Movimiento browniano geométrico

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Proceso estecástico continuo

Para la simulación que genera las realizaciones, vea a continuación.

Un movimiento browniano geométrico (GBM) (también conocido como movimiento browniano exponencial) es un proceso estocástico de tiempo continuo en el que el logaritmo de la cantidad que varía aleatoriamente sigue un Movimiento browniano (también llamado proceso de Wiener) con deriva. Es un ejemplo importante de procesos estocásticos que satisfacen una ecuación diferencial estocástica (SDE); en particular, se utiliza en finanzas matemáticas para modelar precios de acciones en el modelo Black-Scholes.

Definición técnica: la SDE

Se dice que un proceso estocástico S_t sigue un GBM si satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica (SDE):

dS_{t}=mu S_{t},dt+sigma S_{t},dW_{t}

Donde $W_{t}$ es un proceso de Wiener o movimiento de Brownian, y $mu$ ('el porcentaje deriva') y $sigma$ ('el porcentaje de volatilidad') son constantes.

El primero se usa para modelar tendencias deterministas, mientras que el último término se usa a menudo para modelar un conjunto de eventos impredecibles que ocurren durante este movimiento.

Resolviendo el SDE

Para un valor inicial arbitrario S₀, el SDE anterior tiene la solución analítica (según la interpretación de Itô):

S_{t}=S_{0}exp left(left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}}right)t+sigma W_{t}right).

La derivación requiere el uso del cálculo de Itô. La aplicación de la fórmula de It conduce a

{displaystyle d(ln S_{t})=(ln S_{t})'dS_{t}+{frac {1}{2}}(ln S_{t})'',dS_{t},dS_{t}={frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{frac {1}{2}},{frac {1}{S_{t}^{2}}},dS_{t},dS_{t}}

Donde ${displaystyle dS_{t},dS_{t}}$ es la variación cuadrática del SDE.

{displaystyle dS_{t},dS_{t},=,sigma ^{2},S_{t}^{2},dW_{t}^{2}+2sigma S_{t}^{2}mu ,dW_{t},dt+mu ^{2}S_{t}^{2},dt^{2}}

Cuando ${displaystyle dtto 0}$ , ${displaystyle dt}$ converge a 0 más rápido que ${displaystyle dW_{t}}$ , desde entonces ${displaystyle dW_{t}^{2}=O(dt)}$ . Así que el infinitesimal anterior puede ser simplificado por

{displaystyle dS_{t},dS_{t},=,sigma ^{2},S_{t}^{2},dt}

Enchufar el valor de ${displaystyle dS_{t}}$ en la ecuación anterior y simplificación obtenemos

ln {frac {S_{t}}{S_{0}}}=left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}},right)t+sigma W_{t},.

Tomando el exponencial y multiplicando ambos lados por $S_{0}$ da la solución reclamada anteriormente.

Propiedades

La solución anterior $S_{t}$ (para cualquier valor de t) es una variable aleatoria distribuida de forma normal con valor esperado y varianza dada por

{displaystyle operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{mu t},}

{displaystyle operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2mu t}left(e^{sigma ^{2}t}-1right).}

Pueden derivarse usando el hecho de que ${displaystyle Z_{t}=exp left(sigma W_{t}-{frac {1}{2}}sigma ^{2}tright)}$ es un martingale, y eso

<math alttext="{displaystyle operatorname {E} left[exp left(2sigma W_{t}-sigma ^{2}tright)mid {mathcal {F}}_{s}right]=e^{sigma ^{2}(t-s)}exp left(2sigma W_{s}-sigma ^{2}sright),quad forall 0leq sE⁡ ⁡ [exp⁡ ⁡ ()2σ σ Wt− − σ σ 2t)▪ ▪ Fs]=eσ σ 2()t− − s)exp⁡ ⁡ ()2σ σ Ws− − σ σ 2s),О О 0≤ ≤ s.t.{displaystyle operatorname {E} left[exp left(2sigma ¿Qué? W_{s}-sigma ^{2}sright),quad forall 0leq s wont.}<img alt="{displaystyle operatorname {E} left[exp left(2sigma W_{t}-sigma ^{2}tright)mid {mathcal {F}}_{s}right]=e^{sigma ^{2}(t-s)}exp left(2sigma W_{s}-sigma ^{2}sright),quad forall 0leq s

La función de densidad de probabilidad $S_{t}$ es:

f_{S_{t}}(s;musigmat)={frac {1}{sqrt {2pi }}},{frac {1}{ssigma {sqrt {t}}}},exp left(-{frac {left(ln s-ln S_{0}-left(mu -{frac {1}{2}}sigma ^{2}right)tright)^{2}}{2sigma ^{2}t}}right).

