Momento (física)

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En física, un momento es una expresión matemática que implica el producto de una distancia y una cantidad física. Los momentos generalmente se definen con respecto a un punto de referencia fijo y se refieren a cantidades físicas ubicadas a cierta distancia del punto de referencia. De esta forma, el momento da cuenta de la ubicación o disposición de la cantidad. Por ejemplo, el momento de la fuerza, a menudo llamado torque, es el producto de una fuerza sobre un objeto y la distancia desde el punto de referencia hasta el objeto. En principio, cualquier cantidad física puede multiplicarse por una distancia para producir un momento. Las cantidades comúnmente utilizadas incluyen fuerzas, masas y distribuciones de carga eléctrica.

Elaboración

En su forma más básica, un momento es el producto de la distancia a un punto, elevada a una potencia, y una cantidad física (como fuerza o carga eléctrica) en ese punto: ${ estilo de visualización mu _ {n} = r ^ {n} , Q,}$

donde $q$ está la cantidad física, como una fuerza aplicada en un punto, una carga puntual, una masa puntual, etc. Si la cantidad no se concentra únicamente en un solo punto, el momento es la integral de la densidad de esa cantidad en el espacio: ${displaystyle mu _{n}=int r^{n}rho (r),dr}$

donde $rho$ es la distribución de la densidad de carga, masa o cualquier cantidad que se esté considerando.

Las formas más complejas tienen en cuenta las relaciones angulares entre la distancia y la cantidad física, pero las ecuaciones anteriores capturan la característica esencial de un momento, a saber, la existencia de un ${ estilo de visualización r ^ {n} rho (r)}$ término subyacente o equivalente. Esto implica que hay múltiples momentos (uno para cada valor de n) y que el momento generalmente depende del punto de referencia desde el que $r$ se mide la distancia, aunque para ciertos momentos (técnicamente, el momento más bajo distinto de cero) esta dependencia se desvanece y el momento se vuelve independiente del punto de referencia.

Cada valor de n corresponde a un momento diferente: el 1er momento corresponde a n = 1; el segundo momento a n = 2, etc. El momento 0 (n = 0) a veces se denomina momento monopolar; el primer momento (n = 1) a veces se denomina momento dipolar, y el segundo momento (n = 2) a veces se denomina momento cuadripolar, especialmente en el contexto de las distribuciones de carga eléctrica.

Ejemplos

El momento de fuerza, o momento de torsión, es un primer momento: ${ estilo de visualización mathbf { tau} = rF}$ , o, más generalmente, $mathbf {r} veces mathbf {F}$ .
De manera similar, el momento angular es el primer momento del momento: $mathbf{L} = mathbf{r} times mathbf{p}$ . Tenga en cuenta que el impulso en sí mismo no es un momento.
El momento dipolar eléctrico es también un 1er momento: $mathbf {p} =q,mathbf {d}$ para dos cargas puntuales opuestas o ${estilo de texto int mathbf {r} ,rho (mathbf {r}),d^{3}r}$ para una carga distribuida con densidad de carga $rho (mathbf{r})$ .

Momentos de masa:

La masa total es el momento cero de la masa.
El centro de masa es el primer momento de masa normalizado por la masa total: ${estilo de texto mathbf {R} ={frac {1}{M}}sum_{i}mathbf {r}_{i}m_{i}}$ para un conjunto de masas puntuales o ${textstyle {frac {1}{M}}int mathbf {r} rho (mathbf {r}),d^{3}r}$ para un objeto con distribución de masa $rho (mathbf{r})$ .
El momento de inercia es el segundo momento de masa: $yo=r^{2}m$ para una masa puntual, ${estilo de texto sum_{i}r_{i}^{2}m_{i}}$ para un conjunto de masas puntuales o ${estilo de texto int r^{2}rho (mathbf {r}),d^{3}r}$ para un objeto con distribución de masa $rho (mathbf{r})$ . Tenga en cuenta que el centro de masa a menudo (pero no siempre) se toma como punto de referencia.

