Michael Atiyah

Sir Michael Francis Atiyah OM PRS FRSE FMedSci FAA FREng (22 de abril de 1929 - 11 de enero de 2019) fue un matemático británico-libanés especializado en geometría. Sus contribuciones incluyen el teorema del índice de Atiyah-Singer y la teoría K topológica cofundadora. Fue galardonado con la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004.

Vida

Atiyah creció en Sudán y Egipto, pero pasó la mayor parte de su vida académica en el Reino Unido en la Universidad de Oxford y la Universidad de Cambridge y en los Estados Unidos en el Instituto de Estudios Avanzados. Fue presidente de la Royal Society (1990–1995), director fundador del Instituto Isaac Newton (1990–1996), maestro del Trinity College, Cambridge (1990–1997), rector de la Universidad de Leicester (1995–2005) y presidente de la Royal Society of Edinburgh (2005-2008). Desde 1997 hasta su muerte, fue profesor honorario en la Universidad de Edimburgo.

Los colaboradores matemáticos de Atiyah incluyeron a Raoul Bott, Friedrich Hirzebruch e Isadore Singer, y sus estudiantes incluyeron a Graeme Segal, Nigel Hitchin, Simon Donaldson y Edward Witten. Junto con Hirzebruch, sentó las bases de la teoría K topológica, una herramienta importante en la topología algebraica que, informalmente hablando, describe las formas en que se pueden torcer los espacios. Su resultado más conocido, el teorema del índice de Atiyah-Singer, fue demostrado con Singer en 1963 y se utiliza para contar el número de soluciones independientes de ecuaciones diferenciales. Parte de su trabajo más reciente se inspiró en la física teórica, en particular, los monopolos y los instantens, que son responsables de algunas correcciones en la teoría cuántica de campos. Fue galardonado con la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004.

Vida temprana y educación

Great Court of Trinity College, Cambridge, where Atiyah was a student and later Master

Atiyah nació el 22 de abril de 1929 en Hampstead, Londres, Inglaterra, hijo de Jean (de soltera Levens) y Edward Atiyah. Su madre era escocesa y su padre un cristiano ortodoxo libanés. Tenía dos hermanos, Patrick (fallecido) y Joe, y una hermana, Selma (fallecida). Atiyah asistió a la escuela primaria en la escuela diocesana de Jartum, Sudán (1934–1941), ya la escuela secundaria en el Victoria College de El Cairo y Alejandría (1941–1945); a la escuela también asistieron la nobleza europea desplazada por la Segunda Guerra Mundial y algunos futuros líderes de las naciones árabes. Regresó a Inglaterra y Manchester Grammar School para sus estudios HSC (1945-1947) e hizo su servicio nacional con los Ingenieros Mecánicos y Eléctricos Reales (1947-1949). Sus estudios de pregrado y posgrado se realizaron en el Trinity College de Cambridge (1949-1955). Fue estudiante de doctorado de William V. D. Hodge y obtuvo un doctorado en 1955 por una tesis titulada Algunas aplicaciones de métodos topológicos en geometría algebraica.

Atiyah era miembro de la Asociación Humanista Británica.

Durante su tiempo en Cambridge, fue presidente de The Archimedeans.

Carrera e investigación

The Institute for Advanced Study in Princeton, where Atiyah was professor from 1969 to 1972

Atiyah pasó el año académico 1955-1956 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, luego regresó a la Universidad de Cambridge, donde fue investigador y profesor asistente (1957-1958), luego profesor universitario y tutor en Pembroke. Colegio, Cambridge (1958-1961). En 1961, se trasladó a la Universidad de Oxford, donde fue lector y profesor en el St. Catherine's College (1961-1963). Se convirtió en profesor Savilian de Geometría y miembro del New College, Oxford, de 1963 a 1969. Asumió una cátedra de tres años en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, después de lo cual regresó a Oxford como profesor de investigación de la Royal Society y profesor asociado del St Catherine's College. Fue presidente de la Sociedad Matemática de Londres de 1974 a 1976.

Atiyah fue presidente de las Conferencias Pugwash sobre Ciencia y Asuntos Mundiales de 1997 a 2002. También contribuyó a la fundación del Panel Interacadémico sobre Asuntos Internacionales, la Asociación de Academias Europeas (ALLEA) y la Sociedad Matemática Europea (EMS).).

