Mecánica routhiana

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En mecánica clásica, el procedimiento de Routh o mecánica Routhiana es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana desarrollada por Edward John Routh. En consecuencia, Routhian es la función que reemplaza tanto a las funciones lagrangianas como hamiltonianas. La mecánica Routhiana es equivalente a la mecánica Lagrangiana y la mecánica Hamiltoniana, y no introduce nueva física. Ofrece una forma alternativa de resolver problemas mecánicos.

Definiciones

El Routhian, como el hamiltoniano, se puede obtener a partir de una transformada de Legendre del lagrangiano y tiene una forma matemática similar al hamiltoniano, pero no es exactamente igual. La diferencia entre las funciones lagrangianas, hamiltonianas y ruthianas son sus variables. Para un conjunto dado de coordenadas generalizadas que representan los grados de libertad en el sistema, el Lagrangiano es una función de las coordenadas y las velocidades, mientras que el Hamiltoniano es una función de las coordenadas y los momentos.

El Routhian difiere de estas funciones en que algunas coordenadas se eligen para tener velocidades generalizadas correspondientes, el resto para tener momentos generalizados correspondientes. Esta elección es arbitraria y se puede hacer para simplificar el problema. También tiene como consecuencia que las ecuaciones de Routh son exactamente las ecuaciones de Hamilton para algunas coordenadas y momentos correspondientes, y las ecuaciones de Lagrange para el resto de las coordenadas y sus velocidades. En cada caso, las funciones lagrangianas y hamiltonianas se reemplazan por una sola función, la Routhiana. Por lo tanto, el conjunto completo tiene las ventajas de ambos conjuntos de ecuaciones, con la conveniencia de dividir un conjunto de coordenadas en las ecuaciones de Hamilton y el resto en las ecuaciones de Lagrangian.

En el caso de la mecánica lagrangiana, las coordenadas generalizadas q ₁, q ₂,... y las correspondientes velocidades dq ₁ / dt, dq ₂ / dt,..., y posiblemente el tiempo t, ingresan al Lagrangiano, $L(q_1,q_2,ldots,dot{q}_1,dot{q}_2,ldots,t),, quad dot{q}_i = frac{d q_i}{dt} ,,$

donde los puntos superpuestos denotan derivadas temporales.

En la mecánica hamiltoniana, las coordenadas generalizadas q ₁, q ₂,... y los momentos generalizados correspondientes p ₁, p ₂,..., y posiblemente el tiempo, ingresan al hamiltoniano, $H(q_1,q_2,ldots,p_1,p_2,ldots,t) = sum_i dot{q}_ip_i - L(q_1,q_2,ldots,dot{q}_1(p_1),dot{ q}_2(p_2),ldots,t) ,, quad p_i = frac{parcial L}{parcial dot{q}_i},,$

donde la segunda ecuación es la definición del momento generalizado p _i correspondiente a la coordenada q _i (las derivadas parciales se denotan usando ∂). Las velocidades dq _i / dt se expresan como funciones de sus momentos correspondientes invirtiendo su relación definitoria. En este contexto, se dice que p _i es el momento "canónicamente conjugado" con q _i.

El Routhian es intermedio entre L y H; se eligen algunas coordenadas q ₁, q ₂,..., q _n para que tengan momentos generalizados correspondientes p ₁, p ₂,..., p _n, el resto de las coordenadas ζ ₁, ζ ₂,..., ζ _s tener velocidades generalizadas dζ ₁ / dt, dζ ₂ / dt,..., dζ _s / dt, y la hora pueden aparecer explícitamente;

Routhiano (

n + s grados de libertad)

R(q_1,ldots,q_n,zeta_1,ldots,zeta_s, p_1, ldots,p_n, dot{zeta}_1, ldots,dot{zeta}_s,t) = sum_{ i=1}^n p_idot{q}_i(p_i) - L(q_1,ldots,q_n,zeta_1,ldots,zeta_s, dot{q}_1(p_1), ldots, dot {q}_n(p_n), dot{zeta}_1, ldots,dot{zeta}_s,t) ,,

donde nuevamente la velocidad generalizada dq _i / dt debe expresarse como una función del momento generalizado p _i a través de su relación definitoria. La elección de qué n coordenadas van a tener momentos correspondientes, de las n + s coordenadas, es arbitraria.

Lo anterior es utilizado por Landau y Lifshitz, y Goldstein. Algunos autores pueden definir Routhian como el negativo de la definición anterior.

