Mecánica analítica

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En física teórica y física matemática, la mecánica analítica o la mecánica teórica es una colección de formulaciones alternativas estrechamente relacionadas de la mecánica clásica. Fue desarrollado por muchos científicos y matemáticos durante el siglo XVIII y en adelante, después de la mecánica newtoniana. Dado que la mecánica newtoniana considera cantidades vectoriales de movimiento, particularmente aceleraciones, momentos, fuerzas, de los constituyentes del sistema, un nombre alternativo para la mecánica gobernada por las leyes de Newton y las leyes de Euler es mecánica vectorial.

Por el contrario, la mecánica analítica utiliza propiedades escalares de movimiento que representan el sistema como un todo, generalmente su energía cinética total y su energía potencial, no las fuerzas vectoriales de Newton de partículas individuales. Un escalar es una cantidad, mientras que un vector está representado por cantidad y dirección. Las ecuaciones de movimiento se derivan de la cantidad escalar por algún principio subyacente sobre la variación del escalar.

La mecánica analítica aprovecha las limitaciones de un sistema para resolver problemas. Las restricciones limitan los grados de libertad que puede tener el sistema y se pueden usar para reducir el número de coordenadas necesarias para resolver el movimiento. El formalismo se adapta bien a elecciones arbitrarias de coordenadas, conocidas en el contexto como coordenadas generalizadas. Las energías cinética y potencial del sistema se expresan utilizando estas coordenadas o momentos generalizados, y las ecuaciones de movimiento se pueden establecer fácilmente, por lo que la mecánica analítica permite resolver numerosos problemas mecánicos con mayor eficiencia que los métodos totalmente vectoriales. No siempre funciona para fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas como la fricción, en cuyo caso se puede volver a la mecánica newtoniana.

Dos ramas dominantes de la mecánica analítica son la mecánica lagrangiana (que utiliza coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas correspondientes en el espacio de configuración) y la mecánica hamiltoniana (que utiliza coordenadas y momentos correspondientes en el espacio de fase). Ambas formulaciones son equivalentes por una transformación de Legendre sobre las coordenadas, velocidades y momentos generalizados, por lo que ambas contienen la misma información para describir la dinámica de un sistema. Existen otras formulaciones, como la teoría de Hamilton-Jacobi, la mecánica de Routhian y la ecuación de movimiento de Appell. Todas las ecuaciones de movimiento para partículas y campos, en cualquier formalismo, se pueden derivar del resultado ampliamente aplicable llamado principio de acción mínima. Un resultado es el teorema de Noether, una declaración que conecta las leyes de conservación con sus simetrías asociadas.

La mecánica analítica no introduce nueva física y no es más general que la mecánica newtoniana. Más bien es una colección de formalismos equivalentes que tienen una amplia aplicación. De hecho, los mismos principios y formalismos pueden usarse en la mecánica relativista y la relatividad general, y con algunas modificaciones, la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos.

La mecánica analítica se usa ampliamente, desde la física fundamental hasta las matemáticas aplicadas, particularmente la teoría del caos.

Los métodos de la mecánica analítica se aplican a partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad. Pueden modificarse para describir campos o fluidos continuos, que tienen infinitos grados de libertad. Las definiciones y ecuaciones tienen una estrecha analogía con las de la mecánica.

Materia de mecánica analítica.

El objetivo más obvio de la teoría mecánica es resolver los problemas mecánicos que surgen en la física o la astronomía. Partiendo de un concepto físico, como un mecanismo o un sistema estelar, se desarrolla un concepto o modelo matemático en forma de ecuación o ecuaciones diferenciales y luego se intenta resolverlas.

El enfoque vectorial de la mecánica, tal como lo fundó Newton, se basa en las leyes de Newton que describen el movimiento con la ayuda de cantidades vectoriales como la fuerza, la velocidad y la aceleración. Estas cantidades caracterizan el movimiento de un cuerpo que se idealiza como un "punto de masa" o una "partícula" entendida como un único punto al que se une una masa. El método de Newton tuvo éxito y se aplicó a una amplia gama de problemas físicos, comenzando por el movimiento de una partícula en el campo gravitatorio de la Tierra y luego extendiéndose al movimiento de los planetas bajo la acción del sol. En este enfoque, las leyes de Newton describen el movimiento mediante una ecuación diferencial y luego el problema se reduce a resolver esa ecuación.