Dentro del Reino Unido, participó en la creación del Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge y fue su primer director (1990–1996). Fue presidente de la Royal Society (1990–1995), maestro del Trinity College, Cambridge (1990–1997), rector de la Universidad de Leicester (1995–2005) y presidente de la Royal Society of Edinburgh (2005–2008). Desde 1997 hasta su muerte en 2019 fue profesor honorario en la Universidad de Edimburgo. Fue fideicomisario de la Fundación James Clerk Maxwell.

Colaboraciones

El antiguo Instituto Matemático (ahora el Departamento de Estadística) en Oxford, donde Atiyah supervisó a muchos de sus estudiantes

Atiyah colaboró con muchos matemáticos. Sus tres colaboraciones principales fueron con Raoul Bott en el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott y muchos otros temas, con Isadore M. Singer en el teorema del índice de Atiyah-Singer y con Friedrich Hirzebruch en la teoría K topológica, a todos los cuales conoció. en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1955. Sus otros colaboradores incluyeron; J. Frank Adams (problema de la invariante de Hopf), Jürgen Berndt (planos proyectivos), Roger Bielawski (problema de Berry-Robbins), Howard Donnelly (funciones L), Vladimir G. Drinfeld (instantones), Johan L. Dupont (singularidades del vector campos), Lars Gårding (ecuaciones diferenciales hiperbólicas), Nigel J. Hitchin (monopolos), William V. D. Hodge (Integrales de segunda especie), Michael Hopkins (teoría K), Lisa Jeffrey (Lagrangianas topológicas), John D. S. Jones (Yang –Teoría de Mills), Juan Maldacena (teoría M), Yuri I. Manin (instantones), Nick S. Manton (Skyrmions), Vijay K. Patodi (asimetría espectral), A. N. Pressley (convexidad), Elmer Rees (paquetes vectoriales), Wilfried Schmid (representaciones de series discretas), Graeme Segal (teoría K equivariante), Alexander Shapiro (álgebras de Clifford), L. Smith (grupos homotópicos de esferas), Paul Sutcliffe (poliedros), David O. Tall (anillos lambda), John A. Todd (variedades de Stiefel), Cumrun Vafa (teoría M), Richard S. Ward (instantones) y Edward Witten (teoría M, topología teorías cuánticas de campos).

Su investigación posterior sobre las teorías de campo gauge, en particular la teoría de Yang-Mills, estimuló importantes interacciones entre la geometría y la física, sobre todo en el trabajo de Edward Witten.

Estudiantes de Atiyah incluidos Pedro Braam 1987, Simón Donaldson 1983, K. David Elworthy 1967, Howard Fegan 1977, Eric Grunwald 1977, Nigel Hitchin 1972, Lisa Jeffrey 1991, Frances Kirwan 1984, Peter Kronheimer 1986, Ruth Lawrence 1989, Jorge Lusztig 1971, Jack Morava 1968, Michael Murray 1983, Peter Newstead 1966, Ian R. Porteous 1961, Juan Roe 1985, brian sanderson 1963, Rolph Schwarzenberger 1960, Graeme Segal 1967, david alto 1966, y Graham White 1982.

Otros matemáticos contemporáneos que influyeron en Atiyah incluyen a Roger Penrose, Lars Hörmander, Alain Connes y Jean-Michel Bismut. Atiyah dijo que el matemático que más admiraba era Hermann Weyl, y que sus matemáticos favoritos de antes del siglo XX eran Bernhard Riemann y William Rowan Hamilton.

Los siete volúmenes de los trabajos recopilados de Atiyah incluyen la mayor parte de su trabajo, a excepción de su libro de texto de álgebra conmutativa; los primeros cinco volúmenes están divididos temáticamente y el sexto y séptimo ordenados por fecha.

Geometría algebraica (1952–1958)

Una curva cúbica retorcida, el tema del primer papel de Atiyah

Los primeros artículos de Atiyah sobre geometría algebraica (y algunos artículos generales) se reproducen en el primer volumen de sus obras completas.

