de otro objeto u observador A.

Mecanica clasica

En una dimensión (no relativista)

Comenzamos con el movimiento relativo en la aproximación clásica (o no relativista, o newtoniana) de que todas las velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz. Este límite está asociado con la transformación de Galileo. La figura muestra a un hombre encima de un tren, en el borde trasero. A la 1:00 pm comienza a caminar hacia adelante a una velocidad de caminata de 10 km/h (kilómetros por hora). El tren se mueve a 40 km/h. La figura representa al hombre y al tren en dos momentos distintos: primero, cuando comenzó el viaje, y también una hora después, a las 14:00 horas. La figura sugiere que el hombre está a 50 km del punto de partida después de haber viajado (a pie y en tren) durante una hora. Esto, por definición, es 50 km/h, lo que sugiere que la receta para calcular la velocidad relativa de esta manera es sumar las dos velocidades.

El diagrama muestra relojes y reglas para recordarle al lector que, si bien la lógica detrás de este cálculo parece impecable, hace suposiciones falsas sobre cómo se comportan los relojes y las reglas. (Consulte El experimento mental del tren y la plataforma). Para reconocer que este modelo clásico de movimiento relativo viola la relatividad especial, generalizamos el ejemplo en una ecuación: ${displaystyle underbrace {{vec {v}}_{Mmid E}} _{text{50 km/h}}=underbrace {{vec {v}}_{Mmid T} } _{text{10 km/h}}+soporte {{vec {v}}_{Tmid E}} _{text{40 km/h}},}$

dónde: ${displaystyle {vec {v}}_{Mmid E}}$ es la velocidad del Hombre relativa a la Tierra, ${displaystyle {vec {v}}_{Mmid T}}$ es la velocidad del M an relativa al T rain, ${displaystyle {vec {v}}_{Tmid E}}$ es la velocidad del tren relativa a la Tierra.

Las expresiones totalmente legítimas para "la velocidad de A con respecto a B" incluyen "la velocidad de A con respecto a B" y "la velocidad de A en el sistema de coordenadas donde B siempre está en reposo". La violación de la relatividad especial ocurre porque esta ecuación para la velocidad relativa predice falsamente que diferentes observadores medirán diferentes velocidades al observar el movimiento de la luz.

En dos dimensiones (no relativista)

La figura muestra dos objetos A y B moviéndose a velocidad constante. Las ecuaciones de movimiento son: ${displaystyle {vec {r}}_{A}={vec {r}}_{Ai}+{vec {v}}_{A}t,}$ ${displaystyle {vec {r}}_{B}={vec {r}}_{Bi}+{vec {v}}_{B}t,}$

donde el subíndice i se refiere al desplazamiento inicial (en el tiempo t igual a cero). La diferencia entre los dos vectores de desplazamiento, ${vec r}_{B}-{vec r}_{A}$ , representa la ubicación de B vista desde A. ${displaystyle {vec {r}}_{B}-{vec {r}}_{A}=soporte {{vec {r}}_{Bi}-{vec {r}}_ {Ai}} _ {text{separación inicial}}+underbrace {({vec {v}}_{B}}{vec {v}}_{A})t}__{text{relativa velocidad}}.}$

Por eso: ${displaystyle {vec {v}}_{Bmid A}={vec {v}}_{B}-{vec {v}}_{A}.}$

Después de hacer las sustituciones ${vec v}_{{A|C}}={vec v}_{A}$ y ${vec v}_{{B|C}}={vec v}_{B}$ , tenemos: ${displaystyle {vec {v}}_{Bmid A}={vec {v}}_{Bmid C}-{vec {v}}_{Amid C}Rightarrow }$ ${displaystyle {vec {v}}_{Bmid C}={vec {v}}_{Bmid A}+{vec {v}}_{Amid C}.}$

Transformación galileana (no relativista)

Para construir una teoría del movimiento relativo consistente con la teoría de la relatividad especial, debemos adoptar una convención diferente. Continuando con el trabajo en el límite newtoniano (no relativista), comenzamos con una transformación galileana en una dimensión: $x'=x-vt$ $t'=t$

donde x' es la posición vista por un marco de referencia que se mueve a una velocidad, v, en el marco de referencia "sin imprimar" (x). Tomando la diferencial de la primera de las dos ecuaciones anteriores, tenemos, ${displaystyle dx'=dx-v,dt}$ , y lo que puede parecer la afirmación obvia de que $dt'=dt$ , tenemos: ${frac {dx'}{dt'}}={frac {dx}{dt}}-v$

