Ruido blanco

La forma de onda de una señal de ruido blanco gaussiano trazada en un gráfico

En el procesamiento de señales, el ruido blanco es una señal aleatoria que tiene la misma intensidad en diferentes frecuencias, lo que le otorga una densidad espectral de potencia constante. El término se utiliza, con este significado o uno similar, en muchas disciplinas científicas y técnicas, incluidas la física, la ingeniería acústica, las telecomunicaciones y la previsión estadística. El ruido blanco se refiere a un modelo estadístico para señales y fuentes de señales, más que a una señal específica. El ruido blanco toma su nombre de la luz blanca, aunque la luz que parece blanca generalmente no tiene una densidad espectral de potencia plana sobre la banda visible.

Una imagen de "sonido blanco"

En tiempo discreto, el ruido blanco es una señal discreta cuyas muestras se consideran una secuencia de variables aleatorias serialmente no correlacionadas con media cero y varianza finita; una sola realización de ruido blanco es un choque aleatorio. Dependiendo del contexto, también se puede requerir que las muestras sean independientes y tengan una distribución de probabilidad idéntica (en otras palabras, las variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas son la representación más simple del ruido blanco). En particular, si cada muestra tiene una distribución normal con media cero, se dice que la señal es ruido gaussiano blanco aditivo.

Las muestras de una señal de ruido blanco pueden ser secuenciales en el tiempo o estar dispuestas a lo largo de una o más dimensiones espaciales. En el procesamiento de imágenes digitales, los píxeles de una imagen de ruido blanco normalmente se organizan en una cuadrícula rectangular y se supone que son variables aleatorias independientes con una distribución de probabilidad uniforme en algún intervalo. El concepto también se puede definir para señales distribuidas en dominios más complicados, como una esfera o un toro.

Una señal de ruido blanco de ancho de banda infinito es una construcción puramente teórica. El ancho de banda del ruido blanco está limitado en la práctica por el mecanismo de generación de ruido, por el medio de transmisión y por las capacidades finitas de observación. Por lo tanto, las señales aleatorias se consideran "ruido blanco" si se observa que tienen un espectro plano en el rango de frecuencias que son relevantes para el contexto. Para una señal de audio, el rango relevante es la banda de frecuencias de sonido audible (entre 20 y 20 000 Hz). Tal señal es percibida por el oído humano como un silbido, parecido al sonido /h/ en una aspiración sostenida. Por otro lado, el "sh" sonido /ʃ/ en "ash" es un ruido coloreado porque tiene una estructura formante. En música y acústica, el término "ruido blanco" puede usarse para cualquier señal que tenga un sonido de silbido similar.

El término ruido blanco se usa a veces en el contexto de métodos estadísticos filogenéticos para referirse a la falta de un patrón filogenético en los datos comparativos. A veces se usa de manera análoga en contextos no técnicos para referirse a "conversaciones aleatorias sin contenidos significativos".

Propiedades estadísticas

Espectrograma de ruido rosa (izquierda) y ruido blanco (derecha), mostrado con eje de frecuencia lineal (vertical) versus eje del tiempo (horizontal).

Cualquier distribución de valores es posible (aunque debe tener cero componente DC). Incluso una señal binaria que solo puede tomar los valores 1 o 0 será blanca si la secuencia no está correlacionada estadísticamente. Por supuesto, el ruido que tiene una distribución continua, tal como una distribución normal, puede ser blanco.

A menudo se supone incorrectamente que el ruido gaussiano (es decir, el ruido con una distribución de amplitud gaussiana; consulte la distribución normal) se refiere necesariamente al ruido blanco, pero ninguna propiedad implica la otra. La gaussianidad se refiere a la distribución de probabilidad con respecto al valor, en este contexto la probabilidad de que la señal caiga dentro de un rango particular de amplitudes, mientras que el término 'blanco' se refiere a la forma en que se distribuye la potencia de la señal (es decir, de forma independiente) a lo largo del tiempo o entre las frecuencias.

El ruido blanco es la derivada cuadrática media generalizada del proceso de Wiener o movimiento browniano.

Una generalización a elementos aleatorios en espacios dimensionales infinitos, como campos aleatorios, es la medida del ruido blanco.

Aplicaciones prácticas

Música

El ruido blanco se usa comúnmente en la producción de música electrónica, generalmente directamente o como entrada para un filtro para crear otros tipos de señales de ruido. Se utiliza ampliamente en la síntesis de audio, normalmente para recrear instrumentos de percusión como platillos o tambores que tienen un alto contenido de ruido en su dominio de frecuencia. Un ejemplo simple de ruido blanco es una estación de radio inexistente (estática).