Dada la longitud de la definición general, una notación más compacta es usar negrita para las tuplas (o vectores) de las variables, así q = (q ₁, q ₂,..., q _n), ζ = (ζ ₁, ζ ₂,..., ζ _s), pag = (pag ₁, pag ₂,..., pag _n), y d ζ / dt = (dζ ₁ / dt, dζ₂ / dt,..., dζ _s / dt), de modo que $R(mathbf{q},ballsymbol{zeta}, mathbf{p}, dot{ballsymbol{zeta}}, t) = mathbf{p}cdotdot{{mathbf{q }}} - L(mathbf{q}, símbolo de bola{zeta}, dot{mathbf{q}}, dot{símbolo de bola{zeta}},t),,$

donde · es el producto escalar definido en las tuplas, para el ejemplo específico que aparece aquí: $mathbf{p}cdotdot{{mathbf{q}}} = sum_{i=1}^n p_idot{q}_i ,.$

Ecuaciones de movimiento

Como referencia, las ecuaciones de Euler-Lagrange para s grados de libertad son un conjunto de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas en las coordenadas $frac{d}{dt}frac{parcial L}{parcial dot{q}_j} = frac{parcial L}{parcial q_j} ,,$

donde j = 1, 2,..., s, y las ecuaciones hamiltonianas para n grados de libertad son un conjunto de 2 n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden acopladas en las coordenadas y momentos $dot{q}_i = frac{parcial H}{parcial p_i} ,,quad dot{p}_i = -frac{parcial H}{parcial q_i} ,.$

A continuación, las ecuaciones de movimiento de Routhian se obtienen de dos maneras, en el proceso se encuentran otras derivadas útiles que se pueden usar en otros lugares.

Dos grados de libertad

Considere el caso de un sistema con dos grados de libertad, q y ζ, con velocidades generalizadas dq / dt y dζ / dt, y el Lagrangiano es dependiente del tiempo. (La generalización a cualquier número de grados de libertad sigue exactamente el mismo procedimiento que con dos). El Lagrangiano del sistema tendrá la forma $L(q, zeta, dot{q}, dot{zeta}, t)$

El diferencial de L es $dL = frac{parcial L}{parcial q}dq + frac{parcial L}{parcial zeta}dzeta + frac{parcial L}{parcial dot{q}}d dot{q} + frac{parcial L}{parcial dot{zeta}}ddot{zeta} + frac{parcial L}{parcial t}dt ,.$

Ahora cambie las variables, del conjunto (q, ζ, dq / dt, dζ / dt) a (q, ζ, p, dζ / dt), simplemente cambiando la velocidad dq / dt al momento p. Este cambio de variables en los diferenciales es la transformación de Legendre. La diferencial de la nueva función para reemplazar L será una suma de diferenciales en dq, dζ, dp, d (dζ / dt), y dt. Usando la definición de impulso generalizado y la ecuación de Lagrange para la coordenada q: $p = frac{parcial L}{parcial dot{q}} ,,quad dot{p} = frac{d}{dt}frac{parcial L}{parcial dot{ q}} = frac{parcial L}{parcial q}$

tenemos $dL = dot{p}dq + frac{L parcial}{\zeta parcial}dzeta + pddot{q} + frac{L parcial}{\dot parcial{zeta}} ddot{zeta} + frac{parcial L}{parcial t}dt$

y para reemplazar pd (dq / dt) por (dq / dt) dp, recuerde la regla del producto para diferenciales y sustituya $pddot{q} = d(dot{q} p) - dot{q}dp$

para obtener la diferencial de una nueva función en términos del nuevo conjunto de variables: $d(Lpdot{q}) = dot{p} dq + frac{parcial L}{parcial zeta}dzeta - dot{q} dp + frac{parcial L}{ parcial dot{zeta}}ddot{zeta} + frac{parcial L}{parcial t}dt ,.$

Introducción al Routhian $R(q,zeta,p,dot{zeta},t) = p dot{q}(p) - L$

donde nuevamente la velocidad dq / dt es una función del momento p, tenemos $dR = -dot{p} dq - frac{parcial L}{parcial zeta}dzeta + dot{q}dp - frac{parcial L}{parcial dot{zeta} }ddot{zeta} - frac{parcial L}{parcial t}dt,,$

pero de la definición anterior, el diferencial de Routhian es $dR = frac{parcial R }{parcial q}dq + frac{parcial R }{parcial zeta}dzeta + frac{parcial R }{parcial p}dp + frac{ parcial R }{parcial dot{zeta}}ddot{zeta} + frac{parcial R}{parcial t}dt ,.$

Comparando los coeficientes de las diferenciales dq, dζ, dp, d (dζ / dt) y dt, los resultados son las ecuaciones de Hamilton para la coordenada q, $dot{q} = frac{R parcial}{p parcial} ,,quad dot{p} = -frac{R parcial}{q parcial} ,,$

y la ecuación de Lagrange para la coordenada ζ $frac{d}{dt}frac{parcial R}{parcial dot{zeta}} = frac{parcial R}{parcial zeta}$

que siguen de $frac{L parcial}{\zeta parcial} = - frac{R parcial}{\zeta parcial} ,,quad frac{L parcial}{\dot parcial{zeta}} = - frac{parcial R}{parcial dot{zeta}} ,,$

y tomando la derivada temporal total de la segunda ecuación e igualándola a la primera. Observe que Routhian reemplaza las funciones hamiltoniana y lagrangiana en todas las ecuaciones de movimiento.