Momentos multipolares

Suponiendo una función de densidad finita y localizada en una región particular, fuera de esa región un potencial 1/ r puede expresarse como una serie de armónicos esféricos: ${displaystyle Phi (mathbf {r})=int {frac {rho (mathbf {r'})}{|mathbf {r} -mathbf {r'} |}},d ^{3}r'=sum _{ell =0}^{infty }sum _{m=-ell }^{ell }left({frac {4pi }{2 ell +1}}right)q_{ell m},{frac {Y_{ell m}(theta,varphi)}{r^{ell +1}}}}$

Los coeficientes ${displaystyle q_{ell m}}$ se conocen como momentos multipolares y toman la forma: ${displaystyle q_{ell m}=int (r')^{ell },rho (mathbf {r'}),Y_{ell m}^{*}(theta ', varphi'),d^{3}r'}$

donde $mathbf {r} '$ expresada en coordenadas esféricas ${ estilo de visualización izquierda (r', varphi ', theta ' derecha)}$ es una variable de integración. Se puede encontrar un tratamiento más completo en las páginas que describen la expansión multipolar o los momentos multipolares esféricos. (Nota: la convención en las ecuaciones anteriores se tomó de Jackson; las convenciones utilizadas en las páginas de referencia pueden ser ligeramente diferentes).

Cuando $rho$ representa una densidad de carga eléctrica, $q_{{lm}}$ son, en cierto sentido, proyecciones de los momentos de carga eléctrica: $q_{{00}}$ es el momento monopolar; son proyecciones del $q_{{1m}}$ momento dipolar, $q_{{2m}}$ son proyecciones del momento cuadripolar, etc.

Aplicaciones de momentos multipolares

La expansión multipolar se aplica a potenciales escalares 1/ r, ejemplos de los cuales incluyen el potencial eléctrico y el potencial gravitatorio. Para estos potenciales, la expresión se puede utilizar para aproximar la intensidad de un campo producido por una distribución localizada de cargas (o masa) mediante el cálculo de los primeros momentos. Para r lo suficientemente grande, se puede obtener una aproximación razonable solo a partir de los momentos monopolares y dipolares. Se puede lograr una mayor fidelidad calculando momentos de orden superior. Las extensiones de la técnica se pueden utilizar para calcular las energías de interacción y las fuerzas intermoleculares.

La técnica también se puede utilizar para determinar las propiedades de una distribución desconocida $rho$ . Se pueden tomar y utilizar medidas relativas a momentos multipolares para inferir propiedades de la distribución subyacente. Esta técnica se aplica a objetos pequeños como moléculas, pero también se ha aplicado al propio universo, siendo por ejemplo la técnica empleada por los experimentos WMAP y Planck para analizar la radiación cósmica de fondo de microondas.

Historia

En obras que se cree que provienen de la antigua Grecia, se alude al concepto de momento con la palabra ῥοπή (rhopḗ, lit. "inclinación") y compuestos como ἰσόρροπα (isorropa, lit. "de iguales inclinaciones"). El contexto de estas obras es la mecánica y la geometría que involucran la palanca. En particular, en obras existentes atribuidas a Arquímedes, el momento se señala en frases como:"Las magnitudes conmensurables (σύμμετρα μεγέθεα) [A y B] son igualmente equilibradas (ἰσορροπέοντι) si sus distancias [al centro γ, es decir, αγ y γβ] son inversamente proporionales (ἀντιπεποple.

Además, en textos existentes como El método de los teoremas mecánicos, los momentos se utilizan para inferir el centro de gravedad, el área y el volumen de figuras geométricas.

En 1269, Guillermo de Moerbeke traduce al latín varias obras de Arquímedes y Eutocio. El término ῥοπή se translitera a ropen.