Ingeniería electrónica

El ruido blanco también se utiliza para obtener la respuesta de impulso de un circuito eléctrico, en particular de amplificadores y otros equipos de audio. No se utiliza para probar altavoces ya que su espectro contiene una cantidad demasiado grande de contenido de alta frecuencia. El ruido rosa, que se diferencia del ruido blanco en que tiene la misma energía en cada octava, se utiliza para probar transductores como altavoces y micrófonos.

Informática

El ruido blanco se utiliza como base de algunos generadores de números aleatorios. Por ejemplo, Random.org utiliza un sistema de antenas atmosféricas para generar patrones de dígitos aleatorios a partir del ruido blanco.

Tratamiento de acúfenos

El ruido blanco es una fuente de ruido sintético común que un enmascarador de tinnitus utiliza para enmascarar el sonido. Las máquinas de ruido blanco y otras fuentes de ruido blanco se venden como potenciadores de la privacidad y ayudas para dormir (ver música y dormir) y para enmascarar el tinnitus. El Marpac Sleep-Mate fue la primera máquina de ruido blanco de uso doméstico construida en 1962 por el vendedor ambulante Jim Buckwalter. Alternativamente, el uso de una radio FM sintonizada en frecuencias no utilizadas ("estática") es una fuente de ruido blanco más simple y rentable. Sin embargo, el ruido blanco generado por un receptor de radio comercial común sintonizado en una frecuencia no utilizada es extremadamente vulnerable a la contaminación con señales espurias, como estaciones de radio adyacentes, armónicos de estaciones de radio no adyacentes, equipos eléctricos en las cercanías de la antena receptora que causan interferencias, o incluso eventos atmosféricos como erupciones solares y especialmente relámpagos.

Existe evidencia de que las terapias de exposición al ruido blanco pueden inducir cambios de mala adaptación en el cerebro que degradan la salud neurológica y comprometen la cognición.

Ambiente de trabajo

Los efectos del ruido blanco sobre la función cognitiva son mixtos. Recientemente, un pequeño estudio encontró que la estimulación de fondo con ruido blanco mejora el funcionamiento cognitivo entre los estudiantes de secundaria con trastorno por déficit de atención con hiperactividad (TDAH), mientras que disminuye el rendimiento de los estudiantes sin TDAH. Otro trabajo indica que es eficaz para mejorar el estado de ánimo y el rendimiento de los trabajadores al enmascarar el ruido de fondo de la oficina, pero disminuye el rendimiento cognitivo en tareas complejas de clasificación de tarjetas.

Del mismo modo, se llevó a cabo un experimento con sesenta y seis participantes sanos para observar los beneficios del uso de ruido blanco en un entorno de aprendizaje. El experimento involucró a los participantes identificando diferentes imágenes mientras tenían diferentes sonidos de fondo. En general, el experimento mostró que el ruido blanco, de hecho, tiene beneficios en relación con el aprendizaje. Los experimentos mostraron que el ruido blanco mejoró a los participantes' habilidades de aprendizaje y su memoria de reconocimiento ligeramente.

Definiciones matemáticas

Vector de ruido blanco

Se dice que un vector aleatorio (es decir, un proceso parcialmente indeterminado que produce vectores de números reales) es un vector de ruido blanco o un vector aleatorio blanco si cada uno de sus componentes tiene una distribución de probabilidad con media cero y varianza finita, y son estadísticamente independientes: es decir, su distribución de probabilidad conjunta debe ser el producto de las distribuciones de los componentes individuales.

Una condición necesaria (pero, en general, no suficiente) para la independencia estadística de dos variables es que no estén correlacionadas estadísticamente; es decir, su covarianza es cero. Por tanto, la matriz de covarianza R de las componentes de un vector de ruido blanco w con n elementos debe ser un n por n matriz diagonal, donde cada elemento diagonal R_ii es la varianza del componente w_i; y la matriz de correlación debe ser la matriz identidad n por n.

Si, además de ser independiente, cada variable en w también tiene una distribución normal con cero media y la misma varianza σ σ 2{displaystyle sigma ^{2}, w se dice que es un vector de ruido blanco de Gauss. En ese caso, la distribución conjunta de w es una distribución normal multivariada; la independencia entre las variables entonces implica que la distribución tiene simetría esférica en n- espacio dimensional. Por lo tanto, cualquier transformación ortogonal del vector resultará en un vector aleatorio blanco Gaussiano. En particular, bajo la mayoría de los tipos de transformación discreta Fourier, como FFT y Hartley, la transformación W de w será un vector de ruido blanco Gaussiano, también; es decir, el n Coeficientes Fourier de w será independiente Gaussian variables con cero media y la misma varianza σ σ 2{displaystyle sigma ^{2}.

