Relatividad especial

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En física, la teoría especial de la relatividad, o relatividad especial para abreviar, es una teoría científica sobre la relación entre el espacio y el tiempo. En el tratamiento original de Albert Einstein, la teoría se basa en dos postulados:

  1. Las leyes de la física son invariantes (es decir, idénticas) en todos los marcos de referencia inerciales (es decir, marcos de referencia sin aceleración).
  2. La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, independientemente del movimiento de la fuente de luz o del observador.

Orígenes y significado

La relatividad especial fue propuesta originalmente por Albert Einstein en un artículo publicado el 26 de septiembre de 1905 titulado "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento". La incompatibilidad de la mecánica newtoniana con las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell y, experimentalmente, el resultado nulo de Michelson-Morley (y experimentos similares posteriores) demostraron que el éter luminífero históricamente hipotético no existía. Esto condujo al desarrollo de la relatividad especial de Einstein, que corrige la mecánica para manejar situaciones que involucran todos los movimientos y especialmente aquellos a una velocidad cercana a la de la luz (conocida comovelocidades relativistas). Hoy en día, se ha demostrado que la relatividad especial es el modelo de movimiento más preciso a cualquier velocidad cuando los efectos gravitatorios y cuánticos son insignificantes. Aun así, el modelo newtoniano sigue siendo válido como una aproximación simple y precisa a bajas velocidades (en relación con la velocidad de la luz), por ejemplo, los movimientos cotidianos en la Tierra.

La relatividad especial tiene una amplia gama de consecuencias que han sido comprobadas experimentalmente. Incluyen la relatividad de la simultaneidad, la contracción de la longitud, la dilatación del tiempo, la fórmula de suma de velocidad relativista, el efecto Doppler relativista, la masa relativista, un límite de velocidad universal, la equivalencia masa-energía, la velocidad de causalidad y la precesión de Thomas. Por ejemplo, ha reemplazado la noción convencional de un tiempo universal absoluto con la noción de un tiempo que depende del marco de referencia y la posición espacial. En lugar de un intervalo de tiempo invariable entre dos eventos, existe un intervalo de espacio-tiempo invariable. Combinados con otras leyes de la física, los dos postulados de la relatividad especial predicen la equivalencia de masa y energía, como se expresa en la fórmula de equivalencia de masa-energíaE = mc^2, donde Ces la velocidad de la luz en el vacío. También explica cómo se relacionan los fenómenos de la electricidad y el magnetismo.

Una característica definitoria de la relatividad especial es el reemplazo de las transformaciones galileanas de la mecánica newtoniana con las transformaciones de Lorentz. El tiempo y el espacio no pueden definirse por separado (como se pensaba anteriormente que era el caso). Más bien, el espacio y el tiempo están entretejidos en un solo continuo conocido como "espacio-tiempo". Los eventos que ocurren al mismo tiempo para un observador pueden ocurrir en diferentes momentos para otro.

Hasta varios años después, cuando Einstein desarrolló la relatividad general, que introdujo un espacio-tiempo curvo para incorporar la gravedad, no se utilizó la frase "relatividad especial". Una traducción que se usa a veces es "relatividad restringida"; "especial" realmente significa "caso especial". Parte del trabajo de Albert Einstein en relatividad especial se basa en el trabajo anterior de Hendrik Lorentz y Henri Poincaré. La teoría quedó esencialmente completa en 1907.

La teoría es "especial" en el sentido de que solo se aplica en el caso especial en el que el espacio-tiempo es "plano", es decir, donde la curvatura del espacio-tiempo (una consecuencia del tensor energía-momento y que representa la gravedad) es insignificante. Para acomodar correctamente la gravedad, Einstein formuló la relatividad general en 1915. La relatividad especial, contrariamente a algunas descripciones históricas, acomoda aceleraciones así como marcos de referencia acelerados.

Así como ahora se acepta que la relatividad galileana es una aproximación de la relatividad especial válida para velocidades bajas, la relatividad especial se considera una aproximación de la relatividad general válida para campos gravitatorios débiles, es decir, a una escala suficientemente pequeña (por ejemplo, cuando las fuerzas de marea son despreciables) y en condiciones de caída libre. La relatividad general, sin embargo, incorpora geometría no euclidiana para representar los efectos gravitatorios como la curvatura geométrica del espacio-tiempo. La relatividad especial está restringida al espacio-tiempo plano conocido como espacio de Minkowski. Siempre que el universo se pueda modelar como una variedad pseudo-Riemanniana, se puede definir un marco invariante de Lorentz que cumpla con la relatividad especial para una vecindad suficientemente pequeña de cada punto en este espacio-tiempo curvo.

Galileo Galilei ya había postulado que no existe un estado de reposo absoluto y bien definido (no hay marcos de referencia privilegiados), principio que ahora se denomina principio de relatividad de Galileo. Einstein amplió este principio para que tuviera en cuenta la velocidad constante de la luz, un fenómeno que se había observado en el experimento de Michelson-Morley. También postuló que se cumple para todas las leyes de la física, incluidas las leyes de la mecánica y la electrodinámica.

Enfoque tradicional de "dos postulados" para la relatividad especial

"Reflexiones de este tipo me dejaron claro ya poco después de 1900, es decir, poco después del trabajo pionero de Planck, que ni la mecánica ni la electrodinámica podían (excepto en casos limitados) reclamar una validez exacta. Gradualmente me desesperé de la posibilidad de descubrir las leyes verdaderas por medio de esfuerzos constructivos basados ​​en hechos conocidos. Cuanto más tiempo y más desesperadamente lo intentaba, más llegaba a la convicción de que sólo el descubrimiento de un principio formal universal podría llevarnos a resultados seguros... ¿Cómo, entonces?, ¿podría encontrarse tal principio universal?"

Albert Einstein: notas autobiográficas

Einstein percibió dos proposiciones fundamentales que parecían ser las más seguras, independientemente de la validez exacta de las leyes (entonces) conocidas de la mecánica o la electrodinámica. Estas proposiciones eran la constancia de la velocidad de la luz en el vacío y la independencia de las leyes físicas (especialmente la constancia de la velocidad de la luz) de la elección del sistema inercial. En su presentación inicial de la relatividad especial en 1905 expresó estos postulados como:

  • El principio de relatividad: las leyes por las que los estados de los sistemas físicos experimentan cambios no se ven afectadas, ya sea que estos cambios de estado se refieran a uno u otro de dos sistemas en movimiento de traslación uniforme entre sí.
  • El principio de la velocidad de la luz invariable: "... la luz siempre se propaga en el espacio vacío con una velocidad definida [velocidad] c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor" (del prefacio). Es decir, la luz en el vacío se propaga con la velocidad c (una constante fija, independiente de la dirección) en al menos un sistema de coordenadas inerciales (el "sistema estacionario"), independientemente del estado de movimiento de la fuente de luz.

La constancia de la velocidad de la luz fue motivada por la teoría del electromagnetismo de Maxwell y la falta de evidencia del éter luminífero. Existe evidencia contradictoria sobre la medida en que Einstein fue influenciado por el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley. En cualquier caso, el resultado nulo del experimento de Michelson-Morley ayudó a que la noción de la constancia de la velocidad de la luz ganara una rápida y generalizada aceptación.

La derivación de la relatividad especial depende no solo de estos dos postulados explícitos, sino también de varias suposiciones tácitas (hechas en casi todas las teorías de la física), incluidas la isotropía y la homogeneidad del espacio y la independencia de las varillas de medición y los relojes de su historia pasada.

Siguiendo la presentación original de Einstein de la relatividad especial en 1905, se han propuesto muchos conjuntos diferentes de postulados en varias derivaciones alternativas. Sin embargo, el conjunto más común de postulados sigue siendo el empleado por Einstein en su artículo original. Una declaración más matemática del principio de la relatividad hecha más tarde por Einstein, que introduce el concepto de simplicidad no mencionado anteriormente es:

Principio especial de la relatividad: si se elige un sistema de coordenadas K de modo que, en relación con él, las leyes físicas sean válidas en su forma más simple, las mismas leyes serán válidas en relación con cualquier otro sistema de coordenadas K′ que se mueva en traslación uniforme relativamente a k

Henri Poincaré proporcionó el marco matemático para la teoría de la relatividad al demostrar que las transformaciones de Lorentz son un subconjunto de su grupo de transformaciones de simetría de Poincaré. Más tarde, Einstein derivó estas transformaciones a partir de sus axiomas.

Muchos de los artículos de Einstein presentan derivaciones de la transformación de Lorentz basadas en estos dos principios.

Principio de relatividad

Marcos de referencia y movimiento relativo

Los marcos de referencia juegan un papel crucial en la teoría de la relatividad. El término marco de referencia, tal como se usa aquí, es una perspectiva de observación en el espacio que no experimenta ningún cambio en el movimiento (aceleración), desde el cual se puede medir una posición a lo largo de 3 ejes espaciales (es decir, en reposo o con velocidad constante). Además, un marco de referencia tiene la capacidad de determinar las medidas del tiempo de los eventos usando un 'reloj' (cualquier dispositivo de referencia con periodicidad uniforme).

Un evento es una ocurrencia a la que se le puede asignar un único momento y ubicación en el espacio en relación con un marco de referencia: es un "punto" en el espacio-tiempo. Dado que la velocidad de la luz es constante en relatividad independientemente del marco de referencia, los pulsos de luz se pueden usar para medir distancias sin ambigüedades y hacer referencia a las horas en que ocurrieron los eventos en el reloj, aunque la luz tarda en llegar al reloj después del evento. ha trascendido.

Por ejemplo, la explosión de un petardo puede considerarse un "evento". Podemos especificar completamente un evento por sus cuatro coordenadas de espacio-tiempo: el tiempo de ocurrencia y su ubicación espacial tridimensional definen un punto de referencia. Llamemos a este marco de referencia S.

En la teoría de la relatividad, a menudo queremos calcular las coordenadas de un evento a partir de diferentes marcos de referencia. Las ecuaciones que relacionan medidas realizadas en diferentes marcos se denominan ecuaciones de transformación.

Configuración estándar

Para comprender mejor cómo se comparan entre sí las coordenadas del espacio-tiempo medidas por los observadores en diferentes marcos de referencia, es útil trabajar con una configuración simplificada con marcos en una configuración estándar. Con cuidado, esto permite la simplificación de las matemáticas sin pérdida de generalidad en las conclusiones a las que se llega. En la figura 2-1, se muestran dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos convencionales de 3 espacios) en movimiento relativo. El marco S pertenece a un primer observador O, y el marco S′ (pronunciado "S prime" o "S dash") pertenece a un segundo observador O′.

