Medición de probabilidades

En matemáticas, una medida de probabilidad o medición de probabilidades es una función de valor real definida en un conjunto de eventos en un espacio de probabilidad que satisface las propiedades de la medida, como la aditividad contable. La diferencia entre una medida de probabilidad y la noción más general de medida (que incluye conceptos como área o volumen) es que una medida de probabilidad debe asignar el valor 1 a todo el espacio de probabilidad.

Intuitivamente, la propiedad de aditividad dice que la probabilidad asignada a la unión de dos eventos disjuntos por la medida debe ser la suma de las probabilidades de los eventos, por ejemplo, el valor asignado a "1 o 2" en un lanzamiento de dados debe ser el suma de los valores asignados a "1" y "2".

Las medidas de probabilidad tienen aplicaciones en diversos campos, desde la física hasta las finanzas y la biología.

Definición

Los requisitos para que una función μ sea una medida de probabilidad en un espacio de probabilidad son que:

• μ debe devolver resultados en el intervalo unitario [0, 1], devolviendo 0 para el conjunto vacío y 1 para todo el espacio.
• μ debe satisfacer la propiedad de aditividad contable de que para todas las colecciones contablesde conjuntos disjuntos por pares:

Por ejemplo, dados tres elementos 1, 2 y 3 con probabilidades 1/4, 1/4 y 1/2, el valor asignado a {1, 3} es 1/4 + 1/2 = 3/4, como en el diagrama de la derecha.

La probabilidad condicional basada en la intersección de eventos definida como:

satisface los requisitos de medida de probabilidad siempre que no sea cero.

Las medidas de probabilidad son distintas de la noción más general de medidas difusas en las que no se requiere que los valores difusos sumen 1, y la propiedad aditiva se reemplaza por una relación de orden basada en la inclusión de conjuntos.

Ejemplos de aplicaciones

Las medidas de mercado que asignan probabilidades a los espacios del mercado financiero en función de los movimientos reales del mercado son ejemplos de medidas de probabilidad que son de interés en las finanzas matemáticas, por ejemplo, en la fijación de precios de derivados financieros. Por ejemplo, una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad que asume que el valor actual de los activos es el valor esperado del pago futuro tomado con respecto a esa misma medida neutral al riesgo (es decir, calculado utilizando la función de densidad neutral al riesgo correspondiente), y descontado a la tasa libre de riesgo. Si hay una medida de probabilidad única que debe usarse para fijar el precio de los activos en un mercado, entonces el mercado se denomina mercado completo.

No todas las medidas que representan intuitivamente el azar o la probabilidad son medidas de probabilidad. Por ejemplo, aunque el concepto fundamental de un sistema en mecánica estadística es un espacio de medida, tales medidas no siempre son medidas de probabilidad. En general, en física estadística, si consideramos oraciones de la forma "la probabilidad de un sistema S suponiendo que el estado A es p", la geometría del sistema no siempre conduce a la definición de una medida de probabilidad bajo congruencia, aunque puede hacerlo. así en el caso de sistemas con un solo grado de libertad.

Las medidas de probabilidad también se utilizan en biología matemática. Por ejemplo, en el análisis comparativo de secuencias, se puede definir una medida de probabilidad para la posibilidad de que una variante sea permisible para un aminoácido en una secuencia.

Los ultrafiltros pueden entenderse como medidas de probabilidad de valor axial, lo que permite muchas pruebas intuitivas basadas en medidas. Por ejemplo, el teorema de Hindman se puede demostrar a partir de una investigación más profunda de estas medidas y, en particular, de su convolución.