Para recuperar las expresiones anteriores para la velocidad relativa, asumimos que la partícula A está siguiendo el camino definido por dx/dt en la referencia no primada (y por lo tanto dx ′/ dt ′ en el marco primado). Así, ${displaystyle dx/dt=v_{Amid O}}$ y ${displaystyle dx'/dt=v_{Amid O'}}$ , donde $O$ y $oh$ se refieren al movimiento de A tal como lo ve un observador en el marco imprimado y no imprimado, respectivamente. Recuerde que v es el movimiento de un objeto estacionario en el marco con prima, visto desde el marco sin prima. Así tenemos ${displaystyle v=v_{O'mid O}}$ , y: ${displaystyle v_{Amid O'}=v_{Amid O}-v_{O'mid O}Rightarrow v_{Amid O}=v_{Amid O'}+v_{O 'media O},}$

donde la última forma tiene la simetría deseada (fácil de aprender).

Relatividad especial

Al igual que en la mecánica clásica, en la Relatividad Especial la velocidad relativa ${vec {v}}_{{mathrm {B|A}}}$ es la velocidad de un objeto u observador B en el sistema de reposo de otro objeto u observador A. Sin embargo, a diferencia del caso de la mecánica clásica, en la Relatividad Especial, generalmente no es el caso que ${vec {v}}_{{mathrm {B|A}}}=-{vec {v}}_{{mathrm {A|B}}}$

Esta peculiar falta de simetría está relacionada con la precesión de Thomas y el hecho de que dos transformaciones de Lorentz sucesivas rotan el sistema de coordenadas. Esta rotación no tiene efecto sobre la magnitud de un vector y, por lo tanto, la velocidad relativa es simétrica. $|{vec {v}}_{{mathrm {B|A}}}|=|vec {v}}_{{mathrm {A|B}}}|=v_{ { matemáticas {B|A}}}=v_{{matemáticas {A|B}}}$

Velocidades paralelas

En el caso de que dos objetos viajen en direcciones paralelas, la fórmula relativista para la velocidad relativa tiene una forma similar a la fórmula para la suma de velocidades relativistas. ${vec {v}}_{{mathrm {B|A}}}={frac {{vec {v}}_{{mathrm {B}}}-{vec {v}}_ {{mathrm {A}}}}{1-{frac {{vec {v}}_{{mathrm {A}}}{vec {v}}_{{mathrm {B}} }}{c^{2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula: $v_{{mathrm {B|A}}}={frac {left|v_{{mathrm {B}}}-v_{{mathrm {A}}}right|}{1-{ fracción {v_{{mathrm {A}}}v_{{mathrm {B}}}}{c^{2}}}}}$

Velocidades perpendiculares

En el caso de que dos objetos viajen en direcciones perpendiculares, la velocidad relativa relativista ${vec {v}}_{{mathrm {B|A}}}$ viene dada por la fórmula: ${vec {v}}_{{mathrm {B|A}}}={{frac {{vec {v}}_{{mathrm {B}}}}{gamma_{{ mathrm {A}}}}}}-{vec{v}}_{{mathrm{A}}}$

dónde ${displaystyle gamma _{mathrm {A} }={frac {1}{sqrt {1-left({frac {v_{mathrm {A} }}{c}}right)^ {2}}}}}$

La velocidad relativa viene dada por la fórmula ${displaystyle v_{mathrm {B|A} }={frac {sqrt {c^{4}-left(c^{2}-v_{mathrm {A} }^{2}right)left(c^{2}-v_{mathrm {B} }^{2}right)}}{c}}}$

Caso general

La fórmula general para la velocidad relativa ${vec {v}}_{{mathrm {B|A}}}$ de un objeto u observador B en el marco de reposo de otro objeto u observador A viene dada por la fórmula: ${displaystyle {vec {v}}_{mathrm {B|A}}={frac {1}{gamma_{mathrm {A}}left(1-{frac {{vec { v}}_{mathrm {A}}{vec {v}}_{mathrm {B}}}{c^{2}}}right)}}left[{vec {v} } _{mathrm{B}}-{vec{v}}_{mathrm{A}}+{vec{v}}_{mathrm{A}}(gamma_{mathrm{A} } }-1)left({frac {{vec {v}}_{mathrm {A} }cdot {vec {v}}_{mathrm {B} }}{v_{mathrm { A} }^{2}}}-1derecho)derecho]}$