Derivación de la función de densidad de probabilidad de GBM
Para obtener la función de densidad de probabilidad para GBM, debemos utilizar la ecuación Fokker-Planck para evaluar la evolución del tiempo del PDF: ${displaystyle {partial p over {partial t}}+{partial over {partial S}}[mu (t,S)p(t,S)]={1 over {2}}{partial ^{2} over {partial S^{2}}}[sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],quad p(0,S)=delta (S)}$ Donde ${displaystyle delta (S)}$ es la función Dirac delta. Para simplificar el cálculo, podemos introducir una transformación logarítmica ${displaystyle x=log(S/S_{0})}$ , conduciendo a la forma de GBM: ${displaystyle dx=left(mu -{1 over {2}}sigma ^{2}right)dt+sigma dW}$ Entonces la ecuación equivalente Fokker-Planck para la evolución del PDF se convierte en: ${displaystyle {partial p over {partial t}}+left(mu -{1 over {2}}sigma ^{2}right){partial p over {partial x}}={1 over {2}}sigma ^{2}{partial ^{2}p over {partial x^{2}}},quad p(0,x)=delta (x)}$ Define ${displaystyle V=mu -sigma ^{2}/2}$ y ${displaystyle D=sigma ^{2}/2}$ . Al introducir las nuevas variables ${displaystyle xi =x-Vt}$ y ${displaystyle tau =Dt}$ , los derivados de la ecuación Fokker-Planck pueden ser transformados como: ${displaystyle {begin{aligned}partial _{t}p&=Dpartial _{tau }p-Vpartial _{xi }p\partial _{x}p&=partial _{xi }p\partial _{x}^{2}p&=partial _{xi }^{2}pend{aligned}}}$ Llevando a la nueva forma de la ecuación Fokker-Planck: ${displaystyle {partial p over {partial tau }}={partial ^{2}p over {partial xi ^{2}}},quad p(0,xi)=delta (xi)}$ Sin embargo, esta es la forma canónica de la ecuación de calor. que tiene la solución dada por el núcleo de calor: ${displaystyle p(tauxi)={1 over {sqrt {4pi tau }}}exp left(-{xi ^{2} over {4tau }}right)}$ Enchufar las variables originales conduce al PDF para GBM: ${displaystyle p(t,S)={1 over {S{sqrt {2pi sigma ^{2}t}}}}exp left{-{left[log(S/S_{0})-left(mu -{1 over {2}}sigma ^{2}right)tright]^{2} over {2sigma ^{2}t}}right}}$

Derivación de la función de densidad de probabilidad de GBM

Para obtener la función de densidad de probabilidad para GBM, debemos utilizar la ecuación Fokker-Planck para evaluar la evolución del tiempo del PDF:

{displaystyle {partial p over {partial t}}+{partial over {partial S}}[mu (t,S)p(t,S)]={1 over {2}}{partial ^{2} over {partial S^{2}}}[sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],quad p(0,S)=delta (S)}

Donde ${displaystyle delta (S)}$ es la función Dirac delta. Para simplificar el cálculo, podemos introducir una transformación logarítmica ${displaystyle x=log(S/S_{0})}$ , conduciendo a la forma de GBM:

{displaystyle dx=left(mu -{1 over {2}}sigma ^{2}right)dt+sigma dW}

Entonces la ecuación equivalente Fokker-Planck para la evolución del PDF se convierte en:

{displaystyle {partial p over {partial t}}+left(mu -{1 over {2}}sigma ^{2}right){partial p over {partial x}}={1 over {2}}sigma ^{2}{partial ^{2}p over {partial x^{2}}},quad p(0,x)=delta (x)}

Define ${displaystyle V=mu -sigma ^{2}/2}$ y ${displaystyle D=sigma ^{2}/2}$ . Al introducir las nuevas variables ${displaystyle xi =x-Vt}$ y ${displaystyle tau =Dt}$ , los derivados de la ecuación Fokker-Planck pueden ser transformados como:

{displaystyle {begin{aligned}partial _{t}p&=Dpartial _{tau }p-Vpartial _{xi }p\partial _{x}p&=partial _{xi }p\partial _{x}^{2}p&=partial _{xi }^{2}pend{aligned}}}

Llevando a la nueva forma de la ecuación Fokker-Planck:

{displaystyle {partial p over {partial tau }}={partial ^{2}p over {partial xi ^{2}}},quad p(0,xi)=delta (xi)}

Sin embargo, esta es la forma canónica de la ecuación de calor. que tiene la solución dada por el núcleo de calor:

{displaystyle p(tauxi)={1 over {sqrt {4pi tau }}}exp left(-{xi ^{2} over {4tau }}right)}

Enchufar las variables originales conduce al PDF para GBM:

{displaystyle p(t,S)={1 over {S{sqrt {2pi sigma ^{2}t}}}}exp left{-{left[log(S/S_{0})-left(mu -{1 over {2}}sigma ^{2}right)tright]^{2} over {2sigma ^{2}t}}right}}

