Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

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El modelo Ramsey-Cass-Koopmans o modelo de crecimiento de Ramsey, es un modelo neoclásico de crecimiento económico basado principalmente en el trabajo de Frank P. Ramsey, con extensiones significativas de David Cass y Tjalling Koopmans. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans difiere del modelo de Solow-Swan en que la elección del consumo está microfundamentada explícitamente en un punto en el tiempo y, por lo tanto, endogeniza la tasa de ahorro. Como resultado, a diferencia del modelo de Solow-Swan, la tasa de ahorro puede no ser constante a lo largo de la transición al estado estacionario a largo plazo. Otra implicación del modelo es que el resultado es Pareto óptimo o Pareto eficiente.

Originalmente, Ramsey planteó el modelo como el problema de un planificador social de maximizar los niveles de consumo durante generaciones sucesivas. Solo más tarde Cass y Koopmans adoptaron un modelo como descripción de una economía dinámica descentralizada con un agente representativo. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans solo tiene como objetivo explicar el crecimiento económico a largo plazo en lugar de las fluctuaciones del ciclo económico, y no incluye fuentes de perturbaciones como imperfecciones del mercado, heterogeneidad entre los hogares o shocks exógenos. Por lo tanto, los investigadores posteriores ampliaron el modelo, teniendo en cuenta los choques de compras del gobierno, las variaciones en el empleo y otras fuentes de perturbaciones, lo que se conoce como teoría del ciclo económico real.

Descripción matemática

El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans comienza con una función de producción agregada que satisface las condiciones de Inada, a menudo especificadas como del tipo Cobb-Douglas { Displaystyle F (K, L)}, con factores capital ky trabajo L. Dado que se supone que esta función de producción es homogénea de grado 1, se puede expresar en términos per cápita, {displaystyle F(K,L)=Lcdot Fleft({frac {K}{L}},1right)=Lcdot f(k)}. La cantidad de trabajo es igual a la población en la economía, y crece a un ritmo constante norte, es decir, {displaystyle L=L_{0}e^{nt}}donde { estilo de visualización L_ {0}> 0}estaba la población en el período inicial.

La primera ecuación clave del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans es la ecuación de estado para la acumulación de capital:{displaystyle {dot {k}}=f(k)-(n+delta)kc}

una ecuación diferencial no lineal similar al modelo de Solow-Swan, donde kes la intensidad de capital (es decir, capital por trabajador), {displaystyle {dot {k}}={tfrac {mathrm {d} k}{mathrm {d} t}}}es la abreviatura en la notación de Newton para el cambio en la intensidad de capital a lo largo del tiempo, Ces el consumo por trabajador, f(k)es la producción por trabajador para un dado k, y delta,es la tasa de depreciación del capital. Bajo el supuesto simplificador de que no hay crecimiento de la población, esta ecuación establece que la inversión, o aumento de capital por trabajador, es la parte de la producción que no se consume, menos la tasa de depreciación del capital. La inversión es, por tanto, lo mismo que el ahorro.

La segunda ecuación del modelo es la solución al problema del planificador social de maximizar una función de bienestar social {displaystyle U_{0}=int _{0}^{infty }e^{-rho t}U(C),mathrm {d} t}, que consiste en el flujo de utilidad instantánea descontada exponencialmente del consumo, donde { estilo de visualización rho en (0, infinito)}es una tasa de descuento que refleja la preferencia temporal. Se supone que la economía está poblada por individuos idénticos, de modo que el problema de control óptimo se puede plantear en términos de un agente representativo de vida infinita con utilidad invariable en el tiempo: {displaystyle U(C)=Lu(c)=L_{0}e^{nt}u(c)}. Se supone que la función de utilidad es estrictamente creciente (es decir, no hay punto de felicidad) y cóncava en C, con {displaystyle lim _{cto 0}u_{c}=infty}, donde {displaystyle u_{c}}es la notación abreviada de la utilidad marginal del consumo {displaystyle {tfrac {u parcial}{c parcial}}}. Normalización de la población inicialL_{{0}}a uno, el problema se puede plantear como:{displaystyle max _{c}U_{0}=int _{0}^{infty}e^{-(rho -n)t}u(c),mathrm {d} t}{displaystyle {text{sujeto a}}quad c=f(k)-(n+delta)k-{dot {k}}}

