Monoide

Estructuras algebraicas entre magmas y grupos. Por ejemplo, los monoides son semigrupos con identidad.

En álgebra abstracta, una rama de las matemáticas, un monoide es un conjunto equipado con una operación binaria asociativa y un elemento de identidad. Por ejemplo, los enteros no negativos con suma forman un monoide, siendo el elemento de identidad 0.

Los monoides son semigrupos con identidad. Tales estructuras algebraicas ocurren en varias ramas de las matemáticas.

Las funciones de un conjunto en sí mismo forman un monoide con respecto a la composición de funciones. De manera más general, en la teoría de categorías, los morfismos de un objeto a sí mismo forman un monoide y, a la inversa, un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto.

En ciencias de la computación y programación de computadoras, el conjunto de cadenas construidas a partir de un conjunto dado de caracteres es un monoide libre. Los monoides de transición y los monoides sintácticos se utilizan para describir máquinas de estado finito. Los monoides de seguimiento y los monoides de historial proporcionan una base para los cálculos de procesos y la computación concurrente.

En informática teórica, el estudio de los monoides es fundamental para la teoría de autómatas (teoría de Krohn-Rhodes) y la teoría del lenguaje formal (problema de la altura de las estrellas).

Consulte semigrupo para conocer la historia del sujeto y algunas otras propiedades generales de los monoides.

Definición

Un conjunto S equipado con una operación binaria S × S → S, que denotaremos •, es un monoide si cumple los siguientes dos axiomas:

Associativity

Para todos a, b y c dentro S, la ecuación ()a • b) c = a •b • c) sostiene.

Elemento de identidad

Existe un elemento e dentro S tal que por cada elemento a dentro S, las igualdades e • a = a y a • e = a Espera.

En otras palabras, un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad. También puede pensarse como un magma con asociatividad e identidad. El elemento de identidad de un monoide es único. Por esta razón la identidad se considera como una constante, i. mi. Operación 0-aria (o nula). Por lo tanto, el monoide se caracteriza por la especificación del triple (S, • e).

Según el contexto, se puede omitir el símbolo de la operación binaria, de modo que la operación se denote por yuxtaposición; por ejemplo, los axiomas monoide pueden escribirse (ab)c = a(bc) y ea = ae = a. Esta notación no implica que se estén multiplicando números.

Un monoide en el que cada elemento tiene un inverso es un grupo.

Estructuras monoide

Submonoides

Un submonoide de un monoide (M, •) es un subconjunto N de M que se cierra bajo la operación monoide y contiene el elemento de identidad e de M. Simbólicamente, N es un submonoide de M si N ⊆ M, x • y ∈ N siempre que x, y ∈ N y e ∈ N. En este caso, N es un monoide bajo la operación binaria heredada de M.

Por otro lado, si N es un subconjunto de un monoide que se cierra bajo la operación monoide, y es un monoide para esta operación heredada, entonces N no es siempre un submonoide, ya que los elementos de identidad pueden diferir. Por ejemplo, el conjunto singleton {0} se cierra bajo la multiplicación y no es un submonoide del monoide (multiplicativo) de los enteros no negativos.

Generadores

Se dice que un subconjunto S de M genera M si el submonoide más pequeño de M que contiene S es M. Si hay un conjunto finito que genera M, entonces se dice que M es un monoide generado finitamente.

Monoide conmutativa

Un monoide cuya operación es conmutativa se llama monoide conmutativo (o, menos comúnmente, un monoide abeliano). Los monoides conmutativos a menudo se escriben de forma aditiva. Cualquier monoide conmutativo está dotado de su orden previo algebraico ≤, definido por x ≤ y si existe z tal que x + z = y. Una unidad de orden de un monoide conmutativo M es un elemento u de M tal que para cualquier elemento x de M, existe v en el conjunto generado por u tal que x ≤ v. Esto se usa a menudo en el caso de que M sea el cono positivo de un grupo abeliano parcialmente ordenado G, en cuyo caso decimos que u es un orden -unidad de G.

Monoide parcialmente conmutativa

Un monoide para el cual la operación es conmutativa para algunos, pero no para todos los elementos, es un monoide traza; los monoides de traza ocurren comúnmente en la teoría de la computación concurrente.

