Mecánica de medios continuos

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La mecánica continua es una rama de la mecánica que se ocupa del comportamiento mecánico de los materiales modelados como una masa continua en lugar de partículas discretas. El matemático francés Augustin-Louis Cauchy fue el primero en formular tales modelos en el siglo XIX.

Explicación

Un modelo continuo asume que la sustancia del objeto llena el espacio que ocupa. Modelar objetos de esta manera ignora el hecho de que la materia está hecha de átomos y, por lo tanto, no es continua; sin embargo, en escalas de longitud mucho mayores que las distancias interatómicas, estos modelos son muy precisos. Estos modelos se pueden usar para derivar ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de dichos objetos usando leyes físicas, como la conservación de la masa, la conservación del momento y la conservación de la energía, y las relaciones constitutivas proporcionan cierta información sobre el material. La mecánica continua se ocupa de las propiedades físicas de los sólidos y fluidos que son independientes de cualquier sistema de coordenadas particular en el que se observen. Las propiedades físicas se representan entonces por tensores, que son objetos matemáticos con la propiedad de ser independientes de los sistemas de coordenadas. Los sistemas de coordenadas permiten que estos tensores se expresen computacionalmente.

Concepto de un continuo

El espacio separa las moléculas que forman sólidos, líquidos y gases. Los materiales tienen grietas y discontinuidades a nivel microscópico. Sin embargo, los fenómenos físicos pueden modelarse si los materiales existen como un continuo, lo que significa que la materia en el cuerpo se distribuye continuamente y llena todo el espacio que ocupa. Un continuo es un cuerpo que se puede subdividir continuamente en elementos infinitesimales cuyas propiedades son las del material a granel. La validez de la suposición del continuo puede verificarse mediante un análisis teórico, en el que se identifica alguna periodicidad clara o existe homogeneidad estadística y ergodicidad de la microestructura. Más específicamente, la hipótesis/suposición del continuo gira en torno a los conceptos de volumen elemental representativo y separación de escalas basada en la condición de Hill-Mandel. Esta condición proporciona un vínculo entre el punto de vista de un experimentador y un teórico sobre las ecuaciones constitutivas (campos acoplados o elásticos/inelásticos lineales y no lineales), así como una forma de promediar espacial y estadísticamente la microestructura. Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de una resolución más fina que el tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que da como resultado campos continuos aleatorios. Estos últimos luego proporcionan una base de micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua con la mecánica estadística. Experimentalmente, el RVE solo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea s punto de vista sobre ecuaciones constitutivas (campos acoplados o elásticos/inelásticos lineales y no lineales), así como una forma de promediar espacial y estadísticamente la microestructura. Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de una resolución más fina que el tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que da como resultado campos continuos aleatorios. Estos últimos luego proporcionan una base de micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua con la mecánica estadística. Experimentalmente, el RVE solo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea s punto de vista sobre ecuaciones constitutivas (campos acoplados o elásticos/inelásticos lineales y no lineales), así como una forma de promediar espacial y estadísticamente la microestructura. Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de una resolución más fina que el tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que da como resultado campos continuos aleatorios. Estos últimos luego proporcionan una base de micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua con la mecánica estadística. Experimentalmente, el RVE solo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de una resolución más fina que el tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que da como resultado campos continuos aleatorios. Estos últimos luego proporcionan una base de micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua con la mecánica estadística. Experimentalmente, el RVE solo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de una resolución más fina que el tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que da como resultado campos continuos aleatorios. Estos últimos luego proporcionan una base de micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua con la mecánica estadística. Experimentalmente, el RVE solo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea Estos últimos luego proporcionan una base de micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua con la mecánica estadística. Experimentalmente, el RVE solo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea Estos últimos luego proporcionan una base de micromecánica para elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua con la mecánica estadística. Experimentalmente, el RVE solo puede evaluarse cuando la respuesta constitutiva es espacialmente homogénea

El tráfico de automóviles como ejemplo introductorio

Considere el tráfico de automóviles en una autopista, con un solo carril para simplificar. Sorprendentemente, y en un tributo a su eficacia, la mecánica continua modela efectivamente el movimiento de los automóviles a través de una ecuación diferencial parcial (PDE) para la densidad de los automóviles. La familiaridad de esta situación nos permite comprender un poco la dicotomía continuo-discreto que subyace al modelado continuo en general.

Para comenzar a modelar, defina que: $X$ mide la distancia (en km) a lo largo de la carretera; $t$ es tiempo (en minutos); $rho (x, t)$ es la densidad de automóviles en la carretera (en automóviles/km en el carril); y $tu(x,t)$ es la velocidad de flujo (velocidad promedio) de esos autos 'en' la posición $X$ .

