Medida neutral al riesgo

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Medida de probabilidad

En finanzas matemáticas, una medida neutral al riesgo (también llamada medida de equilibrio o medida martingala equivalente) es una medida de probabilidad tal que el precio de cada acción sea exactamente igual a la expectativa descontada del precio de la acción bajo esta medida. Esto se utiliza mucho en la fijación de precios de derivados financieros debido al teorema fundamental de la fijación de precios de activos, que implica que en un mercado completo, el precio de un derivado es el valor esperado descontado del pago futuro bajo la única medida neutral al riesgo.. Tal medida existe si y sólo si el mercado está libre de arbitraje.

Una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad

La forma más fácil de recordar cuál es la medida neutral al riesgo, o de explicársela a un generalista de probabilidades que tal vez no sepa mucho sobre finanzas, es darse cuenta de que es:

La medida de probabilidad de una variable aleatoria transformada. Típicamente esta transformación es la función de utilidad del pago. La medida neutral de riesgo sería la medida correspondiente a una expectativa del pago con una utilidad lineal.
An implícitas Medida de probabilidad, que es una implícita de los precios observables/postados/traidos actuales de los instrumentos pertinentes. Relevant means those instruments that are causally linked to the events in the probability space under consideration (i.e. underlying prices plus derivatives), and
Es la medida de probabilidad implícita (si es una especie de problema inverso) que se define utilizando una utilidad lineal (no neutro) en el pago, asumiendo algún modelo conocido para el pago. Esto significa que trata de encontrar la medida neutral del riesgo resolviendo la ecuación en la que los precios actuales son el valor actual esperado de los pagos futuros bajo la medida neutral del riesgo. El concepto de una medida única de riesgo neutro es más útil cuando se imagina hacer precios a través de una serie de derivados que lo haría. hacer una medida única de riesgo-neutral, ya que implica una clase de consistencia en los precios hipotéticos intraded, y teóricamente apunta a arbitrar oportunidades en mercados donde los precios de la puja / el ask son visibles.

También vale la pena señalar que en la mayoría de las aplicaciones introductorias en finanzas, los pagos bajo consideración son deterministas dado el conocimiento de los precios en algún momento terminal o futuro. Esto no es estrictamente necesario para hacer uso de estas técnicas.

Motivar el uso de medidas neutrales al riesgo

Los precios de los activos dependen crucialmente de su riesgo, ya que los inversores normalmente exigen más ganancias por asumir más riesgos. Por lo tanto, el precio actual de un derecho sobre un monto riesgoso realizado mañana generalmente diferirá de su valor esperado. Lo más habitual es que los inversores sean reacios al riesgo y el precio actual esté por debajo de las expectativas, lo que remunera a quienes asumen el riesgo (al menos en los grandes mercados financieros; ejemplos de mercados que buscan riesgos son los casinos y loterías).

Por lo tanto, para fijar el precio de los activos, los valores esperados calculados deben ajustarse a las preferencias de riesgo del inversor (véase también el índice de Sharpe). Lamentablemente, las tasas de descuento variarían entre los inversores y la preferencia de riesgo de un individuo es difícil de cuantificar.

Resulta que en un mercado completo sin oportunidades de arbitraje existe una forma alternativa de hacer este cálculo: en lugar de tomar primero las expectativas y luego ajustarlas según la preferencia de riesgo de un inversor, se pueden ajustar, una y otra vez. para todos, las probabilidades de resultados futuros que incorporen a todos los inversores; primas de riesgo y luego tomar la expectativa bajo esta nueva distribución de probabilidad, la medida neutral al riesgo. El principal beneficio surge del hecho de que una vez que se encuentran las probabilidades neutrales al riesgo, se puede fijar el precio de cada activo simplemente tomando el valor presente de su pago esperado. Tenga en cuenta que si utilizáramos las probabilidades reales del mundo real, cada valor requeriría un ajuste diferente (ya que difieren en su riesgo).

La ausencia de arbitraje es crucial para la existencia de una medida neutral al riesgo. De hecho, según el teorema fundamental de la fijación de precios de activos, la condición de no arbitraje equivale a la existencia de una medida neutral al riesgo. La integridad del mercado también es importante porque en un mercado incompleto hay una multitud de precios posibles para un activo correspondientes a diferentes medidas neutrales al riesgo. Es habitual argumentar que la eficiencia del mercado implica que hay un solo precio (la “ley del precio único”); la medida correcta y neutral al riesgo para el precio, que debe seleccionarse utilizando argumentos económicos, en lugar de argumentos puramente matemáticos.

Un error común es confundir la distribución de probabilidad construida con la probabilidad del mundo real. Serán diferentes porque en el mundo real los inversores exigen primas de riesgo, mientras que se puede demostrar que, según las probabilidades neutrales al riesgo, todos los activos tienen la misma tasa de rendimiento esperada, la tasa libre de riesgo (o tasa corta) y, por lo tanto, no incorpore dichas primas. El método de fijación de precios neutral al riesgo debe considerarse como muchas otras herramientas computacionales útiles: convenientes y poderosas, aunque parezcan artificiales.