La ecuación restante establece que las derivadas temporales parciales de L y R son negativas $frac{parcial L}{parcial t}=-frac{parcial R}{parcial t},.$

Cualquier número de grados de libertad

Para coordenadas n + s como se define arriba, con Routhian $R(q_1,ldots,q_n,zeta_1,ldots,zeta_s, p_1, ldots,p_n, dot{zeta}_1, ldots,dot{zeta}_s,t) = sum_{ i=1}^n p_idot{q}_i(p_i) - L$

las ecuaciones de movimiento se pueden derivar mediante una transformación de Legendre de este Routhian como en la sección anterior, pero otra forma es simplemente tomar las derivadas parciales de R con respecto a las coordenadas q _i y ζ _j, momento pi _y velocidades dζ _j / dt, donde i = 1, 2,..., n y j = 1, 2,..., s. Los derivados son ${displaystyle {frac {parcial R}{parcial q_{i}}}=-{frac {parcial L}{parcial q_{i}}}=-{frac {d}{dt} }{frac {parcial L}{parcial {dot {q}}_{i}}}=-{dot {p}}_{i}}$ ${displaystyle {frac {parcial R}{parcial p_{i}}}={dot {q}}_{i}}$ $frac{parcial R}{parcial zeta_j} = - frac{parcial L}{parcial zeta_j} ,,$ $frac{parcial R}{parcial dot{zeta}_j} = - frac{parcial L}{parcial dot{zeta}_j} ,,$ $frac{R parcial}{t parcial} = - frac{L parcial}{t parcial},.$

Las dos primeras son idénticamente las ecuaciones hamiltonianas. Al equiparar la derivada temporal total del cuarto conjunto de ecuaciones con el tercero (para cada valor de j), se obtienen las ecuaciones de Lagrange. La quinta es exactamente la misma relación entre derivadas parciales de tiempo que antes. Para resumir

Ecuaciones de Routhian de movimiento (

n +

s grados de libertad)

dot{q}_i = frac{R parcial}{p_i parcial} ,,quad dot{p}_i = -frac{R parcial}{q_i parcial} ,,

frac{d}{dt}frac{parcial R}{parcial dot{zeta}_j} = frac{parcial R}{parcial zeta_j} ,.

El número total de ecuaciones es 2 n + s, hay 2 n ecuaciones hamiltonianas más s ecuaciones de Lagrange.

Energía

Como el Lagrangiano tiene las mismas unidades que la energía, las unidades del Routhiano también son energía. En unidades SI esto es el Joule.

Tomando la derivada del tiempo total del Lagrangiano conduce al resultado general $frac{parcial L}{parcial t} = frac{d }{dt}left(sum_{i=1}^n dot{q}_ifrac{parcial L}{parcial punto{q}_i} + sum_{j=1}^s dot{zeta}_jfrac{parcial L}{parcial dot{zeta}_j} - Lright),.$

Si el lagrangiano es independiente del tiempo, la derivada temporal parcial del lagrangiano es cero, ∂ L /∂ t = 0, por lo que la cantidad bajo la derivada temporal total entre paréntesis debe ser una constante, es la energía total del sistema $E = sum_{i=1}^n dot{q}_ifrac{parcial L}{parcial dot{q}_i} + sum_{j=1}^s dot{zeta} _jfrac{parcial L}{parcial dot{zeta}_j} - L,.$

(Si hay campos externos que interactúan con los constituyentes del sistema, pueden variar en el espacio pero no en el tiempo). Esta expresión requiere las derivadas parciales de L con respecto a todas las velocidades dq _i / dt y dζ _j / dt. Bajo la misma condición de que R sea independiente del tiempo, la energía en términos de Routhian es un poco más simple, sustituyendo la definición de R y las derivadas parciales de R con respecto a las velocidades dζ _j / dt, $E = R - sum_{j=1}^s dot{zeta}_jfrac{parcial R}{parcial dot{zeta}_j} ,.$

Observe que solo se necesitan las derivadas parciales de R con respecto a las velocidades dζ _j / dt. En el caso de que s = 0 y Routhian sea explícitamente independiente del tiempo, entonces E = R, es decir, Routhian es igual a la energía del sistema. La misma expresión para R en cuando s = 0 es también la hamiltoniana, por lo que en todo E = R = H.

