Momento angular

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En física, el momento angular (raramente, momento de momento o momento de rotación) es el análogo rotacional del momento lineal. Es una cantidad importante en física porque es una cantidad conservada: el momento angular total de un sistema cerrado permanece constante. El momento angular tiene tanto una dirección como una magnitud, y ambas se conservan. Las bicicletas y motocicletas, los frisbees, las balas estriadas y los giroscopios deben sus útiles propiedades a la conservación del momento angular. La conservación del momento angular es también la razón por la cual los huracanes forman espirales y las estrellas de neutrones tienen altas tasas de rotación. En general, la conservación limita el posible movimiento de un sistema, pero no lo determina de manera única.

El momento angular tridimensional de una partícula puntual se representa clásicamente como un pseudovector r × p, el producto vectorial del vector de posición de la partícula r (en relación con algún origen) y su vector de momento; el último es p = m v en la mecánica newtoniana. A diferencia del momento, el momento angular depende de dónde se elija este origen, ya que a partir de él se mide la posición de la partícula.

El momento angular es una cantidad extensiva; es decir, el momento angular total de cualquier sistema compuesto es la suma de los momentos angulares de sus partes constituyentes. Para un cuerpo rígido continuo o un fluido, el momento angular total es la integral de volumen de la densidad del momento angular (momento angular por unidad de volumen en el límite cuando el volumen se reduce a cero) sobre todo el cuerpo.

Similar a la conservación del momento lineal donde se conserva si no hay una fuerza externa, el momento angular se conserva si no hay un par externo. El par se puede definir como la tasa de cambio del momento angular, análoga a la fuerza. El par externo neto en cualquier sistema siempre es igual al par total en el sistema; en otras palabras, la suma de todos los pares internos de cualquier sistema es siempre 0 (este es el análogo rotacional de la tercera ley del movimiento de Newton). Por lo tanto, para un sistema cerrado (donde no hay un par externo neto), el par total del sistema debe ser 0, lo que significa que el momento angular total del sistema es constante. El cambio en el momento angular para una interacción particular a veces se llamatwirl, pero esto es bastante poco común. El giro es el análogo angular del impulso.

Definición en mecánica clásica

Al igual que para la velocidad angular, hay dos tipos especiales de momento angular de un objeto: el momento angular de espín es el momento angular alrededor del centro de masa del objeto, mientras que el momento angular orbitales el momento angular alrededor de un centro de rotación elegido. La Tierra tiene un momento angular orbital por la naturaleza de girar alrededor del Sol, y un momento angular de giro por la naturaleza de su rotación diaria alrededor del eje polar. El momento angular total es la suma de los momentos angulares de espín y orbital. En el caso de la Tierra, la principal cantidad conservada es el momento angular total del sistema solar porque el momento angular se intercambia en una medida pequeña pero importante entre los planetas y el Sol. El vector de momento angular orbital de una partícula puntual siempre es paralelo y directamente proporcional a su vector de velocidad angular orbital ω, donde la constante de proporcionalidad depende tanto de la masa de la partícula como de su distancia al origen. El vector de momento angular de giro de un cuerpo rígido es proporcional pero no siempre paralelo al vector de velocidad angular de giro Ω, lo que hace que la constante de proporcionalidad sea un tensor de segundo rango en lugar de un escalar.

Momento angular orbital en dos dimensiones

El momento angular es una cantidad vectorial (más precisamente, un pseudovector) que representa el producto de la inercia de rotación y la velocidad de rotación de un cuerpo (en radianes/seg) alrededor de un eje particular. Sin embargo, si la trayectoria de la partícula se encuentra en un solo plano, es suficiente descartar la naturaleza vectorial del momento angular y tratarlo como un escalar (más precisamente, un pseudoescalar). El momento angular puede considerarse un análogo rotacional del momento lineal. Por lo tanto, donde el momento lineal p es proporcional a la masa m y la velocidad lineal v, $p=mv,$

el momento angular L es proporcional al momento de inercia I y la velocidad angular ω medida en radianes por segundo. $L=Iomega.$

A diferencia de la masa, que depende solo de la cantidad de materia, el momento de inercia también depende de la posición del eje de rotación y la forma de la materia. A diferencia de la velocidad lineal, que no depende de la elección del origen, la velocidad angular orbital siempre se mide con respecto a un origen fijo. Por lo tanto, estrictamente hablando, L debe ser referido como el momento angular relativo a ese centro.

Debido a que ${displaystyle yo=r^{2}m}$ para una sola partícula y $omega ={frac{v}{r}}$ para el movimiento circular, el momento angular se puede expandir ${displaystyle L=r^{2}mcdot {frac {v}{r}},}$ y reducir a, ${ estilo de visualización L = rmv,}$

el producto del radio de rotación r y el momento lineal de la partícula $p = mv$ , donde $v$ en este caso es la velocidad lineal (tangencial) equivalente en el radio ( ${displaystyle =romega}$ ).

Este análisis simple también puede aplicarse al movimiento no circular si solo se considera la componente del movimiento que es perpendicular al radio vector. En ese caso, ${displaystyle L=rmv_{perp},}$

donde ${displaystyle v_{perp}=vsin(theta)}$ es la componente perpendicular del movimiento. Expandiendo, ${displaystyle L=rmvsin(theta),}$ reorganizando ${displaystyle L=rsin(theta)mv,}$ y reduciendo, el momento angular también se puede expresar, ${displaystyle L=r_{perp}mv,}$

donde ${displaystyle r_{perp}=rsin(theta)}$ es la longitud del brazo de momento, una línea caída perpendicularmente desde el origen hasta la trayectoria de la partícula. Es esta definición, (longitud del brazo de momento) × (momento lineal) a la que se refiere el término momento de momento.

Escalar: momento angular de la mecánica lagrangiana

Otro enfoque es definir el momento angular como el momento conjugado (también llamado momento canónico) de la coordenada angular $fi$ expresada en el Lagrangiano del sistema mecánico. Considere un sistema mecánico con una masa $metro$ restringida para moverse en un círculo de radio $a$ en ausencia de cualquier campo de fuerza externo. La energía cinética del sistema es ${displaystyle T={frac {1}{2}}ma^{2}omega ^{2}={frac {1}{2}}ma^{2}{dot {phi }} ^{2}.}$

Y la energía potencial es ${ estilo de visualización U = 0.}$

Entonces el lagrangiano es ${displaystyle {mathcal {L}}left(phi,{dot {phi }}right)=TU={frac {1}{2}}ma^{2}{dot { fi }}^{2}.}$

El momento generalizado "canónicamente conjugado con" la coordenada $fi$ se define por ${displaystyle p_{phi }={frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {dot {phi }}}}=ma^{2}{dot {phi }} =Iomega =L.}$

Momento angular orbital en tres dimensiones

Para definir completamente el momento angular orbital en tres dimensiones, se requiere conocer la velocidad a la que el vector de posición barre el ángulo, la dirección perpendicular al plano instantáneo de desplazamiento angular y la masa involucrada, así como también cómo se distribuye esta masa. en el espacio. Al conservar esta naturaleza vectorial del momento angular, también se conserva la naturaleza general de las ecuaciones, y puede describir cualquier tipo de movimiento tridimensional alrededor del centro de rotación: circular, lineal o de otro tipo. En notación vectorial, el momento angular orbital de una partícula puntual en movimiento alrededor del origen se puede expresar como: $mathbf {L} =I{boldsymbol {omega }},$

dónde

${displaystyle yo=r^{2}m}$ es el momento de inercia de una masa puntual,
${boldsymbol {omega }}={frac {mathbf {r} times mathbf {v} }{r^{2}}}$ es la velocidad angular orbital en radianes/segundo (unidades 1/segundo) de la partícula sobre el origen,
$mathbf{r}$ es el vector de posición de la partícula relativo al origen, $r=izquierdavert mathbf {r} rightvert$ ,
$matemáticas {v}$ es la velocidad lineal de la partícula relativa al origen, y
$metro$ es la masa de la partícula.