  • Los ejes x, y, z del marco S están orientados paralelos a los respectivos ejes primos del marco S′.
  • El marco S′ se mueve, por simplicidad, en una sola dirección: la dirección x del marco S con una velocidad constante v medida en el marco S.
  • Los orígenes de las tramas S y S′ son coincidentes cuando el tiempo t = 0 para la trama S y t ′ = 0 para la trama S′.

Dado que no existe un marco de referencia absoluto en la teoría de la relatividad, no existe estrictamente un concepto de 'movimiento', ya que todo puede moverse con respecto a algún otro marco de referencia. En cambio, se dice que dos fotogramas cualesquiera que se mueven a la misma velocidad en la misma dirección son comóviles. Por lo tanto, S y S ′ no son comovientes.

Falta de un marco de referencia absoluto

El principio de la relatividad, que establece que las leyes físicas tienen la misma forma en cada marco de referencia inercial, se remonta a Galileo y se incorporó a la física newtoniana. Sin embargo, a fines del siglo XIX, la existencia de ondas electromagnéticas llevó a algunos físicos a sugerir que el universo estaba lleno de una sustancia a la que llamaron "éter", que, postularon, actuaría como el medio a través del cual estas ondas, o vibraciones, propagado (en muchos aspectos similar a la forma en que el sonido se propaga a través del aire). Se pensó que el éter era un marco de referencia absoluto contra el cual se podían medir todas las velocidades, y se podía considerar fijo e inmóvil en relación con la Tierra o algún otro punto de referencia fijo. Se suponía que el éter era lo suficientemente elástico para soportar las ondas electromagnéticas, mientras que esas ondas podían interactuar con la materia, sin ofrecer resistencia a los cuerpos que la atravesaban (su única propiedad era que permitía la propagación de las ondas electromagnéticas). Los resultados de varios experimentos, incluido el experimento de Michelson-Morley en 1887 (posteriormente verificado con experimentos más precisos e innovadores), llevaron a la teoría de la relatividad especial, al demostrar que el éter no existía.La solución de Einstein fue descartar la noción de éter y el estado absoluto de reposo. En relatividad, cualquier marco de referencia que se mueva con movimiento uniforme observará las mismas leyes de la física. En particular, la velocidad de la luz en el vacío siempre se mide como c, incluso cuando la miden múltiples sistemas que se mueven a velocidades diferentes (pero constantes).

Relatividad sin el segundo postulado

A partir del principio de la relatividad únicamente, sin asumir la constancia de la velocidad de la luz (es decir, utilizando la isotropía del espacio y la simetría implícita en el principio de la relatividad especial), se puede demostrar que las transformaciones del espacio-tiempo entre marcos inerciales son euclidianas, galileanas o Lorentziano. En el caso lorentziano, se puede obtener la conservación del intervalo relativista y una cierta velocidad límite finita. Los experimentos sugieren que esta velocidad es la velocidad de la luz en el vacío.

La invariancia de Lorentz como núcleo esencial de la relatividad especial

Enfoques alternativos a la relatividad especial

Einstein basó consistentemente la derivación de la invariancia de Lorentz (el núcleo esencial de la relatividad especial) solo en los dos principios básicos de la relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz. El escribio:

La idea fundamental para la teoría especial de la relatividad es la siguiente: los supuestos de la relatividad y la invariancia de la velocidad de la luz son compatibles si se postulan relaciones de un nuevo tipo ("transformación de Lorentz") para la conversión de coordenadas y tiempos de eventos... El principio universal de la teoría especial de la relatividad está contenida en el postulado: Las leyes de la física son invariantes con respecto a las transformaciones de Lorentz (para la transición de un sistema inercial a cualquier otro sistema inercial elegido arbitrariamente). Este es un principio restrictivo para las leyes naturales...

Por lo tanto, muchos tratamientos modernos de la relatividad especial se basan en el postulado único de la covarianza universal de Lorentz o, de manera equivalente, en el postulado único del espacio-tiempo de Minkowski.

En lugar de considerar la covarianza universal de Lorentz como un principio derivado, este artículo la considera como el postulado fundamental de la relatividad especial. El enfoque tradicional de dos postulados de la relatividad especial se presenta en innumerables libros de texto universitarios y presentaciones populares. Los libros de texto que comienzan con el postulado único del espacio-tiempo de Minkowski incluyen los de Taylor y Wheeler y Callahan. Este es también el enfoque seguido por los artículos de Wikipedia Spacetime y el diagrama de Minkowski.

Transformación de Lorentz y su inversa

Defina un evento para tener coordenadas de espacio-tiempo (t, x, y, z) en el sistema S y (t ′, x ′, y ′, z ′) en un marco de referencia moviéndose a una velocidad v con respecto a ese marco, S ′. Entonces la transformación de Lorentz especifica que estas coordenadas están relacionadas de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{alineado}t'&=gamma (t-vx/c^{2})\x'&=gamma(x-vt)\y'&=y\ z'&=z,end{alineado}}}

dónde

{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

es el factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el vacío, y la velocidad v de S ′, relativa a S, es paralela al eje x. Por simplicidad, las coordenadas y y z no se ven afectadas; solo se transforman las coordenadas x y t. Estas transformaciones de Lorentz forman un grupo de mapeos lineales de un parámetro, llamado rapidez.

Resolviendo las cuatro ecuaciones de transformación anteriores para las coordenadas no primadas se obtiene la transformación inversa de Lorentz:

{displaystyle {begin{alineado}t&=gamma (t'+vx'/c^{2})\x&=gamma (x'+vt')\y&=y'\z&=z '.end{alineado}}}

Al hacer cumplir esta transformación de Lorentz inversa para que coincida con la transformación de Lorentz del sistema primado al no primado, se muestra que el marco no primado se mueve con la velocidad v′ = − v, medida en el marco primado.

No hay nada especial en el eje x. La transformación se puede aplicar al eje y o z, o de hecho en cualquier dirección paralela al movimiento (que están deformadas por el factor γ) y perpendicular; vea el artículo Transformación de Lorentz para más detalles.

Una cantidad invariante bajo transformaciones de Lorentz se conoce como escalar de Lorentz.

Escribiendo la transformación de Lorentz y su inversa en términos de diferencias de coordenadas, donde un evento tiene coordenadas (x 1, t 1) y (x1, t1), otro evento tiene coordenadas (x 2, t 2) y (x2, t2), y las diferencias se definen como

  • ecuación 1: {displaystyle Delta x'=x'_{2}-x'_{1}, Delta t'=t'_{2}-t'_{1}.}
  • ecuación 2: {displaystyle Delta x=x_{2}-x_{1},  Delta t=t_{2}-t_{1}.}

obtenemos

  • ecuación 3: {displaystyle Delta x'=gamma  (Delta xv,Delta t),  } {displaystyle Delta t'=gamma  left(Delta tv Delta x/c^{2}right).}
  • ecuación 4: {displaystyle Delta x=gamma  (Delta x'+v,Delta t'), } {displaystyle Delta t=gamma  left(Delta t'+v Delta x'/c^{2}right).}

Si tomamos diferenciales en lugar de tomar diferencias, obtenemos

  • ecuación 5: {displaystyle dx'=gamma(dx-v,dt),  } {displaystyle dt'=gamma  left(dt-v dx/c^{2}right).}
  • ecuación 6: {displaystyle dx=gamma  (dx'+v,dt'), } {displaystyle dt=gamma  left(dt'+v dx'/c^{2}right).}

Representación gráfica de la transformación de Lorentz

Los diagramas de espacio-tiempo (diagramas de Minkowski) son una ayuda extremadamente útil para visualizar cómo se transforman las coordenadas entre diferentes marcos de referencia. Aunque no es tan fácil realizar cálculos exactos utilizándolos como invocando directamente las transformaciones de Lorentz, su principal poder es su capacidad para proporcionar una comprensión intuitiva de los resultados de un escenario relativista.

Para dibujar un diagrama de espacio-tiempo, comience considerando dos marcos de referencia galileanos, S y S', en configuración estándar, como se muestra en la figura 2-1.

Figura 3-1a. Dibuje los ejes Xy tdel marco S. El Xeje es horizontal y el eje t(en realidad Connecticut) es vertical, que es lo opuesto a la convención habitual en cinemática. El Connecticuteje está escalado por un factor de Cpara que ambos ejes tengan unidades de longitud comunes. En el diagrama que se muestra, las líneas de cuadrícula están separadas por una unidad de distancia. Las líneas diagonales de 45° representan las líneas de mundo de dos fotones que pasan por el origen en el tiempo { estilo de visualización t = 0.}. La pendiente de estas líneas de mundo es 1 porque los fotones avanzan una unidad en el espacio por unidad de tiempo. Dos eventos, {displaystyle {text{A}}}y { estilo de visualización { texto {B}},}se trazaron en este gráfico para que sus coordenadas puedan compararse en los marcos S y S'.

Figura 3-1b. Dibuje los ejes X'y del marco S'. { estilo de visualización ct'}El { estilo de visualización ct'}eje representa la línea de mundo del origen del sistema de coordenadas S' medido en el marco S. En esta figura, { estilo de visualización v = c/2.}los ejes { estilo de visualización ct'}y están inclinados respecto de los ejes no imprimados X'en un ángulo { estilo de visualización  alfa =  bronceado ^ {-1} ( beta),}en el que los ejes con y sin imprimación comparten un origen común porque los marcos S { estilo de visualización  beta = v/c.}y S' se habían establecido en configuración estándar, de modo que t=0cuando{ estilo de visualización t'=0.}

Figura 3-1c. Las unidades en los ejes con prima tienen una escala diferente de las unidades en los ejes sin prima. A partir de las transformaciones de Lorentz, observamos que las { estilo de visualización (x', ct')}coordenadas de (0,1)en el sistema de coordenadas con prima se transforman en { estilo de visualización ( beta  gamma,  gamma)}en el sistema de coordenadas sin prima. Del mismo modo, las { estilo de visualización (x', ct')}coordenadas del (1,0)sistema de coordenadas con prima se transforman { estilo de visualización ( gamma,  beta  gamma)}en el sistema sin prima. Dibuje líneas de cuadrícula paralelas al { estilo de visualización ct'}eje a través { estilo de visualización (k  gamma, k  beta  gamma)}de puntos medidos en el marco sin imprimación, donde kes un número entero. Del mismo modo, dibuje líneas de cuadrícula paralelas al X'eje { estilo de visualización (k  beta  gamma, k  gamma)}medido en el marco sin imprimar. Usando el teorema de Pitágoras, observamos que el espacio entre las { estilo de visualización ct'}unidades es igual a {textstyle {sqrt {(1+beta ^{2})/(1-beta ^{2})}}}veces el espacio entreConnecticutunidades, medidas en el marco S. Esta relación siempre es mayor que 1 y, en última instancia, se aproxima al infinito como{ estilo de visualización  beta  a 1.}

Figura 3-1d. Dado que la velocidad de la luz es invariable, las líneas de mundo de dos fotones que pasan por el origen en el tiempo { estilo de visualización t'=0}todavía se trazan como líneas diagonales de 45°. Las coordenadas con prima de {displaystyle {text{A}}}y { estilo de visualización { texto {B}}}están relacionadas con las coordenadas sin prima a través de las transformaciones de Lorentz y podrían medirse aproximadamente a partir del gráfico (suponiendo que se haya trazado con la suficiente precisión), pero el mérito real de un diagrama de Minkowski es que nos otorga una vista geométrica de el escenario. Por ejemplo, en esta figura, observamos que los dos eventos separados en el tiempo que tenían diferentes coordenadas x en el marco sin imprimación ahora están en la misma posición en el espacio.