Ejemplos

• De los 16 posibles operadores binarios booleanos, cuatro tienen una identidad de dos caras que también es comunicativa y asociativa. Estos cuatro hacen el set {False, True} un monoide conmutativo. Bajo las definiciones estándar, Y y XNOR tienen la identidad Verdadera mientras XOR y OR tienen la identidad Falsa. Los monoides de AND y OR también son idempotent mientras que los de XOR y XNOR no lo son.
• El conjunto de números naturales N={}0,1,2,...... }{displaystyle mathbb {N} ={0,1,2,ldots} es un monoide conmutativo bajo adición (elemento de identidad 0) o multiplicación (elemento de identidad 1). Una submonoide de N bajo adición se llama monoide numérico.
• El conjunto de enteros positivos N∖ ∖ {}0}{displaystyle mathbb {N} setminus {0} es un monoide conmutativo bajo multiplicación (elemento de identidad 1).
• Dado un conjunto A, el conjunto de subconjuntos A es un monoide conmutativo bajo intersección (elemento de identidad es A en sí mismo).
• Dado un conjunto A, el conjunto de subconjuntos A es un monoide comunitario bajo unión (elemento de identidad es el conjunto vacío).
• Generalizando el ejemplo anterior, cada semilattice atado es un monoide conmutativo idempotente.
  • En particular, cualquier rejilla atada se puede dotar de una estructura de encuentro y un monoide. Los elementos de identidad son la parte superior y su fondo, respectivamente. Siendo lattices, Eyting álgebras y álgebras booleanas están dotados con estas estructuras monoideas.
• Cada set de un singleton {}x} cerrado bajo una operación binaria • forma el monoide trivial (un-elemento), que también es el grupo trivial.
• Cada grupo es un monoide y cada grupo abeliano un monoide comunitario.
• Cualquier semigrupo S puede ser convertido en un monoide simplemente al unir un elemento e no en S y definición e • s = s = s • e para todos s ▪ S. Esta conversión de cualquier semigrupo al monoide es hecha por el libre functor entre la categoría de semigrupos y la categoría de monoides.
  • Así, un monoide idempotente (a veces conocido como primera) puede ser formado junto con un elemento de identidad e al semigrupo cero izquierdo sobre un conjunto S. El monoide opuesto (a veces llamado encontrar-último) se forma desde el semigrupo cero derecho sobre S.
    • Adjuntar una identidad e al semigrupo izquierda-cero con dos elementos {lt, gt}. Entonces el monoide idempotente resultante {lt: e, gt) modela el orden lexicográfico de una secuencia dadas las órdenes de sus elementos, con e representando la igualdad.
• El conjunto subyacente de cualquier anillo, con adición o multiplicación como la operación. (Por definición, un anillo tiene una identidad multiplicativa 1.)
  • Los números enteros, racionales, números reales o números complejos, con adición o multiplicación como operación.
  • El conjunto de todos n por n matrices sobre un anillo dado, con adición de matriz o multiplicación de matriz como la operación.
• El conjunto de todas las cuerdas finitas sobre algún alfabeto fijo . forma un monoide con concatenación de cadena como la operación. La cadena vacía sirve como elemento de identidad. Este monoide está denotado .^Alternativa y se llama monoide libre sobre .. No es conmutativo si . tiene al menos dos elementos.
• Dado cualquier monoide M, el monoide opuesto M^operaciones tiene el mismo conjunto de portadores y elemento de identidad que M, y su funcionamiento se define por x •^operaciones Sí. = Sí. • x. Cualquier monoide conmutativo es el monoide opuesto de sí mismo.
• Dados dos sets M y N dotado de estructura monoide (o, en general, cualquier número finito de monoides, M₁,... M_k), su producto cartesiano M × N es también un monoide (respectivamente, M₁ × M_k). La operación asociativa y el elemento de identidad se definen en pares.
• Fijar un monoide M. El conjunto de todas las funciones de un determinado conjunto a M es también un monoide. El elemento de identidad es una función constante que mapea cualquier valor a la identidad M; la operación asociativa se define en sentido de punto.
• Fijar un monoide M con la operación • y elemento de identidad e, y considerar su conjunto de poder P()M) que consiste en todos los subconjuntos M. Una operación binaria para tales subconjuntos puede ser definida por S • T = s • t: s ▪ S, t ▪ T }. Esto gira P()M) en un monoide con elemento de identidad {}e}. Del mismo modo el conjunto de poder de un grupo G es un monoide bajo el producto de subconjuntos de grupo.
• Vamos S ser un juego. El conjunto de todas las funciones S → S forma un monoide bajo la composición de la función. La identidad es sólo la función de identidad. También se llama el monoide de transformación completa de S. Si S es finito con n elementos, el monoide de funciones S es finito con nⁿ elementos.
• Generalizando el ejemplo anterior, vamos C ser una categoría y X un objeto de C. El conjunto de todas las endomorfismos de X, denotado Final_C()X), forma un monoide bajo composición de morfismos. Para más información sobre la relación entre la teoría de la categoría y los monoides ver abajo.
• El conjunto de clases de homeomorfismo de superficies compactas con la suma conectada. Su elemento unitario es la clase de la 2sfera ordinaria. Además, si a denota la clase del toro, y b denota la clase del plano proyectivo, entonces cada elemento c el monoide tiene una expresión única la forma c = na + mb Donde n es un entero positivo y m = 0, 1, o 2. Tenemos 3b = a + b.
• Vamos .. f.. {displaystyle langle frangle } ser un monoide cíclico de orden n, es decir, .. f.. ={}f0,f1,...... ,fn− − 1}{displaystyle langle frangle =left{0},f^{1},dotsf^{n-1}right}. Entonces... fn=fk{displaystyle f^{n}=f^{k} para algunos <math alttext="{displaystyle 0leq k0≤ ≤ k.n{displaystyle 0leq k maden}<img alt="0leq k. De hecho, cada uno de esos k da un monoide distinto del orden n, y cada monoide cíclico es isomorfo a uno de estos.
  Además, f puede considerarse como una función en los puntos {}0,1,2,...... ,n− − 1}{displaystyle {0,1,2,dotsn-1} dado por
  [012⋯ ⋯ n− − 2n− − 1123⋯ ⋯ n− − 1k]{displaystyle {begin{bmatrix}0 tarde1 curva2 reducidacdots.