Si Routhian tiene una dependencia temporal explícita, la energía total del sistema no es constante. El resultado general es $frac{R parcial}{t parcial} = dfrac{d}{dt}left(R - sum_{j=1}^s dot{zeta}_jfrac{R parcial}{ parcial dot{zeta}_j} right),,$

que se puede derivar de la derivada temporal total de R de la misma manera que para L.

Coordenadas cíclicas

A menudo, el enfoque de Routhian puede no ofrecer ninguna ventaja, pero un caso notable en el que es útil es cuando un sistema tiene coordenadas cíclicas (también llamadas "coordenadas ignorables"), por definición, aquellas coordenadas que no aparecen en el Lagrangiano original. Las ecuaciones de Lagrangian son resultados poderosos, que se usan con frecuencia en la teoría y la práctica, ya que las ecuaciones de movimiento en las coordenadas son fáciles de establecer. Sin embargo, si ocurren coordenadas cíclicas, todavía habrá ecuaciones para resolver todas las coordenadas, incluidas las coordenadas cíclicas a pesar de su ausencia en el Lagrangiano. Las ecuaciones hamiltonianas son resultados teóricos útiles, pero menos útiles en la práctica porque las coordenadas y los momentos están relacionados entre sí en las soluciones: después de resolver las ecuaciones, las coordenadas y los momentos deben eliminarse entre sí. Sin embargo,

El enfoque de Routhian tiene lo mejor de ambos enfoques, porque las coordenadas cíclicas se pueden dividir en las ecuaciones hamiltonianas y eliminarlas, dejando atrás las coordenadas no cíclicas para resolverlas a partir de las ecuaciones de Lagrangian. En general, es necesario resolver menos ecuaciones en comparación con el enfoque de Lagrange.

La formulación de Routh es útil para sistemas con coordenadas cíclicas porque, por definición, esas coordenadas no entran en L y, por lo tanto, en R. Las derivadas parciales correspondientes de L y R con respecto a esas coordenadas son cero, lo que equivale a los momentos generalizados correspondientes que se reducen a constantes. Para hacer esto concreto, si q _i son todas coordenadas cíclicas, y ζ _j son todas no cíclicas, entonces $frac{parcial L}{parcial q_i} = dot{p}_i = - frac{parcial R}{parcial q_i} = 0 quad Rightarrow quad p_i = alpha_i ,,$

donde las α _i son constantes. Con estas constantes sustituidas en Routhian, R es una función solo de las coordenadas y velocidades no cíclicas (y en general también del tiempo) $R(zeta_1,ldots,zeta_s,alpha_1,ldots,alpha_n,dot{zeta}_1,ldots,dot{zeta}_s,t) = sum_{i=1}^ n alpha_idot{q}_i(alpha_i) - L(zeta_1,ldots,zeta_s,dot{q}_1(alpha_1),ldots,dot{q}_n(alpha_n), dot{zeta}_1,ldots,dot{zeta}_s,t) ,,$

La ecuación hamiltoniana de 2 n en las coordenadas cíclicas desaparece automáticamente, ${displaystyle {dot {q}}_{i}={frac {parcial R}{parcial alpha _{i}}}=f_{i}(zeta _{1}(t), ldots,zeta _{s}(t),{dot {zeta }}_{1}(t),ldots,{dot {zeta }}_{s}(t),alpha _ {1},ldots,alpha_{n},t),,quad {dot {p}}_{i}=-{frac {parcial R}{parcial q_{i} }}=0,,}$

y las ecuaciones lagrangianas s están en las coordenadas no cíclicas $frac{d}{dt}frac{parcial R}{parcial dot{zeta}_j} = frac{parcial R}{parcial zeta_j} ,.$

Así, el problema se ha reducido a resolver las ecuaciones lagrangianas en las coordenadas no cíclicas, con la ventaja de que las ecuaciones hamiltonianas eliminan limpiamente las coordenadas cíclicas. Usando esas soluciones, las ecuaciones para ${displaystyle {dot {q}}_{i}}$ pueden integrarse para calcular ${ Displaystyle q_ {i} (t)}$ .

Si estamos interesados en cómo cambian las coordenadas cíclicas con el tiempo, se pueden integrar las ecuaciones para las velocidades generalizadas correspondientes a las coordenadas cíclicas.

Ejemplos

El procedimiento de Routh no garantiza que las ecuaciones de movimiento sean simples, sin embargo, conducirá a menos ecuaciones.

Potencial central en coordenadas esféricas

Una clase general de sistemas mecánicos con coordenadas cíclicas son aquellos con potenciales centrales, porque los potenciales de esta forma solo dependen de las separaciones radiales y no dependen de los ángulos.