Mientras que el marco sin imprimación se dibuja con ejes de espacio y tiempo que se encuentran en ángulos rectos, el marco imprimado se dibuja con ejes que se encuentran en ángulos agudos u obtusos. Esta asimetría se debe a distorsiones inevitables en la forma en que las coordenadas del espacio-tiempo se asignan a un plano cartesiano, pero los marcos son en realidad equivalentes.

Consecuencias derivadas de la transformación de Lorentz

Las consecuencias de la relatividad especial se pueden derivar de las ecuaciones de transformación de Lorentz. Estas transformaciones, y por lo tanto la relatividad especial, conducen a predicciones físicas diferentes a las de la mecánica newtoniana en todas las velocidades relativas, y más pronunciadas cuando las velocidades relativas se vuelven comparables a la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es mucho más grande que cualquier cosa que la mayoría de los humanos encuentren que algunos de los efectos predichos por la relatividad son inicialmente contradictorios.

Intervalo invariante

En la relatividad galileana, la longitud (Delta r) y la separación temporal entre dos eventos (Delta t) son invariantes independientes, cuyos valores no cambian cuando se observan desde diferentes marcos de referencia.

En relatividad especial, sin embargo, el entrelazamiento de coordenadas espaciales y temporales genera el concepto de un intervalo invariante, denotado como { estilo de visualización  Delta s ^ {2}}:

{displaystyle Delta s^{2};{overset {text{def}}{=}};c^{2}Delta t^{2}-(Delta x^{2}+ Delta y^{2}+Delta z^{2})}

El entretejido de espacio y tiempo revoca los conceptos asumidos implícitamente de simultaneidad y sincronización absolutas a través de marcos inmóviles.

La forma de {displaystyle Delta s^{2},}ser la diferencia del lapso de tiempo al cuadrado y la distancia espacial al cuadrado, demuestra una discrepancia fundamental entre las distancias euclidianas y espaciotemporales. La invariancia de este intervalo es una propiedad de la transformada general de Lorentz (también llamada transformación de Poincaré), lo que la convierte en una isometría del espacio-tiempo. La transformada general de Lorentz extiende la transformada estándar de Lorentz (que se ocupa de las traslaciones sin rotación, es decir, los aumentos de Lorentz, en la dirección x) con todas las demás traslaciones, reflexiones y rotaciones entre cualquier sistema de inercia cartesiano.

En el análisis de escenarios simplificados, como los diagramas de espacio-tiempo, a menudo se emplea una forma de dimensionalidad reducida del intervalo invariante:

{displaystyle Delta s^{2},=,c^{2}Delta t^{2}-Delta x^{2}}

Demostrar que el intervalo es invariable es sencillo para el caso de dimensionalidad reducida y con marcos en configuración estándar:

{displaystyle {begin{alineado}c^{2}Delta t^{2}-Delta x^{2}&=c^{2}gamma ^{2}left(Delta t'+ {dfrac {vDelta x'}{c^{2}}}right)^{2}-gamma ^{2} (Delta x'+vDelta t')^{2} &=gamma ^{2}left(c^{2}Delta t'^{,2}+2vDelta x'Delta t'+{dfrac {v^{2}Delta x '^{,2}}{c^{2}}}right)-gamma ^{2} (Delta x'^{,2}+2vDelta x'Delta t'+v ^{2}Delta t'^{,2})\&=gamma ^{2}c^{2}Delta t'^{,2}-gamma ^{2}v^{ 2}Delta t'^{,2}-gamma ^{2}Delta x'^{,2}+gamma ^{2}{dfrac {v^{2}Delta x'^ {,2}}{c^{2}}}\&=gamma ^{2}c^{2}Delta t'^{,2}left(1-{dfrac {v^ {2}}{c^{2}}}right)-gamma ^{2}Delta x'^{,2}left(1-{dfrac {v^{2}}{c^ {2}}}right)\&=c^{2}Delta t'^{,2}-Delta x'^{,2}end{alineado}}}

Por lo tanto, el valor de { estilo de visualización  Delta s ^ {2}}es independiente del marco en el que se mide.

Al considerar el significado físico de { estilo de visualización  Delta s ^ {2}}, hay tres casos a tener en cuenta:

  • Δs > 0: en este caso, los dos eventos están separados por más tiempo que espacio y, por lo tanto, se dice que están separados en el tiempo. Esto implica que { estilo de visualización |  Delta x/ Delta t | <c,}y dada la transformación de Lorentz {displaystyle Delta x'=gamma  (Delta xv,Delta t),}es evidente que existe un vmenor que Cpara el cual { estilo de visualización  Delta x '= 0}(en particular, {displaystyle v=Delta x/Delta t}). En otras palabras, dados dos eventos que están separados en el tiempo, es posible encontrar un marco en el que los dos eventos sucedan en el mismo lugar. En este marco, la separación en el tiempo, { estilo de visualización  Delta s/c,}se llama el tiempo propio.
  • Δs < 0: en este caso, los dos eventos están separados por más espacio que tiempo y, por lo tanto, se dice que están separados como un espacio. Esto implica que { estilo de visualización |  Delta x/ Delta t |> c,}y dada la transformación de Lorentz {displaystyle Delta t'=gamma  (Delta tvDelta x/c^{2}),}existe un vmenor que Cpara el cual { estilo de visualización  Delta t' = 0}(en particular, {displaystyle v=c^{2}Delta t/Delta x}). En otras palabras, dados dos eventos que están separados como un espacio, es posible encontrar un marco en el que los dos eventos sucedan al mismo tiempo. En este marco, la separación en el espacio {displaystyle {sqrt {-Delta s^{2}}},}se denomina distancia propia o longitud propia. Para valores vmayores que y menores que {displaystyle c^{2}Delta t/Delta x,}el signo deDelta t'cambia, lo que significa que el orden temporal de los eventos separados en forma de espacio cambia según el marco en el que se ven los eventos. Sin embargo, el orden temporal de los eventos separados por el tiempo es absoluto, ya que la única forma en que vpodría ser mayor de lo que {displaystyle c^{2}Delta t/Delta x}sería si{ estilo de visualización v> c.}
  • Δs = 0: En este caso, se dice que los dos eventos están separados como la luz. Esto implica que {estilo de visualización |Delta x/Delta t|=c,}y esta relación es independiente del marco debido a la invariancia de { estilo de visualización ^ {2}.}De esto, observamos que la velocidad de la luz está Cen cada marco inercial. En otras palabras, a partir del supuesto de la covarianza universal de Lorentz, la velocidad constante de la luz es un resultado derivado, en lugar de un postulado como en la formulación de dos postulados de la teoría especial.

Relatividad de la simultaneidad

Considere dos eventos que suceden en dos lugares diferentes que ocurren simultáneamente en el marco de referencia de un observador inercial. Pueden ocurrir de forma no simultánea en el marco de referencia de otro observador inercial (falta de simultaneidad absoluta).

De la Ecuación 3 (la transformación directa de Lorentz en términos de diferencias de coordenadas)

{displaystyle Delta t'=gamma left(Delta t-{frac {v,Delta x}{c^{2}}}right)}

Es claro que los dos eventos que son simultáneos en el marco S (satisfaciendo Δ t = 0), no son necesariamente simultáneos en otro marco inercial S ′ (satisfaciendo Δ t ′ = 0). Solo si estos eventos son además co-locales en el marco S (satisfaciendo Δ x = 0), serán simultáneos en otro marco S ′.

El efecto Sagnac puede considerarse una manifestación de la relatividad de la simultaneidad. Dado que la relatividad de la simultaneidad es un efecto de primer orden en v, los instrumentos basados ​​en el efecto Sagnac para su funcionamiento, como los giroscopios láser de anillo y los giroscopios de fibra óptica, son capaces de alcanzar niveles extremos de sensibilidad.

Dilatación del tiempo

El lapso de tiempo entre dos eventos no es invariable de un observador a otro, sino que depende de las velocidades relativas de los marcos de referencia de los observadores (p. ej., la paradoja de los gemelos que se refiere a un gemelo que vuela en una nave espacial que viaja cerca de la velocidad de la luz). y regresa para descubrir que el hermano gemelo que no viaja ha envejecido mucho más, siendo la paradoja que a velocidad constante no podemos discernir qué gemelo no viaja y qué gemelo viaja).

Supongamos que un reloj está en reposo en el sistema S no imprimado. La ubicación del reloj en dos tics diferentes se caracteriza entonces por Δ x = 0. Para encontrar la relación entre los tiempos entre estos ticks medidos en ambos sistemas, se puede usar la Ecuación 3 para encontrar:Delta t' = gamma, Delta t para eventos satisfactorios  Delta x = 0 .

Esto muestra que el tiempo (Δ t ′) entre los dos tics como se ve en el cuadro en el que se mueve el reloj (S ′), es más largo que el tiempo (Δ t) entre estos tics medido en el resto del cuadro del reloj. reloj (S). La dilatación del tiempo explica una serie de fenómenos físicos; por ejemplo, el tiempo de vida de los muones de alta velocidad creados por la colisión de los rayos cósmicos con partículas en la atmósfera exterior de la Tierra y que se mueven hacia la superficie es mayor que el tiempo de vida de los muones que se mueven lentamente, creados y descomponiéndose en un laboratorio.

Contracción de longitud

Las dimensiones (p. ej., la longitud) de un objeto medido por un observador pueden ser más pequeñas que los resultados de las mediciones del mismo objeto hechas por otro observador (p. ej., la paradoja de la escalera involucra una escalera larga que viaja cerca de la velocidad de la luz y está contenida dentro de un garaje más pequeño).

