Coherencia (teoría de juegos)

En un experimento mental propuesto por el probabilista italiano Bruno de Finetti para justificar la probabilidad bayesiana, un conjunto de apuestas es coherente precisamente si no expone al apostante a una pérdida segura independientemente de los resultados de los eventos en los que apuesta, incluso si su oponente toma las decisiones más juiciosas.

Probabilidades subjetivas operativas como cuotas de apuesta

Se debe fijar el precio de la promesa de pagar $1 si John Smith gana las elecciones de mañana y $0 en caso contrario. Uno sabe que el oponente de uno podrá elegir entre comprarle esa promesa al precio que uno ha fijado, o exigirle que le compre esa promesa, aún al mismo precio. En otras palabras: el jugador A establece las probabilidades, pero el jugador B decide qué lado de la apuesta tomar. El precio que se fija es la "probabilidad subjetiva operativa" que se asigna a la proposición sobre la que se apuesta.

Si se decide que John Smith tiene un 12,5 % de probabilidades de ganar (una valoración arbitraria), entonces se podría establecer una probabilidad de 7:1 en contra. Esta valoración arbitraria, la "probabilidad subjetiva operativa", determina el pago de una apuesta exitosa. $1 apostado con estas probabilidades producirá una pérdida de $1 (si Smith pierde) o una ganancia de $7 (si Smith gana). Si el $1 se coloca como condición de la apuesta, entonces el $1 también se devolverá al apostante, en caso de que el apostador gane la apuesta.

Libros holandeses

Se dice que una persona que ha fijado precios en una variedad de apuestas, de tal manera que obtendrá una ganancia neta independientemente del resultado, ha hecho un libro holandés. Cuando uno tiene un libro holandés, el oponente siempre pierde. Una persona que establece precios de manera que le da a su oponente un libro holandés no se está comportando de manera racional. Entonces, los siguientes argumentos del libro holandés muestran que los agentes racionales deben tener probabilidades subjetivas que siguen las leyes comunes de probabilidad.

Un libro holandés muy trivial.

Las reglas no prohíben un precio fijo superior a $ 1, pero un oponente prudente puede venderle un boleto de alto precio, de modo que el oponente salga adelante independientemente del resultado del evento en el que se realice la apuesta. Las reglas tampoco prohíben un precio negativo, pero un oponente puede obtener una promesa pagada del apostante para pagarle más tarde si surge cierta contingencia. En cualquier caso, el fijador de precios pierde. Estas situaciones de perder-perder son paralelas al hecho de que una probabilidad no puede exceder 1 (certeza) ni ser menor que 0 (ninguna posibilidad de ganar).

Un libro holandés más instructivo

Ahora supongamos que uno establece el precio de la promesa de pagar $1 si los Medias Rojas de Boston ganan la Serie Mundial del próximo año, y también el precio de la promesa de pagar $1 si los New York Yankees ganan, y finalmente el precio de la promesa de pagar $1 si ganan los Medias Rojas o los Yankees . Uno puede fijar los precios de tal manera que

Pero si uno fija el precio del tercer boleto por debajo de la suma de los dos primeros boletos, un oponente prudente comprará ese boleto y venderá los otros dos boletos al que fijó el precio. Al considerar los tres resultados posibles (Medias Rojas, Yankees, algún otro equipo), uno notará que, independientemente de cuál de los tres resultados ocurra, uno perderá. Un destino análogo aguarda si uno fija el precio del tercer boleto más alto que la suma de los otros dos precios. Esto es paralelo al hecho de que las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes son aditivas (ver axiomas de probabilidad).

Apuestas condicionales y probabilidades condicionales

Ahora imagina un escenario más complicado. Se deben fijar los precios de tres promesas:

• pagar $1 si los Medias Rojas ganan el juego de mañana: el comprador de esta promesa pierde su apuesta si los Medias Rojas no ganan, independientemente de si su fracaso se debe a la pérdida de un juego completo o a la cancelación del juego, y
• pagar $1 si ganan los Red Sox, y reembolsar el precio de la promesa si el juego se cancela, y
• pagar $1 si se completa el juego, independientemente de quién gane.

Hay tres resultados posibles: el juego se cancela; se juega el juego y los Medias Rojas pierden; se juega el partido y ganan los Medias Rojas. Uno puede fijar los precios de tal manera que

(donde el segundo precio anterior es el de la apuesta que incluye el reembolso en caso de cancelación). (Nota: los precios aquí son los números adimensionales obtenidos al dividir por $1, que es el pago en los tres casos). Un oponente prudente escribe tres desigualdades lineales en tres variables. Las variables son los montos que invertirán en cada una de las tres promesas; el valor de uno de estos es negativo si harán que el fijador del precio compre esa promesa y positivo si la comprará. Cada desigualdad corresponde a uno de los tres resultados posibles. Cada desigualdad establece que la ganancia neta de tu oponente es mayor que cero. Existe una solución si el determinante de la matriz no es cero. Ese determinante es:

Por lo tanto, un oponente prudente puede convertir al que fija el precio en un perdedor seguro, a menos que uno establezca sus precios de una manera que sea paralela a la caracterización convencional más simple de la probabilidad condicional.

Otro ejemplo

En la carrera del Kentucky Derby de 2015, el favorito ("American Pharaoh") se estableció ante-post en 5: 2, el segundo favorito en 3: 1 y el tercer favorito en 8: 1. Todos los demás caballos tenían probabilidades en contra de 12:1 o más. Con estas probabilidades, una apuesta de $10 en cada uno de los 18 titulares resultaría en una pérdida neta si el favorito o el segundo favorito ganaran.

Sin embargo, si se supone que ningún caballo cotizado en 12:1 o superior ganará, y se apuesta $10 a cada uno de los tres primeros, se garantiza al menos una pequeña ganancia. El favorito (que ganó) daría como resultado un pago de $25, más la apuesta devuelta de $10, dando un saldo final de $35 (un aumento neto de $5). Una victoria del segundo favorito produciría un pago de $30 más la apuesta original de $10, para un aumento neto de $10. Una victoria del tercer favorito da $80 más los $10 originales, para un aumento neto de $60.

Este tipo de estrategia, en lo que respecta solo a los tres primeros, forma un libro holandés. Sin embargo, si uno considera a los dieciocho contendientes, entonces no existe ningún libro holandés para esta carrera.

Coherencia

Se puede demostrar que el conjunto de precios es coherente cuando satisface los axiomas de probabilidad y los resultados relacionados, como el principio de inclusión-exclusión (pero no necesariamente la aditividad contable).