Esto se puede expandir, reducir y, según las reglas del álgebra vectorial, reorganizar: ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {L} &=left(r^{2}mright)left({frac {mathbf {r} times mathbf {v} }{r ^{2}}}right)\&=mleft(mathbf {r} times mathbf {v} right)\&=mathbf {r} times mmathbf {v} &=mathbf {r} times mathbf {p},end{alineado}}}$

que es el producto cruzado del vector de posición $mathbf{r}$ y el momento lineal ${mathbf{p}}=m{mathbf{v}}$ de la partícula. Por la definición del producto cruz, el $mathbf{L}$ vector es perpendicular a ambos $mathbf{r}$ y $matemáticas {p}$ . Está dirigido perpendicularmente al plano de desplazamiento angular, como lo indica la regla de la mano derecha, de modo que la velocidad angular se ve en sentido antihorario desde la cabeza del vector. Por el contrario, el $mathbf{L}$ vector define el plano en el que $mathbf{r}$ y $matemáticas {p}$ se encuentran.

Al definir un vector unitario $mathbf {sombrero {u}}$ perpendicular al plano de desplazamiento angular, $omega$ resulta una velocidad angular escalar, donde ${displaystyle omega mathbf {hat {u}} ={boldsymbol {omega }},}$ y ${displaystyle omega ={frac {v_{perp}}{r}},}$ donde $v_perp$ es la componente perpendicular del movimiento, como arriba.

A las ecuaciones escalares bidimensionales del apartado anterior se les puede dar así dirección: ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {L} &=I{boldsymbol {omega }}\&=Iomega mathbf {hat {u}} \&=left(r^ {2}mright)omega mathbf {hat {u}} \&=rmv_{perp }mathbf {hat {u}} \&=r_{perp }mvmathbf { sombrero {u}},end{alineado}}}$

y ${displaystyle mathbf {L} =rmvmathbf {sombrero {u}} }$ para movimiento circular, donde todo el movimiento es perpendicular al radio $r$ .

En el sistema de coordenadas esféricas, el vector de momento angular se expresa como ${displaystyle mathbf {L} =mmathbf {r} times mathbf {v} =mr^{2}left({dot {theta }},{hat {boldsymbol {varphi }}}-{dot {varphi }}sin theta ,mathbf {hat {boldsymbol {theta }}} right).}$

Momento angular en cualquier número de dimensiones

La definición del momento angular mediante el producto vectorial se aplica solo en tres dimensiones. Definirlo como el bivector L = r ∧ p, donde ∧ es el producto exterior, es válido en cualquier número de dimensiones.

Analogía con el momento lineal

El momento angular se puede describir como el análogo rotacional del momento lineal. Al igual que el momento lineal, involucra elementos de masa y desplazamiento. A diferencia del momento lineal, también involucra elementos de posición y forma.

Muchos problemas de física involucran materia en movimiento alrededor de cierto punto en el espacio, ya sea en rotación real alrededor de él, o simplemente moviéndose más allá de él, donde se desea saber qué efecto tiene la materia en movimiento sobre el punto: ¿puede ejercer energía sobre él? o realizar un trabajo al respecto? La energía, la capacidad de realizar trabajo, puede almacenarse en la materia poniéndola en movimiento, una combinación de su inercia y su desplazamiento. La inercia se mide por su masa y el desplazamiento por su velocidad. su producto, ${displaystyle {begin{alineado}({text{cantidad de inercia}})times ({text{cantidad de desplazamiento}})&={text{cantidad de (inercia⋅desplazamiento)}}\ {text{masa}}times {text{velocidad}}&={text{momento}}\mtimes v&=p\end{alineado}}}$

es el impulso del asunto. Remitir este impulso a un punto central introduce una complicación: el impulso no se aplica directamente al punto. Por ejemplo, una partícula de materia en el borde exterior de una rueda está, en efecto, en el extremo de una palanca de la misma longitud que el radio de la rueda, y su impulso gira la palanca alrededor del punto central. Esta palanca imaginaria se conoce como brazo de momento. Tiene el efecto de multiplicar el esfuerzo del impulso en proporción a su longitud, efecto conocido como momento. Por lo tanto, el momento de la partícula se refiere a un punto particular, ${displaystyle {begin{alineado}({text{brazo de momento}})times ({text{cantidad de inercia}})times ({text{cantidad de desplazamiento}})&={text {momento de (inercia⋅desplazamiento)}}\{text{longitud}}times {text{masa}}times {text{velocidad}}&={text{momento de impulso}}\ rveces mveces v&=L\end{alineado}}}$

es el momento angular, a veces llamado, como aquí, el momento del momento de la partícula frente a ese punto central en particular. La ecuación $L=rmv$ combina un momento (un $metro$ brazo de momento de giro de masa $r$ ) con una velocidad lineal (equivalente en línea recta) $v$ . La velocidad lineal referida al punto central es simplemente el producto de la distancia $r$ y la velocidad angular $omega$ contra el punto: $v=romega,$ otro momento. Por lo tanto, el momento angular contiene un momento doble: $L=rmromega.$ Simplificando ligeramente, $L=r^{2}momega,$ la cantidad $r^{2}m$ es el momento de inercia de la partícula, a veces llamado segundo momento de masa. Es una medida de la inercia rotacional.

La analogía anterior del momento de traslación y el momento de rotación se puede expresar en forma vectorial:

${estilo de texto mathbf {p} =mmathbf {v} }$ para movimiento lineal

${displaystyle mathbf {L} =I{boldsymbol {omega }}}$ para rotación

La dirección del momento está relacionada con la dirección de la velocidad para el movimiento lineal. La dirección del momento angular está relacionada con la velocidad angular de la rotación.

Debido a que el momento de inercia es una parte crucial del momento angular de giro, este último incluye necesariamente todas las complicaciones del primero, que se calcula multiplicando partes elementales de la masa por los cuadrados de sus distancias desde el centro de rotación. Por lo tanto, el momento de inercia total y el momento angular es una función compleja de la configuración de la materia sobre el centro de rotación y la orientación de la rotación de los diversos bits.

Para un cuerpo rígido, por ejemplo una rueda o un asteroide, la orientación de rotación es simplemente la posición del eje de rotación frente a la materia del cuerpo. Puede o no pasar por el centro de masa, o puede estar completamente fuera del cuerpo. Para el mismo cuerpo, el momento angular puede tomar un valor diferente para cada eje posible alrededor del cual puede tener lugar la rotación. Alcanza un mínimo cuando el eje pasa por el centro de masa.

Para una colección de objetos que giran alrededor de un centro, por ejemplo, todos los cuerpos del Sistema Solar, las orientaciones pueden estar algo organizadas, como lo está el Sistema Solar, con la mayoría de los ejes de los cuerpos cerca del eje del sistema. Sus orientaciones también pueden ser completamente aleatorias.

En resumen, cuanto más masa y más lejos esté del centro de rotación (cuanto más largo sea el brazo de momento), mayor será el momento de inercia y, por lo tanto, mayor será el momento angular para una velocidad angular dada. En muchos casos, el momento de inercia y, por lo tanto, el momento angular, se puede simplificar mediante, $yo=k^{2}m,$ donde $k$ es el radio de giro, la distancia desde el eje en el que toda la masa $metro$ puede considerarse concentrada.