De manera similar, suponga que una varilla de medición está en reposo y alineada a lo largo del eje x en el sistema sin imprimación S. En este sistema, la longitud de esta barra se escribe como Δ x. Para medir la longitud de esta varilla en el sistema S ′, en el que la varilla se mueve, las distancias x ′ a los puntos extremos de la varilla deben medirse simultáneamente en ese sistema S ′. En otras palabras, la medida se caracteriza por Δ t ′ = 0, que se puede combinar con la Ecuación 4 para encontrar la relación entre las longitudes Δ x y Δ x ′:Delta x' = frac{Delta x}{gamma} para eventos satisfactorios Delta t' = 0 .

Esto muestra que la longitud (Δ x ′) de la barra medida en el marco en el que se mueve (S ′), es más corta que su longitud (Δ x) en su propio marco de reposo (S).

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud no son meras apariencias. La dilatación del tiempo está explícitamente relacionada con nuestra forma de medir los intervalos de tiempo entre eventos que ocurren en el mismo lugar en un sistema de coordenadas dado (llamados eventos "co-locales"). Estos intervalos de tiempo (que pueden ser, y son, de hecho, medidos experimentalmente por observadores relevantes) son diferentes en otro sistema de coordenadas que se mueve con respecto al primero, a menos que los eventos, además de ser co-locales, también sean simultáneos. De manera similar, la contracción de la longitud se relaciona con nuestras distancias medidas entre eventos separados pero simultáneos en un sistema de coordenadas elegido. Si estos eventos no son co-locales, pero están separados por distancia (espacio), no ocurrirán al mismo tiempo.distancia espacial entre sí cuando se ven desde otro sistema de coordenadas en movimiento.

Transformación de Lorentz de velocidades

Considere dos marcos S y S′ en configuración estándar. Una partícula en S se mueve en la dirección x con el vector velocidad { matemáticas {u}}.¿Cuál es su velocidad {displaystyle mathbf {u'} }en el marco S′ ?

Podemos escribir

{displaystyle mathbf {|u|} =u=dx/dt,.} (7)
{displaystyle mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt',.} (8)

La sustitución de expresiones para {displaystyle dx'}y { estilo de visualización dt'}de la Ecuación 5 en la Ecuación 8, seguido de manipulaciones matemáticas sencillas y la sustitución hacia atrás de la Ecuación 7 produce la transformación de Lorentz de la velocidad tua tu:

{displaystyle u'={frac {dx'}{dt'}}={frac {gamma (dx-vdt)}{gamma left(dt-{frac {vdx}{c^{2 }}}right)}}={frac {{frac {dx}{dt}}-v}{1-left({frac {v}{c^{2}}}right) izquierda({frac {dx}{dt}}derecha)}}={frac {uv}{1-uv/c^{2}}}.} (9)

La relación inversa se obtiene intercambiando los símbolos primos y no primos y reemplazando vcon{ estilo de visualización -v .}

{displaystyle u={frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.} (10)

Para mathbf{u}no alineados a lo largo del eje x, escribimos:

{displaystyle mathbf {u} =(u_{1}, u_{2}, u_{3})=(dx/dt, dy/dt, dz/dt).} (11)
{displaystyle mathbf {u'} =(u_{1}', u_{2}', u_{3}')=(dx'/dt', dy'/dt', dz'/ dt').} (12)

Las transformaciones directa e inversa para este caso son:

{displaystyle u_{1}'={frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}},qquad u_{2}'={frac { u_{2}}{gamma left(1-u_{1}v/c^{2}right)}},qquad u_{3}'={frac {u_{3}}{ gamma left(1-u_{1}v/c^{2}right)}}.} (13)
{displaystyle u_{1}={frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}},qquad u_{2}={frac { u_{2}'}{gamma left(1+u_{1}'v/c^{2}right)}},qquad u_{3}={frac {u_{3}'} {gamma left(1+u_{1}'v/c^{2}right)}}.} (14)

La Ecuación 10 y la Ecuación 14 pueden interpretarse como la resultante { matemáticas {u}} de las dos velocidades matemáticas {v}y {displaystyle mathbf {u'},}reemplazan la fórmula {displaystyle mathbf {u=u'+v} }que es válida en la relatividad galileana. Interpretadas de esta manera, se las conoce comúnmente como fórmulas de adición (o composición) de velocidad relativista, válidas para los tres ejes de S y S′ alineados entre sí (aunque no necesariamente en configuración estándar).

Tomamos nota de los siguientes puntos:

  • Si un objeto (p. ej., un fotón) se moviera a la velocidad de la luz en un marco (es decir, u = ± c o u′ = ± c), entonces también se movería a la velocidad de la luz en cualquier otro marco, mudarse a | v | < C.
  • La rapidez resultante de dos velocidades con magnitud menor que c es siempre una velocidad con magnitud menor que c.
  • Si ambos | tu | y | v | (y luego también | u′ | y | v′ |) son pequeños con respecto a la velocidad de la luz (es decir, por ejemplo, |tu/C| ≪ 1), entonces las transformaciones galileanas intuitivas se recuperan de las ecuaciones de transformación para la relatividad especial
  • Adjuntar un marco a un fotón (montar un haz de luz como considera Einstein) requiere un tratamiento especial de las transformaciones.

No hay nada especial en la dirección x en la configuración estándar. El formalismo anterior se aplica a cualquier dirección; y tres direcciones ortogonales permiten tratar con todas las direcciones en el espacio al descomponer los vectores de velocidad en sus componentes en estas direcciones. Consulte la fórmula de adición de velocidad para obtener más detalles.

Rotación de thomas

La composición de dos refuerzos de Lorentz no colineales (es decir, dos transformaciones de Lorentz no colineales, ninguna de las cuales implica rotación) da como resultado una transformación de Lorentz que no es un impulso puro sino la composición de un impulso y una rotación.

La rotación de Thomas resulta de la relatividad de la simultaneidad. En la figura 4-2a, una barra de longitud Len su marco de reposo (es decir, que tiene una longitud propia de L) se eleva verticalmente a lo largo del eje y en el marco del suelo.

En la figura 4-2b, se observa la misma barra desde el marco de un cohete que se mueve con rapidez vhacia la derecha. Si imaginamos dos relojes situados en los extremos izquierdo y derecho de la varilla que están sincronizados en el marco de la varilla, la relatividad de la simultaneidad hace que el observador en el marco del cohete observe (no vea) el reloj en el extremo derecho de la varilla. como siendo avanzado en el tiempo por {displaystyle Lv/c^{2},}y la varilla se observa correspondientemente como inclinada.

A diferencia de los efectos relativistas de segundo orden, como la contracción de la longitud o la dilatación del tiempo, este efecto se vuelve bastante significativo incluso a velocidades bastante bajas. Por ejemplo, esto se puede ver en el espín de partículas en movimiento, donde la precesión de Thomas es una corrección relativista que se aplica al espín de una partícula elemental o la rotación de un giroscopio macroscópico, relacionando la velocidad angular del espín de una partícula después de una órbita curvilínea a la velocidad angular del movimiento orbital.

La rotación de Thomas proporciona la resolución de la conocida "paradoja de la regla y el agujero".

Causalidad y prohibición del movimiento más rápido que la luz

En la figura 4-3, el intervalo de tiempo entre los eventos A (la "causa") y B (el "efecto") es 'similar al tiempo'; es decir, hay un marco de referencia en el que los eventos A y B ocurren en el mismo lugar en el espacio, separados solo por ocurrir en diferentes momentos. Si A precede a B en ese marco, entonces A precede a B en todos los marcos accesibles por una transformación de Lorentz. Es posible que la materia (o la información) viaje (por debajo de la velocidad de la luz) desde la ubicación de A, comenzando en el momento de A, hasta la ubicación de B, llegando en el momento de B, por lo que puede haber una relación causal (siendo A la causa y B el efecto).

El intervalo AC en el diagrama es 'como un espacio'; es decir, hay un marco de referencia en el que los eventos A y C ocurren simultáneamente, separados solo en el espacio. También hay cuadros en los que A precede a C (como se muestra) y cuadros en los que C precede a A. Sin embargo, no hay cuadros accesibles mediante una transformación de Lorentz, en los que los eventos A y C ocurren en la misma ubicación. Si fuera posible que existiera una relación de causa y efecto entre los eventos A y C, se producirían paradojas de causalidad.

Por ejemplo, si las señales pudieran enviarse más rápido que la luz, entonces las señales podrían enviarse al pasado del remitente (observador B en los diagramas). Entonces podría construirse una variedad de paradojas causales.

Considere los diagramas de espacio-tiempo de la figura 4-4. A y B se paran junto a una vía férrea, cuando pasa un tren de alta velocidad, C viaja en el último vagón del tren y D viaja en el vagón principal. Las líneas universales de A y B son verticales (ct), lo que distingue la posición estacionaria de estos observadores en el suelo, mientras que las líneas universales de C y D están inclinadas hacia adelante (ct′), lo que refleja el movimiento rápido de los observadores C y D estacionario en su tren, como se observa desde el suelo.

  1. Figura 4-4a. El evento de "B pasando un mensaje a D", cuando pasa el coche de cabeza, está en el origen de la trama de D. D envía el mensaje a lo largo del tren a C en el vagón trasero, utilizando un "comunicador instantáneo" ficticio. La línea de tiempo de este mensaje es la flecha roja gruesa a lo largo del -X'eje, que es una línea de simultaneidad en los marcos preparados de C y D. En el marco de tierra (no preparado), la señal llega antes de ser enviada.
  2. Figura 4-4b. El evento de "C pasando el mensaje a A", que está de pie junto a las vías del tren, está en el origen de sus marcos. Ahora A envía el mensaje a lo largo de las vías a B a través de un "comunicador instantáneo". La línea de tiempo de este mensaje es la flecha gruesa azul, a lo largo del { estilo de visualización + x}eje, que es una línea de simultaneidad para los marcos de A y B. Como se ve en el diagrama de espacio-tiempo, B recibirá el mensaje antes de haberlo enviado, una violación de causalidad.

No es necesario que las señales sean instantáneas para violar la causalidad. Incluso si la señal de D a C fuera un poco menos profunda que el X'eje (y la señal de A a B un poco más pronunciada que el Xeje), aún sería posible que B recibiera su mensaje antes de haberlo enviado. Al aumentar la velocidad del tren a velocidades cercanas a la de la luz, los ejes { estilo de visualización ct'}y X'se pueden apretar muy cerca de la línea discontinua que representa la velocidad de la luz. Con esta configuración modificada, se puede demostrar que incluso las señales ligeramente más rápidas que la velocidad de la luz darán como resultado una violación de la causalidad.

Por lo tanto, si se quiere preservar la causalidad, una de las consecuencias de la relatividad especial es que ninguna señal de información u objeto material puede viajar más rápido que la luz en el vacío.