El espectro de potencia P de un vector aleatorio w se puede definir como el valor esperado del módulo al cuadrado de cada coeficiente de su transformada de Fourier W i>, es decir, P_i = E(|W_i|²). Según esa definición, un vector de ruido blanco gaussiano tendrá un espectro de potencia perfectamente plano, con P_i = σ² para todos i.

Si w es un vector aleatorio blanco, pero no gaussiano, sus coeficientes de Fourier W_i no serán completamente independientes entre sí otro; aunque para grandes n y distribuciones de probabilidad comunes, las dependencias son muy sutiles, y se puede suponer que sus correlaciones por pares son cero.

A menudo, la condición más débil "estadísticamente no correlacionada" se utiliza en la definición de ruido blanco, en lugar de "estadísticamente independiente". Sin embargo, algunas de las propiedades comúnmente esperadas del ruido blanco (como el espectro de potencia plano) pueden no ser válidas para esta versión más débil. Bajo esta suposición, la versión más estricta puede denominarse explícitamente vector de ruido blanco independiente. Otros autores utilizan en su lugar blanco fuerte y blanco débil.

Un ejemplo de un vector aleatorio que es "ruido blanco gay" en el débil pero no en el sentido fuerte es x=[x1,x2]{displaystyle x=[x_{1},x_{2}} Donde x1{displaystyle x_{1}} es una variable normal aleatoria con cero media, y x2{displaystyle x_{2} es igual a +x1{displaystyle # o a − − x1{displaystyle -x_{1}, con igual probabilidad. Estas dos variables no están marcadas y normalmente se distribuyen individualmente, pero no se distribuyen conjuntamente y no son independientes. Si x{displaystyle x} está rotado por 45 grados, sus dos componentes todavía no estarán relacionados, pero su distribución ya no será normal.

En algunas situaciones se puede relajar la definición permitiendo cada componente de un vector blanco aleatorio w{displaystyle w} para tener un valor no previsto μ μ {displaystyle mu }. En el procesamiento de imágenes especialmente, donde las muestras suelen limitarse a valores positivos, se suele tomar μ μ {displaystyle mu } para ser la mitad del valor máximo de la muestra. En ese caso, el coeficiente Fourier W0{displaystyle W_{0} correspondiente al componente de frecuencia cero (esencialmente, el promedio del wi{displaystyle ¿Qué?) también tendrá un valor no esperado cero μ μ n{displaystyle mu {sqrt {n}}; y el espectro de poder P{displaystyle P} será plana sólo sobre las frecuencias no cero.

Ruido blanco en tiempo discreto

Un proceso estocástico de tiempo discreto W()n){displaystyle W(n)} es una generalización de vectores aleatorios con un número finito de componentes a infinitamente muchos componentes. Un proceso estocástico de tiempo discreto W()n){displaystyle W(n)} se llama ruido blanco si su media no depende del tiempo n{displaystyle n} y es igual a cero, es decir. E⁡ ⁡ [W()n)]=0{displaystyle operatorname {E} [W(n)]=0} y si la función de autocorrelación RW()n)=E⁡ ⁡ [W()k+n)W()k)]{displaystyle R_{W}(n)=operatorname {E} [W(k+n)W(k)} tiene un valor no cero sólo para n=0{displaystyle n=0}, es decir. RW()n)=σ σ 2δ δ ()n){displaystyle R_{W}(n)=sigma ^{2}delta (n)}.

Ruido blanco en tiempo continuo

Para definir la noción de "sonido blanco" en la teoría de las señales de tiempo continuo, hay que sustituir el concepto de un " vector de la sabiduría" por una señal aleatoria continua; es decir, un proceso aleatorio que genera una función w{displaystyle w} de un parámetro de valor real t{displaystyle t}.

Tal proceso se dice que es el ruido blanco en el sentido más fuerte si el valor w()t){displaystyle w(t)} para cualquier momento t{displaystyle t} es una variable aleatoria que es estadísticamente independiente de toda su historia antes t{displaystyle t}. Una definición más débil requiere la independencia sólo entre los valores w()t1){displaystyle w(t_{1}} y w()t2){displaystyle w(t_{2}} en cada par de tiempos distintos t1{displaystyle T_{1} y t2{displaystyle T_{2}. Una definición aún más débil requiere sólo que tales pares w()t1){displaystyle w(t_{1}} y w()t2){displaystyle w(t_{2}} No te preocupes. Como en el caso discreto, algunos autores adoptan la definición más débil para "sonido blanco", y usan el calificativo independiente para referirse a cualquiera de las definiciones más fuertes. Otros utilizan débilmente blanco y fuertemente blanco para distinguir entre ellos.