De manera similar, para una masa puntual, $metro$ el momento de inercia se define como, $yo=r^{2}m$ donde $r$ es el radio de la masa puntual desde el centro de rotación,

y para cualquier colección de partículas $mi}$ como la suma, $sum_{i}I_{i}=sum_{i}r_{i}^{2}m_{i}$

La dependencia del momento angular de la posición y la forma se refleja en sus unidades frente al momento lineal: kg⋅m /s o N⋅m⋅s para el momento angular frente a kg⋅m/s o N⋅s para el momento lineal. Al calcular el momento angular como el producto del momento de inercia por la velocidad angular, la velocidad angular debe expresarse en radianes por segundo, donde el radián asume el valor adimensional de la unidad. (Al realizar un análisis dimensional, puede ser productivo usar un análisis orientacional que trate los radianes como una unidad base, pero esto no se hace en el sistema internacional de unidades). Las unidades del momento angular se pueden interpretar como par⋅tiempo. Un objeto con momento angular de L N⋅m⋅s puede reducirse a cero velocidad angular por un impulso angular de LN⋅m⋅s.

El plano perpendicular al eje del momento angular y que pasa por el centro de masa a veces se denomina plano invariable, porque la dirección del eje permanece fija si solo se consideran las interacciones de los cuerpos dentro del sistema, libres de influencias externas. Uno de esos planos es el plano invariable del Sistema Solar.

Momento angular y par

La segunda ley del movimiento de Newton se puede expresar matemáticamente, $mathbf {F} =mmathbf {a},$

o fuerza = masa × aceleración. El equivalente rotacional para partículas puntuales se puede derivar de la siguiente manera: $mathbf {L} =I{boldsymbol {omega }}$

lo que significa que el par (es decir, la derivada temporal del momento angular) es ${displaystyle {boldsymbol {tau }}={frac {dI}{dt}}{boldsymbol {omega }}+I{frac {d{boldsymbol {omega }}}{dt}}.}$

Como el momento de inercia es $señor^{2}$ , se sigue que ${displaystyle {frac {dI}{dt}}=2mr{frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$ , y ${displaystyle {frac {dmathbf {L} }{dt}}=I{frac {d{boldsymbol {omega}}}{dt}}+2rp_{||}{boldsymbol {omega }},}$ que, se reduce a ${displaystyle {boldsymbol {tau }}=I{boldsymbol {alpha }}+2rp_{||}{boldsymbol {omega }}.}$

Este es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton. Tenga en cuenta que el par no es necesariamente proporcional o paralelo a la aceleración angular (como cabría esperar). La razón de esto es que el momento de inercia de una partícula puede cambiar con el tiempo, algo que no puede ocurrir para la masa ordinaria.

Conservación del momento angular

Consideraciones Generales

Un análogo rotacional de la tercera ley del movimiento de Newton podría escribirse: "En un sistema cerrado, no se puede ejercer ningún par de torsión sobre ninguna materia sin ejercer sobre alguna otra materia un par de torsión igual y opuesto sobre el mismo eje". Por lo tanto, el momento angular puede intercambiarse entre objetos en un sistema cerrado, pero el momento angular total antes y después de un intercambio permanece constante (se conserva).

Visto de otra manera, un análogo rotacional de la primera ley del movimiento de Newton podría escribirse: "Un cuerpo rígido continúa en un estado de rotación uniforme a menos que actúe por una influencia externa". Así , sin ninguna influencia externa que actúe sobre él, el momento angular original del sistema permanece constante.

La conservación del momento angular se utiliza para analizar el movimiento de la fuerza central. Si la fuerza neta sobre un cuerpo se dirige siempre hacia algún punto, el centro, entonces no hay momento de torsión sobre el cuerpo con respecto al centro, ya que toda la fuerza se dirige a lo largo del radio vector y ninguna es perpendicular al radio.. Matemáticamente, torque ${boldsymbol {tau}}=mathbf {r} times mathbf {F} =mathbf {0},$ porque en este caso $mathbf{r}$ y $mathbf {F}$ son vectores paralelos. Por lo tanto, el momento angular del cuerpo con respecto al centro es constante. Este es el caso de la atracción gravitacional en las órbitas de los planetas y satélites, donde la fuerza gravitacional siempre se dirige hacia el cuerpo primario y los cuerpos en órbita conservan el momento angular intercambiando distancia y velocidad a medida que se mueven alrededor del cuerpo primario. El movimiento de fuerza central también se utiliza en el análisis del modelo de Bohr del átomo.

Para un planeta, el momento angular se distribuye entre el giro del planeta y su revolución en su órbita, y estos a menudo se intercambian mediante varios mecanismos. La conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna da como resultado la transferencia del momento angular de la Tierra a la Luna, debido al par de marea que la Luna ejerce sobre la Tierra. Esto, a su vez, da como resultado la desaceleración de la velocidad de rotación de la Tierra, alrededor de 65,7 nanosegundos por día, y un aumento gradual del radio de la órbita de la Luna, alrededor de 3,82 centímetros por año.

La conservación del momento angular explica la aceleración angular de una patinadora sobre hielo cuando acerca sus brazos y piernas al eje vertical de rotación. Al acercar parte de la masa de su cuerpo al eje, disminuye el momento de inercia de su cuerpo. Debido a que el momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular, si el momento angular permanece constante (se conserva), entonces la velocidad angular (velocidad de rotación) del patinador debe aumentar.

El mismo fenómeno da como resultado un giro extremadamente rápido de estrellas compactas (como enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros) cuando se forman a partir de estrellas de rotación mucho más grandes y lentas.

La conservación no siempre es una explicación completa de la dinámica de un sistema, pero es una limitación clave. Por ejemplo, una peonza está sujeta a un par gravitacional que la hace inclinarse y cambiar el momento angular con respecto al eje de nutación, pero despreciando la fricción en el punto de contacto de giro, tiene un momento angular conservado con respecto a su eje de giro y otro con respecto a su eje. eje de precesión. Además, en cualquier sistema planetario, los planetas, las estrellas, los cometas y los asteroides pueden moverse de numerosas formas complicadas, pero solo para que se conserve el momento angular del sistema.

El teorema de Noether establece que cada ley de conservación está asociada con una simetría (invariante) de la física subyacente. La simetría asociada con la conservación del momento angular es la invariancia rotacional. El hecho de que la física de un sistema no cambie si se gira cualquier ángulo alrededor de un eje implica que se conserva el momento angular.

Relación con la segunda ley del movimiento de Newton

Si bien la conservación total del momento angular se puede entender por separado de las leyes de movimiento de Newton como derivadas del teorema de Noether en sistemas simétricos bajo rotaciones, también se puede entender simplemente como un método eficiente de cálculo de resultados al que también se puede llegar directamente de la segunda de Newton. junto con las leyes que rigen las fuerzas de la naturaleza (como la tercera ley de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz). De hecho, dadas las condiciones iniciales de posición y velocidad para cada punto, y las fuerzas en tal condición, uno puede usar la segunda ley de Newton para calcular la segunda derivada de la posición, y resolver esto brinda información completa sobre el desarrollo del sistema físico con tiempo.Tenga en cuenta, sin embargo, que esto ya no es cierto en la mecánica cuántica debido a la existencia del espín de las partículas, que es un momento angular que no puede describirse mediante el efecto acumulativo de los movimientos puntuales en el espacio.

