Modelo de primer golpe

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Los eventos a menudo se desencadenan cuando un proceso estocástico o aleatorio encuentra un umbral por primera vez. El umbral puede ser una barrera, un límite o un estado específico de un sistema. La cantidad de tiempo requerida para que un proceso estocástico, a partir de un estado inicial, encuentre un umbral por primera vez, se denomina de diversas maneras como tiempo de primer golpe. En estadística, los modelos de tiempo de primer golpe (First-hitting-time model) son una subclase de modelos de supervivencia. El tiempo de primer golpe, también llamado tiempo de primer paso, de la barrera establecida $B$ con respecto a una instancia de un proceso estocástico es el tiempo hasta que el proceso estocástico entra por primera vez $B$ .

Más coloquialmente, un tiempo de primer paso en un sistema estocástico es el tiempo que tarda una variable de estado en alcanzar un cierto valor. Comprender esta métrica permite comprender mejor el sistema físico que se está observando y, como tal, ha sido tema de investigación en campos muy diversos, desde la economía hasta la ecología.

La idea de que un tiempo de primer paso de un proceso estocástico podría describir el tiempo de ocurrencia de un evento tiene una larga historia, comenzando con un interés en el primer tiempo de paso de los procesos de difusión de Wiener en economía y luego en física a principios del siglo XX. La modelización de la probabilidad de ruina financiera como primer paso fue una de las primeras aplicaciones en el campo de los seguros. Un interés en las propiedades matemáticas de los tiempos de primer golpe y los modelos y métodos estadísticos para el análisis de los datos de supervivencia apareció de manera constante entre mediados y finales del siglo XX.

Ejemplos

Un ejemplo común de un modelo de tiempo de primer golpe es un problema de ruina, como la ruina del jugador. En este ejemplo, una entidad (a menudo descrita como un jugador o una compañía de seguros) tiene una cantidad de dinero que varía aleatoriamente con el tiempo, posiblemente con cierta deriva. El modelo considera el evento de que la cantidad de dinero llegue a 0, representando la quiebra. El modelo puede responder preguntas como la probabilidad de que esto ocurra en un tiempo finito o el tiempo medio hasta el que ocurre.

Los modelos de tiempo de primer impacto se pueden aplicar a la vida útil esperada, de pacientes o dispositivos mecánicos. Cuando el proceso alcanza un estado de umbral adverso por primera vez, el paciente muere o el dispositivo se estropea.

Primer tiempo de paso de una partícula browniana 1D

Uno de los sistemas estocásticos más simples y omnipresentes es el de la partícula browniana en una dimensión. Este sistema describe el movimiento de una partícula que se mueve estocásticamente en un espacio unidimensional, con igual probabilidad de moverse hacia la izquierda o hacia la derecha. Dado que el movimiento browniano se usa a menudo como una herramienta para comprender fenómenos más complejos, es importante comprender la probabilidad de que una partícula browniana alcance una posición distante de su ubicación inicial en un primer tiempo de paso. Esto se hace a través de los siguientes medios.

La función de densidad de probabilidad (PDF) para una partícula en una dimensión se encuentra resolviendo la ecuación de difusión unidimensional. (Esta ecuación establece que la densidad de probabilidad de posición se difunde hacia afuera con el tiempo. Es similar a decir, crema en una taza de café si la crema estaba inicialmente contenida en un lugar pequeño. Después de mucho tiempo, la crema se ha difundido por toda la bebida. uniformemente.) Es decir, ${frac {parcial p(x,tmid x_{{0}})}{parcial t}}=D{frac {parcial ^{2}p(x,tmid x_{{0 }})}{x parcial^{2}}},$

dada la condición inicial $p(x,t={0}mid x_{{0}})=delta (x-x_{{0}})$ ; donde $x(t)$ es la posición de la partícula en un momento dado, $x_{0}$ es la posición inicial de la partícula marcada y $D$ es la constante de difusión con las unidades SI $m^{2}s^{{-1}}$ (una medida indirecta de la velocidad de la partícula). La barra en el argumento de la probabilidad instantánea se refiere a la probabilidad condicional. La ecuación de difusión establece que la tasa de cambio en el tiempo en la probabilidad de encontrar la partícula en la $x(t)$ posición depende de la desaceleración en la distancia de dicha probabilidad en esa posición.