  
  o, equivalente
  <math alttext="{displaystyle f(i):={begin{cases}i+1,&{text{if }}0leq if()i):={}i+1,si0≤ ≤ i.n− − 1k,sii=n− − 1.{displaystyle f(i):={begin{cases}i+1, recur{text{if }0leq - No. }i=n-1.

  <img alt="{displaystyle f(i):={begin{cases}i+1,&{text{if }}0leq i
  Multiplicación de elementos en .. f.. {displaystyle langle frangle } es entonces dada por la composición de la función.
  Cuando k=0{displaystyle k=0} entonces la función f es una permutación de {}0,1,2,...... ,n− − 1},{displaystyle {0,1,2,dotsn-1} y da el único grupo cíclico de orden n.

Propiedades

Los axiomas monoide implican que el elemento de identidad e es único: Si e y f son elementos de identidad de un monoide, entonces e = ef = f.

Productos y potencias

Para cada entero no negativo n, uno puede definir el producto pn=∏ ∏ i=1nai{displaystyle p_{n}=textstyle prod ¿Qué? de cualquier secuencia ()a1,...... ,an){displaystyle (a_{1},ldotsa_{n}} de n elementos de un monoide recursivamente: p₀ = e y dejar p_m = p_m−1 • a_m para 1 ≤ m ≤ n.

Como caso especial, se pueden definir potencias enteras no negativas de un elemento x de un monoide: x⁰ = 1 y xⁿ = xⁿ⁻¹ • x para <span class="texhtml" n ≥ 1. Entonces x^m+n = x ^m • xⁿ para todas las m, n ≥ 0.

Elementos invertibles

Un elemento x se llama invertible si existe un elemento y tal que x • y = e y y • x = e. El elemento y se llama el inverso de x. Los inversos, si existen, son únicos: si y y z son inversas de x, luego por asociatividad y = ey = (zx)y = z(xy) = ze = z.

Si x es invertible, digamos con inversa y, entonces uno puede definir potencias negativas de x configurando x^{− n} = yⁿ para cada n ≥ 1; esto hace que la ecuación x^m+n = x^m • xⁿ mantener para todos m, n ∈ Z.

El conjunto de todos los elementos invertibles en un monoide, junto con la operación •, forma un grupo.