donde se da un stock de capital inicial distinto de cero {displaystyle k(0)=k_{0}>0}. La solución a este problema, que suele encontrarse mediante una función hamiltoniana, es una ecuación diferencial no lineal que describe la evolución óptima del consumo,{displaystyle {dot {c}}=-{frac {u_{c}(c)}{ccdot u_{cc}(c)}}left[f_{k}(k)-delta -rho right]cdot c}

que se conoce como la regla de Keynes-Ramsey. El término {displaystyle f_{k}(k)-delta }, donde {displaystyle f_{k}}es una notación abreviada del producto marginal del capital {displaystyle {tfrac {f parcial}{k parcial}}}, refleja el rendimiento marginal de la inversión neta. La expresión {displaystyle -left.u_{c}(c)right/ccdot u_{cc}(c)}refleja la curvatura de la función de utilidad; su recíproco se conoce como la elasticidad (intertemporal) de sustitución e indica cuánto desea suavizar el consumo el agente representativo a lo largo del tiempo. A menudo se supone que esta elasticidad es una constante positiva, es decir, {displaystyle sigma =-left.ccdot u_{cc}(c)right/u_{c}(c)>0}.

Las dos ecuaciones diferenciales acopladas para ky Cforman el sistema dinámico de Ramsey-Cass-Koopmans. Su estado estacionario, que se encuentra haciendo punto ke punto cigual a cero, viene dado por el par { estilo de visualización (k ^ { ast}, c ^ { ast})}implícitamente definido por{displaystyle f_{k}left(k^{ast }right)=delta +rho quad {text{y}}quad c^{ast }=fleft(k^{ ast }right)-(n+delta)k^{ast }}

Una declaración cualitativa sobre la estabilidad de la solución { estilo de visualización (k ^ { ast}, c ^ { ast})}requiere una linealización por un polinomio de Taylor de primer orden{displaystyle {begin{bmatrix}{dot {k}}\{dot {c}}end{bmatrix}}approx mathbf {J} (k^{ast},c^{ ast}){begin{bmatriz}(kk^{ast})\(cc^{ast})end{bmatriz}}}

donde {displaystyle mathbf {J} (k^{ast},c^{ast})}es la matriz jacobiana evaluada en estado estacionario, dada por{displaystyle mathbf {J} left(k^{ast },c^{ast }right)={begin{bmatrix}rho -n&-1\{frac {1}{ sigma }}f_{kk}(k)cdot c^{ast }&0end{bmatriz}}}

que tiene determinante {displaystyle left|mathbf {J} left(k^{ast},c^{ast}right)right|={frac {1}{sigma}}f_{kk}(k)cdot c^{ast }<0}ya Cque siempre es positivo, sigmaes positivo por supuesto, y solo { Displaystyle f_ {kk}}es negativo ya que Fes cóncavo. Dado que el determinante es igual al producto de los valores propios, los valores propios deben ser reales y de signo opuesto. Por lo tanto, según el teorema de la variedad estable, el equilibrio es un punto de silla y existe un único brazo estable, o "ruta de silla de montar", que converge en el equilibrio, indicado por la curva azul en el diagrama de fase. El sistema se denomina "ruta de silla de montar estable" ya que todas las trayectorias inestables se descartan por la condición de "sin esquema Ponzi":{displaystyle lim _{tto infty }kcdot e^{-int _{0}^{t}left(f_{k}-n-delta right)mathrm {d} s}geq 0}

lo que implica que el valor presente del capital social no puede ser negativo.

Historia

Spear y Young reexaminan la historia del crecimiento óptimo durante las décadas de 1950 y 1960, enfocándose en parte en la veracidad del pretendido desarrollo simultáneo e independiente del "Crecimiento óptimo en un modelo agregativo de acumulación de capital" de Cass (publicado en 1965 en el Review of Economic Studies), y "Sobre el concepto de crecimiento económico óptimo" de Tjalling Koopman (publicado en Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965, Roma: Pontificia Academia de Ciencias).