Se puede demostrar que la PDF unidimensional es $p(x,t;x_{0})={frac {1}{{sqrt {4pi Dt}}}}exp left(-{frac {(x-x_{0})^ {2}}{4Dt}}derecha).$

Esto establece que la probabilidad de encontrar la partícula en $x(t)$ es gaussiana, y el ancho de la gaussiana depende del tiempo. Más específicamente, el ancho completo en la mitad del máximo (FWHM): técnicamente, esta es en realidad la duración completa en la mitad del máximo, ya que la variable independiente es el tiempo, escalas como ${ estilo de visualización { rm {FWHM}} sim { sqrt {t}}.}$

Usando el PDF, uno puede derivar el promedio de una función dada $L$ , en el tiempo $t$ : ${displaystyle langle L(t)rangle equiv int _{-infty}^{infty}L(x,t)p(x,t),dx,}$

donde el promedio se toma sobre todo el espacio (o cualquier variable aplicable).

La Densidad de tiempo de primer paso (FPTD) es la probabilidad de que una partícula haya alcanzado por primera vez un punto $x_{c}$ en el tiempo exacto $t$ (no en algún momento durante el intervalo hasta $t$ ). Esta densidad de probabilidad se puede calcular a partir de la probabilidad de supervivencia (una medida de probabilidad más común en estadística). Considere la condición de frontera absorbente $p(x_{c},t)=0$ (el subíndice c para el punto de absorción $x_{c}$ es una abreviatura de acantilado que se usa en muchos textos como una analogía de un punto de absorción). La PDF que satisface esta condición de contorno está dada por $p(x,t;x_{0},x_{c})={frac {1}{{sqrt {4pi Dt}}}}left(exp left(-{frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}right)-exp left(-{frac {(x-(2x_{c}-x_{0}))^{2}} {4Dt}}derecha)derecha),$

para <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66626a53685a63c0824c0e921b5687b709ac8c67" alt="x_ La probabilidad de supervivencia, la probabilidad de que la partícula haya permanecido en una posición <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66626a53685a63c0824c0e921b5687b709ac8c67" alt="xtodo el tiempo hasta $t$ , viene dada por ${displaystyle S(t)equiv int _{-infty }^{x_{c}}p(x,t;x_{0},x_{c}),dx=operatorname {erf} izquierda({frac {x_{c}-x_{0}}{2{sqrt {Dt}}}}derecha),}$

donde $nombre del operador {erf}$ está la función de error. La relación entre la probabilidad de Supervivencia y el FPTD es la siguiente: la probabilidad de que una partícula haya alcanzado el punto de absorción entre tiempos $t$ y $t+dt$ es ${ estilo de visualización f (t) , dt = S (t) -S (t + dt)}$ . Si se utiliza la aproximación de Taylor de primer orden, la definición de FPTD es la siguiente): $f(t)=-{frac {parcial S(t)}{parcial t}}.$

Usando la ecuación de difusión e integrando, el FPTD explícito es ${displaystyle f(t)equiv {frac {|x_{c}-x_{0}|}{sqrt {4pi Dt^{3}}}}exp left(-{frac { (x_{c}-x_{0})^{2}}{4Dt}}derecha).}$

Por lo tanto, el tiempo del primer paso para una partícula browniana sigue una distribución de Lévy.

Porque ${displaystyle tgg {frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4D}}}$ de lo anterior se sigue que ${displaystyle f(t)={frac {Delta x}{sqrt {4pi Dt^{3}}}}sim t^{-3/2},}$

donde $Delta xequiv |x_{c}-x_{{0}}|$ _ Esta ecuación establece que la probabilidad de que una partícula browniana logre un primer paso en un tiempo prolongado (definido en el párrafo anterior) se vuelve cada vez más pequeña, pero siempre finita.