Como estudiante universitario, Atiyah estaba interesado en la geometría proyectiva clásica y escribió su primer artículo: una breve nota sobre cúbicas torcidas. Comenzó a investigar con W. V. D. Hodge y ganó el premio Smith's en 1954 por un enfoque teórico de las superficies regladas, lo que alentó a Atiyah a continuar con las matemáticas, en lugar de cambiar a sus otros intereses: la arquitectura y la arqueología. Su tesis doctoral con Hodge fue sobre un enfoque teórico de la gavilla de la teoría de integrales de segundo tipo de variedades algebraicas de Solomon Lefschetz, y resultó en una invitación para visitar el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton durante un año. Mientras estuvo en Princeton, clasificó paquetes vectoriales en una curva elíptica (extendiendo la clasificación de Alexander Grothendieck de paquetes vectoriales en una curva de género 0), mostrando que cualquier paquete vectorial es una suma de paquetes vectoriales indescomponibles (esencialmente únicos), y luego mostrando que el espacio de haces vectoriales indescomponibles de grado dado y dimensión positiva se puede identificar con la curva elíptica. También estudió puntos dobles en superficies, dando el primer ejemplo de un flop, una transformación birracional especial de 3 pliegues que luego se usó mucho en el trabajo de Shigefumi Mori sobre modelos mínimos para 3 pliegues. El fracaso de Atiyah también se puede utilizar para mostrar que la familia marcada universal de superficies K3 no es Hausdorff.

Teoría K (1959-1974)

Una banda Möbius es el ejemplo no-trivial más simple de un paquete vectorial.

Los trabajos de Atiyah sobre la teoría K, incluido su libro sobre la teoría K, se reproducen en el volumen 2 de sus obras completas.

El ejemplo no trivial más simple de un paquete vectorial es la banda de Möbius (en la imagen de la derecha): una tira de papel con un giro, que representa un paquete vectorial de rango 1 sobre un círculo (el círculo en cuestión es la línea central de la banda de Möbius). La teoría K es una herramienta para trabajar con análogos de dimensiones superiores de este ejemplo, o en otras palabras, para describir torsiones de dimensiones superiores: los elementos del grupo K de un espacio están representados por haces vectoriales sobre él, por lo que la banda de Möbius representa un elemento del grupo K de un círculo.

La teoría K topológica fue descubierta por Atiyah y Friedrich Hirzebruch, quienes se inspiraron en la demostración de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch y el trabajo de Bott sobre el teorema de periodicidad. Este documento solo discutió el grupo K cero; poco después lo extendieron a K-grupos de todos los grados, dando el primer ejemplo (no trivial) de una teoría de cohomología generalizada.

Varios resultados mostraron que la teoría K recientemente introducida era, en cierto modo, más poderosa que la teoría de la cohomología ordinaria. Atiyah y Todd usaron la teoría K para mejorar los límites inferiores encontrados usando la cohomología ordinaria de Borel y Serre para el número de James, que describe cuándo un mapa de una variedad compleja de Stiefel a una esfera tiene una sección transversal. (Adams y Grant-Walker demostraron más tarde que el límite encontrado por Atiyah y Todd era el mejor posible). Atiyah y Hirzebruch usaron la teoría K para explicar algunas relaciones entre las operaciones de Steenrod y las clases de Todd que Hirzebruch había notado unos años antes. La solución original de las operaciones de un problema del invariante de Hopf de J. F. Adams fue muy larga y complicada, utilizando operaciones de cohomología secundaria. Atiyah mostró cómo las operaciones primarias en la teoría K podrían usarse para dar una solución corta que toma solo unas pocas líneas, y en el trabajo conjunto con Adams también demostró análogos del resultado en números primos impares.

Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch (derecha), los creadores de la teoría K

La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch relaciona la cohomología ordinaria de un espacio con su teoría de cohomología generalizada. (Atiyah y Hirzebruch usaron el caso de la teoría K, pero su método funciona para todas las teorías de cohomología).