Grupo de Grothendieck

No todos los monoides se sientan dentro de un grupo. Por ejemplo, es perfectamente posible tener un monoide en el que dos elementos a y b existen tales que a • b = a se mantiene aunque b no es el elemento de identidad. Tal monoide no se puede incrustar en un grupo, porque en el grupo multiplicando ambos lados con el inverso de a obtendríamos que b = e, lo cual no es cierto.

Un monoide (M, •) tiene la propiedad de cancelación (o es cancelativo) si para todo el estilo a, b y estilo c en M, la igualdad a • b = a • c implica b = c, y la igualdad b • a = c • a implica b = c.

Un monoide conmutativo con la propiedad de cancelación siempre se puede incrustar en un grupo a través de la construcción del grupo de Grothendieck. Así es como se construye el grupo aditivo de los enteros (un grupo con operación +) a partir del monoide aditivo de los números naturales (un monoide conmutativo con operación + y propiedad de cancelación). Sin embargo, un monoide cancelativo no conmutativo no necesita ser incrustable en un grupo.

Si un monoide tiene la propiedad de cancelación y es finito, entonces de hecho es un grupo.

Los elementos canceladores derecho e izquierdo de un monoide forman cada uno a su vez un submonoide (es decir, están cerrados bajo la operación y obviamente incluyen la identidad). Esto significa que los elementos cancelativos de cualquier monoide conmutativo pueden extenderse a un grupo.

La propiedad cancelativa en un monoide no es necesaria para realizar la construcción de Grothendieck; la conmutatividad es suficiente. Sin embargo, si un monoide conmutativo no tiene la propiedad de cancelación, el homomorfismo del monoide en su grupo de Grothendieck no es inyectivo. Más precisamente, si a • b = a • c, luego b y c tienen la misma imagen en el grupo de Grothendieck, incluso si b ≠ c. En particular, si el monoide tiene un elemento absorbente, entonces su grupo de Grothendieck es el grupo trivial.

Tipos de monoides

Un monoide inverso es un monoide donde por cada a en M, existe un único a⁻¹ en M tal que a = a • a⁻¹ • a y a⁻¹ = a⁻¹ • a • a⁻¹. Si un monoide inverso es cancelativo, entonces es un grupo.

En la dirección opuesta, un monoide sin suma cero es un monoide escrito de forma aditiva en el que a + b = 0 implica que a = 0 y b = 0: equivalentemente, que ningún elemento distinto de cero tiene un inverso aditivo.

Actos y operadores monoides

Sea M un monoide, con la operación binaria indicada por • y el elemento de identidad indicado por e. Entonces un M-acto (izquierdo) (o acto izquierdo sobre M) es un conjunto X junto con un operación ⋅: M × X → X que es compatible con la estructura monoide de la siguiente manera:

• para todos x dentro X: e ⋅ x = x;
• para todos a, b dentro M y x dentro X: a ⋅ (continuación)b ⋅ x) =a • b) ⋅ x.

Este es el análogo en la teoría monoide de una acción de grupo (izquierda). Los actos M derechos se definen de manera similar. Un monoide con un acto también se conoce como monoide operador. Ejemplos importantes incluyen sistemas de transición de semiautómatas. Un semigrupo de transformación se puede convertir en un operador monoide adjuntando la transformación de identidad.

Homomorfismos monoide

Ejemplo de homomorfismo monoide x ↦ 2^x desde ()N, +, 0) a ()N, ×, 1). Es inyectable, pero no subjetivo.

Un homomorfismo entre dos monoides (M, ∗) y (N, •) es una función f: M → N tal que

• f()x Alternativa Sí.) f()x) f()Sí.) para todos x, Sí. dentro M
• f()e_M) e_N,

donde e_M y e_N son las identidades en M y N respectivamente. Los homomorfismos monoides a veces se denominan simplemente morfismos monoides.

No todo homomorfismo semigrupo entre monoides es un homomorfismo monoide, ya que no puede mapear la identidad a la identidad del monoide objetivo, aunque la identidad es la identidad de la imagen del homomorfismo. Por ejemplo, considere Mn{displaystyle M_{n}, el conjunto de clases de residuos modulo n{displaystyle n} equipado con multiplicación. En particular, la clase de 1{displaystyle 1} es la identidad. Función f:: M3→ → M6{displaystyle fcolon M_{3}to M_{6} dado por f()k)=3k{displaystyle f(k)=3k} es un homomorfismo semigrupo 3k⋅ ⋅ 3l=9kl=3kl{displaystyle 3kcdot 3l=9kl=3kl} dentro M6{displaystyle M_{6}. Sin embargo, f()1)=3ل ل 1{displaystyle f(1)=3neq 1}, por lo que un homomorfismo monoide es un homomorfismo semigrupo entre monoides que mapea la identidad del primer monoide a la identidad del segundo monoide y esta última condición no se puede omitir.