Como ejemplo, considere la disminución del momento de inercia, por ejemplo, cuando un patinador artístico tira de sus manos, acelerando el movimiento circular. En términos de conservación del momento angular, tenemos, para el momento angular L, el momento de inercia I y la velocidad angular ω: ${displaystyle 0=dL=d(Icdot omega)=dIcdot omega +Icdot domega }$

Usando esto, vemos que el cambio requiere una energía de: ${displaystyle dE=dleft({frac {1}{2}}Icdot omega ^{2}right)={frac {1}{2}}dIcdot omega ^{2 }+Icdot omega cdot domega =-{frac {1}{2}}dIcdot omega ^{2}}$

por lo que una disminución del momento de inercia requiere invertir energía.

Esto se puede comparar con el trabajo realizado calculado utilizando las leyes de Newton. Cada punto del cuerpo giratorio está acelerando, en cada punto del tiempo, con una aceleración radial de: ${displaystyle -rcdotomega^{2}}$

Observemos un punto de masa m, cuyo vector de posición relativo al centro de movimiento es perpendicular al eje z en un momento dado, y está a una distancia z. La fuerza centrípeta sobre este punto, manteniendo el movimiento circular, es: ${displaystyle -mcdot zcdot omega ^{2}}$

Por lo tanto, el trabajo requerido para mover este punto a una distancia dz más alejada del centro de movimiento es: ${displaystyle dW=-mcdot zcdot omega ^{2}cdot dz=-mcdot omega ^{2}cdot dleft({frac {1}{2}}z^ {2}derecho)}$

Para un cuerpo no puntual, se debe integrar sobre esto, reemplazando m por la densidad de masa por unidad z. Esto da: ${displaystyle dW=-{frac {1}{2}}dIcdot omega ^{2}}$

que es exactamente la energía requerida para mantener el momento angular conservado.

Tenga en cuenta que el cálculo anterior también se puede realizar por masa, usando solo cinemática. Por lo tanto, el fenómeno del patinador artístico que acelera la velocidad tangencial mientras tira de sus manos hacia adentro se puede entender de la siguiente manera en el lenguaje sencillo: las palmas de las manos del patinador no se mueven en línea recta, por lo que aceleran constantemente hacia adentro, pero no ganan velocidad adicional. porque la aceleración siempre se realiza cuando su movimiento hacia adentro es cero. Sin embargo, esto es diferente cuando se acercan las palmas de las manos al cuerpo: la aceleración debida a la rotación ahora aumenta la velocidad; pero debido a la rotación, el aumento de velocidad no se traduce en una velocidad significativa hacia adentro, sino en un aumento de la velocidad de rotación.

En el formalismo lagrangiano

En la mecánica lagrangiana, el momento angular de rotación alrededor de un eje dado es el momento conjugado de la coordenada generalizada del ángulo alrededor del mismo eje. Por ejemplo, $L_{z}$ el momento angular alrededor del eje z es: ${displaystyle L_{z}={frac {parcial {cal {L}}}{parcial {dot {theta }}_{z}}}}$

donde ${ estilo de visualización { cal {L}}}$ es el lagrangiano y ${ estilo de visualización theta _ {z}}$ es el ángulo alrededor del eje z.

Tenga en cuenta que ${displaystyle {dot {theta}}_{z}}$ , la derivada temporal del ángulo, es la velocidad angular $omega _{z}$ . Ordinariamente, el Lagrangiano depende de la velocidad angular a través de la energía cinética: Esta última se puede escribir separando la velocidad en su parte radial y tangencial, con la parte tangencial en el plano xy, alrededor del eje z, siendo igual a: ${displaystyle sum_{i}{frac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=sum_{i}{frac {1} {2}}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{omega_{z}}_{i}}^{2}}$

donde el subíndice i representa el i-ésimo cuerpo, y m, v _T y ω _z representan la masa, la velocidad tangencial alrededor del eje z y la velocidad angular alrededor de ese eje, respectivamente.

Para un cuerpo que no es puntual, con densidad ρ, tenemos en cambio: ${displaystyle {frac {1}{2}}int rho (x,y,z)(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{omega _{z }}_{i}}^{2},dx,dy={frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{omega _{z}}_{i }}^{2}}$

donde la integración recorre el área del cuerpo e I _z es el momento de inercia alrededor del eje z.

Por lo tanto, suponiendo que la energía potencial no depende de ω _z (esta suposición puede fallar para los sistemas electromagnéticos), tenemos el momento angular del i -ésimo objeto: ${displaystyle {begin{alineado}{L_{z}}_{i}&={frac {parcial {cal {L}}}{parcial {{omega _{z}}_{i }}}}={frac {parcial E_{k}}{parcial {{omega _{z}}_{i}}}}\&={I_{z}}_{i} cdot {omega _{z}}_{i}end{alineado}}}$

Hasta ahora hemos rotado cada objeto en un ángulo separado; también podemos definir un ángulo general θ _z por el cual rotamos todo el sistema, rotando así también cada objeto alrededor del eje z, y tenemos el momento angular general: ${displaystyle L_{z}=sum_{i}{I_{z}}_{i}cdot {omega_{z}}_{i}}$

De las ecuaciones de Euler-Lagrange se sigue que: ${displaystyle 0={frac {parcial {cal {L}}}{parcial {{theta _{z}}_{i}}}}-{frac {d}{dt}} izquierda({frac {parcial {cal {L}}}{parcial {{{dot {theta }}_{z}}_{i}}}}right)={frac { parcial {cal {L}}}{parcial {{theta _{z}}_{i}}}}-{frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$

Dado que el lagrangiano depende de los ángulos del objeto solo a través del potencial, tenemos: ${displaystyle {frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={frac {parcial {cal {L}}}{parcial {{theta _{z}} _{i}}}}=-{frac {V parcial}{parcial {{theta_{z}}_{i}}}}}$

que es el momento de torsión en el i -ésimo objeto.

Suponga que el sistema es invariante a las rotaciones, de modo que el potencial es independiente de una rotación general por el ángulo θ _z (por lo tanto, puede depender de los ángulos de los objetos solo a través de sus diferencias, en la forma ${displaystyle V({theta _{z}}_{i},{theta _{z}}_{j})=V({theta _{z}}_{i}-{theta _ {z}}_{j})}$ ). Por lo tanto, obtenemos para el momento angular total: ${displaystyle {frac {dL_{z}}{dt}}=-{frac {V parcial}{parcial {theta _{z}}}}=0}$

Y así se conserva el momento angular alrededor del eje z.

Este análisis se puede repetir por separado para cada eje, dando una conversación del vector de momento angular. Sin embargo, los ángulos alrededor de los tres ejes no pueden tratarse simultáneamente como coordenadas generalizadas, ya que no son independientes; en particular, dos ángulos por punto son suficientes para determinar su posición. Si bien es cierto que en el caso de un cuerpo rígido, describirlo completamente requiere, además de tres grados de libertad de traslación, también la especificación de tres grados de libertad de rotación; sin embargo, estos no se pueden definir como rotaciones alrededor de los ejes cartesianos (ver ángulos de Euler). Esta advertencia se refleja en la mecánica cuántica en las relaciones de conmutación no triviales de los diferentes componentes del operador de momento angular.

En el formalismo hamiltoniano

De manera equivalente, en la mecánica hamiltoniana, el hamiltoniano se puede describir como una función del momento angular. Como antes, la parte de la energía cinética relacionada con la rotación alrededor del eje z para el i -ésimo objeto es: ${displaystyle {frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{omega _{z}}_{i}}^{2}={frac {{{L_{ z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$

que es análoga a la dependencia energética del momento a lo largo del eje z, ${displaystyle {frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$ .