A lo largo de sus vidas, ni Cass ni Koopmans sugirieron nunca que sus resultados que caracterizaban el crecimiento óptimo en el modelo de crecimiento en tiempo continuo de un sector fueran algo más que "simultáneos e independientes". El hecho de que el tema de la prioridad alguna vez se convirtiera en un punto de discusión se debió únicamente al hecho de que en la versión publicada del trabajo de Koopmans, este citó el capítulo de la tesis de Cass que luego se convirtió en la RES.papel. En su artículo, Koopmans afirma en una nota al pie que Cass obtuvo de forma independiente condiciones similares a las que encuentra Koopmans, y que Cass también considera el caso límite en el que la tasa de descuento llega a cero en su artículo. Por su parte, Cass señala que "después de que se completó la versión original de este documento, nos llamó la atención un análisis muy similar de Koopmans. Nos basamos en sus resultados al discutir el caso límite, donde la tasa de descuento social efectiva llega a cero".. En la entrevista que Cass concedió a Macroeconomic Dynamics, le da crédito a Koopmans por señalarle el trabajo anterior de Frank Ramsey, afirmando haber estado avergonzado de no haberlo sabido, pero no dice nada para disipar la afirmación básica de que su trabajo y el de Koopmans estaban en hecho independiente.

Spear y Young cuestionan esta historia, basándose en una versión en papel de trabajo previamente pasada por alto del artículo de Koopmans, que fue la base de la presentación de Koopmans citada con frecuencia en una conferencia celebrada por la Pontificia Academia de Ciencias en octubre de 1963. En este documento de discusión de Cowles, hay un error. Koopmans afirma en su resultado principal que las ecuaciones de Euler son necesarias y suficientes para caracterizar trayectorias óptimas en el modelo porque cualquier solución a las ecuaciones de Euler que no converja al estado estacionario óptimo alcanzaría un límite de consumo cero o capital cero en tiempo finito Este error aparentemente fue presentado en la conferencia del Vaticano, aunque en el momento en que Koopmans lo presentó, ningún participante comentó sobre el problema. Esto se puede inferir porque la discusión después de cada presentación de trabajo en la conferencia del Vaticano se conserva palabra por palabra en el volumen de la conferencia.

En la discusión del volumen del Vaticano que siguió a la presentación de un artículo de Edmond Malinvaud, el problema surge debido a la inclusión explícita de Malinvaud de la llamada "condición de transversalidad" (que Malinvaud llama Condición I) en su artículo. Al final de la presentación, Koopmans le pregunta a Malinvaud si no es cierto que la Condición I simplemente garantiza que las soluciones de las ecuaciones de Euler que no convergen al estado estacionario óptimo alcanzan un límite en un tiempo finito. Malinvaud responde que este no es el caso y sugiere que Koopmans mire el ejemplo con funciones de utilidad de registro y funciones de producción Cobb-Douglas.

En este punto, Koopmans obviamente reconoce que tiene un problema, pero, basándose en un apéndice confuso de una versión posterior del documento producido después de la conferencia del Vaticano, parece incapaz de decidir cómo abordar el problema planteado por la Condición I de Malinvaud.

De la entrevista de Macroeconomic Dynamics con Cass, está claro que Koopmans se reunió con el asesor de tesis de Cass, Hirofumi Uzawa, en las reuniones de invierno de la Econometric Society en enero de 1964, donde Uzawa le informó que su alumno [Cass] ya había resuelto este problema.. Uzawa debe haberle proporcionado a Koopmans la copia del capítulo de la tesis de Cass, que aparentemente envió con la apariencia del Informe Técnico del IMSSS que Koopmans citó en la versión publicada de su artículo. La palabra "disfraz" es apropiada aquí, porque el número de TR que figura en la cita de Koopmans habría puesto la fecha de publicación del informe a principios de la década de 1950, lo que claramente no fue así.

En la versión publicada del artículo de Koopmans, impone una nueva Condición Alfa además de las ecuaciones de Euler, afirmando que las únicas trayectorias admisibles entre las que satisfacen las ecuaciones de Euler es la que converge al equilibrio óptimo de estado estacionario del modelo. Este resultado se deriva en el artículo de Cass a través de la imposición de una condición de transversalidad que Cass dedujo de secciones relevantes de un libro de Lev Pontryagin. Spear y Young conjeturan que Koopmans tomó esta ruta porque no quería que pareciera estar "tomando prestada" la tecnología de transversalidad de Malinvaud o Cass.

Con base en este y otro examen de las contribuciones de Malinvaud en la década de 1950, específicamente su intuición de la importancia de la condición de transversalidad, Spear y Young sugieren que el modelo de crecimiento neoclásico podría llamarse mejor modelo Ramsey-Malinvaud-Cass que el modelo Ramsey establecido. Título honorífico de Cass-Koopman.