Por el contrario, un homomorfismo de semigrupos entre grupos es siempre un homomorfismo de grupos, ya que necesariamente conserva la identidad (porque, en un grupo, la identidad es el único elemento tal que x ⋅ x = x).

Un homomorfismo monoide biyectivo se llama isomorfismo monoide. Se dice que dos monoides son isomorfos si existe un isomorfismo monoide entre ellos.

Presentación ecuacional

A los monoides se les puede dar una presentación, de la misma manera que los grupos se pueden especificar por medio de una presentación grupal. Uno hace esto especificando un conjunto de generadores Σ y un conjunto de relaciones en el monoide libre Σ^∗. Uno hace esto extendiendo relaciones binarias (finitas) en Σ^∗ a congruencias monoides, y luego construyendo el cociente monoide, como arriba.

Dada una relación binaria R ⊂ Σ^∗ × Σ^∗, se define su cierre simétrico como R ∪ R⁻¹. Esto se puede extender a una relación simétrica E ⊂ Σ^∗ × Σ^∗ definiendo x ~_E y si y solo si x = sut y y = svt para algunas cadenas u, v, s, t ∈ Σ^∗ con (u,v) ∈ R ∪ R⁻¹. Finalmente, se toma la clausura reflexiva y transitiva de E, que es entonces una congruencia monoide.

En la situación típica, la relación R se da simplemente como un conjunto de ecuaciones, de modo que R={}u1=v1,⋯ ⋯ ,un=vn}{displaystyle R={u_{1}=v_{1},cdotsu_{n}=v_{n}}. Así, por ejemplo,

.. p,qSilenciopq=1.. {displaystyle langle p,q,vert ;pq=1rangle }

es la presentación ecuacional del monoide bicíclico, y

.. a,bSilencioaba=baa,bba=bab.. {displaystyle langle a,b,vert ;aba=baa,bba=babrangle }

es el monoide platico del grado 2 (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide páltico pueden ser escritos como aibj()ba)k{displaystyle a^{i}b^{j}(ba)} para enteros i, j, k, como las relaciones muestran que ba comunicaciones con ambos a y b.

Relación con la teoría de categorías

Los monoides se pueden ver como una clase especial de categorías. De hecho, los axiomas requeridos para una operación monoide son exactamente los que se requieren para la composición de morfismos cuando se restringe al conjunto de todos los morfismos cuya fuente y destino es un objeto dado. Es decir,

Un monoide es, esencialmente, lo mismo que una categoría con un solo objeto.

Más precisamente, dado un monoide (M, •), se puede construir una pequeña categoría con un solo objeto y cuyos morfismos son los elementos de M. La composición de los morfismos viene dada por la operación monoide •.

Del mismo modo, los homomorfismos monoideos son solo funtores entre categorías de objetos únicos. Así que esta construcción da una equivalencia entre la categoría de monoides (pequeños) Mon y una subcategoría completa de la categoría de categorías (pequeñas) Cat. Del mismo modo, la categoría de grupos es equivalente a otra subcategoría completa de Gato.

En este sentido, la teoría de categorías se puede considerar como una extensión del concepto de monoide. Muchas definiciones y teoremas sobre monoides se pueden generalizar a categorías pequeñas con más de un objeto. Por ejemplo, un cociente de una categoría con un objeto es solo un cociente monoide.

Los monoides, al igual que otras estructuras algebraicas, también forman su propia categoría, Mon, cuyos objetos son monoides y cuyos morfismos son homomorfismos monoides.

También existe una noción de objeto monoide que es una definición abstracta de lo que es un monoide en una categoría. Un objeto monoide en Set es solo un monoide.