Esto no quiere decir que todo lo que sea más rápido que la velocidad de la luz sea imposible. Se pueden describir varias situaciones triviales en las que algunas "cosas" (no materia o energía reales) se mueven más rápido que la luz. Por ejemplo, la ubicación donde el haz de una luz de búsqueda golpea el fondo de una nube puede moverse más rápido que la luz cuando la luz de búsqueda se gira rápidamente (aunque esto no viola la causalidad ni ningún otro fenómeno relativista).

Efectos ópticos

Efectos de arrastre

En 1850, Hippolyte Fizeau y Léon Foucault establecieron de forma independiente que la luz viaja más lentamente en el agua que en el aire, validando así una predicción de la teoría ondulatoria de la luz de Fresnel e invalidando la predicción correspondiente de la teoría corpuscular de Newton. La velocidad de la luz se midió en agua tranquila. ¿Cuál sería la velocidad de la luz en el agua que fluye?

En 1851, Fizeau realizó un experimento para responder a esta pregunta, cuya representación simplificada se ilustra en la figura 5-1. Un rayo de luz es dividido por un divisor de rayos, y los rayos divididos pasan en direcciones opuestas a través de un tubo de agua que fluye. Se recombinan para formar franjas de interferencia, lo que indica una diferencia en la longitud del camino óptico que un observador puede ver. El experimento demostró que el arrastre de la luz por el agua que fluía provocaba un desplazamiento de las franjas, mostrando que el movimiento del agua había afectado la velocidad de la luz.

De acuerdo con las teorías predominantes en ese momento, la luz que viaja a través de un medio en movimiento sería una simple suma de su velocidad a través del medio más la velocidad del medio. Contrariamente a lo esperado, Fizeau encontró que aunque la luz parecía ser arrastrada por el agua, la magnitud del arrastre era mucho menor de lo esperado. Si {displaystyle u'=c/n}es la velocidad de la luz en agua tranquila, y ves la velocidad del agua, y {displaystyle u_{pm}}es la velocidad de la luz transmitida por el agua en el marco del laboratorio con el flujo de agua sumando o restando de la velocidad de la luz, entonces

{displaystyle u_{pm }={frac {c}{n}}pm vleft(1-{frac {1}{n^{2}}}right).}

Los resultados de Fizeau, aunque consistentes con la hipótesis anterior de Fresnel sobre el arrastre parcial del éter, fueron extremadamente desconcertantes para los físicos de la época. Entre otras cosas, la presencia de un término de índice de refracción significaba que, dado que nortedepende de la longitud de onda, el éter debe ser capaz de sostener diferentes movimientos al mismo tiempo. Se propusieron una variedad de explicaciones teóricas para explicar el coeficiente de arrastre de Fresnel que estaban completamente en desacuerdo entre sí. Incluso antes del experimento de Michelson-Morley, los resultados experimentales de Fizeau se encontraban entre una serie de observaciones que crearon una situación crítica para explicar la óptica de los cuerpos en movimiento.

Desde el punto de vista de la relatividad especial, el resultado de Fizeau no es más que una aproximación a la Ecuación 10, la fórmula relativista para la composición de velocidades.{displaystyle u_{pm }={frac {u'pm v}{1pm u'v/c^{2}}}=}{displaystyle {frac {c/npm v}{1pm v/cn}}aprox.}{displaystyle cleft({frac {1}{n}}pm {frac {v}{c}}right)left(1mp {frac {v}{cn}}right)aprox.}{displaystyle {frac {c}{n}}pm vleft(1-{frac {1}{n^{2}}}right)}

Aberración relativista de la luz.

Debido a la velocidad finita de la luz, si los movimientos relativos de una fuente y un receptor incluyen una componente transversal, entonces la dirección desde la cual llega la luz al receptor se desplazará de la posición geométrica en el espacio de la fuente en relación con el receptor. El cálculo clásico del desplazamiento toma dos formas y hace diferentes predicciones dependiendo de si el receptor, la fuente o ambos están en movimiento con respecto al medio. (1) Si el receptor está en movimiento, el desplazamiento sería consecuencia de la aberración de la luz. El ángulo de incidencia del haz en relación con el receptor se podría calcular a partir de la suma vectorial de los movimientos del receptor y la velocidad de la luz incidente.(2) Si la fuente está en movimiento, el desplazamiento sería consecuencia de la corrección del tiempo de luz. El desplazamiento de la posición aparente de la fuente con respecto a su posición geométrica sería el resultado del movimiento de la fuente durante el tiempo que tarda su luz en llegar al receptor.

La explicación clásica falló la prueba experimental. Dado que el ángulo de aberración depende de la relación entre la velocidad del receptor y la velocidad de la luz incidente, el paso de la luz incidente a través de un medio refractivo debería cambiar el ángulo de aberración. En 1810, Arago usó este fenómeno esperado en un intento fallido de medir la velocidad de la luz, y en 1870, George Airy probó la hipótesis usando un telescopio lleno de agua y descubrió que, contra lo esperado, la aberración medida era idéntica a la aberración medida. con un telescopio lleno de aire. Un intento "engorroso" de explicar estos resultados utilizó la hipótesis de un arrastre parcial del éter, pero fue incompatible con los resultados del experimento de Michelson-Morley, que aparentemente exigía una completaarrastre de éter.

Asumiendo marcos inerciales, la expresión relativista para la aberración de la luz es aplicable tanto a los casos de receptor en movimiento como de fuente en movimiento. Se ha publicado una variedad de fórmulas trigonométricamente equivalentes. Expresadas en términos de las variables de la figura 5-2, estas incluyen{displaystyle cos theta '={frac {cos theta +v/c}{1+(v/c)cos theta }}}O O{displaystyle sin theta '={frac {sin theta }{gamma [1+(v/c)cos theta ]}}}{displaystyle tan {frac {theta '}{2}}=left({frac {cv}{c+v}}right)^{1/2}tan {frac {theta {2}}}

Efecto Doppler relativista

Efecto Doppler longitudinal relativista

El efecto Doppler clásico depende de si la fuente, el receptor o ambos están en movimiento con respecto al medio. El efecto Doppler relativista es independiente de cualquier medio. Sin embargo, el desplazamiento Doppler relativista para el caso longitudinal, con la fuente y el receptor moviéndose directamente hacia o desde el otro, puede derivarse como si fuera el fenómeno clásico, pero modificado por la adición de un término de dilatación del tiempo, y ese es el tratamiento descrito aquí.

Suponga que el receptor y la fuente se alejan el uno del otro con una velocidad relativa v,medida por un observador en el receptor o la fuente (la convención de signos adoptada aquí ves negativa si el receptor y la fuente se acercan). Suponga que la fuente está estacionaria en el medio. Después

{displaystyle f_{r}=left(1-{frac {v}{c_{s}}}right)f_{s}}

donde c_{s}es la velocidad del sonido.

Para la luz, y con el receptor moviéndose a velocidades relativistas, los relojes del receptor están dilatados en el tiempo en relación con los relojes de la fuente. El receptor medirá la frecuencia recibida para ser

{displaystyle f_{r}=gamma left(1-beta right)f_{s}={sqrt {frac {1-beta }{1+beta }}},f_{s }.}

dónde

  • { estilo de visualización  beta = v/c} y
  • gamma ={frac {1}{sqrt {1-beta ^{2}}}}es el factor de Lorentz.

Una expresión idéntica para el desplazamiento Doppler relativista se obtiene al realizar el análisis en el marco de referencia del receptor con una fuente en movimiento.

Efecto Doppler transversal

El efecto Doppler transversal es una de las principales predicciones novedosas de la teoría especial de la relatividad.

Clásicamente, se podría esperar que si la fuente y el receptor se mueven transversalmente entre sí sin componente longitudinal en sus movimientos relativos, no debería haber un desplazamiento Doppler en la luz que llega al receptor.

La relatividad especial predice lo contrario. La figura 5-3 ilustra dos variantes comunes de este escenario. Ambas variantes se pueden analizar usando argumentos simples de dilatación del tiempo. En la figura 5-3a, el receptor observa que la luz de la fuente se desplaza hacia el azul por un factor de gama. En la figura 5-3b, la luz se desplaza hacia el rojo por el mismo factor.

Medida versus apariencia visual

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud no son ilusiones ópticas, sino efectos genuinos. Las mediciones de estos efectos no son un artefacto del desplazamiento Doppler, ni son el resultado de no tener en cuenta el tiempo que tarda la luz en viajar desde un evento hasta un observador.

Los científicos hacen una distinción fundamental entre la medición o la observación, por un lado, frente a la apariencia visual, o lo que uno ve. La forma medida de un objeto es una instantánea hipotética de todos los puntos del objeto tal como existen en un solo momento en el tiempo. Sin embargo, la apariencia visual de un objeto se ve afectada por los distintos períodos de tiempo que tarda la luz en viajar desde diferentes puntos del objeto hasta el ojo.

Durante muchos años, la distinción entre los dos no se había apreciado en general, y generalmente se había pensado que un objeto de longitud contraída que pasara por un observador en realidad se vería como de longitud contraída. En 1959, James Terrell y Roger Penrose señalaron de forma independiente que los efectos de retardo de tiempo diferencial en las señales que llegan al observador desde las diferentes partes de un objeto en movimiento dan como resultado que la apariencia visual de un objeto en movimiento rápido sea bastante diferente de su forma medida. Por ejemplo, un objeto que retrocede parecería contraído, un objeto que se acerca parecería alargado y un objeto que pasa tendría una apariencia torcida que se ha comparado con una rotación.Una esfera en movimiento conserva el contorno circular, aunque la superficie de la esfera y las imágenes aparecerán distorsionadas.

La figura 5-4 ilustra un cubo visto desde una distancia de cuatro veces la longitud de sus lados. A altas velocidades, los lados del cubo que son perpendiculares a la dirección del movimiento tienen forma hiperbólica. El cubo en realidad no está rotado. Más bien, la luz de la parte trasera del cubo tarda más en llegar a los ojos en comparación con la luz del frente, tiempo durante el cual el cubo se ha movido hacia la derecha. Esta ilusión se conoce como rotación de Terrell o efecto Terrell-Penrose.

Otro ejemplo en el que la apariencia visual está reñida con la medición proviene de la observación del movimiento superlumínico aparente en varias radiogalaxias, objetos BL Lac, cuásares y otros objetos astronómicos que expulsan chorros de materia a velocidades relativistas en ángulos estrechos con respecto al observador. Una aparente ilusión óptica resulta dando la apariencia de un viaje más rápido que la luz. En la Fig. 5-5, la galaxia M87 lanza un chorro de partículas subatómicas a alta velocidad casi directamente hacia nosotros, pero la rotación de Penrose-Terrell hace que parezca que el chorro se mueve lateralmente de la misma manera que la apariencia del cubo en la Fig. El 5-4 se ha estirado.