Sin embargo, una definición precisa de estos conceptos no es trivial, porque algunas cantidades que son sumas finitas en el caso discreto finito deben ser reemplazadas por integrales que pueden no converger. De hecho, el conjunto de todos los casos posibles de una señal w{displaystyle w} ya no es un espacio dimensional finito Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, pero un espacio de función infinita. Además, por cualquier definición una señal de ruido blanco w{displaystyle w} tendría que ser esencialmente discontinuo en cada punto; por lo tanto, incluso las operaciones más simples en w{displaystyle w}, como la integración en un intervalo finito, requieren maquinaria matemática avanzada.

Algunos autores requieren cada valor w()t){displaystyle w(t)} ser una variable aleatoria de valor real con expectativa μ μ {displaystyle mu } y algunas diferencias finitas σ σ 2{displaystyle sigma ^{2}. Entonces la covariancia E()w()t1)⋅ ⋅ w()t2)){displaystyle mathrm {E} (w(t_{1})cdot w(t_{2})} entre los valores en dos ocasiones t1{displaystyle T_{1} y t2{displaystyle T_{2} está bien definido: es cero si los tiempos son distintos, y σ σ 2{displaystyle sigma ^{2} si son iguales. Sin embargo, por esta definición, la integral

W[a,a+r]=∫ ∫ aa+rw()t)dt{displaystyle W_{[a,a+r]}=int _{a}{a+r}w(t),dt}

sobre cualquier intervalo con ancho positivo r{displaystyle r} sería simplemente el ancho de los tiempos de la expectativa: rμ μ {displaystyle rmu}. Esta propiedad haría que el concepto fuera inadecuado como un modelo de señales físicas de "sonido blanco".

Por lo tanto, la mayoría de los autores definen la señal w{displaystyle w} indirectamente especificando valores no cero para las integrales de w()t){displaystyle w(t)} y Silenciow()t)Silencio2{fnMicrosoft Sans Serif} sobre cualquier intervalo [a,a+r]{displaystyle [a,a+r]}, como función de su ancho r{displaystyle r}. En este enfoque, sin embargo, el valor w()t){displaystyle w(t)} en un tiempo aislado no se puede definir como una variable aleatoria de valor real. También la covariancia E()w()t1)⋅ ⋅ w()t2)){displaystyle mathrm {E} (w(t_{1})cdot w(t_{2})} se hace infinito t1=t2{displaystyle T_{1}=t_{2}; y la función de autocorrelación R()t1,t2){displaystyle mathrm {R} (t_{1},t_{2}} debe definirse como Nδ δ ()t1− − t2){displaystyle Ndelta (t_{1}-t_{2}, donde N{displaystyle N} es una verdadera constante y δ δ {displaystyle delta } Es la "función" de Dirac.

En este enfoque, se especifica generalmente que la integral WI{displaystyle W_{I} de w()t){displaystyle w(t)} sobre un intervalo I=[a,b]{displaystyle I=[a,b] es una variable aleatoria real con distribución normal, cero media y varianza ()b− − a)σ σ 2{displaystyle (b-a)sigma ^{2}; y también que la covariancia E()WI⋅ ⋅ WJ){displaystyle mathrm {E} (W_{I}cdot W_{J})} de las WI{displaystyle W_{I}, WJ{displaystyle W_{J} es rσ σ 2{displaystyle rsigma ^{2}, donde r{displaystyle r} es el ancho de la intersección I∩ ∩ J{displaystyle Icap J} de los dos intervalos I,J{displaystyle I,J}. Este modelo se llama una señal de ruido blanco (o proceso).

En el campo matemático conocido como análisis de ruido blanco, un ruido blanco gaisiano w{displaystyle w} se define como una distribución templada estocástica, es decir, una variable aleatoria con valores en el espacio S.()R){displaystyle {Mathcal {S}'(mathbb {R})} de distribuciones templadas. Analogous to the case for finite-dimensional random vectors, a probability law on the infinite-dimensional space S.()R){displaystyle {Mathcal {S}'(mathbb {R})} se puede definir a través de su función característica (existencia y singularidad están garantizadas por una extensión del Teorema Bochner-Minlos, que va bajo el nombre Bochner-Minlos-Sazanov teorem); analógicamente al caso de la distribución normal multivariada X♪ ♪ Nn()μ μ ,.. ){displaystyle ¿Qué?, que tiene función característica