Definición

Las medidas neutrales de riesgo hacen fácil expresar el valor de un derivado en una fórmula. Supongamos que en un futuro $T$ un derivado (por ejemplo, una opción de llamada en un stock) paga $H_{T}$ unidades, donde $H_{T}$ es una variable aleatoria en el espacio de probabilidad que describe el mercado. Suponga además que el factor de descuento desde ahora (tiempo cero) hasta el tiempo $T$ es ${displaystyle DF(0,T)}$ . Entonces el valor justo de hoy del derivado es

{displaystyle H_{0}=DF(0,T)operatorname {E} _{Q}(H_{T}).}

donde cualquier medida martingale $Q$ que resuelve la ecuación es una medida neutral de riesgo.

Cambio de medida

Esto puede reformularse en términos de una medida alternativa P como

{displaystyle H_{0}=operatorname {E} _{Q}left(H_{0}right)=operatorname {E} _{P}left({frac {dQ}{dP}}H_{0}right)={frac {dQ}{dP}}H_{0}=DF(0,T)operatorname {E} _{P}left({frac {dQ}{dP}}H_{T}right)}

Donde ${frac {dQ}{dP}}$ es el derivado Radon-Nikodym de $Q$ con respecto a $P$ , y por lo tanto sigue siendo un martingale.

Si en un mercado financiero hay una sola medida neutral al riesgo, entonces hay un precio único y libre de arbitraje para cada activo en el mercado. Este es el teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje. Si hay más medidas de este tipo, entonces en un intervalo de precios no es posible ningún arbitraje. Si no existe una medida de martingala equivalente, sí existen oportunidades de arbitraje.

En mercados con costos de transacción, sin numerario, el proceso de fijación de precios consistente reemplaza la medida martingala equivalente. De hecho, existe una relación de 1 a 1 entre un proceso de fijación de precios consistente y una medida martingala equivalente.

Ejemplo 1: modelo binomial de precios de acciones

Dado un espacio de probabilidad $(Omega, mathfrak{F}, mathbb{P})$ , considerar un modelo binomial de un solo período, denotar el precio inicial de stock como $S_{0}$ y el precio del stock a la vez 1 $S_{1}$ que puede tomar aleatoriamente valores posibles: $S^{u}$ si el stock se mueve, o $S^{d}$ si la acción se mueve hacia abajo. Finalmente, vamos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ denota la tasa libre de riesgos. Estas cantidades necesitan satisfacer ${displaystyle S^{d}leq (1+r)S_{0}leq S^{u}}$ hay arbitraje en el mercado y un agente puede generar riqueza de nada.

Una medida de probabilidad ${displaystyle mathbb {P} ^{*}}$ on $Omega$ se llama riesgo neutro si ${displaystyle S_{0}=mathbb {E} _{mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r))}$ que puede ser escrito como ${displaystyle S_{0}(1+r)=pi S^{u}+(1-pi)S^{d}}$ . Solving for $pi$ encontramos que la probabilidad neutra de riesgo de un movimiento de acciones ascendentes es dada por el número

{displaystyle pi ={frac {(1+r)S_{0}-S^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}

Dado un derivado con payoff $X^{u}$ cuando el precio del stock se mueve hacia arriba y $X^{d}$ cuando se baja, podemos valorar el derivado a través

{displaystyle X={frac {pi X^{u}+(1-pi)X^{d}}{1+r}}.}

Ejemplo 2: modelo de movimiento browniano de los precios de las acciones

Supongamos que nuestra economía consta de dos activos, una acción y un bono libre de riesgo, y que utilizamos el modelo de Black-Scholes. En el modelo, la evolución del precio de las acciones se puede describir mediante el Movimiento Browniano Geométrico:

dS_{t}=mu S_{t},dt+sigma S_{t},dW_{t}

Donde $W_{t}$ es un movimiento de Brownian estándar con respecto a la medida física. Si definimos

{tilde {W}}_{t}=W_{t}+{frac {mu -r}{sigma }}t,

El teorema de Girsanov afirma que existe una medida $Q$ en virtud de la cual ${tilde {W}}_{t}$ es una moción de Brownian. ${frac {mu -r}{sigma }}$ se conoce como el precio del mercado del riesgo. Utilizar reglas dentro Calculus Itô, se puede diferenciar informalmente con respecto a $t$ y reorganizar la expresión anterior para derivar el SDE

dW_t = dtilde{W}_t - frac{mu -r}{sigma} , dt,

Vuelva a colocar esto en la ecuación original:

dS_{t}=rS_{t},dt+sigma S_{t},d{tilde {W}}_{t}.

Vamos ${tilde {S}}_{t}$ ser el precio de stock con descuento ${tilde {S}}_{t}=e^{{-rt}}S_{t}$ , entonces por la lema de Ito obtenemos el SDE:

d{tilde {S}}_{t}=sigma {tilde {S}}_{t},d{tilde {W}}_{t}.