Atiyah demostró que para un grupo finito G, la teoría K de su espacio de clasificación, BG, es isomorfa a la finalización de su anillo de caracteres:

K()BG).. R()G)∧ ∧ .{displaystyle K(BG)cong R(G)^{wedge }

El mismo año demostraron el resultado G cualquier grupo compacto conectado Lie. Aunque pronto el resultado podría ampliarse Todos compacto Grupos de mentiras incorporando resultados de la tesis de Graeme Segal, esa extensión fue complicada. Sin embargo, se produjo una prueba más simple y general introduciendo la teoría K equivariante, i.e. Clases de equivalencia G- bultos de tractor sobre un compacto G- espacio X. Se demostró que bajo condiciones adecuadas la terminación de la teoría K equivariante X es isomorfa a la teoría K ordinaria de un espacio, XG{displaystyle X_{G}, que se filo BG con fibra X:

KG()X)∧ ∧ .. K()XG).{displaystyle K_{G}(X)^{wedge }cong K(X_{G}).}

El resultado original siguió entonces como corolario al tomar X como un punto: el lado izquierdo reducido a la terminación de R(G) y el lado derecho a K(BG). Consulte el teorema de finalización de Atiyah-Segal para obtener más detalles.

Definió nuevas teorías generalizadas de homología y cohomología llamadas bordismo y cobordismo, y señaló que muchos de los resultados profundos sobre el cobordismo de variedades encontrados por René Thom, C. T. C. Wall y otros podrían reinterpretarse naturalmente como afirmaciones sobre estas teorías de cohomología. Algunas de estas teorías de cohomología, en particular el cobordismo complejo, resultaron ser algunas de las teorías de cohomología más poderosas que se conocen.

Introdujo el grupo J J(X) de un complejo finito X, definido como el grupo de clases de equivalencia de homotopía de fibra estable de haces de esferas; esto fue posteriormente estudiado en detalle por J. F. Adams en una serie de artículos, lo que condujo a la conjetura de Adams.

Con Hirzebruch, extendió el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a incrustaciones analíticas complejas y, en un artículo relacionado, demostraron que la conjetura de Hodge para la cohomología integral es falsa. La conjetura de Hodge para la cohomología racional es, a partir de 2008, un problema importante sin resolver.

El teorema de periodicidad de Bott fue un tema central en el trabajo de Atiyah sobre la teoría K, y volvió a él en repetidas ocasiones, reelaborando la prueba varias veces para comprenderla mejor. Con Bott elaboró una prueba elemental y dio otra versión de ella en su libro. Con Bott y Shapiro analizó la relación de la periodicidad de Bott con la periodicidad de las álgebras de Clifford; aunque este documento no tenía una prueba del teorema de periodicidad, R. Wood encontró poco después una prueba similar. Encontró una prueba de varias generalizaciones usando operadores elípticos; esta nueva prueba usó una idea que usó para dar una prueba particularmente corta y fácil del teorema de periodicidad original de Bott.

Teoría de índices (1963–1984)

Isadore Singer (en 1977), que trabajó con Atiyah en la teoría del índice

El trabajo de Atiyah sobre la teoría de índices se reproduce en los volúmenes 3 y 4 de sus obras completas.

El índice de un operador diferencial está estrechamente relacionado con el número de soluciones independientes (más precisamente, son las diferencias de los números de soluciones independientes del operador diferencial y su adjunto). Hay muchos problemas difíciles y fundamentales en matemáticas que pueden reducirse fácilmente al problema de encontrar el número de soluciones independientes de algún operador diferencial, por lo que si uno tiene algún medio para encontrar el índice de un operador diferencial, estos problemas a menudo se pueden resolver. Esto es lo que hace el teorema del índice de Atiyah-Singer: da una fórmula para el índice de ciertos operadores diferenciales, en términos de invariantes topológicos que parecen bastante complicados pero que en la práctica suelen ser sencillos de calcular.

Varios teoremas profundos, como el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, son casos especiales del teorema del índice de Atiyah-Singer. De hecho, el teorema del índice dio un resultado más poderoso, porque su demostración se aplicaba a todas las variedades complejas compactas, mientras que la demostración de Hirzebruch solo funcionaba para las variedades proyectivas. También hubo muchas aplicaciones nuevas: una típica es calcular las dimensiones de los espacios de módulos de instantones. El teorema del índice también se puede ejecutar 'a la inversa': el índice es obviamente un número entero, por lo que la fórmula también debe dar un número entero, lo que a veces da condiciones sutiles de integralidad en invariantes de variedades. Un ejemplo típico de esto es el teorema de Rochlin, que se deriva del teorema del índice.

El problema de índice para operadores diferenciales elípticos fue planteado en 1959 por Gel'fand. Se dio cuenta de la invariancia homotópica del índice y pidió una fórmula por medio de invariantes topológicos. Algunos de los ejemplos motivadores incluyeron el teorema de Riemann-Roch y su generalización, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, y el teorema de la firma de Hirzebruch. Hirzebruch y Borel habían demostrado la integralidad del género  de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integralidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).