Las ecuaciones de Hamilton relacionan el ángulo alrededor del eje z con su momento conjugado, el momento angular alrededor del mismo eje: ${displaystyle {begin{alineado}{frac {d{theta _{z}}_{i}}{dt}}&={frac {parcial {cal {H}}}{parcial {L_{z}}_{i}}}={frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\{frac {d{L_ {z}}_{i}}{dt}}&=-{frac {parcial {cal {H}}}{parcial {theta _{z}}_{i}}}=-{ frac {V parcial}{parcial {theta _{z}}_{i}}}end{alineado}}}$

La primera ecuación da ${displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}cdot {{{dot {theta }}_{z}}_{i}}={I_{ z}}_{i}cdot {omega _{z}}_{i}}$

Y así obtenemos los mismos resultados que en el formalismo lagrangiano.

Tenga en cuenta que para combinar todos los ejes juntos, escribimos la energía cinética como: ${displaystyle E_{k}={frac {1}{2}}sum_{i}{frac {|{bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_ {i}}}=sum_{i}left({frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{frac {1} {2}}{bf {{L}_{i}}}^{textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{bf {{L}_{i}}} Correcto)}$

donde p _r es el momento en la dirección radial, y el momento de inercia es una matriz tridimensional; las letras en negrita representan vectores tridimensionales.

Para cuerpos puntuales tenemos: ${displaystyle E_{k}=sum_{i}left({frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{frac { |{bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}derecha)}$

Esta forma de la parte de energía cinética del hamiltoniano es útil para analizar problemas de potencial central y se transforma fácilmente en un marco de trabajo mecánico cuántico (por ejemplo, en el problema del átomo de hidrógeno).

Momento angular en mecánica orbital

Mientras que en la mecánica clásica el lenguaje del momento angular puede ser reemplazado por las leyes del movimiento de Newton, es particularmente útil para el movimiento en el potencial central, como el movimiento planetario en el sistema solar. Por lo tanto, la órbita de un planeta en el sistema solar se define por su energía, momento angular y ángulos del eje principal de la órbita en relación con un marco de coordenadas.

En astrodinámica y mecánica celeste, una cantidad estrechamente relacionada con el momento angular se define como $mathbf {h} =mathbf {r} times mathbf {v},$

llamado momento angular específico. Tenga en cuenta que la $mathbf{L} =mmathbf{h}.$ masa a menudo no es importante en los cálculos de la mecánica orbital, porque el movimiento de un cuerpo está determinado por la gravedad. El cuerpo primario del sistema es a menudo mucho más grande que los cuerpos en movimiento a su alrededor, por lo que se puede despreciar el efecto gravitacional de los cuerpos más pequeños sobre él; mantiene, en efecto, una velocidad constante. El movimiento de todos los cuerpos se ve afectado por su gravedad de la misma manera, independientemente de la masa y, por lo tanto, todos se mueven aproximadamente de la misma manera en las mismas condiciones.

Cuerpos sólidos

El momento angular también es un concepto extremadamente útil para describir cuerpos rígidos en rotación, como un giroscopio o un planeta rocoso. Para una distribución de masa continua con función de densidad ρ (r), un elemento de volumen diferencial dV con vector de posición r dentro de la masa tiene un elemento de masa dm = ρ (r) dV. Por lo tanto, el momento angular infinitesimal de este elemento es: $dmathbf {L} =mathbf {r} times dmmathbf {v} =mathbf {r} times rho (mathbf {r})dVmathbf {v} =dVmathbf {r} times rho (mathbf {r})mathbf {v}$

e integrando este diferencial sobre el volumen de toda la masa da su momento angular total: $mathbf {L} =int _{V}dVmathbf {r} times rho (mathbf {r})mathbf {v}$

En la derivación que sigue, integrales similares a esta pueden reemplazar las sumas para el caso de masa continua.

Colección de partículas

Para una colección de partículas en movimiento sobre un origen arbitrario, es informativo desarrollar la ecuación del momento angular al resolver su movimiento en componentes sobre su propio centro de masa y sobre el origen. Dado,

$mi}$ es la masa de la partícula $i$ ,
$mathbf {R} _{i}$ es el vector de posición de la partícula con $i$ respecto al origen,
$mathbf {V} _{i}$ es la velocidad de la partícula $i$ respecto al origen,
$matemáticas {R}$ es el vector de posición del centro de masa con respecto al origen,
$mathbf{V}$ es la velocidad del centro de masa con respecto al origen,
$mathbf {r} _{i}$ es el vector de posición de la partícula con $i$ respecto al centro de masa,
$mathbf {v} _{i}$ es la velocidad de la partícula con $i$ respecto al centro de masa,

La masa total de las partículas es simplemente su suma, $M=sum_{i}m_{i}.$

El vector de posición del centro de masa está definido por, $Mmathbf {R} =sum_{i}m_{i}mathbf {R}_{i}.$

Mediante inspección, $mathbf {R} _{i}=mathbf {R} +mathbf {r} _{i}$ y $mathbf {V} _{i}=mathbf {V} +mathbf {v} _{i}.$

El momento angular total del conjunto de partículas es la suma del momento angular de cada partícula,

${displaystyle mathbf {L} =sum_{i}left(mathbf {R}_{i}times m_{i}mathbf {V}_{i}right)}$ (1)

Expansión $mathbf {R} _{i}$ , ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {L} &=sum_{i}left[left(mathbf {R} +mathbf {r}_{i}right)times m_{ i}mathbf {V}_{i}right]\&=sum_{i}left[mathbf {R} times m_{i}mathbf {V}_{i}+mathbf {r} _{i}times m_{i}mathbf {V}_{i}right]end{alineado}}}$

Expansión $mathbf {V} _{i}$ , ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {L} &=sum_{i}left[mathbf {R} times m_{i}left(mathbf {V} +mathbf {v} _{i}right)+mathbf {r}_{i}times m_{i}(mathbf {V} +mathbf {v}_{i})right]\&=sum _ {i}left[mathbf {R} times m_{i}mathbf {V} +mathbf {R} times m_{i}mathbf {v} _{i}+mathbf {r} _ {i}times m_{i}mathbf {V} +mathbf {r}_{i}times m_{i}mathbf {v}_{i}right]\&=sum_{ i}mathbf {R} times m_{i}mathbf {V} +sum _{i}mathbf {R} times m_{i}mathbf {v} _{i}+sum_{ i}mathbf {r}_{i}times m_{i}mathbf {V} +sum_{i}mathbf {r}_{i}times m_{i}mathbf {v} _ {i}end{alineado}}}$

Se puede demostrar que (ver barra lateral),

{displaystyle {begin{alineado}mathbf {r}_{i}&=mathbf {R}_{i}-mathbf {R} \m_{i}mathbf {r}_{i} &=m_{i}left(mathbf {R} _{i}-mathbf {R} right)\sum _{i}m_{i}mathbf {r} _{i}&= sum _{i}m_{i}left(mathbf {R} _{i}-mathbf {R} right)\&=sum _{i}(m_{i}mathbf {R } _{i}-m_{i}mathbf {R})\&=sum_{i}m_{i}mathbf {R}_{i}-sum_{i}m_{i} mathbf {R} \&=sum _{i}m_{i}mathbf {R} _{i}-left(sum _{i}m_{i}right)mathbf {R} \&=sum _{i}m_{i}mathbf {R} _{i}-Mmathbf {R} end{alineado}}}

$sum _{i}m_{i}mathbf {r} _{i}=mathbf {0}$ y ${displaystyle sum_{i}m_{i}mathbf {v}_{i}=mathbf {0},}$

por lo tanto, el segundo y el tercer término se anulan, $mathbf {L} =sum_{i}mathbf {R} times m_{i}mathbf {V} +sum_{i}mathbf {r}_{i}times m_{i} mathbf {v} _{i}.$

El primer término se puede reorganizar, $sum _{i}mathbf {R} times m_{i}mathbf {V} =mathbf {R} times sum_{i}m_{i}mathbf {V} =mathbf {R } veces Mmathbf {V},$

y el momento angular total para la colección de partículas es finalmente,

${displaystyle mathbf {L} =mathbf {R} times Mmathbf {V} +sum_{i}mathbf {r}_{i}times m_{i}mathbf {v} _ {i}}$ (2)

El primer término es el momento angular del centro de masa relativo al origen. Similar a § Partícula única, a continuación, es el momento angular de una partícula de masa M en el centro de masa que se mueve con velocidad V. El segundo término es el momento angular de las partículas que se mueven en relación con el centro de masa, similar al § Centro de masa fijo, a continuación. El resultado es general: el movimiento de las partículas no está restringido a la rotación o revolución alrededor del origen o centro de masa. Las partículas no necesitan ser masas individuales, sino que pueden ser elementos de una distribución continua, como un cuerpo sólido.

