Medio espacio (geometría)

En geometría, un medio espacio es cualquiera de las dos partes en las que un plano divide el espacio euclidiano tridimensional. Si el espacio es bidimensional, entonces un semiespacio se llama semiplano (abierto o cerrado). Un medio espacio en un espacio unidimensional se llama media línea o rayo.

De manera más general, un medio espacio es cualquiera de las dos partes en las que un hiperplano divide un espacio afín. Es decir, los puntos que no inciden en el hiperplano se dividen en dos conjuntos convexos (es decir, semiespacios), de modo que cualquier subespacio que conecte un punto de un conjunto con un punto del otro debe cruzar el hiperplano.

Un medio espacio puede estar abierto o cerrado. Un medio espacio abierto es cualquiera de los dos conjuntos abiertos producidos por la resta de un hiperplano del espacio afín. Un medio espacio cerrado es la unión de un semiespacio abierto y el hiperplano que lo define.

El medio espacio superior abierto (cerrado) es el medio espacio de todos (x₁, x₂,..., x_n) tal que x< sub>n > 0 (≥ 0). El medio espacio inferior abierto (cerrado) se define de manera similar, al requerir que x_n sea negativo (no -positivo).

Un semiespacio puede especificarse mediante una desigualdad lineal, derivada de la ecuación lineal que especifica el hiperplano que lo define. Una desigualdad lineal estricta especifica un semiespacio abierto:

${displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots #$

Uno no estricto especifica un medio espacio cerrado:

${displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots # A_{n}x_{n}geq b)$

Aquí se supone que no todos los números reales a₁, a₂,...., a_n son cero.

Un semiespacio es un conjunto convexo.