La conservación deriva una PDE (ecuación diferencial parcial)

Los coches no aparecen y desaparecen. Considere cualquier grupo de autos: desde el auto particular en la parte trasera del grupo ubicado en $x=a(t)$ hasta el auto particular en el frente ubicado en $x=b(t)$ . El número total de automóviles en este grupo ${textstyle N=int _{a(t)}^{b(t)}rho (x,t),dx}$ . Dado que los coches se conservan (si hay adelantamientos, entonces el 'coche de delante/detrás' puede convertirse en un coche diferente) ${displaystyle dN/dt=0}$ . Pero a través de la regla integral de Leibniz ${displaystyle {begin{alineado}{}{frac {dN}{dt}}&={frac {d}{dt}}int _{a(t)}^{b(t)} rho (x,t),dx\&=int _{a}^{b}{frac {parcial rho }{parcial t}},dx+rho (b,t){ frac {db}{dt}}-rho (a,t){frac {da}{dt}}\&=int _{a}^{b}{frac {parcial rho }{ t parcial}},dx+rho (b,t)u(b,t)-rho (a,t)u(a,t)\&=int _{a}^{b} izquierda[{frac {parcial rho }{parcial t}}+{frac {parcial }{parcial x}}(rho u)right]dxend{alineado}}}$

Este ser integral cero se cumple para todos los grupos, es decir, para todos los intervalos $[a,b]$ . La única forma en que una integral puede ser cero para todos los intervalos es si el integrando es cero para todos $X$ . En consecuencia, la conservación deriva la PDE de conservación no lineal de primer orden ${displaystyle {frac {parcial rho }{parcial t}}+{frac {parcial }{parcial x}}(rho u)=0}$

para todas las posiciones en la carretera.

Este PDE de conservación se aplica no solo al tráfico de automóviles, sino también a fluidos, sólidos, multitudes, animales, plantas, incendios forestales, comerciantes financieros, etc.

La observación cierra el problema.

La PDE anterior es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se necesita otra ecuación para formar un problema bien planteado. Esta ecuación adicional normalmente se necesita en la mecánica continua y generalmente proviene de experimentos. Para el tráfico de automóviles, está bien establecido que los automóviles generalmente viajan a una velocidad que depende de la densidad, $u=V(rho)$ para alguna función determinada experimentalmente $V$ que es una función decreciente de la densidad. Por ejemplo, los experimentos en el Túnel Lincoln encontraron que se obtiene un buen ajuste (excepto a baja densidad) por $u=V(rho)=27.5ln(142/rho)$ (km/h para la densidad en automóviles/km).

Por lo tanto, el modelo continuo básico para el tráfico de automóviles es el PDE ${frac {parcial rho }{parcial t}}+{frac {parcial }{parcial x}}[rho V(rho)]=0$

para la densidad de automóviles $rho (x, t)$ en la carretera.

Áreas principales

Mecánica continuaEl estudio de la física de los materiales continuos.	Mecánica de sólidosEl estudio de la física de materiales continuos con una forma definida en reposo.	ElasticidadDescribe los materiales que vuelven a su forma de reposo después de que se eliminan las tensiones aplicadas.
PlasticidadDescribe los materiales que se deforman permanentemente después de aplicar suficiente tensión.	ReologíaEl estudio de materiales con características sólidas y fluidas.
Mecánica de fluidosEl estudio de la física de los materiales continuos que se deforman cuando se someten a una fuerza.	Fluido no newtonianoNo sufre velocidades de deformación proporcionales al esfuerzo cortante aplicado.
Los fluidos newtonianos experimentan velocidades de deformación proporcionales al esfuerzo cortante aplicado.

Un área adicional de la mecánica continua comprende las espumas elastoméricas, que exhiben una curiosa relación tensión-deformación hiperbólica. El elastómero es un verdadero continuo, pero una distribución homogénea de vacíos le da propiedades inusuales.

Formulación de modelos

Los modelos de mecánica continua comienzan asignando una región en el espacio euclidiano tridimensional al cuerpo material que se ${ matemáticas {B}}$ está modelando. Los puntos dentro de esta región se denominan partículas o puntos materiales. Diferentes configuraciones o estados del cuerpo corresponden a diferentes regiones en el espacio euclidiano. La región correspondiente a la configuración del cuerpo en ese momento $t$ está etiquetada $kappa _{t}({mathcal {B}})$ .

Una partícula particular dentro del cuerpo en una configuración particular se caracteriza por un vector de posición ${displaystyle mathbf {x} =sum_{i=1}^{3}x_{i}mathbf {e}_{i},}$

donde $mathbf {e} _{i}$ están los vectores de coordenadas en algún marco de referencia elegido para el problema (Ver figura 1). Este vector se puede expresar como una función de la posición de la partícula $mathbf{X}$ en alguna configuración de referencia, por ejemplo, la configuración en el tiempo inicial, de modo que $mathbf {x} =kappa _{t}(mathbf {X}).$

Esta función necesita tener varias propiedades para que el modelo tenga sentido físico. $kappa _{t}(cdot)$ necesita ser:

continuo en el tiempo, de modo que el cuerpo cambia de una manera que es realista,
globalmente invertible en todo momento, de modo que el cuerpo no puede intersecarse a sí mismo,
conservación de la orientación, ya que las transformaciones que producen reflejos especulares no son posibles en la naturaleza.

Para la formulación matemática del modelo, $kappa _{t}(cdot)$ también se supone que es dos veces continuamente diferenciable, de modo que se pueden formular ecuaciones diferenciales que describen el movimiento.