El primer anuncio del teorema de Atiyah-Singer fue su artículo de 1963. La prueba esbozada en este anuncio se inspiró en la prueba de Hirzebruch del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y nunca fue publicada por ellos, aunque se describe en el libro de Palais. Su primera prueba publicada fue más similar a la prueba de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch, reemplazando la teoría del cobordismo de la primera prueba con la teoría K, y usaron este enfoque para dar pruebas de varias generalizaciones en una secuencia. de artículos de 1968 a 1971.

En lugar de un solo operador elíptico, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizados por algún espacio Y. En este caso, el índice es un elemento de la teoría K de Y, en lugar de un número entero. Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice se encuentra en la teoría K real de Y. Esto proporciona un poco de información adicional, ya que el mapa de la teoría K real de Y a la teoría K compleja no siempre es inyectivo.

El ex alumno de Atiyah Graeme Segal (en 1982), que trabajó con Atiyah en la teoría K equivariante

Con Bott, Atiyah encontró un análogo de la fórmula de punto fijo de Lefschetz para operadores elípticos, dando el número de Lefschetz de un endomorfismo de un complejo elíptico en términos de una suma sobre los puntos fijos del endomorfismo. Como casos especiales, su fórmula incluía la fórmula del carácter de Weyl y varios resultados nuevos sobre curvas elípticas con multiplicación compleja, algunos de los cuales inicialmente no creyeron los expertos. Atiyah y Segal combinaron este teorema del punto fijo con el teorema del índice de la siguiente manera. Si hay una acción de grupo compacto de un grupo G en la variedad compacta X, conmutando con el operador elíptico, entonces uno puede reemplazar la teoría K ordinaria en el teorema del índice con equivariante K-teoría. Para grupos triviales G esto da el teorema del índice, y para un grupo finito G que actúa con puntos fijos aislados da el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott. En general da el índice como una suma sobre subvariedades de punto fijo del grupo G.

Atiyah resolvió un problema planteado de forma independiente por Hörmander y Gel'fand, sobre si las potencias complejas de las funciones analíticas definen las distribuciones. Atiyah usó la resolución de singularidades de Hironaka para responder afirmativamente. Aproximadamente al mismo tiempo, J. Bernstein encontró una solución ingeniosa y elemental, y Atiyah la discutió.

Como una aplicación del teorema del índice equivariante, Atiyah y Hirzebruch demostraron que las variedades con acciones circulares efectivas tienen un género  que se desvanece. (Lichnerowicz demostró que si una variedad tiene una métrica de curvatura escalar positiva, el género  desaparece).

Con Elmer Rees, Atiyah estudió el problema de la relación entre haces de vectores topológicos y holomorfos en el espacio proyectivo. Resolvieron el caso desconocido más simple, al mostrar que todos los paquetes de vectores de rango 2 sobre 3 espacios proyectivos tienen una estructura holomorfa. Horrocks había encontrado previamente algunos ejemplos no triviales de tales paquetes de vectores, que Atiyah utilizó más tarde en su estudio de instantones en las 4 esferas.

Raoul Bott, que trabajó con Atiyah en fórmulas de punto fijo y varios otros temas

Atiyah, Bott y Vijay K. Patodi dieron una nueva prueba del teorema del índice utilizando la ecuación del calor.

Si se permite que la variedad tenga límite, entonces se deben poner algunas restricciones en el dominio del operador elíptico para asegurar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones del dominio desaparezcan en el límite) o condiciones globales más complicadas (como exigir que las secciones del dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). El caso local fue elaborado por Atiyah y Bott, pero demostraron que muchos operadores interesantes (p. ej., el operador de la firma) no admiten las condiciones de contorno locales. Para manejar estos operadores, Atiyah, Patodi y Singer introdujeron condiciones de frontera globales equivalentes a adjuntar un cilindro a la variedad a lo largo de la frontera y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son cuadradas integrables a lo largo del cilindro, y también introdujeron Atiyah-Patodi-Singer eta invariante. Esto dio lugar a una serie de artículos sobre asimetría espectral, que más tarde se utilizaron inesperadamente en física teórica, en particular en el trabajo de Witten sobre anomalías.