Considere una partícula de masa m bajo la influencia de un potencial central V (r) en coordenadas polares esféricas (r, θ, φ) $L(r,dot{r},theta,dot{theta},dot{phi}) = frac{m}{2}(dot{r}^2 + {r}^2 dot{theta}^2 + r^2 sin^2thetadot{phi}^2) - V(r) ,.$

Note que φ es cíclico, porque no aparece en el Lagrangiano. El momento conjugado a φ es la constante $p_phi = frac{parcial L}{parcial dot{phi}} = mr^2sin^2thetadot{phi},,$

en el que r y dφ / dt pueden variar con el tiempo, pero el momento angular p _φ es constante. El Routhian puede tomarse como $begin{align} R(r,dot{r},theta,dot{theta}) & = p_phidot{phi} - L \ & = p_phidot{phi } - frac{m}{2}dot{r}^2 - frac{m}{2}r^2dot{theta}^2 - frac{p_phidot{phi} {2} + V(r) \ & = frac{p_phidot{phi}}{2} - frac{m}{2}dot{r}^2 - frac{m {2}r^2dot{theta}^2 + V(r) \ & = frac{p_phi^2 }{2mr^2sin^2theta} - frac{m} {2}dot{r}^2 - frac{m}{2}r^2dot{theta}^2 + V(r) ,. end{alinear}$

Podemos resolver para r y θ usando las ecuaciones de Lagrange, y no necesitamos resolver para φ ya que se elimina con las ecuaciones de Hamilton. La ecuación r es $frac{d}{dt} frac{parcial R}{parcial dot{r}} = frac{parcial R}{parcial r} quadRightarrowquad-mddot{r} = -frac{p_phi^2}{mr^3sin^2theta} - mrdot{theta}^2 + frac{V parcial}{r parcial} ,,$

y la ecuación de θ es $frac{d}{dt} frac{parcial R}{parcial dot{theta}} = frac{parcial R}{parcial theta} quadRightarrowquad -m(2r punto{r}punto{theta} + r^2ddot{theta}) = -frac{p_phi^2costheta}{mr^2sin^3theta} ,.$

El enfoque de Routhian ha obtenido dos ecuaciones no lineales acopladas. Por el contrario, el enfoque lagrangiano conduce a tres ecuaciones acopladas no lineales, mezclando en todas ellas derivadas de φ de primer y segundo tiempo, a pesar de su ausencia en el lagrangiano.

La ecuación r es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{r}} = frac{parcial L}{parcial r} quadRightarrowquad mddot{r} = mrdot{theta}^2 + mrsin^2thetadot{phi}^2 - frac{V parcial}{r parcial} ,,$

la ecuación de θ es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{theta}} = frac{parcial L}{parcial theta} quadRightarrowquad 2rdot{r }dot{theta} + r^2ddot{theta} = r^2 sinthetacosthetadot{phi}^2,,$

la ecuación φ es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{phi}} = frac{parcial L}{parcial phi} quadRightarrowquad 2rdot{r }sin^2thetadot{phi} + 2r^2 sinthetacostheta dot{theta}dot{phi} + r^2sin^2theta ddot{ phi}=0,.$

Sistemas mecánicos simétricos

Péndulo esférico

Considere el péndulo esférico, una masa m (conocida como "pegatina de péndulo") unida a una barra rígida de longitud l de masa despreciable, sujeta a un campo gravitatorio local g. El sistema gira con velocidad angular dφ / dt que no es constante. El ángulo entre la barra y la vertical es θ y no es constante.

El lagrangiano es $L(theta,dot{theta},dot{phi}) = frac{mell^2}{2}(dot{theta}^2 + sin^2theta dot {phi}^2) + mgellcostheta,,$

y φ es la coordenada cíclica para el sistema con momento constante $p_phi = frac{parcial L}{parcial dot{phi}} = mell^2sin^2theta dot{phi} ,.$

que nuevamente es físicamente el momento angular del sistema con respecto a la vertical. El ángulo θ y la velocidad angular dφ / dt varían con el tiempo, pero el momento angular es constante. El ruthiano es $begin{align} R(theta,dot{theta}) & = p_phi dot{phi} - L \ & = p_phi dot{phi} - frac{mell ^2}{2}dot{theta}^2 - frac{p_phi dot{phi}}{2} - mgellcostheta \ & = frac{p_phi punto{phi}}{2} - frac{mell^2}{2}dot{theta}^2 - mgellcostheta \ & = frac{p_phi^2 {2mell^2sin^2theta} - frac{mell^2}{2}dot{theta}^2 - mgellcostheta end{align}$