Fuerzas en un continuo

La mecánica de medios continuos se ocupa de cuerpos deformables, a diferencia de los cuerpos rígidos. Un sólido es un cuerpo deformable que posee resistencia al corte, sc. un sólido puede soportar fuerzas cortantes (fuerzas paralelas a la superficie del material sobre la que actúan). Los fluidos, por otro lado, no soportan fuerzas de corte. Para el estudio del comportamiento mecánico de sólidos y fluidos se supone que estos son cuerpos continuos, lo que significa que la materia llena toda la región del espacio que ocupa, a pesar de que la materia está compuesta de átomos, tiene vacíos y es discreta. Por lo tanto, cuando la mecánica de medios continuos se refiere a un punto o partícula en un cuerpo continuo, no describe un punto en el espacio interatómico o una partícula atómica, sino una parte idealizada del cuerpo que ocupa ese punto.

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler, el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone que son de dos tipos: fuerzas de superficie $mathbf {F} _{C}$ y fuerzas de cuerpo $mathbf {F} _{B}$ . Así, la fuerza total ${ matemáticas {F}}$ aplicada a un cuerpo o a una parte del cuerpo se puede expresar como: ${displaystyle {mathcal {F}}=mathbf {F} _{C}+mathbf {F} _{B}}$

Fuerzas superficiales

Fuerzas superficiales o fuerzas de contacto, expresada como fuerza por unidad de área, puede actuar sobre la superficie límite del cuerpo, como resultado del contacto mecánico con otros cuerpos, o sobre superficies internas imaginarias que limitan porciones del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre los partes del cuerpo a ambos lados de la superficie (principio de tensión de Euler-Cauchy). Cuando las fuerzas de contacto externas actúan sobre un cuerpo, las fuerzas de contacto internas se transmiten de un punto a otro dentro del cuerpo para equilibrar su acción, de acuerdo con la tercera ley de Newton del movimiento de conservación del momento lineal y del momento angular (para cuerpos continuos estas leyes se llaman ecuaciones de movimiento de Euler). Las fuerzas internas de contacto están relacionadas con la deformación del cuerpo a través de ecuaciones constitutivas.

Se supone que la distribución de las fuerzas internas de contacto en todo el volumen del cuerpo es continua. Por lo tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy $mathbf {T} (mathbf {n},mathbf {x},t)$ que representa esta distribución en una configuración particular del cuerpo en un momento dado $t,!$ . No es un campo vectorial porque depende no solo de la posición $mathbf{x}$ de un punto material particular, sino también de la orientación local del elemento de superficie definido por su vector normal $matemáticas{n}$ .

Cualquier área diferencial $dS,!$ con vector normal $matemáticas{n}$ de un área de superficie interna dada $S,!$ , que delimita una porción del cuerpo, experimenta una fuerza de contacto que $dmathbf {F} _{C},!$ surge del contacto entre ambas porciones del cuerpo a cada lado de $S,!$ , y está dada por $dmathbf {F} _{C}=mathbf {T} ^{(mathbf {n})},dS$

donde $mathbf {T} ^{(mathbf {n})}$ es la tracción superficial, también llamada vector de tensión, tracción o vector de tracción. El vector de tensión es un vector indiferente al marco (ver el principio de tensión de Euler-Cauchy).

La fuerza de contacto total sobre la superficie interna particular $S,!$ se expresa entonces como la suma (integral de superficie) de las fuerzas de contacto sobre todas las superficies diferenciales $dS,!$ : $mathbf {F} _{C}=int _{S}mathbf {T} ^{(mathbf {n})},dS$

En la mecánica de medios continuos, un cuerpo se considera libre de tensiones si las únicas fuerzas presentes son las fuerzas interatómicas (fuerzas iónicas, metálicas y de van der Waals) necesarias para mantener unido el cuerpo y mantener su forma en ausencia de todas las influencias externas., incluida la atracción gravitacional. Las tensiones generadas durante la fabricación del cuerpo a una configuración específica también se excluyen al considerar las tensiones en un cuerpo. Por lo tanto, los esfuerzos considerados en la mecánica de medios continuos son solo aquellos producidos por deformación del cuerpo, sc. solo se consideran los cambios relativos en el estrés, no los valores absolutos del estrés.

Fuerzas del cuerpo

Las fuerzas del cuerpo son fuerzas que se originan en fuentes externas al cuerpo que actúan sobre el volumen (o masa) del cuerpo. Decir que las fuerzas del cuerpo se deben a fuentes externas implica que la interacción entre las diferentes partes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta únicamente a través de las fuerzas de contacto. Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en campos de fuerza, por ejemplo, campo gravitacional (fuerzas gravitatorias) o campo electromagnético (fuerzas electromagnéticas), o de fuerzas de inercia cuando los cuerpos están en movimiento. Como se supone que la masa de un cuerpo continuo se distribuye continuamente, cualquier fuerza que se origine en la masa también se distribuye continuamente. Por lo tanto, las fuerzas del cuerpo se especifican mediante campos vectoriales que se supone que son continuos en todo el volumen del cuerpo, es decir, actuando sobre cada punto del mismo. Las fuerzas del cuerpo están representadas por una densidad de fuerza del cuerpo $mathbf {b} (mathbf {x},t)$ (por unidad de masa), que es un campo vectorial indiferente al marco.

En el caso de las fuerzas gravitatorias, la intensidad de la fuerza depende o es proporcional a la densidad $mathbf {rho} (mathbf {x},t),!$ de masa del material, y se especifica en términos de fuerza por unidad de masa ( $bi},!$ ) o por unidad de volumen ( $Pi},!$ ). Estas dos especificaciones están relacionadas a través de la densidad del material por la ecuación $rho b_{i}=p_{i},!$ . De manera similar, la intensidad de las fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza (carga eléctrica) del campo electromagnético.