Las lacunas discutidas por Petrovsky, Atiyah, Bott y Gårding son similares a los espacios entre ondas de choque de un objeto supersónico.

Las soluciones fundamentales de las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas lineales a menudo tienen lagunas de Petrovsky: regiones donde desaparecen de manera idéntica. Estos fueron estudiados en 1945 por I. G. Petrovsky, quien encontró condiciones topológicas que describían qué regiones eran lagunas. En colaboración con Bott y Lars Gårding, Atiyah escribió tres artículos que actualizaban y generalizaban el trabajo de Petrovsky.

Atiyah mostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, sobre las que actúa un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es, en general, de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito utilizando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann; este índice es en general real en lugar de un valor entero. Esta versión se llama el teorema del índice L², y fue utilizada por Atiyah y Schmid para dar una construcción geométrica, usando espinores armónicos cuadrados integrables, de Harish-Chandra' Representaciones en series discretas de grupos de Lie semisimples. En el transcurso de este trabajo encontraron una demostración más elemental del teorema fundamental de Harish-Chandra sobre la integrabilidad local de los caracteres de los grupos de Lie.

Con H. Donnelly e I. Singer, extendió la fórmula de Hirzebruch (relacionando el defecto característico en las cúspides de las superficies modulares de Hilbert con los valores de las funciones L) de los campos cuadráticos reales a todos los campos totalmente reales.

Teoría de calibre (1977–1985)

A la izquierda, dos monopolios cercanos de la misma polaridad se repelen, y a la derecha dos monopolios cercanos de la polaridad opuesta forman una dipole. Estos son monopolios abelios; los no abelios estudiados por Atiyah son más complicados.

Muchos de sus artículos sobre la teoría de calibre y temas relacionados se reproducen en el volumen 5 de sus obras completas. Un tema común de estos artículos es el estudio de los espacios de módulos de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales, en particular las ecuaciones para instantones y monopolos. Esto a menudo implica encontrar una correspondencia sutil entre las soluciones de dos ecuaciones aparentemente muy diferentes. Un ejemplo temprano de esto que Atiyah usó repetidamente es la transformada de Penrose, que a veces puede convertir soluciones de una ecuación no lineal sobre una variedad real en soluciones de algunas ecuaciones holomorfas lineales sobre una variedad compleja diferente.

En una serie de artículos con varios autores, Atiyah clasificó todos los instantenes en un espacio euclidiano de 4 dimensiones. Es más conveniente clasificar los instantones en una esfera, ya que es compacto, y esto es esencialmente equivalente a clasificar los instantones en el espacio euclidiano, ya que es conformemente equivalente a una esfera y las ecuaciones para los instantenes son conformemente invariantes. Con Hitchin y Singer, calculó la dimensión del espacio de módulos de conexiones autoduales irreducibles (instantones) para cualquier paquete principal sobre una variedad riemanniana compacta de 4 dimensiones (el teorema de Atiyah-Hitchin-Singer). Por ejemplo, la dimensión del espacio de SU₂ instantes de rango k>0 es 8k−3. Para ello utilizaron el teorema del índice de Atiyah-Singer para calcular la dimensión del espacio tangente del espacio de módulos en un punto; el espacio tangente es esencialmente el espacio de soluciones de un operador diferencial elíptico, dado por la linealización de las ecuaciones de Yang-Mills no lineales. Estos espacios de módulos fueron utilizados más tarde por Donaldson para construir sus invariantes de 4-variedades. Atiyah y Ward utilizaron la correspondencia de Penrose para reducir la clasificación de todos los instantenes en las 4 esferas a un problema de geometría algebraica. Con Hitchin usó ideas de Horrocks para resolver este problema, dando la construcción ADHM de todos los instantes en una esfera; Manin y Drinfeld encontraron la misma construcción al mismo tiempo, lo que llevó a un artículo conjunto de los cuatro autores. Atiyah reformuló esta construcción utilizando cuaterniones y redactó un relato pausado de esta clasificación de instantones en el espacio euclidiano en forma de libro.

