Desigualdad de Boole

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En la teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole, también conocida como límite de unión, dice que para cualquier conjunto finito o contable de eventos, la probabilidad de que al menos uno de los eventos suceda no es mayor que la suma de las probabilidades de los eventos individuales. Esta desigualdad proporciona un límite superior a la probabilidad de ocurrencia de al menos uno de un número contable de eventos en términos de las probabilidades individuales de los eventos. La desigualdad de Boole lleva el nombre de su descubridor George Boole.

Formalmente, para un conjunto numerable de eventos A 1, A 2, A 3,..., tenemos{displaystyle {mathbb {P} }left(bigcup _{i=1}^{infty }A_{i}right)leq sum _{i=1}^{infty }{ matemática bb {P} }(A_{i}).}

En términos de teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida (y ciertamente cualquier medida de probabilidad) es σ -sub-aditiva.

Prueba

Prueba usando inducción

La desigualdad de Boole se puede probar para colecciones finitas de norteeventos usando el método de inducción.

Para el n=1caso, se sigue quemathbb {P} (A_{1})leq mathbb {P} (A_{1}).

Para el caso norte, tenemos{displaystyle {mathbb {P} }left(bigcup_{i=1}^{n}A_{i}right)leq sum_{i=1}^{n}{mathbb { P} }(A_{i}).}

Como {displaystyle mathbb {P} (Acup B)=mathbb {P} (A)+mathbb {P} (B)-mathbb {P} (Acap B),}y debido a que la operación de unión es asociativa, tenemos{displaystyle mathbb {P} left(bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}right)=mathbb {P} left(bigcup _{i=1}^ {n}A_{i}right)+mathbb {P} (A_{n+1})-mathbb {P} left(bigcup _{i=1}^{n}A_{i} mayúscula A_{n+1}right).}

Ya que{displaystyle {mathbb {P} }left(bigcup _{i=1}^{n}A_{i}cap A_{n+1}right)geq 0,}

por el primer axioma de probabilidad, tenemos{displaystyle mathbb {P} left(bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}right)leq mathbb {P} left(bigcup _{i=1} ^{n}A_{i}right)+mathbb {P} (A_{n+1}),}

y por lo tanto{displaystyle mathbb {P} left(bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}right)leq sum_{i=1}^{n}mathbb {P } (A_{i})+mathbb {P} (A_{n+1})=sum _{i=1}^{n+1}mathbb {P} (A_{i}).}

Prueba sin usar inducción

Para cualquier evento en {displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},puntos}nuestro espacio de probabilidad tenemos{displaystyle mathbb {P} left(bigcup_{i}A_{i}right)leq sum_{i}mathbb {P} (A_{i}).}

Uno de los axiomas de un espacio de probabilidad es que si { estilo de visualización B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, puntos}son subconjuntos disjuntos del espacio de probabilidad entonces{displaystyle mathbb {P} left(bigcup_{i}B_{i}right)=sum_{i}mathbb {P} (B_{i});}

esto se llama aditividad contable.

si { estilo de visualización B subconjunto A,}entonces{displaystyle mathbb {P} (B)leq mathbb {P} (A).}

De hecho, a partir de los axiomas de una distribución de probabilidad,{displaystyle mathbb {P} (A)=mathbb {P} (B)+mathbb {P} (AB).}

Tenga en cuenta que los dos términos de la derecha no son negativos.

Ahora tenemos que modificar los conjuntos Ai}, para que se vuelvan disjuntos.{displaystyle B_{i}=A_{i}-bigcup_{j=1}^{i-1}A_{j}.}

Entonces, si {displaystyle B_{i}subconjunto A_{i}}, entonces sabemos{displaystyle bigcup_{i=1}^{infty}B_{i}=bigcup_{i=1}^{infty}A_{i}.}

Por lo tanto, podemos deducir la siguiente ecuación{displaystyle mathbb {P} left(bigcup_{i}A_{i}right)=mathbb {P} left(bigcup_{i}B_{i}right)=sum_ {i}mathbb {P} (B_{i})leq sum _{i}mathbb {P} (A_{i}).}

Desigualdades de Bonferroni

La desigualdad de Boole se puede generalizar para encontrar límites superior e inferior en la probabilidad de uniones finitas de eventos. Estos límites se conocen como desigualdades de Bonferroni, en honor a Carlo Emilio Bonferroni; ver Bonferroni (1936).

DefinirS_{1}:=sum_{i=1}^{n}{mathbb {P} }(A_{i}),

y<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b870c485ffd4b9b18dad05330c6367003b920e" alt="{displaystyle S_{2}:=sum_{1leq i

así como<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa807693a92a4b629b107d83aefdd1d6c909572" alt="S_{k}:=sum_{1leq i_{1}<cdots

para todos los enteros k en {3,..., n }.

Entonces, para k impar en {1,..., n },{displaystyle {mathbb {P} }left(bigcup_{i=1}^{n}A_{i}right)leq sum_{j=1}^{k}(-1) ^{j-1}S_{j},}

y para incluso k en {2,..., n },{displaystyle {mathbb {P} }left(bigcup_{i=1}^{n}A_{i}right)geq sum_{j=1}^{k}(-1) ^{j-1}S_{j}.}

La desigualdad de Boole es el caso inicial, k = 1. Cuando k = n, entonces se cumple la igualdad y la identidad resultante es el principio de inclusión-exclusión.

Ejemplo

Suponga que está estimando 5 parámetros basados ​​en una muestra aleatoria y puede controlar cada parámetro por separado. Si desea que sus estimaciones de los cinco parámetros sean buenas con una probabilidad del 95 %, ¿cómo debe hacer con cada parámetro?

Obviamente, controlar cada parámetro bien con una probabilidad del 95 % no es suficiente porque "todos son buenos" es un subconjunto de cada evento "Estimar i es bueno". Podemos usar la Desigualdad de Boole para resolver este problema. Al encontrar el complemento del evento "todos los cincos son buenos", podemos cambiar esta pregunta a otra condición:

P(al menos una estimación es mala) = 0.05 ≤ P(A 1 es mala) + P(A 2 es mala) + P(A 3 es mala) + P(A 4 es mala) + P(A 5 es mala)

Una forma es hacer que cada uno de ellos sea igual a 0,05/5 = 0,01, es decir, 1%. En otras palabras, debe garantizar que cada estimación sea buena al 99 % (por ejemplo, mediante la construcción de un intervalo de confianza del 99 %) para asegurarse de que la estimación total sea buena con una probabilidad del 95 %. Esto se llama Método de Bonferroni de inferencia simultánea.