Modelo Arrow-Debreu

En economía matemática, el modelo de Arrow-Debreu sugiere que bajo ciertos supuestos económicos (preferencias convexas, competencia perfecta e independencia de la demanda) debe haber un conjunto de precios tal que la oferta agregada sea igual a la demanda agregada de cada producto en la economía.

El modelo es fundamental para la teoría del equilibrio (económico) general y, a menudo, se utiliza como referencia general para otros modelos microeconómicos. Lleva el nombre de Kenneth Arrow, Gérard Debreu y, a veces, también de Lionel W. McKenzie por su prueba independiente de existencia en equilibrio en 1954, así como sus mejoras posteriores en 1959.

El modelo AD es uno de los modelos más generales de economía competitiva y es una parte crucial de la teoría del equilibrio general, ya que puede usarse para demostrar la existencia del equilibrio general (o equilibrio walrasiano) de una economía. En general, puede haber muchos equilibrios; sin embargo, con supuestos adicionales sobre las preferencias del consumidor, a saber, que sus funciones de utilidad sean fuertemente cóncavas y diferenciables dos veces continuamente, existe un equilibrio único. Con condiciones más débiles, la unicidad puede fallar, según el teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu.

Conjuntos convexos y puntos fijos

En 1954, McKenzie y la pareja Arrow y Debreu demostraron de forma independiente la existencia de equilibrios generales invocando el teorema del punto fijo de Kakutani sobre los puntos fijos de una función continua de un conjunto compacto y convexo en sí mismo. En el enfoque de Arrow-Debreu, la convexidad es esencial, porque estos teoremas de punto fijo no son aplicables a conjuntos no convexos. Por ejemplo, la rotación del círculo unitario de 90 grados carece de puntos fijos, aunque esta rotación es una transformación continua de un conjunto compacto en sí mismo; aunque compacto, el círculo unitario no es convexo. Por el contrario, la misma rotación aplicada al casco convexo del círculo unitario deja el punto (0,0)fijado. Observe que el teorema de Kakutani no afirma que exista exactamente un punto fijo. Reflejar el disco unitario sobre el eje y deja fijo un segmento vertical, de modo que esta reflexión tiene un número infinito de puntos fijos.

No convexidad en grandes economías

La suposición de convexidad excluyó muchas aplicaciones, que fueron discutidas en el Journal of Political Economy de 1959 a 1961 por Francis M. Bator, M. J. Farrell, Tjalling Koopmans y Thomas J. Rothenberg. Ross M. Starr (1969) demostró la existencia de equilibrios económicos cuando algunas preferencias de los consumidores no necesitan ser convexas. En su artículo, Starr demostró que una economía "convexa" tiene equilibrios generales que se aproximan mucho a los "cuasi-equilibrios" de la economía original; La prueba de Starr utilizó el teorema de Shapley-Folkman.

Economía de la incertidumbre: seguros y finanzas

Comparado con modelos anteriores, el modelo de Arrow-Debreu generalizó radicalmente la noción de mercancía, diferenciando las mercancías por tiempo y lugar de entrega. Así, por ejemplo, "manzanas en Nueva York en septiembre" y "manzanas en Chicago en junio" se consideran mercancías distintas. El modelo Arrow-Debreu se aplica a economías con mercados máximamente completos, en los que existe un mercado para cada período de tiempo y precios a plazo para cada producto básico en todos los períodos de tiempo y en todos los lugares.

El modelo Arrow-Debreu especifica las condiciones de los mercados perfectamente competitivos.

En economía financiera, el término "Arrow-Debreu" se usa más comúnmente con referencia a un valor Arrow-Debreu. Un valor canónico de Arrow-Debreu es un valor que paga una unidad de numerario si se alcanza un estado particular del mundo y cero en caso contrario (el precio de dicho valor es el llamado "precio estatal"). Como tal, cualquier contrato de derivados cuyo valor de liquidación sea una función de un subyacente cuyo valor es incierto en la fecha del contrato puede descomponerse como una combinación lineal de valores Arrow-Debreu.

Desde el trabajo de Breeden y Lizenberger en 1978, una gran cantidad de investigadores han utilizado opciones para extraer los precios de Arrow-Debreu para una variedad de aplicaciones en economía financiera; véase Análisis de reclamos contingentes.