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo se expresa como $mathbf {F} _{B}=int _{V}mathbf {b} ,dm=int _{V}rho mathbf {b} ,dV$

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo conducen a los correspondientes momentos de fuerza (torques) relativos a un punto dado. Por lo tanto, el par total aplicado ${ matemáticas {M}}$ con respecto al origen está dado por ${displaystyle {mathcal {M}}=mathbf {M}_{C}+mathbf {M}_{B}}$

En determinadas situaciones, no comúnmente consideradas en el análisis del comportamiento mecánico de materiales, se hace necesario incluir otros dos tipos de fuerzas: se trata de tensiones de par (pares superficiales, pares de contacto) y momentos de cuerpo. Las tensiones de par son momentos por unidad de área aplicada sobre una superficie. Los momentos del cuerpo, o pares de cuerpos, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicados al volumen del cuerpo. Ambos son importantes en el análisis de tensiones para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde se tiene en cuenta la estructura molecular (por ejemplo, huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo y la teoría de dislocación de rieles.

Los materiales que exhiben pares de cuerpos y esfuerzos de pares además de momentos producidos exclusivamente por fuerzas se denominan materiales polares. Los materiales no polares son entonces aquellos materiales con solo momentos de fuerzas. En las ramas clásicas de la mecánica de medios continuos el desarrollo de la teoría de tensiones se basa en materiales no polares.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y torsiones aplicadas (con respecto al origen del sistema de coordenadas) en el cuerpo puede estar dada por ${mathcal {F}}=int _{V}mathbf {a} ,dm=int _{S}mathbf {T} ,dS+int _{V}rho mathbf {b} ,dV$ ${mathcal {M}}=int _{S}mathbf {r} times mathbf {T} ,dS+int _{V}mathbf {r} times rho mathbf {b} ,dV$

Cinemática: movimiento y deformación.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo da como resultado un desplazamiento. El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación. Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada $kappa _{0}({mathcal {B}})$ a una configuración actual o deformada $kappa _{t}({mathcal {B}})$ (Figura 2).

El movimiento de un cuerpo continuo es una secuencia continua de desplazamientos en el tiempo. Por lo tanto, el cuerpo material ocupará diferentes configuraciones en diferentes momentos, de modo que una partícula ocupa una serie de puntos en el espacio que describen una línea de trayectoria.

Hay continuidad durante el movimiento o la deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

Los puntos materiales que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
Los puntos materiales que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o una condición inicial a partir de la cual se haga referencia a todas las configuraciones posteriores. La configuración de referencia no necesita ser una que el cuerpo ocupará alguna vez. A menudo, la configuración en $t=0$ se considera la configuración de referencia, ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$ . Las componentes $X_{yo}$ del vector $mathbf{X}$ de posición de una partícula, tomadas con respecto a la configuración de referencia, se denominan coordenadas materiales o de referencia.

Al analizar el movimiento o la deformación de sólidos, o el flujo de fluidos, es necesario describir la secuencia o evolución de las configuraciones a lo largo del tiempo. Una descripción del movimiento se hace en términos del material o coordenadas referenciales, llamada descripción material o descripción lagrangiana.

Descripción lagrangiana

En la descripción lagrangiana, la posición y las propiedades físicas de las partículas se describen en términos del material o coordenadas de referencia y tiempo. En este caso, la configuración de referencia es la configuración en. Un observador parado en el marco de referencia observa los cambios en la posición y las propiedades físicas a medida que el cuerpo material se mueve en el espacio a medida que avanza el tiempo. Los resultados obtenidos son independientes de la elección del tiempo inicial y de la configuración de referencia $kappa _{0}({mathcal {B}})$ . Esta descripción se usa normalmente en mecánica de sólidos.

En la descripción lagrangiana, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa mediante la función de mapeo $chi (cdot)$ (Figura 2), ${displaystyle mathbf {x} =chi (mathbf {X},t)}$

que es un mapeo de la configuración inicial $kappa _{0}({mathcal {B}})$ sobre la configuración actual $kappa _{t}({mathcal {B}})$ , dando una correspondencia geométrica entre ellos, es decir, dando el vector de posición ${displaystyle mathbf {x} =x_{i}mathbf {e} _{i}}$ que una partícula $X$ , con un vector de posición $mathbf{X}$ en la configuración no deformada o de referencia $kappa _{0}({mathcal {B}})$ , ocupará en la configuración actual o deformada $kappa _{t}({mathcal {B}})$ en el momento $t$ . Los componentes $x_{yo}$ se denominan coordenadas espaciales.

Las propiedades físicas y cinemáticas ${displaystyle P_{ijldots}}$ , es decir, las propiedades termodinámicas y la velocidad del flujo, que describen o caracterizan las características del cuerpo material, se expresan como funciones continuas de posición y tiempo, es decir ${displaystyle P_{ijldots}=P_{ijldots}(mathbf {X},t)}$ .

La derivada material de cualquier propiedad ${displaystyle P_{ijldots}}$ de un continuo, que puede ser un escalar, un vector o un tensor, es la tasa de cambio en el tiempo de esa propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. El derivado material también se conoce como derivado sustancial, derivado comóvil o derivado convectivo. Puede pensarse como la velocidad a la que cambia la propiedad cuando la mide un observador que viaja con ese grupo de partículas.