La ecuación θ se encuentra a partir de las ecuaciones de Lagrangian $frac{d}{dt}frac{parcial R}{parcial dot{theta}} = frac{parcial R}{parcial theta} quad Rightarrow quad - mell^ 2ddot{theta} = -frac{p_phi^2 costheta}{mell^2sin^3theta} + mgellsintheta ,,$

o simplificando introduciendo las constantes $a = frac{p_phi^2}{m^2ell^4},,quad b = frac{g}{ell} ,,$

da $ddot{theta} = afrac{costheta}{sin^3theta} - b sintheta,.$

Esta ecuación se asemeja a la ecuación del péndulo no lineal simple, porque puede oscilar a través del eje vertical, con un término adicional para explicar la rotación alrededor del eje vertical (la constante a está relacionada con el momento angular p _φ).

Aplicando el enfoque lagrangiano, hay dos ecuaciones acopladas no lineales para resolver.

La ecuación de θ es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{theta}} = frac{parcial L}{parcial theta} quadRightarrowquad mell^2 ddot{theta} = mell^2 sinthetacosthetadot{phi}^2 -mgellsintheta ,,$

y la ecuación φ es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{phi}} = frac{parcial L}{parcial phi} quadRightarrowquad 2sintheta costheta dot{theta}dot{phi} + sin^2theta ddot{phi}=0 ,.$

Top pesado simétrico

La parte superior simétrica pesada de la masa M tiene Lagrangian $L(theta,dot{theta},dot{psi},dot{phi})=frac{I_1}{2}(dot{theta}^2 + dot{phi }^2sen^2theta) + frac{I_3}{2}(dot{psi}^2+dot{phi}^2cos^2theta)+I_3dot{ psi}dot{phi}costheta-Mgellcostheta$

donde ψ, φ, θ son los ángulos de Euler, θ es el ángulo entre el eje vertical z y el eje z ′ del trompo, ψ es la rotación del trompo sobre su propio eje z ′ y φ el acimutal del trompo. eje z ′ de la parte superior alrededor del eje z vertical. Los principales momentos de inercia son I ₁ respecto al propio eje x ′ del trompo, I ₂ respecto al propio eje y ′ del trompo e I ₃sobre el propio eje z ′ de la parte superior. Dado que la parte superior es simétrica con respecto a su eje z ′, I ₁ = I ₂. Aquí se usa la relación simple para la energía potencial gravitacional local V = Mgl cos θ donde g es la aceleración de la gravedad y el centro de masa de la parte superior está a una distancia l de su punta a lo largo de su eje z ′.

Los ángulos ψ, φ son cíclicos. Los momentos constantes son los momentos angulares de la parte superior sobre su eje y su precesión sobre la vertical, respectivamente: $p_psi = frac{parcial L}{parcial dot{psi}} = I_3dot{psi} + I_3dot{phi} costheta$ $p_phi = frac{parcial L}{parcial dot{phi}} = dot{phi}(I_1sin^2theta + I_3cos^2theta) + I_3dot{ psi}costheta$

De estos, eliminando dψ / dt: $p_phi - p_psicostheta = I_1dot{phi}sin^2theta$

tenemos $dot{phi} = frac{p_phi - p_psicostheta}{I_1sin^2theta},,$

y para eliminar dφ / dt, sustituya este resultado en p _ψ y resuelva para dψ / dt para encontrar $dot{psi} = frac{p_psi}{I_3} - costheta left(frac{p_phi - p_psicostheta}{I_1sin^2theta} Correcto) ,.$

El Routhian puede tomarse como $R(theta,dot{theta}) = p_psidot{psi} + p_phidot{phi} - L = frac{1}{2}(p_psidot{ psi} + p_phidot{phi}) - frac{I_1 dot{theta}^2}{2} + Mgell costheta$

y desde $frac{p_phidot{phi}}{2} = frac{p_phi^2}{2I_1sin^2theta} - frac{p_psi p_phicostheta} {2I_1sin^2theta},,$ $frac{p_psi dot{psi}}{2} = frac{p_psi^2}{2I_3} - frac{p_psi p_phicostheta }{2I_1sin^2 theta} + frac{p_psi^2 cos^2theta}{2I_1sin^2theta}$

tenemos ${displaystyle R={frac {p_{psi }^{2}}{2I_{3}}}+{frac {p_{psi }^{2}cos ^{2}theta }{ 2I_{1}sen ^{2}theta }}+{frac {p_{phi }^{2}}{2I_{1}sin ^{2}theta }}-{frac {p_ {psi}p_{phi}cos theta}{I_{1}sin ^{2}theta}}-{frac {I_{1}{dot {theta}}^{2} {2}}+Mgellcostheta,.}$