El primer momento del FPTD diverge (ya que es una distribución denominada de cola pesada), por lo que no se puede calcular el FPT promedio, sino que se puede calcular el tiempo típico, el tiempo en que el FPTD está en un máximo ( $parcial f/parcial t=0$ ), es decir, $tau _{{{rm {{ty}}}}}={frac {Delta x^{2}}{6D}}.$

Aplicaciones de primer impacto en muchas familias de procesos estocásticos

Los primeros tiempos de impacto son características centrales de muchas familias de procesos estocásticos, incluidos los procesos de Poisson, los procesos de Wiener, los procesos gamma y las cadenas de Markov, por nombrar solo algunos. El estado del proceso estocástico puede representar, por ejemplo, la fortaleza de un sistema físico, la salud de un individuo o la situación financiera de una empresa comercial. El sistema, individuo o empresa falla o experimenta algún otro punto final crítico cuando el proceso alcanza un estado de umbral por primera vez. El evento crítico puede ser un evento adverso (como falla del equipo, insuficiencia cardíaca congestionada o cáncer de pulmón) o un evento positivo (como la recuperación de una enfermedad, el alta de una hospitalización, el parto o el regreso al trabajo después de una lesión traumática). El lapso de tiempo hasta que ocurre ese evento crítico suele interpretarse genéricamente como un 'tiempo de supervivencia'. En algunas aplicaciones, el umbral es un conjunto de múltiples estados, por lo que se consideran tiempos de primeros golpes competitivos para alcanzar el primer umbral del conjunto, como es el caso cuando se consideran causas competitivas de falla en el equipo o la muerte de un paciente.

Regresión de umbral: regresión del tiempo del primer golpe

Las aplicaciones prácticas de los modelos teóricos para los tiempos de primeros golpes a menudo involucran estructuras de regresión. Cuando los modelos de tiempo de primer impacto están equipados con estructuras de regresión, que acomodan datos de covariables, llamamos a tal estructura de regresión regresión de umbral. El estado de umbral, los parámetros del proceso e incluso la escala de tiempo pueden depender de las covariables correspondientes. La regresión de umbral aplicada a los datos de tiempo hasta el evento ha surgido desde principios de este siglo y ha crecido rápidamente, como se describe en un artículo de encuesta de 2006 y sus referencias. Se investigaron las conexiones entre los modelos de regresión de umbral derivados de los primeros tiempos de impacto y el omnipresente modelo de regresión de riesgos proporcionales de Cox.Las aplicaciones de la regresión de umbral abarcan muchos campos, incluidas las ciencias físicas y naturales, la ingeniería, las ciencias sociales, la economía y los negocios, la agricultura, la salud y la medicina.

Latente vs observable

En muchas aplicaciones del mundo real, un modelo de tiempo de primer golpe (FHT) tiene tres componentes subyacentes: (1) un proceso estocástico principal ${X(t)},,$ , que puede estar latente, (2) un umbral (o la barrera) y (3) un tiempo escala _ El tiempo de primer golpe se define como el momento en que el proceso estocástico alcanza por primera vez el umbral. Es muy importante distinguir si la ruta de muestra del proceso padre es latente (es decir, no observable) u observable, y tal distinción es una característica del modelo FHT. Con mucho, los procesos latentes son los más comunes. Para dar un ejemplo, podemos usar un proceso de Wiener ${X(t),tgeq 0,},$ como proceso estocástico padre. Tal proceso de Wiener se puede definir con el parámetro medio ${mu},,$ , el parámetro de varianza ${sigma^{2}},,$ y el valor inicial 0,">.

Escala de tiempo operativa o analítica

La escala de tiempo del proceso estocástico puede ser el tiempo del calendario o del reloj o alguna medida más operativa de la progresión del tiempo, como el kilometraje de un automóvil, el desgaste acumulado en un componente de la máquina o la exposición acumulada a gases tóxicos. En muchas aplicaciones, el proceso estocástico que describe el estado del sistema es latente o no observable y sus propiedades deben inferirse indirectamente a partir de datos censurados de tiempo hasta el evento y/o lecturas tomadas a lo largo del tiempo en procesos correlacionados, como procesos de marcadores. La palabra "regresión" en la regresión de umbral se refiere a los modelos de tiempo de primer impacto en los que se insertan una o más estructuras de regresión en el modelo para conectar los parámetros del modelo a las variables explicativas o covariables. Los parámetros dados estructuras de regresión pueden ser parámetros del proceso estocástico.