О О k▪ ▪ Rn:E()ei.. k,X.. )=ei.. k,μ μ .. − − 12.. k,.. k.. ,{displaystyle forall kin mathbb {R} ^{n}:quad mathrm {E} (mathrm {e} ^{mathrm {i} langle k,Xrangle)=mathrm {e} ^{mathrm {i} langle k,mu rangle -{frac {1}{2}}langle k,Sigma krangle },}

el ruido blanco w:Ω Ω → → S.()R){displaystyle w:Omegato {fnMitcal}'(mathbb {R})} debe satisfacer

О О φ φ ▪ ▪ S()R):E()ei.. w,φ φ .. )=e− − 12.. φ φ .. 22,{displaystyle forall varphi in {mathcal {S}(mathbb {R}):quad mathrm {E} (mathrm {e} {mathrm {i} langle w,varphi rangle }=mathrm {e} ^{-{-{frac {1}{2}} {2}}

Donde .. w,φ φ .. {displaystyle langle w,varphi rangle } es el emparejamiento natural de la distribución templada w()⋅ ⋅ ){displaystyle w(omega)} con la función Schwartz φ φ {displaystyle varphi }, tomada con sentido de escenario para ⋅ ⋅ ▪ ▪ Ω Ω {displaystyle omega in Omega }, y .. φ φ .. 22=∫ ∫ RSilencioφ φ ()x)Silencio2dx{displaystylefnfnMicrosoft "Primero" {R}vert varphi (x)vert ^{2},mathrm {d} x}.

Aplicaciones matemáticas

Análisis de series temporales y regresión

En estadística y econometría, a menudo se supone que una serie observada de valores de datos es la suma de una serie de valores generados por un proceso lineal determinista, que depende de ciertas variables independientes (explicativas) y de una serie de valores de ruido aleatorio. Luego se utiliza el análisis de regresión para inferir los parámetros del proceso del modelo a partir de los datos observados, p. por mínimos cuadrados ordinarios, y contrastar la hipótesis nula de que cada uno de los parámetros es cero contra la hipótesis alternativa de que es distinto de cero. La prueba de hipótesis generalmente asume que los valores de ruido no están mutuamente correlacionados con la media cero y tienen la misma distribución de probabilidad gaussiana; en otras palabras, que el ruido es blanco gaussiano (no solo blanco). Si existe una correlación distinta de cero entre los valores de ruido que subyacen a las diferentes observaciones, los parámetros del modelo estimado siguen siendo imparciales, pero las estimaciones de sus incertidumbres (como los intervalos de confianza) estarán sesgadas (no precisas en promedio). Esto también es cierto si el ruido es heterocedástico, es decir, si tiene diferentes varianzas para diferentes puntos de datos.

Alternativamente, en el subconjunto del análisis de regresión conocido como análisis de serie temporal, a menudo no hay variables explicativas además de los valores pasados de la variable que se modela (la variable dependiente). En este caso, el proceso de ruido a menudo se modela como un proceso de media móvil, en el que el valor actual de la variable dependiente depende de los valores actuales y pasados de un proceso secuencial de ruido blanco.

Transformaciones vectoriales aleatorias

Estas dos ideas son cruciales en aplicaciones como la estimación de canales y la ecualización de canales en comunicaciones y audio. Estos conceptos también se utilizan en la compresión de datos.

En particular, mediante una transformación lineal adecuada (una transformación de color), se puede usar un vector aleatorio blanco para producir un "no blanco" vector aleatorio (es decir, una lista de variables aleatorias) cuyos elementos tienen una matriz de covarianza prescrita. Por el contrario, un vector aleatorio con una matriz de covarianza conocida se puede transformar en un vector aleatorio blanco mediante una transformación de blanqueamiento adecuada.

Generación

El ruido blanco se puede generar digitalmente con un procesador de señal digital, un microprocesador o un microcontrolador. La generación de ruido blanco generalmente implica alimentar un flujo apropiado de números aleatorios a un convertidor de digital a analógico. La calidad del ruido blanco dependerá de la calidad del algoritmo utilizado.

Uso informal

El término a veces se usa como coloquialismo para describir un fondo de sonido ambiental, creando una conmoción indistinta o continua. Los siguientes son algunos ejemplos:

• Chatter de múltiples conversaciones dentro de la acústica de un espacio limitado.
• La jerga pleonástica utilizada por los políticos para enmascarar un punto que no quieren notar.
• Música que es discreta, dura, disonante o discordante sin melodía.

El término también se puede usar metafóricamente, como en la novela Ruido blanco (1985) de Don DeLillo, que explora los síntomas de la cultura moderna que se unieron para dificultar que un individuo actualizar sus ideas y personalidad.