Reorganizando la ecuación (2) por identidades vectoriales, multiplicando ambos términos por "uno" y agrupando apropiadamente, ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {L} &=M(mathbf {R} times mathbf {V})+sum_{i}left[m_{i}left(mathbf {r} _{i}times mathbf {v} _{i}right)right],\&={frac {R^{2}}{R^{2}}}Mleft (mathbf {R} times mathbf {V} right)+sum _{i}left[{frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}} m_{i}left(mathbf {r} _{i}times mathbf {v} _{i}right)right],\&=R^{2}Mleft({frac {mathbf {R} times mathbf {V} }{R^{2}}}right)+sum _{i}left[r_{i}^{2}m_{i}left({frac {mathbf {r}_{i}times mathbf {v}_{i}}{r_{i}^{2}}}right)right],\end{alineado} }}$

da el momento angular total del sistema de partículas en términos de momento de inercia $yo$ y velocidad angular ${ símbolo de negrita { omega}}$ ,

$mathbf {L} =I_{R}{boldsymbol {omega }}_{R}+sum _{i}I_{i}{boldsymbol {omega }}_{i}.$ (3)

Caso de una sola partícula

En el caso de una sola partícula que se mueve alrededor del origen arbitrario, ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {r}_{i}&=mathbf {v}_{i}=mathbf {0},\mathbf {r} &=mathbf {R},\mathbf {v} &=mathbf {V},\m&=M,end{alineado}}}$ $sum _{i}mathbf {r} _{i}times m_{i}mathbf {v} _{i}=mathbf {0},$ $sum _{i}I_{i}{boldsymbol {omega }}_{i}=mathbf {0},$ y las ecuaciones (2) y (3) para el momento angular total se reducen a, $mathbf {L} =mathbf {R} times mmathbf {V} =I_{R}{boldsymbol {omega }}_{R}.$

Caso de un centro de masa fijo

Para el caso del centro de masa fijo en el espacio con respecto al origen, $mathbf{V} =mathbf{0},$ $mathbf {R} veces Mmathbf {V} =mathbf {0},$ $I_{R}{boldsymbol {omega}}_{R}=mathbf {0},$ y las ecuaciones (2) y (3) para el momento angular total se reducen a, $mathbf {L} =sum_{i}mathbf {r}_{i}times m_{i}mathbf {v}_{i}=sum_{i}I_{i}{boldsymbol {omega}}_{i}.$

Momento angular en la relatividad general

En la física teórica moderna (siglo XX), el momento angular (sin incluir ningún momento angular intrínseco, ver más abajo) se describe utilizando un formalismo diferente, en lugar de un pseudovector clásico. En este formalismo, el momento angular es la carga de Noether de 2 formas asociada con la invariancia rotacional. Como resultado, el momento angular no se conserva para los espaciotiempos curvos generales, a menos que sea asintóticamente invariante rotacionalmente.

En mecánica clásica, el momento angular de una partícula se puede reinterpretar como un elemento plano: ${displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} cuña mathbf {p} ,,}$

en el que el producto exterior ∧ reemplaza al producto vectorial × (estos productos tienen características similares pero no son equivalentes). Esto tiene la ventaja de una interpretación geométrica más clara como elemento plano, definido a partir de los vectores x y p, y la expresión es verdadera en cualquier número de dimensiones (dos o más). En coordenadas cartesianas: ${displaystyle {begin{alineado}mathbf {L} &=left(xp_{y}-yp_{x}right)mathbf {e}_{x}cuña mathbf {e}_{y }+left(yp_{z}-zp_{y}right)mathbf {e}_{y}cuña mathbf {e}_{z}+left(zp_{x}-xp_{z} right)mathbf {e}_{z}cuña mathbf {e}_{x}\&=L_{xy}mathbf {e}_{x}cuña mathbf {e}_{y }+L_{yz}mathbf {e}_{y}cuña mathbf {e}_{z}+L_{zx}mathbf {e}_{z}cuña mathbf {e}_{x },,end{alineado}}}$

o más compacto en notación de índice: ${displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i},.}$

La velocidad angular también se puede definir como un tensor de segundo orden antisimétrico, con componentes ω _ij. La relación entre los dos tensores antisimétricos viene dada por el momento de inercia que ahora debe ser un tensor de cuarto orden: $L_{ij}=I_{ijkell }omega _{kell },.$

Nuevamente, esta ecuación en L y ω como tensores es cierta en cualquier número de dimensiones. Esta ecuación también aparece en el formalismo del álgebra geométrica, en el que L y ω son bivectores, y el momento de inercia es un mapeo entre ellos.

En mecánica relativista, el momento angular relativista de una partícula se expresa como un tensor antisimétrico de segundo orden: ${displaystyle M_{alpha beta }=X_{alpha }P_{beta }-X_{beta }P_{alpha }}$

en el lenguaje de los cuatro vectores, a saber, las cuatro posiciones X y los cuatro momentos P, y absorbe los L anteriores junto con el movimiento del centro de masa de la partícula.

En cada uno de los casos anteriores, para un sistema de partículas, el momento angular total es solo la suma de los momentos angulares de las partículas individuales, y el centro de masa es para el sistema.

Momento angular en la mecánica cuántica

En la mecánica cuántica, el momento angular (como otras cantidades) se expresa como un operador, y sus proyecciones unidimensionales tienen valores propios cuantificados. El momento angular está sujeto al principio de incertidumbre de Heisenberg, lo que implica que, en cualquier momento, solo se puede medir una proyección (también llamada "componente") con precisión definida; los otros dos permanecen inciertos. Debido a esto, el eje de rotación de una partícula cuántica no está definido. Las partículas cuánticas poseen un tipo de momento angular no orbital llamado "spin", pero este momento angular no corresponde a un movimiento giratorio. En la mecánica cuántica relativista, la definición relativista anterior se convierte en un operador tensorial.

Espín, orbital y momento angular total

La definición clásica de momento angular ${displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p} }$ puede trasladarse a la mecánica cuántica, reinterpretando r como el operador de posición cuántica y p como el operador de momento cuántico. L es entonces un operador, específicamente llamado operador de momento angular orbital. Los componentes del operador de momento angular satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie so(3). De hecho, estos operadores son precisamente la acción infinitesimal del grupo de rotación en el espacio cuántico de Hilbert. (Consulte también la discusión a continuación sobre los operadores de momento angular como generadores de rotaciones).

