Media aritmética-geométrica

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Función matemática de dos argumentos reales

Parcela de la media aritmética-geométrica

{displaystyle operatorname {agm} (1,x)}

a lo largo de varios medios generalizados.

En matemáticas, la media aritmética-geométrica de dos números reales positivos $x$ y $y$ se define de la siguiente manera:

Llamar a $x$ y $y$ $a 0$ y $g 0 :$

{displaystyle {begin{aligned}a_{0}&=x,\g_{0}&=y.end{aligned}}}

Luego defina las dos secuencias interdependientes $(a n)$ y $(g n)$ como

{displaystyle {begin{aligned}a_{n+1}&={tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\g_{n+1}&={sqrt {a_{n}g_{n}}},.end{aligned}}}

Estas dos secuencias convergen en el mismo número, la media aritmético-geométrica de $x$ y $y$ ; se denota por $M (x, y)$ , o a veces por $agm(x, y)$ o $AGM(x, y)$ .

La media aritmético-geométrica se usa en algoritmos rápidos para funciones exponenciales y trigonométricas, así como algunas constantes matemáticas, en particular, calcular π.

La media aritmético-geométrica se puede extender a números complejos y cuando se permite que las ramas de la raíz cuadrada se tomen de manera inconsistente, es, en general, una función multivaluada.

Ejemplo

Para encontrar la media aritmética-geométrica de $a 0 = 24$ y $g 0 = 6$ , itere de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\g_{1}&=&{sqrt {24cdot 6}}&=&12\a_{2}&=&{tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\g_{2}&=&{sqrt {15cdot 12}}&=&13.416 407 8649dots \&&vdots &&end{array}}}

Las primeras cinco iteraciones dan los siguientes valores:

$n$	$a n$	$g n$
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

El número de dígitos en los que $a n$ y $g n$ de acuerdo (subrayado) aproximadamente se duplica con cada iteración. La media aritmética-geométrica de 24 y 6 es el límite común de estas dos secuencias, que es aproximadamente 13,458171481725 6154207668131569743992430538388544.

Historia

El primer algoritmo basado en este par de secuencias apareció en los trabajos de Lagrange. Sus propiedades fueron analizadas más a fondo por Gauss.

Propiedades

La media geométrica de dos números positivos nunca es mayor que la media aritmética (ver desigualdad de medias aritméticas y geométricas). Como consecuencia, para $n > 0$ , $(g n)$ es una secuencia creciente, $(a n)$ es una secuencia decreciente, y $g n \leq M (x, y) \leq a n$ . Estas son desigualdades estrictas si $x \neq y$ .

$M (x, y)$ es por lo tanto un número entre el geométrico y media aritmética de $x$ y $y$ ; también está entre $x$ y $y$ .

Si $r \geq 0$ , entonces $M (rx, ry) = r M (x, y)$ .

Existe una expresión en forma integral para $M (x, y)$ :

{displaystyle {begin{aligned}M(x,y)&={frac {pi }{2}}left(int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {dtheta }{sqrt {x^{2}cos ^{2}theta +y^{2}sin ^{2}theta }}}right)^{-1}\&=pi left(int _{0}^{infty }{frac {dt}{sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}right)^{-1}\&={frac {pi }{4}}cdot {frac {x+y}{Kleft({frac {x-y}{x+y}}right)}}end{aligned}}}

donde $K (k)$ es la integral elíptica completa del primer tipo:

{displaystyle K(k)=int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {dtheta }{sqrt {1-k^{2}sin ^{2}(theta)}}}}

De hecho, dado que el proceso aritmético-geométrico converge tan rápido, proporciona una forma eficiente de calcular integrales elípticas a través de esta fórmula. En ingeniería, se utiliza, por ejemplo, en el diseño de filtros elípticos.

La media aritmética-geométrica está conectada a la función Jacobi theta ${displaystyle theta _{3}}$ por

{displaystyle M(1,x)=theta _{3}^{-2}left(exp left(-pi {frac {M(1,x)}{Mleft(1,{sqrt {1-x^{2}}}right)}}right)right)=left(sum _{nin mathbb {Z} }exp left(-n^{2}pi {frac {M(1,x)}{Mleft(1,{sqrt {1-x^{2}}}right)}}right)right)^{-2},}

que al establecer $x=1/{sqrt {2}}$ da

{displaystyle M(1,1/{sqrt {2}})=left(sum _{nin mathbb {Z} }e^{-n^{2}pi }right)^{-2}.}

Conceptos relacionados

El recíproco de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 se denomina constante de Gauss, en honor a Carl Friedrich Gauss.

{displaystyle {frac {1}{M(1,{sqrt {2}})}}=G=0.8346268dots }

En 1799, Gauss demostró que

{displaystyle M(1,{sqrt {2}})={frac {pi }{varpi }}}

Donde $varpi$ es la constante de lemniscate.