Dinámica

La sección Consecuencias derivadas de la transformación de Lorentz se ocupó estrictamente de la cinemática, el estudio del movimiento de puntos, cuerpos y sistemas de cuerpos sin considerar las fuerzas que causaron el movimiento. Esta sección trata sobre las masas, las fuerzas, la energía, etc., y como tal requiere la consideración de los efectos físicos más allá de los abarcados por la propia transformación de Lorentz.

Equivalencia de masa y energía

A medida que la velocidad de un objeto se acerca a la velocidad de la luz desde el punto de vista de un observador, su masa relativista aumenta, lo que hace cada vez más difícil acelerarlo desde el marco de referencia del observador.

El contenido de energía de un objeto en reposo con masa m es igual a mc. La conservación de la energía implica que, en cualquier reacción, una disminución de la suma de las masas de las partículas debe ir acompañada de un aumento de las energías cinéticas de las partículas después de la reacción. De manera similar, la masa de un objeto se puede aumentar absorbiendo energías cinéticas.

Además de los artículos a los que se hace referencia anteriormente, que brindan derivaciones de la transformación de Lorentz y describen los fundamentos de la relatividad especial, Einstein también escribió al menos cuatro artículos que brindan argumentos heurísticos para la equivalencia (y la transmutabilidad) de la masa y la energía, para E = mc.

La equivalencia masa-energía es una consecuencia de la relatividad especial. La energía y el momento, que están separados en la mecánica newtoniana, forman un cuatrivector en relatividad, y esto relaciona el componente temporal (la energía) con los componentes espaciales (el impulso) de una manera no trivial. Para un objeto en reposo, el cuatro vector energía-momento es (E / c, 0, 0, 0): tiene un componente de tiempo que es la energía y tres componentes de espacio que son cero. Cambiando marcos con una transformación de Lorentz en la dirección x con un valor pequeño de la velocidad v, el cuatro vector de impulso de energía se convierte en (E / c, Ev / c, 0, 0). El impulso es igual a la energía multiplicada por la velocidad dividida por c. Como tal, la masa newtoniana de un objeto, que es la relación entre el impulso y la velocidad para velocidades lentas, es igual a E / c.

La energía y el momento son propiedades de la materia y la radiación, y es imposible deducir que forman un cuadrivector solo de los dos postulados básicos de la relatividad especial por sí mismos, porque estos no hablan de materia o radiación, solo hablan sobre el espacio y el tiempo. Por lo tanto, la derivación requiere un razonamiento físico adicional. En su artículo de 1905, Einstein usó los principios adicionales que la mecánica newtoniana debería cumplir para velocidades lentas, de modo que hay un escalar de energía y un impulso de tres vectores a velocidades lentas, y que la ley de conservación de la energía y el impulso es exactamente cierta en relatividad.. Además, asumió que la energía de la luz se transforma por el mismo factor de desplazamiento Doppler que su frecuencia, lo que previamente había demostrado que era cierto en base a las ecuaciones de Maxwell.El primero de los artículos de Einstein sobre este tema fue "¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energía?" en 1905. Aunque los físicos aceptan casi universalmente el argumento de Einstein en este artículo como correcto, incluso evidente, muchos autores a lo largo de los años han sugerido que es incorrecto. Otros autores sugieren que el argumento simplemente no fue concluyente porque se basó en algunas suposiciones implícitas.

Einstein reconoció la controversia sobre su derivación en su artículo de encuesta de 1907 sobre la relatividad especial. Allí señala que es problemático confiar en las ecuaciones de Maxwell para el argumento heurístico masa-energía. El argumento de su artículo de 1905 puede llevarse a cabo con la emisión de cualquier partícula sin masa, pero las ecuaciones de Maxwell se usan implícitamente para hacer evidente que la emisión de luz en particular solo puede lograrse realizando trabajo. Para emitir ondas electromagnéticas, lo único que hay que hacer es sacudir una partícula cargada, y esta claramente está haciendo trabajo, por lo que la emisión es de energía.

¿Qué tan lejos se puede viajar de la Tierra?

Dado que uno no puede viajar más rápido que la luz, uno podría concluir que un humano nunca puede viajar más lejos de la Tierra que 40 años luz si el viajero está activo entre las edades de 20 y 60 años. Uno podría pensar fácilmente que un viajero nunca sería capaz de llegar a más de los muy pocos sistemas solares que existen dentro del límite de 20 a 40 años luz de la tierra. Pero eso sería una conclusión equivocada. Debido a la dilatación del tiempo, una nave espacial hipotética puede viajar miles de años luz durante los 40 años activos del piloto. Si se pudiera construir una nave espacial que acelere a una velocidad constante de 1 g, después de poco menos de un año, estará viajando casi a la velocidad de la luz vista desde la Tierra. Esto es descrito por:

{displaystyle v(t)={frac {at}{sqrt {1+{frac {a^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}}

donde v (t) es la velocidad en un tiempo t, a es la aceleración de 1 g y t es el tiempo medido por las personas en la Tierra. Por lo tanto, después de un año de acelerar a 9,81 m/s, la nave espacial viajará a v = 0,77 crelativo a la Tierra. La dilatación del tiempo aumentará la vida útil del viajero vista desde el marco de referencia de la Tierra a 2,7 años, pero su vida útil medida por un reloj que viaja con ellos no cambiará. Durante su viaje, las personas en la Tierra experimentarán más tiempo que ellos. Un viaje de ida y vuelta de 5 años para el viajero tomará 6,5 años terrestres y cubrirá una distancia de más de 6 años luz. Un viaje de ida y vuelta de 20 años para ellos (5 años acelerando, 5 desacelerando, dos veces cada uno) los llevará de vuelta a la Tierra después de haber viajado 335 años terrestres y una distancia de 331 años luz. Un viaje completo de 40 años a 1 g aparecerá en la Tierra para durar 58.000 años y cubrir una distancia de 55.000 años luz. Un viaje de 40 años a 1,1 gtardará 148.000 años terrestres y cubrirá unos 140.000 años luz. Un viaje de ida de 28 años (14 años acelerando, 14 desacelerando según lo medido con el reloj del astronauta) con una aceleración de 1 g podría alcanzar los 2.000.000 de años luz hasta la galaxia de Andrómeda. Esta misma dilatación del tiempo es la razón por la que se observa que un muón que viaja cerca de c viaja mucho más lejos que c veces su vida media (cuando está en reposo).

Relatividad y electromagnetismo unificador

La investigación teórica en el electromagnetismo clásico condujo al descubrimiento de la propagación de ondas. Las ecuaciones que generalizan los efectos electromagnéticos encontraron que la velocidad de propagación finita de los campos E y B requería ciertos comportamientos en partículas cargadas. El estudio general de las cargas en movimiento forma el potencial de Liénard-Wiechert, que es un paso hacia la relatividad especial.

La transformación de Lorentz del campo eléctrico de una carga en movimiento en el marco de referencia de un observador inmóvil da como resultado la aparición de un término matemático comúnmente llamado campo magnético. Por el contrario, el campo magnético generado por una carga en movimiento desaparece y se convierte en un campo puramente electrostático en un marco de referencia comóvil. Las ecuaciones de Maxwell son, por lo tanto, simplemente un ajuste empírico de los efectos relativistas especiales en un modelo clásico del Universo. Como los campos eléctricos y magnéticos dependen del marco de referencia y, por lo tanto, están entrelazados, se habla de campos electromagnéticos. La relatividad especial proporciona las reglas de transformación de cómo aparece un campo electromagnético en un marco inercial en otro marco inercial.

Las ecuaciones de Maxwell en la forma 3D ya son consistentes con el contenido físico de la relatividad especial, aunque son más fáciles de manipular en una forma manifiestamente covariante, es decir, en el lenguaje del cálculo tensorial.

Teorías de la relatividad y la mecánica cuántica

La relatividad especial se puede combinar con la mecánica cuántica para formar la mecánica cuántica relativista y la electrodinámica cuántica. Cómo pueden unificarse la relatividad general y la mecánica cuántica es uno de los problemas no resueltos de la física; la gravedad cuántica y una "teoría del todo", que requieren una unificación que incluya también la relatividad general, son áreas activas y en curso en la investigación teórica.

El primer modelo atómico de Bohr-Sommerfeld explicaba la fina estructura de los átomos de metales alcalinos utilizando tanto la relatividad especial como el conocimiento preliminar de la mecánica cuántica de la época.

En 1928, Paul Dirac construyó una influyente ecuación de onda relativista, ahora conocida como la ecuación de Dirac en su honor, que es totalmente compatible tanto con la relatividad especial como con la versión final de la teoría cuántica existente después de 1926. Esta ecuación no solo describía el ángulo intrínseco El impulso de los electrones llamado espín, también condujo a la predicción de la antipartícula del electrón (el positrón), y la estructura fina solo podía explicarse completamente con la relatividad especial. Fue el primer fundamento de la mecánica cuántica relativista.

Por otro lado, la existencia de antipartículas lleva a la conclusión de que la mecánica cuántica relativista no es suficiente para una teoría más precisa y completa de las interacciones entre partículas. En cambio, se hace necesaria una teoría de partículas interpretada como campos cuantificados, llamada teoría cuántica de campos; en el que las partículas se pueden crear y destruir a través del espacio y el tiempo.

Estado

La relatividad especial en su espacio-tiempo de Minkowski es precisa solo cuando el valor absoluto del potencial gravitatorio es mucho menor que c en la región de interés. En un campo gravitatorio fuerte, uno debe usar la relatividad general. La relatividad general se convierte en relatividad especial en el límite de un campo débil. A escalas muy pequeñas, como la longitud de Planck e inferiores, se deben tener en cuenta los efectos cuánticos que dan como resultado la gravedad cuántica. Sin embargo, a escalas macroscópicas y en ausencia de fuertes campos gravitatorios, la relatividad especial se prueba experimentalmente con un grado de precisión extremadamente alto (10). y por lo tanto aceptado por la comunidad física. Los resultados experimentales que parecen contradecirlo no son reproducibles y, por lo tanto, se cree ampliamente que se deben a errores experimentales.

La relatividad especial es matemáticamente autoconsistente y es una parte orgánica de todas las teorías físicas modernas, sobre todo la teoría cuántica de campos, la teoría de cuerdas y la relatividad general (en el caso límite de campos gravitatorios insignificantes).