El trabajo de Atiyah sobre espacios de módulos instantáneos se utilizó en el trabajo de Donaldson sobre la teoría de Donaldson. Donaldson demostró que el espacio de módulos de instantenes (grado 1) sobre una variedad compacta de 4 simplemente conectada con forma de intersección definida positiva se puede compactar para dar un cobordismo entre la variedad y una suma de copias del espacio proyectivo complejo. Dedujo de esto que la forma de intersección debe ser una suma de las unidimensionales, lo que condujo a varias aplicaciones espectaculares para suavizar 4-variedades, como la existencia de estructuras suaves no equivalentes en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Donaldson pasó a utilizar los otros espacios de módulos estudiados por Atiyah para definir los invariantes de Donaldson, lo que revolucionó el estudio de las 4-variedades suaves y demostró que eran más sutiles que las variedades suaves en cualquier otra dimensión, y también bastante diferentes de las 4-variedades topológicas. colectores. Atiyah describió algunos de estos resultados en una charla de encuesta.

Las funciones de Green para ecuaciones diferenciales parciales lineales a menudo se pueden encontrar usando la transformada de Fourier para convertir esto en un problema algebraico. Atiyah usó una versión no lineal de esta idea. Usó la transformada de Penrose para convertir la función de Green para el laplaciano conformemente invariante en un objeto analítico complejo, que resultó ser esencialmente la incrustación diagonal del espacio twistor de Penrose en su cuadrado. Esto le permitió encontrar una fórmula explícita para la función de Green invariante conforme en una variedad de 4.

En su artículo con Jones, estudió la topología del espacio de módulos de instantes SU(2) sobre una esfera de 4. Demostraron que el mapa natural de este espacio de módulos al espacio de todas las conexiones induce epimorfismos de grupos de homología en un cierto rango de dimensiones, y sugirieron que podría inducir isomorfismos de grupos de homología en el mismo rango de dimensiones. Esto se conoció como la conjetura de Atiyah-Jones y luego fue probado por varios matemáticos.

Harder y M. S. Narasimhan describieron la cohomología de los espacios de módulos de haces de vectores estables sobre superficies de Riemann contando el número de puntos de los espacios de módulos sobre campos finitos y luego usando las conjeturas de Weil para recuperar la cohomología sobre los números complejos. Atiyah y R. Bott utilizaron la teoría de Morse y las ecuaciones de Yang-Mills sobre una superficie de Riemann para reproducir y ampliar los resultados de Harder y Narasimhan.

Un resultado antiguo debido a Schur y Horn establece que el conjunto de posibles vectores diagonales de una matriz hermítica con valores propios dados es la envolvente convexa de todas las permutaciones de los valores propios. Atiyah demostró una generalización de esto que se aplica a todas las variedades simplécticas compactas sobre las que actúa un toro, mostrando que la imagen de la variedad bajo el mapa de momentos es un poliedro convexo, y con Pressley dio una generalización relacionada a grupos de bucles de dimensión infinita.

Duistermaat y Heckman encontraron una fórmula llamativa, diciendo que el avance de la medida de Liouville de un mapa de momentos para una acción de toro está dado exactamente por la aproximación de fase estacionaria (que en general es solo una expansión asintótica en lugar de exacta). Atiyah y Bott demostraron que esto podía deducirse de una fórmula más general en cohomología equivariante, que era consecuencia de teoremas de localización bien conocidos. Atiyah demostró que el mapa de momentos estaba estrechamente relacionado con la teoría de la invariante geométrica, y esta idea fue posteriormente desarrollada mucho más por su alumno F. Kirwan. Poco después, Witten aplicó la fórmula de Duistermaat-Heckman a los espacios de bucle y demostró que esto daba formalmente el teorema del índice de Atiyah-Singer para el operador de Dirac; esta idea fue disertada por Atiyah.

Con Hitchin, trabajó en monopolos magnéticos y estudió su dispersión utilizando una idea de Nick Manton. Su libro con Hitchin da una descripción detallada de su trabajo sobre monopolos magnéticos. El tema principal del libro es un estudio de un espacio de módulos de monopolos magnéticos; esto tiene una métrica natural de Riemann, y un punto clave es que esta métrica es completa e hiperkähler. Luego, la métrica se usa para estudiar la dispersión de dos monopolos, utilizando una sugerencia de N. Manton de que el flujo geodésico en el espacio de módulos es la aproximación de baja energía a la dispersión. Por ejemplo, muestran que una colisión frontal entre dos monopolos da como resultado una dispersión de 90 grados, y la dirección de la dispersión depende de las fases relativas de los dos monopolos. También estudió monopolos en el espacio hiperbólico.