En 1941, ${displaystyle M(1,{sqrt {2}})}$ (y por lo tanto) $G$ ) fue probado trascendental por Theodor Schneider. El set ${displaystyle {piM(1,1/{sqrt {2}})}}$ es algebraicamente independiente sobre $mathbb {Q}$ , pero el set ${displaystyle {piM(1,1/{sqrt {2}}),M'(1,1/{sqrt {2}})}}$ (donde el principio denota el derivado con respecto a la segunda variable) no es algebraicamente independiente sobre $mathbb {Q}$ . De hecho,

{displaystyle pi =2{sqrt {2}}{frac {M^{3}(1,1/{sqrt {2}})}{M'(1,1/{sqrt {2}})}}.}

La media armónica geométrica se puede calcular mediante un método análogo, utilizando secuencias de medias armónicas y geométricas. Uno encuentra que $GH(x,y) = 1/M(1/ x, 1/ y) = xy /M(x,y)$ . La media aritmético-armónica se puede definir de manera similar, pero toma el mismo valor que la media geométrica (consulte la sección "Cálculo" allí).

La media aritmético-geométrica se puede utilizar para calcular, entre otros, logaritmos, integrales elípticas completas e incompletas de primer y segundo tipo y funciones elípticas de Jacobi.

Prueba de existencia

De la desigualdad de las medias aritmética y geométrica podemos concluir que:

{displaystyle g_{n}leq a_{n}}

y así

{displaystyle g_{n+1}={sqrt {g_{n}cdot a_{n}}}geq {sqrt {g_{n}cdot g_{n}}}=g_{n}}

es decir, la secuencia $g n$ no es decreciente.

Además, es fácil ver que también está delimitado arriba por el mayor de $x$ y $y$ (que se deriva del hecho de que tanto la media aritmética como la geométrica de dos números se encuentran entre ellos). Así, por el teorema de la convergencia monótona, la sucesión es convergente, por lo que existe una $g$ tal que:

{displaystyle lim _{nto infty }g_{n}=g}

Sin embargo, también podemos ver que:

{displaystyle a_{n}={frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}

y así:

{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=lim _{nto infty }{frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={frac {g^{2}}{g}}=g}

Q.E.D.

Prueba de la expresión en forma integral

Esta demostración la da Gauss. Dejar

{displaystyle I(x,y)=int _{0}^{pi /2}{frac {dtheta }{sqrt {x^{2}cos ^{2}theta +y^{2}sin ^{2}theta }}},}

Cambiar la variable de integración a $theta '$ , donde

{displaystyle sin theta ={frac {2xsin theta '}{(x+y)+(x-y)sin ^{2}theta '}},}

{displaystyle {begin{aligned}I(x,y)&=int _{0}^{pi /2}{frac {dtheta '}{sqrt {{bigl (}{frac {1}{2}}(x+y){bigr)}^{2}cos ^{2}theta '+{bigl (}{sqrt {xy}}{bigr)}^{2}sin ^{2}theta '}}}\&=I{bigl (}{tfrac {1}{2}}(x+y),{sqrt {xy}}{bigr)}.end{aligned}}}

Por lo tanto, tenemos

{displaystyle {begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=cdots \&=I{bigl (}M(x,y),M(x,y){bigr)}=pi /{bigr (}2M(x,y){bigl)}.end{aligned}}}

I(z,z)=pi /(2z)

Finalmente, obtenemos el resultado deseado

{displaystyle M(x,y)=pi /{bigl (}2I(x,y){bigr)}.}

Aplicaciones

El número π

Por ejemplo, según el algoritmo de Gauss-Legendre:

{displaystyle pi ={frac {4,M(1,1/{sqrt {2}})^{2}}{1-displaystyle sum _{j=1}^{infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}

dónde

{displaystyle c_{j}={frac {1}{2}}left(a_{j-1}-g_{j-1}right),}

con $a_{0}=1$ y ${displaystyle g_{0}=1/{sqrt {2}}}$ , que se puede calcular sin pérdida de precisión utilizando

{displaystyle c_{j}={frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}

Integral elíptica completa K(sinα)

Tomando $a_0 = 1$ y ${displaystyle g_{0}=cos alpha }$ cede la AGM

{displaystyle M(1,cos alpha)={frac {pi }{2K(sin alpha)}},}

donde $K (k)$ es una integral elíptica completa del primer tipo:

{displaystyle K(k)=int _{0}^{pi /2}(1-k^{2}sin ^{2}theta)^{-1/2},dtheta.}

Es decir que este trimestre podrá ser computado eficientemente a través de la Junta General de Accionistas,

{displaystyle K(k)={frac {pi }{2M(1,{sqrt {1-k^{2}}})}}.}

Otras aplicaciones

Usando esta propiedad de AGM junto con las transformaciones ascendentes de John Landen, Richard P. Brent sugirió los primeros algoritmos AGM para la evaluación rápida de funciones trascendentales elementales ( $e x$ , $cos x$ , $sin x$ ). Posteriormente, muchos autores pasaron a estudiar el uso de los algoritmos AGM.

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