Monoides en informática

En informática, muchos tipos de datos abstractos se pueden dotar de una estructura monoide. En un patrón común, una secuencia de elementos de un monoide se "dobla" o "acumulado" producir un valor final. Por ejemplo, muchos algoritmos iterativos necesitan actualizar algún tipo de "total acumulado" en cada iteración; este patrón puede expresarse elegantemente mediante una operación monoide. Alternativamente, la asociatividad de las operaciones de monoide asegura que la operación se puede paralelizar empleando una suma de prefijos o un algoritmo similar, para utilizar múltiples núcleos o procesadores de manera eficiente.

Dada una secuencia de valores de tipo M con elemento de identidad ε ε {displaystyle varepsilon } and associative operation ∙ ∙ {displaystyle bullet }, el plegable la operación se define como sigue:

fold:MAlternativa Alternativa → → M=l l ↦ ↦ {}ε ε sil l =nilm∙ ∙ foldl l .sil l =consml l .{displaystyle mathrm {fold}:M^{*}rightarrow M=ell mapsto {begin{cases}varepsilon {mbox{if}ell =mathrm {nil}mbullet mathrm {fold} ,ell ' {mbox{if}ell =mathrm {cons}m,m,ell 'end{cases}}}}

Además, cualquier estructura de datos se puede 'doblar' de manera similar, dada una serialización de sus elementos. Por ejemplo, el resultado de "doblar" un árbol binario puede diferir según el recorrido del árbol previo al pedido frente al posterior al pedido.

MapaReducir

Una aplicación de los monoides en informática es el llamado modelo de programación MapReduce (consulte Codificación de Map-Reduce como un monoide con plegado a la izquierda). MapReduce, en computación, consta de dos o tres operaciones. Dado un conjunto de datos, "Map" consiste en mapear datos arbitrarios a elementos de un monoide específico. "Reducir" consiste en plegar esos elementos, de modo que al final produzcamos un solo elemento.

Por ejemplo, si tenemos un multiset, en un programa se representa como un mapa de elementos a sus números. Los elementos se denominan claves en este caso. La cantidad de claves distintas puede ser demasiado grande y, en este caso, el conjunto múltiple se fragmenta. Para finalizar la reducción correctamente, el botón "Shuffling" etapa reagrupa los datos entre los nodos. Si no necesitamos este paso, todo Map/Reduce consiste en mapear y reducir; ambas operaciones son paralelizables, la primera debido a su naturaleza elemental, la segunda debido a la asociatividad del monoide.

Monoides completos

A monoide completo es un monoide comunitario equipado con una operación sumaria infinita .. I{displaystyle "Sigma" para cualquier índice I tales que

.. i▪ ▪ ∅ ∅ mi=0;.. i▪ ▪ {}j}mi=mj;.. i▪ ▪ {}j,k}mi=mj+mkparajل ل k{displaystyle sum _{iin emptyset }{m_{i}=0;quad sum _{iin {}{j} {m_{i}=m_{j};quad sum _{iin {j,k} {m_{i}=m_{j}+m_{k}quad {text{ for }jneq k}

y

.. j▪ ▪ J.. i▪ ▪ Ijmi=.. i▪ ▪ Imisi⋃ ⋃ j▪ ▪ JIj=IyIj∩ ∩ Ij.=∅ ∅ parajل ل j.{displaystyle sum _{jin J}{sum _{iin I_{j}{m_{i}=sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ J}I_{j}=I{text{ and }I_{j}cap I_{j'}=emptyset quad {text{ for }jneq j'}.

Un monoide conmutativo ordenado es un monoide conmutativo M junto con una ordenación parcial ≤ tal que a ≥ 0 para cada a ∈ M, y a ≤ b implica a + c ≤ b + c para todas las a, b, c ∈ M.

Un monoide continuo es un monoide conmutativo ordenado (M, ≤) en el que cada subconjunto dirigido tiene un mínimo límite superior, y estos límites superiores mínimos son compatibles con la operación monoide:

a+SupS=Sup()a+S){displaystyle a+sup S=sup(a+S)}

para cada a ∈ M y subconjunto dirigido S de M.

Si (M,≤) es un monoide continuo, entonces para cualquier conjunto de índices I y colección de elementos (a_i)_{i ∈ I}, uno puede definir

.. Iai=SupfinitoE⊂ ⊂ I.. Eai,{displaystyle sum ¿Qué? ##{text{finito }Esubset I};sum ¿Qué?

y M junto con esta operación de suma infinita es un monoide completo.