En la descripción lagrangiana, la derivada material de ${displaystyle P_{ijldots}}$ es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo, y el vector de posición $mathbf{X}$ se mantiene constante ya que no cambia con el tiempo. Así, tenemos ${displaystyle {frac {d}{dt}}[P_{ijldots }(mathbf {X},t)]={frac {parcial }{parcial t}}[P_{ijldots }(mathbf{X},t)]}$

La posición instantánea $mathbf{x}$ es una propiedad de una partícula, y su derivada material es la velocidad de flujo instantáneo $matemáticas {v}$ de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad de flujo del continuo está dado por ${displaystyle mathbf {v} ={dot {mathbf {x} }}={frac {dmathbf {x} }{dt}}={frac {parcial chi (mathbf {X },t)}{t parcial}}}$

De manera similar, el campo de aceleración está dado por ${displaystyle mathbf {a} ={dot {mathbf {v} }}={ddot {mathbf {x} }}={frac {d^{2}mathbf {x} }{dt ^{2}}}={frac {parcial ^{2}chi (mathbf {X},t)}{parcial t^{2}}}}$

La continuidad en la descripción lagrangiana se expresa por la continuidad espacial y temporal del mapeo desde la configuración de referencia hasta la configuración actual de los puntos materiales. Todas las cantidades físicas que caracterizan el continuo se describen de esta manera. En este sentido, las funciones $chi (cdot)$ y ${displaystyle P_{ijldots}(cdot)}$ son univaluadas y continuas, con derivadas continuas con respecto al espacio y al tiempo en el orden que se requiera, generalmente al segundo o al tercero.

Descripción euleriana

La continuidad permite la inversa de $chi (cdot)$ rastrear hacia atrás donde estaba ubicada la partícula ubicada actualmente $mathbf{x}$ en la configuración inicial o referenciada $kappa _{0}({mathcal {B}})$ . En este caso la descripción del movimiento se realiza en función de las coordenadas espaciales, en cuyo caso se denomina descripción espacial o descripción euleriana, es decir, se toma como configuración de referencia la configuración actual.

La descripción euleriana, introducida por d'Alembert, se centra en la configuración actual $kappa _{t}({mathcal {B}})$ , prestando atención a lo que ocurre en un punto fijo en el espacio a medida que avanza el tiempo, en lugar de prestar atención a las partículas individuales a medida que se mueven a través del espacio y el tiempo. Este enfoque se aplica convenientemente en el estudio del flujo de fluidos donde la propiedad cinemática de mayor interés es la velocidad a la que se produce el cambio en lugar de la forma del cuerpo de fluido en un tiempo de referencia.

Matemáticamente, el movimiento de un continuo usando la descripción euleriana se expresa mediante la función de mapeo $mathbf {X} =chi ^{-1}(mathbf {x},t)$

que proporciona un seguimiento de la partícula que ahora ocupa la posición $mathbf{x}$ en la configuración actual $kappa _{t}({mathcal {B}})$ a su posición original $mathbf{X}$ en la configuración inicial $kappa _{0}({mathcal {B}})$ .

Una condición necesaria y suficiente para que exista esta función inversa es que el determinante de la matriz jacobiana, a menudo denominada simplemente jacobiana, debe ser diferente de cero. De este modo, ${displaystyle J=left|{frac {parcial chi _{i}}{parcial X_{J}}}right|=left|{frac {parcial x_{i}}{ parcial X_{J}}}right|neq 0}$

En la descripción euleriana, las propiedades físicas ${displaystyle P_{ijldots}}$ se expresan como ${displaystyle P_{ijldots}=P_{ijldots}(mathbf {X},t)=P_{ijldots}[chi ^{-1}(mathbf {x},t), t]=p_{ijldots}(mathbf{x},t)}$

donde la forma funcional de ${displaystyle P_{ijldots}}$ en la descripción lagrangiana no es la misma que la forma de ${displaystyle p_{ijldots}}$ en la descripción euleriana.

La derivada material de ${displaystyle p_{ijldots}(mathbf {x},t)}$ , usando la regla de la cadena, es entonces ${displaystyle {frac {d}{dt}}[p_{ijldots }(mathbf {x},t)]={frac {parcial }{parcial t}}[p_{ijldots }(mathbf {x},t)]+{frac {parcial }{parcial x_{k}}}[p_{ijldots }(mathbf {x},t)]{frac {dx_ {k}}{dt}}}$

El primer término del lado derecho de esta ecuación da la tasa de cambio local de la propiedad ${displaystyle p_{ijldots}(mathbf {x},t)}$ que ocurre en la posición $mathbf{x}$ . El segundo término del lado derecho es la tasa de cambio convectiva y expresa la contribución de la partícula que cambia de posición en el espacio (movimiento).

La continuidad en la descripción euleriana se expresa por la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad del flujo. Todas las cantidades físicas se definen así en cada instante de tiempo, en la configuración actual, en función de la posición del vector $mathbf{x}$ .