$Q$ es la medida única de riesgo neutro para el modelo. El proceso de pago descontado de un derivado en el stock $H_{t}=operatorname {E}_{Q}(H_{T}|F_{t})$ es un martingale bajo $Q$ . Observe la deriva del SDE $r$ , la tasa de interés libre de riesgo, que implica neutralidad de riesgo. Desde ${tilde {S}}$ y $H$ son $Q$ -martingales podemos invocar el teorema de representación martingale para encontrar una estrategia de replicación – una cartera de acciones y bonos que pagan $H_{t}$ en todo momento $tleq T$ .

Origen de la medida neutral al riesgo

Es natural preguntarse cómo surge una medida neutral al riesgo en un mercado libre de arbitraje. De alguna manera los precios de todos los activos determinarán una medida de probabilidad. Una explicación se da mediante el uso de la seguridad Arrow. Para simplificar, consideremos un mundo discreto (incluso finito) con un solo horizonte temporal futuro. En otras palabras, existe el presente (tiempo 0) y el futuro (tiempo 1), y en el tiempo 1 el estado del mundo puede ser uno de un número finito de estados. Un valor Arrow correspondiente al estado n, A_n, es aquel que paga $1 en el momento 1 en el estado n y $0 en cualquiera de los demás estados del mundo.

¿Cuál es el precio de A_n ahora? Debe ser positivo ya que existe la posibilidad de que gane 1 dólar; debe ser inferior a 1 dólar, ya que ese es el máximo beneficio posible. Así, el precio de cada A_n, que denotamos por A_n(0), está estrictamente entre 0 y 1.

En realidad, la suma de todos los precios de los valores debe ser igual al valor actual de 1 dólar, porque mantener una cartera que consta de cada valor de Arrow dará como resultado un pago seguro de 1 dólar. Considere una rifa en la que un solo boleto gana un premio de todas las tarifas de entrada: si el premio es $1, la tarifa de entrada será 1/número de boletos. Para simplificar, consideraremos que la tasa de interés es 0, de modo que el valor presente de $1 es $1.

Por lo tanto, el A_n(0)'s satisfacen los axiomas de una distribución de probabilidad. Cada uno de ellos no es negativo y su suma es 1. ¡Ésta es la medida neutral al riesgo! Ahora queda demostrar que funciona como se anuncia, es decir, tomar los valores esperados con respecto a esta medida de probabilidad dará el precio correcto en el momento 0.

Supongamos que tiene un valor C cuyo precio en el momento 0 es C(0). En el futuro, en un estado i, su pago será C_i. Considere una cartera P que consta de una cantidad C_i de cada valor de Arrow A_i.. En el futuro, cualquiera que sea el estado i que ocurra, entonces A_i paga $1 mientras que los otros valores de Arrow pagan $0, por lo que P pagará C_i. En otras palabras, la cartera P replica el pago de C independientemente de lo que suceda en el futuro. La falta de oportunidades de arbitraje implica que el precio de P y C debe ser el mismo ahora, ya que cualquier diferencia de precio significa que podemos, sin ningún riesgo, vender (en corto) cuanto más caro, compra el más barato y embolsa la diferencia. En el futuro necesitaremos devolver el activo vendido en corto, pero podemos financiarlo exactamente vendiendo nuestro activo comprado, dejándonos con nuestra ganancia inicial.

Con respecto a cada precio de seguridad Arrow como probabilidad, vemos que el precio de la cartera P(0) es el valor esperado C bajo las probabilidades neutrales de riesgo. Si la tasa de interés R no fuera cero, tendríamos que descartar el valor esperado apropiadamente para obtener el precio. En particular, la cartera que consiste en cada seguridad de Arrow tiene ahora un valor presente $frac{1}{1+R}$ , por lo que la probabilidad neutra de riesgo de estado se convierte en ${displaystyle (1+R)}$ tiempos el precio de cada seguridad Arrow A_i, o su precio adelante.

Tenga en cuenta que los valores de Arrow en realidad no necesitan negociarse en el mercado. Aquí es donde entra en juego la integridad del mercado. En un mercado completo, cada valor de Arrow se puede replicar utilizando una cartera de activos reales negociados. El argumento anterior todavía funciona considerando cada valor de Arrow como una cartera.

En un modelo más realista, como el modelo de Black-Scholes y sus generalizaciones, nuestro valor Arrow sería algo así como una opción digital doble, que paga 1 dólar cuando el activo subyacente se encuentra entre un límite superior e inferior, y $0 en caso contrario. El precio de dicha opción refleja entonces la visión del mercado sobre la probabilidad de que el precio spot termine en ese intervalo de precios, ajustado por las primas de riesgo, de forma totalmente análoga a cómo obtuvimos las probabilidades anteriores para el mundo discreto de un paso..

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