El primer término es constante y puede ignorarse ya que solo las derivadas de R entrarán en las ecuaciones de movimiento. El Routhian simplificado, sin pérdida de información, es así $R = frac{1}{2I_1sin^2theta}left[p_psi^2 cos^2theta + p_phi^2 - frac{p_psi p_phi}{2} costhetaright] - frac{I_1 dot{theta}^2}{2} + Mgell costheta$

La ecuación de movimiento para θ es, por cálculo directo, $frac{d}{dt}frac{parcial R}{parcial dot{theta}} = frac{parcial R}{parcial theta} quad Rightarrow quad$ $-I_1ddot{theta} = -frac{costheta}{I_1sin^3theta}left[p_psi^2 cos^2theta + p_phi^2 - frac {p_psi p_phi}{2} costhetaright] + frac{1}{2I_1sin^2theta} left[-2 p_psi^2 costhetasin theta + frac{p_psi p_phi}{2} sinthetaright] -Mgellsintheta,,$

o introduciendo las constantes $a = frac{p_psi^2}{I_1^2} ,,quad b = frac{p_phi^2}{I_1^2},,quad c=frac{p_psi p_phi}{2 I_1^2},,quad k= frac{Mgell}{I_1},,$

se obtiene una forma más simple de la ecuación $ddot{theta} = frac{costheta}{sin^3theta}(acos^2theta +b -ccostheta) + frac{1}{2sin theta} (2 a costheta - c) + ksintheta ,.$

Aunque la ecuación es altamente no lineal, solo hay una ecuación para resolver, se obtuvo directamente y las coordenadas cíclicas no están involucradas.

Por el contrario, el enfoque lagrangiano lleva a resolver tres ecuaciones acopladas no lineales, a pesar de la ausencia de las coordenadas ψ y φ en el lagrangiano.

La ecuación de θ es $frac{d}{dt}frac{parcial L}{parcial dot{theta}} = frac{parcial L}{parcial theta} quadRightarrow quad I_1ddot{ theta} = (I_1- I_3)dot{phi}^2sinthetacostheta -I_3dot{psi}dot{phi}sintheta +Mgellsintheta ,,$

la ecuación de ψ es $frac{d}{dt}frac{parcial L}{parcial dot{psi}} = frac{parcial L}{parcial psi} quadRightarrow quad ddot{psi } + ddot{phi}costheta - dot{phi}dot{theta}sintheta= 0 ,,$

y la ecuación φ es $frac{d}{dt}frac{parcial L}{parcial dot{phi}} = frac{parcial L}{parcial phi} quadRightarrow quad ddot{phi }(I_1sin^2theta + I_3cos^2theta) + dot{phi}(I_1 - I_3)2sinthetacosthetadot{theta} + I_3ddot{ psi}costheta - I_3dot{psi}sinthetadot{theta} =0 ,,$

Potenciales dependientes de la velocidad

Partícula cargada clásica en un campo magnético uniforme

Considere una partícula cargada clásica de masa m y carga eléctrica q en un campo magnético B estático (independiente del tiempo) uniforme (constante en todo el espacio). El Lagrangiano para una partícula cargada en un campo electromagnético general dado por el potencial magnético A y el potencial eléctrico $fi$ es $L = frac{m}{2} dot{mathbf{r}}^2 - q phi + q dot{mathbf{r}} cdot mathbf{A},,$

Es conveniente utilizar coordenadas cilíndricas (r, θ, z), de modo que $dot{mathbf{r}} = mathbf{v} = (v_r, v_theta,v_z) = (dot{r},rdot{theta},dot{z}),,$ $mathbf{B}=(B_r,B_theta,B_z)=(0,0,B),.$

En este caso sin campo eléctrico, el potencial eléctrico es cero, $fi =0$ y podemos elegir el calibre axial para el potencial magnético $mathbf{A} = frac{1}{2}mathbf{B}timesmathbf{r} quad Rightarrow quad mathbf{A} = (A_r,A_theta,A_z) = (0,Br/2,0),,$

y el lagrangiano es $L(r,dot{r},dot{theta},dot{z}) = frac{m}{2} (dot{r}^2 + r^2dot{theta} ^2 + dot{z}^2) + frac{qB r^2dot{theta}}{2} ,.$

Observe que este potencial tiene una simetría efectivamente cilíndrica (aunque también depende de la velocidad angular), ya que la única dependencia espacial es la longitud radial desde un eje de cilindro imaginario.

