Mosaico triangular

Tiling triangular
Tipo	Titulación regular
Configuración de Vertex	3.3.3.3.3.3 (o 36)
Configuración facial	V6.6.6 (o V63)
Símbolo de Schläfli	{3,6} {3}[3]}
Wythoff símbolo(s)	6 Silencio 3 2 3 Silencio 3 3 Silencio
Coxeter diagram(s)	=
Simmetría	p6m, [6,3], (*632)
Simetría de rotación	p6, [6,3]+, (632) p3, [3][3]]+, (333)
Doble	Tiro hexagonal
Propiedades	Vertex-transitive, edge-transitive, face-transitive

En geometría, el mosaico triangular o teselado triangular es uno de los tres mosaicos regulares del plano euclidiano y es el único mosaico en el que las formas constituyentes no son paralelogonos. Como el ángulo interno del triángulo equilátero es de 60 grados, seis triángulos en un punto ocupan 360 grados completos. El mosaico triangular tiene el símbolo Schläfli de {3,6}.

El matemático inglés John Conway lo llamó deltille, llamado así por la forma triangular de la letra griega delta (Δ). El mosaico triangular también se puede llamar kishextille mediante una operación kis que agrega un punto central y triángulos para reemplazar las caras de un hextille.

Es uno de los tres mosaicos regulares del avión. Los otros dos son el mosaico cuadrado y el mosaico hexagonal.

Colorantes uniformes

Hay 9 colores uniformes distintos de un mosaico triangular. (Nombrar los colores por índices en los 6 triángulos alrededor de un vértice: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Tres de ellos se pueden derivar de otros repitiendo colores: 111212 y 111112 de 1 21213 por combinando 1 y 3, mientras que 111213 se reduce de 121314.

Hay una clase de coloraciones de Arquímedes, 111112, (marcada con un *) que no es uniforme y contiene filas alternas de triángulos donde cada tercio está coloreado. El ejemplo que se muestra es 2-uniforme, pero hay infinitos colores de Arquímedes que pueden crearse mediante desplazamientos horizontales arbitrarios de las filas.

111111	121212	111222	112122	111112*)
p6m (*632)	p3m1 (*333)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
p31m (3*3)			p3 (333)

Empaquetaduras circulares y de celosía A2

La disposición de los vértices del mosaico triangular se llama red A2. Es el caso bidimensional de un panal simplectico.

La A^*
₂ celosía (también llamada A³
>₂ ) puede construirse mediante la unión de las tres redes A₂ y es equivalente a la red A₂.

+ + = dual of =

Los vértices del mosaico triangular son los centros del empaquetamiento circular más denso posible. Cada círculo está en contacto con otros 6 círculos en el paquete (número de beso). La densidad de empaquetamiento es π⁄√12 o 90,69%. La celda voronoi de un mosaico triangular es un hexágono, por lo que la teselación voronoi, el mosaico hexagonal, tiene una correspondencia directa con los empaquetamientos circulares.

Variaciones geométricas

Se pueden crear mosaicos triangulares con la topología {3,6} equivalente a la del mosaico normal (6 triángulos alrededor de cada vértice). Con caras idénticas (transitividad de caras) y transitividad de vértices, existen 5 variaciones. La simetría dada supone que todas las caras son del mismo color.

• 
  Triángulo de escalene
  simetría p2
• 
  Triángulo de escalene
  Simetría de pvg
• 
  Triángulo Isosceles
  simetría cmm
• 
  triángulo derecho
  simetría cmm
• 
  triángulo equilátero
  simetría p6m

Polihedra y revestimientos relacionados

Los mosaicos planos están relacionados con los poliedros. Poner menos triángulos en un vértice deja un espacio y permite plegarlo formando una pirámide. Estos se pueden ampliar a los sólidos platónicos: cinco, cuatro y tres triángulos en un vértice definen un icosaedro, un octaedro y un tetraedro respectivamente.

Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3,n}, que continúan en el plano hiperbólico.

*n32 mutación simetría de los revestimientos regulares: {3}n} v t e
Spherical				Euclid.	Hipersión compacta.		Paraco.	Hiperbólico no consumado
3.3	33	34	35	36	37	38	3 mujeres	312i	39i	36i	33i

También se relaciona topológicamente como parte de la secuencia de sólidos catalanes con la configuración facial Vn.6.6, y también continúa en el plano hiperbólico.

V3.6.6

V4.6.6

V5.6.6

V6.6.6

V7.6.6

Wythoff construcciones de baldosas hexagonales y triangulares

Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho mosaicos uniformes que pueden basarse en el mosaico hexagonal regular (o el mosaico triangular dual).

Al dibujar los mosaicos coloreados de rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 8 formas, 7 que son topológicamente distintas. (El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).

Sellos hexagonales/triangulares uniformes
Fundamental dominios	Simmetría: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Config.	63	3.12.12	(6.3)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.6

Tintes triangulares de simetría v t e
Wythoff	3 Silencio 3 3	3 3 Silencio 3	3 Silencio 3 3	3 3 Silencio 3	3 Silencio 3 3	3 3 Silencio 3	3 3 3 4	Silencio
Coxeter
Imagen Vertex figure	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Apeirogons complejos regulares relacionados

Hay 4 apeirogons complejos regulares, que comparten los vértices del mosaico triangular. Los apeirogons complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirogons regulares p{q}r están restringidos por: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Las aristas tienen vértices p y las figuras de los vértices son r-gonales.

El primero está hecho de 2 bordes, los dos siguientes son bordes triangulares y el último tiene bordes hexagonales superpuestos.

2{6}6 o	3{4}6 o	3{6}3 o 3	6{3}6 o 6

Otros mosaicos triangulares

También hay tres mosaicos Laves hechos de un solo tipo de triángulos:

Kisrhombille Triángulos derecho 30°-60°-90°

Kisquadrille triángulos derecho 45°-45°-90°

Kisdeltile Triángulos isosceles 30°-30°-120°