Campo de desplazamiento

El vector que une las posiciones de una partícula $PAGS$ en la configuración no deformada y la configuración deformada se denomina vector de desplazamiento ${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X},t)=u_{i}mathbf {e} _{i}}$ , en la descripción lagrangiana, o ${displaystyle mathbf {U} (mathbf {x},t)=U_{J}mathbf {E} _{J}}$ , en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente hacer el análisis de deformación o movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas materiales como ${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X},t)=mathbf {b} +mathbf {x} (mathbf {X},t)-mathbf {X} qquad {text{ o}}qquad u_{i}=alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-alpha _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como ${displaystyle mathbf {U} (mathbf {x},t)=mathbf {b} +mathbf {x} -mathbf {X} (mathbf {x},t)qquad {text{ o}}qquad U_{J}=b_{J}+alpha _{Ji}x_{i}-X_{J},}$

donde ${ estilo de visualización alfa _ {Ji}}$ son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas material y espacial con vectores unitarios ${ estilo de visualización mathbf {E} _ {J}}$ y $mathbf {e} _{i}$ , respectivamente. De este modo ${displaystyle mathbf {E} _{J}cdot mathbf {e} _{i}=alpha _{Ji}=alpha _{iJ}}$

y la relación entre $tu_{yo}$ y ${displaystyle U_{J}}$ está dada por ${displaystyle u_{i}=alpha_{iJ}U_{J}qquad {text{o}}qquad U_{J}=alpha_{Ji}u_{i}}$

Sabiendo que ${displaystyle mathbf {e}_{i}=alpha_{iJ}mathbf {E}_{J}}$

después $mathbf {u} (mathbf {X},t)=u_{i}mathbf {e}_{i}=u_{i}(alpha_{iJ}mathbf {E}_{J}) =U_{J}mathbf {E} _{J}=mathbf {U} (mathbf {x},t)$

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformadas y deformadas, lo que da como resultado ${ estilo de visualización mathbf {b} = 0}$ , y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker, es decir ${displaystyle mathbf {E}_{J}cdot mathbf {e}_{i}=delta_{Ji}=delta_{iJ}}$

Así, tenemos ${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X},t)=mathbf {x} (mathbf {X},t)-mathbf {X} qquad {text{o}}qquad u_ {i}=x_{i}-delta _{iJ}X_{J}}$

o en términos de las coordenadas espaciales como ${displaystyle mathbf {U} (mathbf {x},t)=mathbf {x} -mathbf {X} (mathbf {x},t)qquad {text{o}}qquad U_ {J}=delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Ecuaciones gubernamentales

La mecánica continua se ocupa del comportamiento de los materiales que pueden aproximarse como continuos para ciertas escalas de longitud y tiempo. Las ecuaciones que gobiernan la mecánica de tales materiales incluyen las leyes de balance de masa, cantidad de movimiento y energía. Se necesitan relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas para completar el sistema de ecuaciones gobernantes. Pueden aplicarse restricciones físicas sobre la forma de las relaciones constitutivas exigiendo que se satisfaga la segunda ley de la termodinámica en todas las condiciones. En la mecánica continua de sólidos, la segunda ley de la termodinámica se cumple si se cumple la forma de Clausius-Duhem de la desigualdad de entropía.

Las leyes del equilibrio expresan la idea de que la tasa de cambio de una cantidad (masa, cantidad de movimiento, energía) en un volumen debe surgir de tres causas:

la cantidad física misma fluye a través de la superficie que limita el volumen,
hay una fuente de la cantidad física en la superficie del volumen, o/y,
hay una fuente de la cantidad física dentro del volumen.

Sea $Omega$ el cuerpo (un subconjunto abierto del espacio euclidiano) y $parcial Omega$ sea su superficie (el límite de $Omega$ ).

Deje que el movimiento de los puntos materiales en el cuerpo sea descrito por el mapa ${displaystyle mathbf {x} ={boldsymbol {chi }}(mathbf {X})=mathbf {x} (mathbf {X})}$

donde $mathbf{X}$ es la posición de un punto en la configuración inicial y $mathbf{x}$ es la ubicación del mismo punto en la configuración deformada.

El gradiente de deformación viene dado por ${displaystyle {boldsymbol {F}}={frac {parcial mathbf {x} }{parcial mathbf {X} }}=nabla mathbf {x} ~.}$

Leyes de equilibrio

Sea $f(mathbf{x},t)$ una cantidad física que fluye a través del cuerpo. Sean $g(mathbf{x},t)$ fuentes en la superficie del cuerpo y $h(mathbf{x},t)$ sean fuentes dentro del cuerpo. Sea $mathbf{n} (mathbf{x},t)$ la unidad exterior normal a la superficie $parcial Omega$ . Sea $mathbf {v} (mathbf {x},t)$ la velocidad de flujo de las partículas físicas que transportan la cantidad física que está fluyendo. Además, sea la velocidad a la que $parcial Omega$ se mueve la superficie delimitadora $Naciones Unidas}$ (en la dirección $matemáticas{n}$ ).

Entonces, las leyes de equilibrio se pueden expresar en la forma general ${cfrac {d}{dt}}left[int _{Omega }f(mathbf {x},t)~{text{dV}}right]=int_{parcial Omega }f(mathbf {x},t)[u_{n}(mathbf {x},t)-mathbf {v} (mathbf {x},t)cdot mathbf {n} (mathbf {x},t)]~{text{dA}}+int_{parcial Omega}g(mathbf {x},t)~{text{dA}}+int_{Omega }h(mathbf {x},t)~{text{dV}}~.$

Las funciones $f(mathbf{x},t)$ , $g(mathbf{x},t)$ , y $h(mathbf{x},t)$ pueden tener valores escalares, valores vectoriales o valores tensoriales, dependiendo de la cantidad física con la que trate la ecuación de equilibrio. Si hay límites internos en el cuerpo, las discontinuidades de salto también deben especificarse en las leyes de equilibrio.