La mecánica newtoniana se deriva matemáticamente de la relatividad especial a velocidades pequeñas (en comparación con la velocidad de la luz), por lo que la mecánica newtoniana puede considerarse como una relatividad especial de cuerpos que se mueven lentamente. Ver mecánica clásica para una discusión más detallada.

Varios experimentos anteriores al artículo de Einstein de 1905 ahora se interpretan como evidencia de la relatividad. De estos, se sabe que Einstein estaba al tanto del experimento de Fizeau antes de 1905, y los historiadores han concluido que Einstein al menos estaba al tanto del experimento de Michelson-Morley ya en 1899 a pesar de las afirmaciones que hizo en sus últimos años de que no jugó ningún papel en su desarrollo de la teoria.

  • El experimento de Fizeau (1851, repetido por Michelson y Morley en 1886) midió la velocidad de la luz en medios en movimiento, con resultados que son consistentes con la suma relativista de velocidades colineales.
  • El famoso experimento de Michelson-Morley (1881, 1887) apoyó aún más el postulado de que no era posible detectar una velocidad de referencia absoluta. Cabe señalar aquí que, contrariamente a muchas afirmaciones alternativas, dice poco sobre la invariancia de la velocidad de la luz con respecto a la fuente y la velocidad del observador, ya que tanto la fuente como el observador viajaban juntos a la misma velocidad en todo momento.
  • El experimento de Trouton-Noble (1903) mostró que el par en un capacitor es independiente de la posición y el marco de referencia inercial.
  • Los Experimentos de Rayleigh y Brace (1902, 1904) demostraron que la contracción de la longitud no conduce a la birrefringencia para un observador en movimiento, de acuerdo con el principio de relatividad.

Los aceleradores de partículas rutinariamente aceleran y miden las propiedades de las partículas que se mueven cerca de la velocidad de la luz, donde su comportamiento es completamente consistente con la teoría de la relatividad e inconsistente con la mecánica newtoniana anterior. Estas máquinas simplemente no funcionarían si no estuvieran diseñadas de acuerdo con los principios relativistas. Además, se ha llevado a cabo un número considerable de experimentos modernos para probar la relatividad especial. Algunos ejemplos:

  • Pruebas de energía y momento relativistas: prueba de la velocidad límite de las partículas
  • Experimento de Ives-Stilwell: prueba del efecto Doppler relativista y la dilatación del tiempo
  • Prueba experimental de la dilatación del tiempo: efectos relativistas en la vida media de una partícula que se mueve rápidamente
  • Experimento de Kennedy-Thorndike: dilatación del tiempo de acuerdo con las transformaciones de Lorentz
  • Experimento de Hughes-Drever: prueba de isotropía del espacio y la masa
  • Búsquedas modernas de violación de Lorentz: varias pruebas modernas
  • Los experimentos para probar la teoría de la emisión demostraron que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad del emisor.
  • Experimentos para probar la hipótesis del arrastre del éter: sin "obstrucción del flujo de éter".

Discusión técnica del espacio-tiempo.

Geometría del espacio-tiempo

Comparación entre el espacio euclidiano plano y el espacio de Minkowski

La relatividad especial utiliza un espacio de Minkowski de 4 dimensiones 'plano', un ejemplo de espacio-tiempo. El espacio-tiempo de Minkowski parece ser muy similar al espacio euclidiano tridimensional estándar, pero hay una diferencia crucial con respecto al tiempo.

En el espacio 3D, el diferencial de distancia (elemento de línea) ds está definido por

{displaystyle ds^{2}=dmathbf {x} cdot dmathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},}

donde d x = (dx 1, dx 2, dx 3) son las diferenciales de las tres dimensiones espaciales. En la geometría de Minkowski, hay una dimensión extra con la coordenada X derivada del tiempo, tal que la distancia diferencial cumple

{displaystyle ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},}

donde d X = (dX 0, dX 1, dX 2, dX 3) son los diferenciales de las cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Esto sugiere una visión teórica profunda: la relatividad especial es simplemente una simetría rotacional de nuestro espacio-tiempo, análoga a la simetría rotacional del espacio euclidiano (ver Fig. 10-1). Así como el espacio euclidiano usa una métrica euclidiana, el espacio-tiempo usa una métrica de Minkowski.Básicamente, la relatividad especial se puede establecer como la invariancia de cualquier intervalo de espacio-tiempo (es decir, la distancia 4D entre dos eventos) cuando se ve desde cualquier marco de referencia inercial. Todas las ecuaciones y efectos de la relatividad especial se pueden derivar de esta simetría rotacional (el grupo de Poincaré) del espacio-tiempo de Minkowski.

La forma real de ds anterior depende de la métrica y de las opciones para la coordenada X. Para hacer que la coordenada de tiempo se parezca a las coordenadas del espacio, se puede tratar como imaginaria: X 0 = ict (esto se llama rotación de Wick). Según Misner, Thorne y Wheeler (1971, §2.3), en última instancia, la comprensión más profunda de la relatividad tanto especial como general provendrá del estudio de la métrica de Minkowski (descrita a continuación) y de tomar X = ct, en lugar de un "disfrazado" Métrica euclidiana usando tic como coordenada de tiempo.

Algunos autores usan X = t, con factores de c en otros lugares para compensar; por ejemplo, las coordenadas espaciales se dividen por c o los factores de c se incluyen en el tensor métrico. Estas numerosas convenciones se pueden reemplazar mediante el uso de unidades naturales donde c = 1. Entonces el espacio y el tiempo tienen unidades equivalentes y no aparecen factores de c en ninguna parte.

Espacio-tiempo 3D

Si reducimos las dimensiones espaciales a 2, para que podamos representar la física en un espacio 3D

{displaystyle ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},}

vemos que las geodésicas nulas se encuentran a lo largo de un cono dual (ver Fig. 10-2) definido por la ecuación;

{displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}

o simplemente

{displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},}

 que es la ecuación de una circunferencia de radio c dt.

Espacio-tiempo 4D

Si extendemos esto a tres dimensiones espaciales, las geodésicas nulas son el cono de 4 dimensiones:

{displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}

asi que

{displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.}

Como se ilustra en la figura 10-3, las geodésicas nulas se pueden visualizar como un conjunto de esferas concéntricas continuas con radios = c dt.

Este doble cono nulo representa la "línea de visión" de un punto en el espacio. Es decir, cuando miramos las estrellas y decimos "La luz de esa estrella que estoy recibiendo tiene X años", estamos mirando hacia abajo en esta línea de visión: una geodésica nula. Estamos viendo un evento a una distancia {textstyle d={sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}y un tiempo d/c en el pasado. Por esta razón, el cono dual nulo también se conoce como el 'cono de luz'. (El punto en la parte inferior izquierda de la Fig. 10-2 representa la estrella, el origen representa al observador y la línea representa la "línea de visión" geodésica nula).

El cono en la región − t es la información que el punto está 'recibiendo', mientras que el cono en la sección + t es la información que el punto está 'enviando'.

La geometría del espacio de Minkowski se puede representar utilizando diagramas de Minkowski, que también son útiles para comprender muchos de los experimentos mentales en relatividad especial.

Tenga en cuenta que, en el espacio-tiempo 4d, el concepto de centro de masa se vuelve más complicado, consulte Centro de masa (relativista).

Física en el espacio-tiempo

Transformaciones de cantidades físicas entre marcos de referencia

Arriba, la transformación de Lorentz para la coordenada de tiempo y tres coordenadas de espacio ilustra que están entrelazadas. Esto es cierto de manera más general: ciertos pares de cantidades "temporales" y "espaciales" se combinan naturalmente en igualdad de condiciones bajo la misma transformación de Lorentz.

La transformación de Lorentz en la configuración estándar anterior, es decir, para un impulso en la dirección x, se puede reformular en forma de matriz de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{pmatrix}ct'\x'\y'\z'end{pmatrix}}={begin{pmatrix}gamma &-beta gamma &0&0\-beta gamma &gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}ct\x\y\zend{pmatrix}}={begin{pmatrix}gamma ct -gamma beta x\gamma x-beta gamma ct\y\zend{pmatrix}}.}

En la mecánica newtoniana, las cantidades que tienen magnitud y dirección se describen matemáticamente como vectores tridimensionales en el espacio euclidiano y, en general, están parametrizados por el tiempo. En la relatividad especial, esta noción se amplía agregando la cantidad temporal adecuada a una cantidad vectorial espacial, y tenemos vectores 4d, o "cuatro vectores", en el espacio-tiempo de Minkowski. Los componentes de los vectores se escriben usando la notación de índice tensorial, ya que esto tiene numerosas ventajas. La notación deja en claro que las ecuaciones son manifiestamente covariantes bajo el grupo de Poincaré, evitando así los tediosos cálculos para verificar este hecho. Al construir tales ecuaciones, a menudo encontramos que las ecuaciones que antes se pensaba que no estaban relacionadas están, de hecho, estrechamente conectadas y son parte de la misma ecuación tensorial. Reconocer otras cantidades físicas como tensores simplifica sus leyes de transformación. En todo momento, los índices superiores (superíndices) son índices contravariantes en lugar de exponentes, excepto cuando indican un cuadrado (esto debe quedar claro por el contexto), y los índices inferiores (subíndices) son índices covariantes. Por simplicidad y coherencia con las ecuaciones anteriores, se utilizarán coordenadas cartesianas.

El ejemplo más simple de un cuatro vector es la posición de un evento en el espacio-tiempo, que constituye un componente temporal ct y un componente espacial x = (x, y, z), en un cuatro vector de posición contravariante con componentes:

{displaystyle X^{nu }=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})=(ct,x,y,z)=(ct, matemáticas {x}).}

donde definimos X = ct para que la coordenada de tiempo tenga la misma dimensión de distancia que las otras dimensiones espaciales; para que el espacio y el tiempo sean tratados por igual. Ahora, la transformación de los componentes contravariantes del vector de posición 4 se puede escribir de forma compacta como:

{displaystyle X^{mu '}=Lambda^{mu '}{}_{nu }X^{nu }}

donde hay una suma implícita node 0 a 3, y Lambda^{mu'}{}_{nu}es una matriz.

De manera más general, todos los componentes contravariantes de un cuatro vectores tu nose transforman de un marco a otro mediante una transformación de Lorentz:

{displaystyle T^{mu '}=Lambda^{mu '}{}_{nu }T^{nu }}

Los ejemplos de otros 4 vectores incluyen la velocidad de cuatro {displaystyle U^{mu},}definida como la derivada del vector de posición 4 con respecto al tiempo propio:

{displaystyle U^{mu}={frac {dX^{mu}}{dtau}}=gamma(v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=gamma(v)(c,mathbf{v}).}

donde el factor de Lorentz es:

{displaystyle gamma (v)={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}qquad v^{2}= v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}.}

La energía E = gamma(v)mc^2relativista y el momento relativista mathbf{p} = gamma(v)m mathbf{v}de un objeto son, respectivamente, los componentes temporales y espaciales de un vector de cuatro momentos contravariante:

{displaystyle P^{mu }=mU^{mu }=mgamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=left({frac {E {c}},p_{x},p_{y},p_{z}right)=left({frac {E}{c}},mathbf {p} right).}

donde m es la masa invariante.