Sin embargo, en física cuántica, existe otro tipo de momento angular, llamado momento angular de espín, representado por el operador de espín S. El giro a menudo se representa como una partícula que literalmente gira alrededor de un eje, pero esta es una imagen engañosa e inexacta: el giro es una propiedad intrínseca de una partícula, no relacionada con ningún tipo de movimiento en el espacio y fundamentalmente diferente del momento angular orbital. Todas las partículas elementales tienen un espín característico (posiblemente cero) y casi todas las partículas elementales tienen un espín distinto de cero. Por ejemplo, los electrones tienen "espín 1/2" (esto en realidad significa "espín ħ/2"), los fotones tienen "espín 1" (esto en realidad significa "espín ħ") y los mesones pi tienen espín 0.

Finalmente, existe el momento angular total J, que combina tanto el momento angular de espín como el orbital de todas las partículas y campos. (Para una partícula, J = L + S.) La conservación del momento angular se aplica a J, pero no a L o S; por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera de un lado a otro entre L y S, con el total restante constante. Los electrones y los fotones no necesitan tener valores basados en números enteros para el momento angular total, pero también pueden tener valores semienteros.

En las moléculas, el momento angular total F es la suma del momento angular rovibrónico (orbital) N, el momento angular del espín del electrón S y el momento angular del espín nuclear I. Para los estados singlete electrónicos, el momento angular rovibrónico se denota J en lugar de N. Como explica Van Vleck, las componentes del momento angular molecular rovibrónico referidas a ejes fijos en las moléculas tienen relaciones de conmutación diferentes a las de las componentes sobre ejes fijos en el espacio.

Cuantización

En la mecánica cuántica, el momento angular está cuantizado, es decir, no puede variar continuamente, sino solo en "saltos cuánticos" entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones en los resultados de la medición, donde $hbar$ es la constante de Planck reducida y ${ sombrero {n}}$ es cualquier vector euclidiano como x, y o z:

La constante de Planck reducida $hbar$ es diminuta para los estándares cotidianos, alrededor de 10 J s, y por lo tanto esta cuantización no afecta notablemente el momento angular de los objetos macroscópicos. Sin embargo, es muy importante en el mundo microscópico. Por ejemplo, la estructura de las capas y subcapas de electrones en química se ve significativamente afectada por la cuantización del momento angular.

La cuantificación del momento angular fue postulada por primera vez por Niels Bohr en su modelo del átomo y luego fue predicha por Erwin Schrödinger en su ecuación de Schrödinger.

Incertidumbre

En la definición $mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p}$ , están involucrados seis operadores: Los operadores $r_{x}$ de posición, $r_{y}$ , $r_{z}$ y los operadores de cantidad de movimiento $p_{x}$ , $p_{y}$ , $p_{z}$ . Sin embargo, el principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que no es posible que las seis cantidades se conozcan simultáneamente con una precisión arbitraria. Por lo tanto, existen límites a lo que se puede saber o medir sobre el momento angular de una partícula. Resulta que lo mejor que se puede hacer es medir simultáneamente la magnitud del vector de momento angular y su componente a lo largo de un eje.

La incertidumbre está estrechamente relacionada con el hecho de que los diferentes componentes de un operador de momento angular no conmutan, por ejemplo $L_{x}L_{y}neq L_{y}L_{x}$ . (Para conocer las relaciones de conmutación precisas, consulte Operador de momento angular).

Momento angular total como generador de rotaciones

Como se mencionó anteriormente, el momento angular orbital L se define como en la mecánica clásica: $mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p}$ pero el momento angular total J se define de una manera diferente y más básica: J se define como el "generador de rotaciones". Más específicamente, J se define de modo que el operador $R({hat {n}},phi)equiv exp left(-{frac {i}{hbar }}phi ,mathbf {J} cdot {hat {mathbf { n} }}derecho)$

es el operador de rotación que toma cualquier sistema y lo rota en un ángulo $fi$ alrededor del eje ${ sombrero { matemáticas {n}}}$ . (La "exp" en la fórmula se refiere al operador exponencial) Para decirlo al revés, sea cual sea nuestro espacio cuántico de Hilbert, esperamos que el grupo de rotación SO(3) actúe sobre él. Hay entonces una acción asociada del álgebra de Lie so(3) de SO(3); los operadores que describen la acción de so(3) en nuestro espacio de Hilbert son los operadores de momento angular (total).

La relación entre el operador de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre álgebras de Lie y grupos de Lie en matemáticas. La estrecha relación entre el momento angular y las rotaciones se refleja en el teorema de Noether que demuestra que el momento angular se conserva siempre que las leyes de la física sean rotacionalmente invariantes.

Momento angular en electrodinámica

Al describir el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético, el momento canónico P (derivado del Lagrangiano para este sistema) no es invariante de calibre. Como consecuencia, el momento angular canónico L = r × P tampoco es invariante de calibre. En cambio, el momento que es físico, el llamado momento cinético (usado a lo largo de este artículo), es (en unidades SI) $mathbf {p} =mmathbf {v} =mathbf {P} -emathbf {A}$

donde e es la carga eléctrica de la partícula y A el vector potencial magnético del campo electromagnético. El momento angular invariante de calibre, es decir, el momento angular cinético, viene dado por $mathbf {K} =mathbf {r} times (mathbf {P} -emathbf {A})$

La interacción con la mecánica cuántica se analiza más adelante en el artículo sobre relaciones de conmutación canónicas.

Momento angular en óptica

En la electrodinámica clásica de Maxwell, el vector de Poynting es una densidad de momento lineal del campo electromagnético. ${displaystyle mathbf {S} (mathbf {r},t)=epsilon _{0}c^{2}mathbf {E} (mathbf {r},t)times mathbf {B} (mathbf{r},t).}$

El vector de densidad de momento angular ${ estilo de visualización mathbf {L} ( mathbf {r}, t)}$ viene dado por un producto vectorial como en la mecánica clásica: ${displaystyle mathbf {l} (mathbf {r},t)=epsilon _{0}mu _{0}mathbf {r} times mathbf {S} (mathbf {r},t).}$

Las identidades anteriores son válidas localmente, es decir, en cada punto del espacio $mathbf{r}$ en un momento dado $t$ .

Momento angular en la naturaleza y el cosmos

Los ciclones tropicales y otros fenómenos meteorológicos relacionados implican la conservación del momento angular para explicar la dinámica. Los vientos giran lentamente alrededor de sistemas de baja presión, principalmente debido al efecto coriolis. Si la baja presión se intensifica y el aire que circula lentamente es atraído hacia el centro, las moléculas deben acelerar para conservar el momento angular. Cuando llegan al centro, las velocidades se vuelven destructivas.

Johannes Kepler determinó las leyes del movimiento planetario sin conocer la conservación del momento. Sin embargo, no mucho después de su descubrimiento, se determinó su derivación a partir de la conservación del momento angular. Los planetas se mueven más lentamente cuanto más se alejan en sus órbitas elípticas, lo que se explica intuitivamente por el hecho de que el momento angular orbital es proporcional al radio de la órbita. Como la masa no cambia y el momento angular se conserva, la velocidad disminuye.

La aceleración de las mareas es un efecto de las fuerzas de las mareas entre un satélite natural en órbita (p. ej., la Luna) y el planeta principal que orbita (p. ej., la Tierra). El par gravitatorio entre la Luna y el abultamiento de la marea de la Tierra hace que la Luna se promueva constantemente a una órbita ligeramente más alta y que la Tierra se desacelere en su rotación. La Tierra pierde momento angular que se transfiere a la Luna de modo que se conserva el momento angular general.

Momento angular en ingeniería y tecnología.

Abundan los ejemplos del uso de la conservación del momento angular para obtener ventajas prácticas. En motores como los de vapor o los de combustión interna, se necesita un volante para convertir eficientemente el movimiento lateral de los pistones en movimiento de rotación.