Si adoptamos el punto de vista euleriano, se puede demostrar que las leyes de equilibrio de masa, cantidad de movimiento y energía para un sólido se pueden escribir como (suponiendo que el término fuente es cero para las ecuaciones de masa y cantidad de movimiento angular) ${displaystyle {begin{alineado}{dot {rho }}+rho ({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {v})&=0&&qquad {text{Balance de masa} }\rho ~{dot {mathbf {v} }}-{boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {sigma }}-rho ~mathbf {b} &=0&&qquad {text{Equilibrio de cantidad de movimiento lineal (primera ley de movimiento de Cauchy)}}\{boldsymbol {sigma }}&={boldsymbol {sigma }}^{T}&&qquad {text{Equilibrio de Momento angular (segunda ley de movimiento de Cauchy)}}\rho ~{dot {e}}-{boldsymbol {sigma }}:({boldsymbol {nabla }}mathbf {v})+{ boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {q} -rho ~s&=0&&qquad {text{Balance de energía.}}end{alineado}}}$

En las ecuaciones anteriores $rho (mathbf {x},t)$ es la densidad de masa (corriente), ${punto {rho}}$ es la derivada material en el tiempo de $rho$ , $mathbf {v} (mathbf {x},t)$ es la velocidad de la partícula, ${punto {mathbf {v} }}$ es la derivada material en el tiempo de $matemáticas {v}$ , ${ símbolo de negrita { sigma}} ( mathbf {x}, t)$ es el tensor de tensión de Cauchy, $mathbf {b} (mathbf {x},t)$ es la densidad de fuerza del cuerpo, $e(mathbf{x},t)$ es la energía interna por unidad de masa, ${ punto {e}}$ es la derivada temporal material de $mi$ , $mathbf {q} (mathbf {x},t)$ es el vector de flujo de calor y $s(mathbf{x},t)$ es una fuente de energía por unidad de masa.

Con respecto a la configuración de referencia (el punto de vista lagrangiano), las leyes de equilibrio se pueden escribir como ${begin{alineado}rho ~det({boldsymbol {F}})-rho_{0}&=0&&qquad {text{Balance de masa}}\rho_{0}~ {ddot {mathbf {x} }}-{boldsymbol {nabla }}_{circ }cdot {boldsymbol {P}}^{T}-rho _{0}~mathbf {b } &=0&&qquad {text{Balance del momento lineal}}\{boldsymbol {F}}cdot {boldsymbol {P}}^{T}&={boldsymbol {P}}cdot { boldsymbol {F}}^{T}&&qquad {text{Balance de momento angular}}\rho _{0}~{dot {e}}-{boldsymbol {P}}^{T }:{dot {boldsymbol {F}}}+{boldsymbol {nabla }}_{circ }cdot mathbf {q} -rho_{0}~s&=0&&qquad {text {Balance de energía.}}end{alineado}}$

En lo anterior, ${ símbolo de negrita {P}}$ es el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, y $rho _{0}$ es la densidad de masa en la configuración de referencia. El primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensiones de Cauchy por ${boldsymbol {P}}=J~{boldsymbol {sigma}}cdot {boldsymbol {F}}^{-T}~{text{dónde}}~J=det({boldsymbol { F}})$

Alternativamente, podemos definir el tensor de tensión nominal ${ símbolo de negrita {N}}$ que es la transpuesta del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff tal que ${boldsymbol {N}}={boldsymbol {P}}^{T}=J~{boldsymbol {F}}^{-1}cdot {boldsymbol {sigma }}~.$

Entonces las leyes del equilibrio se convierten en ${begin{alineado}rho ~det({boldsymbol {F}})-rho_{0}&=0&&qquad {text{Balance de masa}}\rho_{0}~ {ddot {mathbf {x} }}-{boldsymbol {nabla }}_{circ }cdot {boldsymbol {N}}-rho_{0}~mathbf {b} &=0&& qquad {text{Equilibrio del momento lineal}}\{boldsymbol {F}}cdot {boldsymbol {N}}&={boldsymbol {N}}^{T}cdot {boldsymbol {F }}^{T}&&qquad {text{Balance de momento angular}}\rho _{0}~{dot {e}}-{boldsymbol {N}}:{dot {boldsymbol {F}}}+{boldsymbol {nabla }}_{circ }cdot mathbf {q} -rho _{0}~s&=0&&qquad {text{Balance de energía.}} fin {alineado}}$