La aceleración de cuatro es la derivada de tiempo adecuada de la velocidad de 4:

{displaystyle A^{mu }={frac {dU^{mu }}{dtau }}.}

Las reglas de transformación para velocidades y aceleraciones tridimensionales son muy complicadas ; incluso por encima de la configuración estándar, las ecuaciones de velocidad son bastante complicadas debido a su no linealidad. Por otra parte, la transformación de cuatro velocidades y cuatro aceleraciones es más sencilla mediante la matriz de transformación de Lorentz.

El gradiente de cuatro de un campo escalar φ se transforma de forma covariante en lugar de contravariante:

{displaystyle {begin{pmatrix}{dfrac {1}{c}}{dfrac {parcial phi }{parcial t'}}&{dfrac {parcial phi }{parcial x' }}&{dfrac {parcial phi }{parcial y'}}&{dfrac {parcial phi }{parcial z'}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{ dfrac {1}{c}}{dfrac {parcial phi }{parcial t}}&{dfrac {parcial phi }{parcial x}}&{dfrac {parcial phi } {parcial y}}&{dfrac {parcial phi }{parcial z}}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}gamma &+beta gamma &0&0\+beta gamma &gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{matrix}}.}

cual es la transpuesta de:

{displaystyle (parcial_{mu '}phi)=Lambda_{mu '}{}^{nu }(parcial_{nu }phi)qquad parcial_{mu }equiv {frac {parcial }{parcial x^{mu }}}.}

solo en coordenadas cartesianas. Es la derivada covariante la que se transforma en covarianza manifiesta, en coordenadas cartesianas esto pasa a reducirse a las derivadas parciales, pero no en otras coordenadas.

De manera más general, los componentes covariantes de una transformación de 4 vectores según la transformación inversa de Lorentz:

{displaystyle T_{mu '}=Lambda_{mu '}{}^{nu }T_{nu },}

donde { estilo de visualización  Lambda _ { mu '}{}^ { nu}}es la matriz recíproca de Lambda^{mu'}{}_{nu}.

Los postulados de la relatividad especial restringen la forma exacta que toman las matrices de transformación de Lorentz.

En términos más generales, la mayoría de las cantidades físicas se describen mejor como (componentes de) tensores. Entonces, para transformar de un marco a otro, usamos la conocida ley de transformación del tensor

{displaystyle T_{theta 'iota'cdots kappa '}^{alpha 'beta 'cdots zeta '}=Lambda ^{alpha '}{}_{mu }Lambda ^ {beta '}{}_{nu }cdots Lambda ^{zeta '}{}_{rho }Lambda _ {theta '}{}^{sigma }Lambda _ {iota '}{}^{upsilon }cdots Lambda _{kappa '}{}^{phi }T_{sigma upsilon cdots phi }^{mu nu cdots rho }}

donde Lambda_{chi'}{}^{psi}es la matriz recíproca de Lambda^{chi'}{}_{psi}. Todos los tensores se transforman por esta regla.

Un ejemplo de un tensor antisimétrico de segundo orden de cuatro dimensiones es el momento angular relativista, que tiene seis componentes: tres son el momento angular clásico y los otros tres están relacionados con el impulso del centro de masa del sistema. La derivada del momento angular relativista con respecto al tiempo propio es el par relativista, también tensor antisimétrico de segundo orden.

El tensor de campo electromagnético es otro campo tensor antisimétrico de segundo orden, con seis componentes: tres para el campo eléctrico y otras tres para el campo magnético. También existe el tensor de tensión-energía para el campo electromagnético, a saber, el tensor de tensión-energía electromagnético.

Métrico

El tensor métrico permite definir el producto interno de dos vectores, lo que a su vez permite asignar una magnitud al vector. Dada la naturaleza tetradimensional del espacio-tiempo, la métrica de Minkowski η tiene componentes (válidos con coordenadas elegidas adecuadamente) que se pueden organizar en una matriz de 4 × 4:

{displaystyle eta _{alphabeta}={begin{pmatrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}}

que es igual a su recíproco, eta^{alfabeta}, en esos marcos. En todo momento usamos los signos como se indicó anteriormente, diferentes autores usan diferentes convenciones; consulte los signos alternativos métricos de Minkowski.

El grupo de Poincaré es el grupo de transformaciones más general que conserva la métrica de Minkowski:

{displaystyle eta_{alphabeta }=eta_{mu 'nu'}Lambda ^{mu '}{}_{alpha }Lambda ^{nu '}{}_ {beta}}

y esta es la simetría física que subyace a la relatividad especial.

La métrica se puede utilizar para subir y bajar índices en vectores y tensores. Los invariantes se pueden construir usando la métrica, el producto interno de un T de 4 vectores con otro S de 4 vectores es:

{displaystyle T^{alpha }S_{alpha }=T^{alpha }eta _{alpha beta }S^{beta }=T_{alpha }eta ^{alpha beta }S_{beta }={text{escalar invariante}}}

Invariante significa que toma el mismo valor en todos los marcos inerciales, porque es un escalar (tensor de rango 0), por lo que no aparece Λ en su transformación trivial. La magnitud del 4-vector T es la raíz cuadrada positiva del producto interno consigo mismo:

{displaystyle |mathbf {T} |={sqrt {T^{alpha }T_{alpha }}}}

Se puede extender esta idea a tensores de orden superior, para un tensor de segundo orden podemos formar los invariantes:

{displaystyle T^{alpha }{}_{alpha },T^{alpha }{}_{beta }T^{beta }{}_{alpha },T^{alpha } {}_{beta }T^{beta }{}_{gamma }T^{gamma }{}_{alpha }={text{escalares invariantes}},}

de manera similar para tensores de orden superior. Las expresiones invariantes, en particular los productos internos de 4 vectores consigo mismos, proporcionan ecuaciones que son útiles para los cálculos, porque no es necesario realizar transformaciones de Lorentz para determinar las invariantes.

Cinemática relativista e invariancia

Los diferenciales de coordenadas se transforman también contravariantemente:

{displaystyle dX^{mu '}=Lambda ^{mu '}{}_{nu }dX^{nu }}

por lo que la longitud al cuadrado de la diferencial de la posición de cuatro vectores dX construida usando

{displaystyle dmathbf {X} ^{2}=dX^{mu },dX_{mu }=eta _{mu nu },dX^{mu },dX^{ nu }=-(cdt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}

es un invariante. Observe que cuando el elemento de línea d X es negativo, √ − d X es la diferencial del tiempo propio, mientras que cuando d X es positivo, √ d X es la diferencial de la distancia adecuada.

La U de 4 velocidades tiene una forma invariante:

{displaystyle mathbf {U} ^{2}=eta _{nu mu }U^{nu }U^{mu }=-c^{2},,}

lo que significa que todos los cuatro vectores de velocidad tienen una magnitud de c. Esta es una expresión del hecho de que no existe tal cosa como estar en reposo coordinado en la relatividad: al menos, siempre estás avanzando en el tiempo. Derivando la ecuación anterior por τ se produce:

{displaystyle 2eta _{mu nu }A^{mu }U^{nu }=0.}

Entonces, en la relatividad especial, el cuatro vector de aceleración y el cuatro vector de velocidad son ortogonales.

Dinámica relativista e invariancia

La magnitud invariante del cuadrivector de momento genera la relación energía-momento:

{displaystyle mathbf {P} ^{2}=eta ^{mu nu }P_{mu }P_{nu }=-left({frac {E}{c}}right) ^{2}+p^{2}.}

Podemos averiguar cuál es este invariante argumentando primero que, dado que es un escalar, no importa en qué marco de referencia lo calculemos, y luego transformándolo a un marco donde el momento total es cero.

{displaystyle mathbf {P} ^{2}=-left({frac {E_{text{resto}}}{c}}right)^{2}=-(mc)^{2}.}

Vemos que la energía en reposo es un invariante independiente. Se puede calcular una energía en reposo incluso para partículas y sistemas en movimiento, traduciendo a un marco en el que el momento es cero.

La energía en reposo está relacionada con la masa según la célebre ecuación discutida anteriormente:

{displaystyle E_{text{resto}}=mc^{2}.}

La masa de los sistemas medida en su marco de centro de momento (donde el momento total es cero) está dada por la energía total del sistema en este marco. Puede que no sea igual a la suma de las masas de los sistemas individuales medidas en otros marcos.

Para usar la tercera ley de movimiento de Newton, ambas fuerzas deben definirse como la tasa de cambio del impulso con respecto a la misma coordenada de tiempo. Es decir, requiere la fuerza 3D definida anteriormente. Desafortunadamente, no hay ningún tensor en 4D que contenga los componentes del vector de fuerza 3D entre sus componentes.

Si una partícula no viaja en c, se puede transformar la fuerza 3D del marco de referencia de movimiento conjunto de la partícula en el marco de referencia del observador. Esto produce un vector de 4 llamados cuatro fuerzas. Es la tasa de cambio del cuatro vector de momento de energía anterior con respecto al tiempo propio. La versión covariante de las cuatro fuerzas es:

{displaystyle F_{nu }={frac {dP_{nu }}{dtau }}=mA_{nu }}

En el marco de reposo del objeto, el componente de tiempo de las cuatro fuerzas es cero a menos que la "masa invariable" del objeto esté cambiando (esto requiere un sistema no cerrado en el que la energía/masa se agrega o elimina directamente del objeto) en cuyo caso es el negativo de esa tasa de cambio de masa, por c. Sin embargo, en general, las componentes de la fuerza cuatro no son iguales a las componentes de la fuerza tres, porque la fuerza tres está definida por la tasa de cambio del impulso con respecto al tiempo coordinado, es decir, dp / dt mientras que la cuatro fuerza se define por la tasa de cambio del impulso con respecto al tiempo propio, es decir, dp / .

En un medio continuo, la densidad de fuerza 3D se combina con la densidad de potencia para formar un vector de 4 covariantes. La parte espacial es el resultado de dividir la fuerza sobre una celda pequeña (en 3 espacios) por el volumen de esa celda. El componente de tiempo es −1/ c veces la potencia transferida a esa celda dividida por el volumen de la celda. Esto se usará más adelante en la sección sobre electromagnetismo.

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