Los sistemas de navegación inercial utilizan explícitamente el hecho de que el momento angular se conserva con respecto al marco inercial del espacio. La navegación inercial es lo que permite los viajes submarinos bajo la capa de hielo polar, pero también es crucial para todas las formas de navegación moderna.

Las balas estriadas utilizan la estabilidad proporcionada por la conservación del momento angular para ser más precisas en su trayectoria. La invención de las armas de fuego y los cañones estriados les dio a sus usuarios una ventaja estratégica significativa en la batalla y, por lo tanto, fueron un punto de inflexión tecnológico en la historia.

Historia

Isaac Newton, en los Principia, insinuó el momento angular en sus ejemplos de la primera ley del movimiento,

Un trompo, cuyas partes por su cohesión se apartan perpetuamente de los movimientos rectilíneos, no cesa su rotación a menos que sea retardada por el aire. Los cuerpos más grandes de los planetas y cometas, al encontrarse con menos resistencia en espacios más libres, conservan sus movimientos tanto progresivos como circulares durante mucho más tiempo.

No investigó más el momento angular directamente en los Principia, diciendo:

De este tipo de reflexiones también surgen a veces los movimientos circulares de los cuerpos alrededor de sus propios centros. Pero estos son casos que no considero en lo que sigue; y sería demasiado tedioso demostrar cada particular que se relaciona con este tema.

Sin embargo, su prueba geométrica de la ley de las áreas es un ejemplo sobresaliente del genio de Newton, e indirectamente prueba la conservación del momento angular en el caso de una fuerza central.

La ley de las áreas

Derivación de Newton

Cuando un planeta gira alrededor del Sol, la línea entre el Sol y el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto se sabía desde que Kepler expuso su segunda ley del movimiento planetario. Newton obtuvo una prueba geométrica única y pasó a demostrar que la fuerza de atracción de la gravedad del Sol era la causa de todas las leyes de Kepler.

Durante el primer intervalo de tiempo, un objeto está en movimiento desde el punto A hasta el punto B. Sin perturbaciones, continuaría hasta el punto c durante el segundo intervalo. Cuando el objeto llega a B, recibe un impulso dirigido hacia el punto S. El impulso le da una pequeña velocidad adicional hacia S, de modo que si esta fuera su única velocidad, se movería de B a V durante el segundo intervalo. Por las reglas de composición de velocidades, estas dos velocidades se suman y el punto C se encuentra mediante la construcción del paralelogramo BcCV. Así, la trayectoria del objeto es desviada por el impulso de modo que llega al puntoC al final del segundo intervalo. Como los triángulos SBc y SBC tienen la misma base SB y la misma altura Bc o VC, tienen la misma área. Por simetría, el triángulo SBc también tiene la misma área que el triángulo SAB, por lo tanto, el objeto ha barrido áreas iguales SAB y SBC en tiempos iguales.

En el punto C, el objeto recibe otro impulso hacia S, desviando nuevamente su trayectoria durante el tercer intervalo de d a D. Así continúa hacia E y más allá, los triángulos SAB, SBc, SBC, SCd, SCD, SDe, SDE tienen todos la misma área. Permitiendo que los intervalos de tiempo sean cada vez más pequeños, el camino ABCDE se acerca indefinidamente a una curva continua.

Tenga en cuenta que debido a que esta derivación es geométrica y no se aplica una fuerza específica, demuestra una ley más general que la segunda ley del movimiento planetario de Kepler. Muestra que la Ley de Áreas se aplica a cualquier fuerza central, atractiva o repulsiva, continua o discontinua, o nula.

Conservación del momento angular en la Ley de Áreas

La proporcionalidad del momento angular con respecto al área barrida por un objeto en movimiento puede entenderse al darse cuenta de que las bases de los triángulos, es decir, las líneas desde S al objeto, son equivalentes al radio r, y que las alturas de los los triángulos son proporcionales a la componente perpendicular de la velocidad v _⊥. Por lo tanto, si el área barrida por unidad de tiempo es constante, entonces por la fórmula del área triangular1/2(base)(altura), el producto (base)(altura) y por lo tanto el producto rv _⊥ son constantes: si r y la longitud de la base disminuyen, v _⊥ y la altura deben aumentar proporcionalmente. La masa es constante, por lo que el momento angular rmv _⊥ se conserva por este intercambio de distancia y velocidad.

En el caso del triángulo SBC, el área es igual a1/2(SB)(VC). Dondequiera que finalmente se ubique C debido al impulso aplicado en B, el producto (SB)(VC) y, por lo tanto, rmv _⊥ permanecen constantes. Del mismo modo para cada uno de los triángulos.

Después de newton

Leonhard Euler, Daniel Bernoulli y Patrick d'Arcy entendieron el momento angular en términos de conservación de la velocidad del área, como resultado de su análisis de la segunda ley del movimiento planetario de Kepler. Es poco probable que se dieran cuenta de las implicaciones para la materia ordinaria en rotación.

En 1736, Euler, como Newton, se refirió a algunas de las ecuaciones del momento angular en su Mechanica sin desarrollarlas más.

Bernoulli escribió en una carta de 1744 sobre un "momento de movimiento de rotación", posiblemente la primera concepción del momento angular tal como lo entendemos ahora.

En 1799, Pierre-Simon Laplace se dio cuenta por primera vez de que un plano fijo estaba asociado con la rotación: su plano invariable.

Louis Poinsot en 1803 comenzó a representar las rotaciones como un segmento de línea perpendicular a la rotación y elaboró sobre la "conservación de momentos".

En 1852, Léon Foucault usó un giroscopio en un experimento para mostrar la rotación de la Tierra.

El Manual de mecánica aplicada de William JM Rankine de 1858 definió el momento angular en el sentido moderno por primera vez:

...una línea cuya longitud es proporcional a la magnitud del momento angular, y cuya dirección es perpendicular al plano de movimiento del cuerpo y del punto fijo, y tal, que cuando el movimiento del cuerpo es visto desde el extremo de la línea, el radio-vector del cuerpo parece tener rotación hacia la derecha.

En una edición de 1872 del mismo libro, Rankine afirmó que "el término momento angular fue introducido por el Sr. Hayward", probablemente refiriéndose al artículo de RB Hayward Sobre un método directo para estimar velocidades, aceleraciones y todas las cantidades similares con respecto a ejes móviles. de ninguna manera en Space with Applications, que se introdujo en 1856 y se publicó en 1864. Rankine se equivocó, ya que numerosas publicaciones presentan el término desde finales del siglo XVIII hasta principios del XIX. Sin embargo, el artículo de Hayward aparentemente fue el primer uso del término y el concepto visto por gran parte del mundo de habla inglesa. Antes de esto, el momento angular generalmente se denominaba "momento de rotación" en inglés.

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${displaystyle L_{sombrero {n}}}$	$ldots,-2hbar,-hbar,0,hbar,2hbar,ldots$
${displaystyle S_{sombrero {n}}}$ o ${displaystyle J_{sombrero {n}}}$	$ldots,-{frac {3}{2}}hbar,-hbar,-{frac {1}{2}}hbar,0,{frac {1}{2}}hbar, hbar,{frac {3}{2}}hbar,ldots$
${displaystyle {begin{alineado}&L^{2}\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}end{alineado} }}$	${ estilo de visualización izquierda [ hbar ^ {2} n (n + 1) derecha]}$ , dónde ${displaystyle n=0,1,2,ldots}$
$S^{2}$ o $J^{2}$	${ estilo de visualización izquierda [ hbar ^ {2} n (n + 1) derecha]}$ , dónde ${displaystyle n=0,{frac {1}{2}},1,{frac {3}{2}},ldots}$