Los operadores en las ecuaciones anteriores se definen como tales que ${boldsymbol {nabla }}mathbf {v} =sum _{i,j=1}^{3}{frac {parcial v_{i}}{parcial x_{j}}}mathbf {e}_{i}otimes mathbf {e}_{j}=v_{i,j}mathbf {e}_{i}otimes mathbf {e}_{j}~;~~{ boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {v} =sum _{i=1}^{3}{frac {parcial v_{i}}{parcial x_{i}}}=v_{ i,i}~;~~{boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {S}}=sum _{i,j=1}^{3}{frac {parcial S_{ij} }{parcial x_{j}}}~mathbf {e}_{i}=sigma_{ij,j}~mathbf {e}_{i}~.$

donde $matemáticas {v}$ es un campo vectorial, ${ símbolo de negrita {S}}$ es un campo tensorial de segundo orden y $mathbf {e} _{i}$ son los componentes de una base ortonormal en la configuración actual. También, ${boldsymbol {nabla }}_{circ }mathbf {v} =sum _{i,j=1}^{3}{frac {parcial v_{i}}{parcial X_{j }}}mathbf {E}_{i}otimes mathbf {E}_{j}=v_{i,j}mathbf {E}_{i}otimes mathbf {E}_{j} ~;~~{boldsymbol {nabla }}_{circ }cdot mathbf {v} =sum _{i=1}^{3}{frac {parcial v_{i}}{ parcial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{boldsymbol {nabla }}_{circ }cdot {boldsymbol {S}}=sum _{i,j=1 }^{3}{frac {parcial S_{ij}}{parcial X_{j}}}~mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~mathbf {E}_{ i}$

donde $matemáticas {v}$ es un campo vectorial, ${ símbolo de negrita {S}}$ es un campo tensorial de segundo orden y $mathbf {E} _{i}$ son los componentes de una base ortonormal en la configuración de referencia.

El producto interior se define como ${boldsymbol {A}}:{boldsymbol {B}}=sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=operatorname {trace} ({boldsymbol { A}}{boldsymbol {B}}^{T})~.$

Desigualdad de Clausius-Duhem

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede utilizar para expresar la segunda ley de la termodinámica para materiales elástico-plásticos. Esta desigualdad es una declaración sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de disipación de energía.

Al igual que en las leyes de equilibrio de la sección anterior, asumimos que hay un flujo de una cantidad, una fuente de la cantidad y una densidad interna de la cantidad por unidad de masa. La cantidad de interés en este caso es la entropía. Por lo tanto, asumimos que hay un flujo de entropía, una fuente de entropía, una densidad de masa interna $rho$ y una entropía específica interna (es decir, entropía por unidad de masa) $eta$ en la región de interés.

Sea $Omega$ tal región y $parcial Omega$ sea su límite. Entonces, la segunda ley de la termodinámica establece que la tasa de aumento de $eta$ en esta región es mayor o igual a la suma de la suministrada $Omega$ (como flujo o de fuentes internas) y el cambio de la densidad de entropía interna ${ estilo de visualización rho eta}$ debido al material que fluye en y fuera de la región.

Deje que $parcial Omega$ se mueva con una velocidad de flujo $Naciones Unidas}$ y deje que las partículas en el interior $Omega$ tengan velocidades $matemáticas {v}$ . Sea $matemáticas{n}$ la unidad normal hacia fuera a la superficie $parcial Omega$ . Sea $rho$ la densidad de la materia en la región, ${bar {q}}$ el flujo de entropía en la superficie y $r$ la fuente de entropía por unidad de masa. Entonces la desigualdad de entropía se puede escribir como ${cfrac {d}{dt}}left(int _{Omega }rho ~eta ~{text{dV}}right)geq int_{parcial Omega }rho ~ eta ~(u_{n}-mathbf {v} cdot mathbf {n})~{text{dA}}+int _{parcial Omega }{bar {q}}~{ texto{dA}}+int _{Omega }rho ~r~{text{dV}}.$

El flujo de entropía escalar se puede relacionar con el flujo vectorial en la superficie mediante la relación ${bar {q}}=-{boldsymbol {psi }}(mathbf {x})cdot mathbf {n}$ . Bajo el supuesto de condiciones isotérmicas incrementales, tenemos ${boldsymbol {psi }}(mathbf {x})={cfrac {mathbf {q} (mathbf {x})}{T}}~;~~r={cfrac {s}{ T}}$

donde $mathbf {q}$ es el vector de flujo de calor, $s$ es una fuente de energía por unidad de masa y $T$ es la temperatura absoluta de un punto material $mathbf{x}$ a la vez $t$ .

Entonces tenemos la desigualdad de Clausius-Duhem en forma integral: ${{cfrac {d}{dt}}left(int _{Omega }rho ~eta ~{text{dV}}right)geq int_{parcial Omega }rho ~eta ~(u_{n}-mathbf {v} cdot mathbf {n})~{text{dA}}-int _{parcial Omega }{cfrac {mathbf {q} cdot mathbf {n} }{T}}~{text{dA}}+int _{Omega }{cfrac {rho ~s}{T}}~{text{dV}}. }$

Podemos demostrar que la desigualdad de entropía se puede escribir en forma diferencial como ${rho ~{dot {eta }}geq -{boldsymbol {nabla }}cdot left({cfrac {mathbf {q} }{T}}right)+{cfrac { rho~s}{T}}.}$

En términos de la tensión de Cauchy y la energía interna, la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como ${rho ~({dot {e}}-T~{dot {eta }})-{boldsymbol {sigma }}:{boldsymbol {nabla }}mathbf {v} leq - {cfrac {mathbf {q} cdot {boldsymbol {nabla }}T}{T}}.}$

Aplicaciones

Mecánica de Medios Continuos
- Mecánica sólida
- Mecánica de fluidos
Ingeniería
- Ingeniería civil
- Ingeniería Mecánica
- Ingeniería Aeroespacial
- Ingeniería Biomédica
- Ingeniería Química

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