Hay dos coordenadas cíclicas, θ y z. Los momentos canónicos conjugados a θ y z son las constantes $p_{theta} = frac{parcial L}{parcial dot {theta}} = mr^2dot {theta} + frac{qBr^2}{2} ,,quad p_z = frac{parcial L}{parcial dot {z}} = mdot{z} ,,$

entonces las velocidades son $dot {theta} = frac{1}{mr^2}left(p_theta - frac{qBr^2}{2}right) ,,quad dot{z} = frac {p_z}{m},.$

El momento angular sobre el eje z no es p _θ, sino la cantidad mr dθ / dt, que no se conserva debido a la contribución del campo magnético. El momento canónico p _θ es la cantidad conservada. Todavía se da el caso de que p _z es el momento lineal o de traslación a lo largo del eje z, que también se conserva.

La componente radial r y la velocidad angular dθ / dt pueden variar con el tiempo, pero p _θ es constante, y dado que p _z es constante, se sigue que dz / dt es constante. El Routhian puede tomar la forma ${displaystyle {begin{alineado}R(r,{dot {r}})&=p_{theta}{dot {theta}}+p_{z}{dot {z}}-L \&=p_{theta}{dot {theta}}+p_{z}{dot {z}}-{frac {m}{2}}{dot {r}}^{2 }-{frac {p_{theta}{dot {theta}}}{2}}-{frac {p_{z}{dot {z}}}{2}}-{frac { 1}{2}}qBr^{2}{dot{theta}}\[6pt]&=(p_{theta}-qBr^{2}){frac{dot{theta}} {2}}-{frac {m}{2}}{dot {r}}^{2}+{frac {p_{z}{dot {z}}}{2}}\[ 6pt]&={frac {1}{2mr^{2}}}left(p_{theta}-qBr^{2}right)left(p_{theta}-{frac {qBr^ {2}}{2}}right)-{frac {m}{2}}{dot {r}}^{2}+{frac {p_{z}^{2}}{2m} }\[6pt]&={frac {1}{2mr^{2}}}left(p_{theta}^{2}-{frac {3}{2}}qBr^{2} +{frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}right)-{frac {m}{2}}{dot {r}}^{2}end{ alineado}}}$

donde en la última línea, el término p _z /2 m es una constante y puede ignorarse sin pérdida de continuidad. Las ecuaciones hamiltonianas para θ y z desaparecen automáticamente y no es necesario resolverlas. La ecuación de Lagrange en r $frac{d}{dt}frac{parcial R}{parcial dot{r}} = frac{parcial R}{parcial r}$

es por calculo directo $-mddot{r} = frac{1}{2m}left[frac{-2}{r^3} left(p_theta^2 - frac{3}{2}qBr^2 + frac{(qB)^2 r^4}{2} right) + frac{1}{r^2}(- 3qBr + 2(qB)^2r^3)right] ,,$

que después de recopilar términos es $mddot{r}=frac{1}{2m}left[frac{2p_{theta}^2}{r^3}-(qB)^2 rright] ,,$

y simplificando aún más introduciendo las constantes $a = frac{p_{theta}^2}{m^2} ,,quad b = - frac{(qB)^2}{2m^2} ,,$

la ecuacion diferencial es $ddot{r} = frac{a}{r^3} + br$

Para ver cómo cambia z con el tiempo, integre la expresión de momento para p _z anterior $z = frac{p_z}{m}t + c_z ,,$

donde c _z es una constante arbitraria, el valor inicial de z se especificará en las condiciones iniciales.

El movimiento de la partícula en este sistema es helicoidal, con el movimiento axial uniforme (constante) pero las componentes radial y angular varían en espiral de acuerdo con la ecuación de movimiento deducida anteriormente. Las condiciones iniciales en r, dr / dt, θ, dθ / dt, determinarán si la trayectoria de la partícula tiene r constante o r variable. Si inicialmente r es distinto de cero pero dr / dt = 0, mientras que θ y dθ / dtson arbitrarias, entonces la velocidad inicial de la partícula no tiene componente radial, r es constante, por lo que el movimiento será en una hélice perfecta. Si r es constante, la velocidad angular también es constante según el p _θ conservado.

Con el enfoque lagrangiano, la ecuación para r incluiría dθ / dt que debe eliminarse, y habría ecuaciones para θ y z para resolver.

La ecuación r es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{r}} = frac{parcial L}{parcial r} quadRightarrowquad mddot{r} = mrdot{theta}^2 + qBrdot{theta} ,,$

la ecuación de θ es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{theta}} = frac{parcial L}{parcial theta} quadRightarrowquad m(2rdot {r}dot {theta} + r^2ddot {theta}) + qBrdot{r} = 0 ,,$

y la ecuación z es $frac{d}{dt} frac{parcial L}{parcial dot{z}} = frac{parcial L}{parcial z} quadRightarrowquad mddot{z} = 0 ,.$

La ecuación z es trivial de integrar, pero las ecuaciones r y θ no lo son, en cualquier caso las derivadas temporales se mezclan en todas las ecuaciones y deben eliminarse.

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