Alrededor de 1450, Jacobus Cremonensis traduce ῥοπή en textos similares al término latino impulso (literalmente, "movimiento"). El mismo término se mantiene en una traducción de 1501 de Giorgio Valla y, posteriormente, de Francesco Maurolico, Federico Commandino, Guidobaldo del Monte, Adriaan van Roomen, Florence Rivault, Francesco Buonamici, Marin Mersenne y Galileo Galilei. Dicho esto, ¿por qué se eligió la palabra impulso para la traducción? Una pista, según Treccani, es que momento en la Italia medieval, el lugar donde vivían los primeros traductores, en un sentido transferido significaba tanto un "momento de tiempo" como un "momento de peso" (una pequeña cantidad de peso que hace girar la balanza).).

En 1554, Francesco Maurolico aclara el término latino ímpetu en la obra Prologi sive sermones. Aquí hay una traducción del latín al inglés dada por Marshall Clagett:

"[...] pesos iguales a distancias desiguales no pesan igual, pero pesos desiguales [a estas distancias desiguales pueden] pesar igualmente. Porque un peso suspendido a una distancia mayor es más pesado, como es evidente en una balanza. Por lo tanto, no existe un cierto tercer tipo de poder o tercera diferencia de magnitud, uno que difiere tanto del cuerpo como del peso, y a esto lo llaman momento.Por lo tanto, un cuerpo adquiere peso tanto de la cantidad [es decir, el tamaño] como de la calidad [es decir, el material], pero un peso recibe su momento de la distancia a la que está suspendido, por lo tanto, cuando las distancias son recíprocamente proporcionales a los pesos, los momentos [de los pesos] son iguales, como demostró Arquímedes en El libro de los momentos iguales.Por lo tanto, los pesos o [más bien] los momentos, como otras cantidades continuas, se unen en algún término común, es decir, en algo común a ambos como el centro de peso, o en un punto de equilibrio. Ahora bien, el centro de gravedad en cualquier peso es ese punto que, sin importar con qué frecuencia o cuando el cuerpo esté suspendido, siempre se inclina perpendicularmente hacia el centro universal.

Además del cuerpo, el peso y el momento, existe un cierto cuarto poder, que puede llamarse ímpetu o fuerza. Aristóteles lo investiga en Sobre cuestiones mecánicas, y es completamente diferente de [los] tres [poderes o magnitudes] antedichos. [...]"

en 1586, Simon Stevin utiliza el término holandés staltwicht ("peso estacionado") para el impulso en De Beghinselen Der Weeghconst.

En 1632, Galileo Galilei publica Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales y utiliza el momento italiano con muchos significados, incluido el de sus predecesores.

En 1643, Thomas Salusbury traduce algunas de las obras de Galilei al inglés. Salusbury traduce impulso latino y momento italiano al momento del término inglés.

En 1765, Leonhard Euler utiliza el término latino momentum inertiae (inglés: momento de inercia) para referirse a una de las cantidades de Christiaan Huygens en Horologium Oscillatorium. El trabajo de Huygens de 1673 que implicaba encontrar el centro de oscilación había sido estimulado por Marin Mersenne, quien se lo sugirió en 1646.

En 1811, el término francés moment d'une force (inglés: moment of force) con respecto a un punto y un plano es utilizado por Siméon Denis Poisson en Traité de mécanique. Una traducción al inglés aparece en 1842.

En 1884, James Thomson sugirió el término par en el contexto de la medición de las fuerzas de rotación de las máquinas (con hélices y rotores). Hoy en día, se utiliza un dinamómetro para medir el par de las máquinas.

En 1893, Karl Pearson utiliza el término n-ésimo momento y $mu _{n}$ en el contexto de mediciones científicas de ajuste de curvas. Pearson escribió en respuesta a John Venn, quien, algunos años antes, observó un patrón peculiar relacionado con datos meteorológicos y pidió una explicación de su causa. En la respuesta de Pearson, se utiliza esta analogía: el "centro de gravedad" mecánico es la media y la "distancia" es la desviación de la media. Esto más tarde se convirtió en momentos en las matemáticas. La analogía entre el concepto mecánico de un momento y la función estadística que implica la suma de las n -ésimas potencias de las desviaciones fue notada por varios antes, incluidos Laplace, Kramp, Gauss, Encke, Czuber, Quetelet y De Forest.

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