Atiyah demostró que los instantones en 4 dimensiones se pueden identificar con los instantones en 2 dimensiones, que son mucho más fáciles de manejar. Por supuesto, hay una trampa: al pasar de 4 a 2 dimensiones, el grupo de estructura de la teoría de calibre cambia de un grupo de dimensión finita a un grupo de bucle de dimensión infinita. Esto da otro ejemplo en el que los espacios de módulos de las soluciones de dos ecuaciones diferenciales parciales no lineales aparentemente no relacionadas resultan ser esencialmente las mismas.

Atiyah y Singer descubrieron que las anomalías en la teoría cuántica de campos podían interpretarse en términos de la teoría de índices del operador de Dirac; esta idea más tarde fue ampliamente utilizada por los físicos.

Trabajo posterior (1986-2019)

Edward Witten, cuyo trabajo sobre invariantes de múltiples and topological quantum field theorys fue influenciado por Atiyah

Muchos de los artículos del sexto volumen de sus obras completas son encuestas, obituarios y charlas generales. Atiyah continuó publicando posteriormente, incluidas varias encuestas, un libro popular y otro artículo con Segal sobre la teoría K retorcida.

Un artículo es un estudio detallado de la función eta de Dedekind desde el punto de vista de la topología y el teorema del índice.

Varios de sus artículos de esta época estudian las conexiones entre la teoría cuántica de campos, los nudos y la teoría de Donaldson. Introdujo el concepto de una teoría de campo cuántica topológica, inspirado en el trabajo de Witten y la definición de Segal de una teoría de campo conforme. Su libro "The Geometry and Physics of Knots" describe las nuevas invariantes de nudos encontradas por Vaughan Jones y Edward Witten en términos de teorías de campos cuánticos topológicos, y su artículo con L. Jeffrey explica el Lagrangiano de Witten dando las invariantes de Donaldson.

Estudió skyrmions con Nick Manton, encontró una relación con monopolos magnéticos e instantones, y dio una conjetura para la estructura del espacio de módulos de dos skyrmions como cierto subcociente de 3-espacio proyectivo complejo.

Varios artículos se inspiraron en una pregunta de Jonathan Robbins (llamado el problema de Berry-Robbins), quien preguntó si existe un mapa desde el espacio de configuración de n puntos en 3 espacios hasta la bandera múltiple del grupo unitario. Atiyah dio una respuesta afirmativa a esta pregunta, pero sintió que su solución era demasiado computacional y estudió una conjetura que daría una solución más natural. También relacionó la pregunta con la ecuación de Nahm e introdujo la conjetura de Atiyah sobre las configuraciones.

Con Juan Maldacena y Cumrun Vafa, y E. Witten describió la dinámica de la teoría M sobre variedades con holonomía G2. Estos documentos parecen ser la primera vez que Atiyah trabajó en grupos de Lie excepcionales.

En sus artículos con M. Hopkins y G. Segal, volvió a su interés anterior por la teoría K y describió algunas formas distorsionadas de la teoría K con aplicaciones en la física teórica.

En octubre de 2016, afirmó una breve prueba de la inexistencia de estructuras complejas en las 6 esferas. Su prueba, como la de muchos predecesores, es considerada defectuosa por la comunidad matemática, incluso después de que la prueba fue reescrita en una forma revisada.

En el Heidelberg Laureate Forum de 2018, afirmó haber resuelto la hipótesis de Riemann, el octavo problema de Hilbert, por contradicción utilizando la constante de estructura fina. Nuevamente, la prueba no se sostuvo y la hipótesis sigue siendo uno de los seis Problemas del Premio del Milenio en matemáticas sin resolver, a partir de 2022.

Premios y distinciones

Los locales de la Royal Society, donde Atiyah fue presidente de 1990 a 1995

Vida privada

Atiyah se casó con Lily Brown el 30 de julio de 1955, con quien tuvo tres hijos, John, David y Robin. El hijo mayor de Atiyah, John, murió el 24 de junio de 2002 durante unas vacaciones de senderismo en los Pirineos con su esposa Maj-Lis. Lily Atiyah murió el 13 de marzo de 2018 a la edad de 90 años.