When deriving further properties of GBM, use can be made of the SDE of which GBM is the solution, or the explicit solution given above can be used. For example, consider the stochastic process log(S_t). This is an interesting process, because in the Black–Scholes model it is related to the log return of the stock price. Using Itô's lemma with f(S) = log(S) gives

{displaystyle {begin{alignedat}{2}dlog(S)&=f'(S),dS+{frac {1}{2}}f''(S)S^{2}sigma ^{2},dt\[6pt]&={frac {1}{S}}left(sigma S,dW_{t}+mu S,dtright)-{frac {1}{2}}sigma ^{2},dt\[6pt]&=sigma ,dW_{t}+(mu -sigma ^{2}/2),dt.end{alignedat}}}

De ello se desprende que ${displaystyle operatorname {E} log(S_{t})=log(S_{0})+(mu -sigma ^{2}/2)t}$ .

Este resultado también se puede derivar aplicando el logaritmo a la solución explícita de GBM:

{displaystyle {begin{alignedat}{2}log(S_{t})&=log left(S_{0}exp left(left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}}right)t+sigma W_{t}right)right)\[6pt]&=log(S_{0})+left(mu -{frac {sigma ^{2}}{2}}right)t+sigma W_{t}.end{alignedat}}}

Tomar la expectativa da el mismo resultado que antes: ${displaystyle operatorname {E} log(S_{t})=log(S_{0})+(mu -sigma ^{2}/2)t}$ .

Simulación de rutas de muestra

# Código de pitón para la tramaimportación numposo como npimportación matplotlib.pyplot como pltmu = 1n = 50♪ = 0.1x0 = 100np.al azar.semillas()1)sigma = np.arange()0,8, 2, 0.2)x = np.exp() ()mu - sigma # 2 / 2) * ♪ + sigma * np.al azar.normal()0, np.Sqrt()♪), tamaño=()Len()sigma), n).T)x = np.vstack[np.uno()Len()sigma)), x])x = x0 * x.cumprod()axis=0)plt.parcela()x)plt.leyenda()np.redonda()sigma, 2)plt.xlabel()"$t$")plt.Ylabel()"$x$")plt.Título() "Realizaciones de la Moción Marroniana Geométrica con diferentes variacionesn $mu=1$")plt.show()

Versión multivariante

GBM se puede extender al caso donde hay varias rutas de precios correlacionadas.

Cada ruta de precio sigue el proceso subyacente

{displaystyle dS_{t}^{i}=mu _{i}S_{t}^{i},dt+sigma _{i}S_{t}^{i},dW_{t}^{i},}

donde los procesos de Wiener están correlacionados ${displaystyle operatorname {E} (dW_{t}^{i},dW_{t}^{j})=rho _{i,j},dt}$ Donde $rho _{i,i}=1$ .

Para el caso multivariante, esto implica que

{displaystyle operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(mu _{i}+mu _{j})t}left(e^{rho _{i,j}sigma _{i}sigma _{j}t}-1right).}

Uso en finanzas

El movimiento browniano geométrico se utiliza para modelar los precios de las acciones en el modelo de Black-Scholes y es el modelo de comportamiento de los precios de las acciones más utilizado.

Algunos de los argumentos para usar GBM para modelar los precios de las acciones son:

Los rendimientos previstos de la GBM son independientes del valor del proceso (precio real), que coincide con lo que esperamos en realidad.
Un proceso de GBM sólo asume valores positivos, al igual que los precios reales.
Un proceso de GBM muestra el mismo tipo de 'roughness' en sus caminos que vemos en precios reales de las acciones.
Las calculaciones con los procesos de GBM son relativamente fáciles.

Sin embargo, GBM no es un modelo completamente realista, en particular, se queda corto en los siguientes puntos:

En los precios reales de las existencias, la volatilidad cambia con el tiempo (posiblemente estocásticamente), pero en GBM, la volatilidad se asume constante.
En la vida real, los precios de las acciones suelen mostrar saltos causados por eventos o noticias impredecibles, pero en GBM, el camino es continuo (sin discontinuidad).

Además de modelar los precios de las acciones, el movimiento browniano geométrico también ha encontrado aplicaciones en el seguimiento de las estrategias comerciales.

Extensiones

En un intento de hacer que la GBM sea más realista como modelo para los precios de las existencias, se puede dejar caer la suposición de que la volatilidad ( $sigma$ ) es constante. Si asumimos que la volatilidad es una función determinista del precio y el tiempo de stock, se llama un modelo de volatilidad local. Si en cambio suponemos que la volatilidad tiene una aleatoriedad propia —a menudo descrita por una ecuación diferente impulsada por una Moción Browniana diferente— el modelo se llama un modelo de volatilidad estocástica.

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