Cuando la partícula es parte de un sistema de partículas, como un cuerpo sólido o un fluido, en el que las partículas no se mueven libremente sino que interactúan entre sí, el enfoque de Newton sigue siendo aplicable con las precauciones adecuadas, como aislar cada partícula de las demás, y determinando todas las fuerzas que actúan sobre ella: las que actúan sobre el sistema como un todo, así como las fuerzas de interacción de cada partícula con todas las demás partículas del sistema. Dicho análisis puede volverse engorroso incluso en sistemas relativamente simples. Por regla general, las fuerzas de interacción son desconocidas o difíciles de determinar, por lo que es necesario introducir nuevos postulados. Newton pensó que su tercera ley "acción es igual a reacción" se encargaría de todas las complicaciones. Este no es el caso incluso para un sistema tan simple como las rotaciones de un cuerpo sólido. En sistemas más complicados,

El enfoque analítico del problema del movimiento ve a la partícula no como una unidad aislada sino como parte de un sistema mecánico entendido como un conjunto de partículas que interactúan entre sí. A medida que se toma en consideración el sistema completo, la partícula individual pierde su significado; el problema dinámico involucra a todo el sistema sin romperlo en partes. Esto simplifica significativamente el cálculo porque en el enfoque vectorial las fuerzas deben determinarse individualmente para cada partícula mientras que en el enfoque analítico es suficiente conocer una sola función que contiene implícitamente todas las fuerzas que actúan sobre y en el sistema. Tal simplificación a menudo se realiza utilizando ciertas condiciones cinemáticas que se establecen a priori; son preexistentes y se deben a la acción de algunas fuerzas poderosas. Sin embargo, el tratamiento analítico no requiere el conocimiento de estas fuerzas y da por sentadas estas condiciones cinemáticas. Considerando cuánto más simples son estas condiciones en comparación con la multitud de fuerzas que las mantienen, la superioridad del enfoque analítico sobre el vectorial se hace evidente.

Aun así, las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico complicado requieren un gran número de ecuaciones diferenciales separadas que no pueden derivarse sin alguna base unificadora de la que se sigan. Esta base son los principios variacionales: detrás de cada conjunto de ecuaciones hay un principio que expresa el significado de todo el conjunto. Dada una cantidad fundamental y universal llamada 'acción', el principio de que esta acción sea estacionaria bajo una pequeña variación de alguna otra cantidad mecánica genera el conjunto requerido de ecuaciones diferenciales. El enunciado del principio no requiere ningún sistema de coordenadas especial y todos los resultados se expresan en coordenadas generalizadas. Esto significa que las ecuaciones analíticas de movimiento no cambian en una transformación de coordenadas,

No está del todo claro qué significa 'resolver' un conjunto de ecuaciones diferenciales. Un problema se considera resuelto cuando las coordenadas de las partículas en el tiempo t se expresan como funciones simples de t y de parámetros que definen las posiciones y velocidades iniciales. Sin embargo, 'función simple' no es un concepto bien definido: hoy en día, una función f (t) no se considera una expresión formal en t (función elemental) como en la época de Newton, sino más generalmente como una cantidad determinada por t, y no es posible trazar una línea nítida entre funciones 'simples' y 'no simples'. Si se habla meramente de 'funciones', entonces todo problema mecánico se resuelve tan pronto como se ha planteado bien en ecuaciones diferenciales, porque dadas las condiciones iniciales yt determinan las coordenadas en t. Este es un hecho especialmente en la actualidad con los métodos modernos de modelado por computadora que proporcionan soluciones aritméticas a problemas mecánicos con cualquier grado deseado de precisión, siendo reemplazadas las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en diferencias.

Aún así, aunque carece de definiciones precisas, es obvio que el problema de los dos cuerpos tiene una solución simple, mientras que el problema de los tres cuerpos no la tiene. El problema de los dos cuerpos se resuelve mediante fórmulas que involucran parámetros; sus valores se pueden cambiar para estudiar la clase de todas las soluciones, es decir, la estructura matemática del problema. Además, se puede hacer una imagen mental o dibujada precisa del movimiento de dos cuerpos, y puede ser tan real y precisa como los cuerpos reales que se mueven e interactúan. En el problema de los tres cuerpos, a los parámetros también se les pueden asignar valores específicos; sin embargo, la solución en estos valores asignados o una colección de tales soluciones no revela la estructura matemática del problema. Como en muchos otros problemas, la estructura matemática sólo puede dilucidarse examinando las propias ecuaciones diferenciales.

La mecánica analítica pretende aún más: no comprender la estructura matemática de un solo problema mecánico, sino la de una clase de problemas tan amplia que abarcan la mayor parte de la mecánica. Se concentra en los sistemas a los que son aplicables las ecuaciones de movimiento de Lagrange o Hamilton y que incluyen una gama muy amplia de problemas.

El desarrollo de la mecánica analítica tiene dos objetivos: (i) aumentar la gama de problemas solucionables mediante el desarrollo de técnicas estándar con una amplia gama de aplicabilidad, y (ii) comprender la estructura matemática de la mecánica. A la larga, sin embargo, (ii) puede ayudar (i) más que concentrarse en problemas específicos para los cuales ya se han diseñado métodos.

Movimiento intrínseco

Coordenadas y restricciones generalizadas

En la mecánica newtoniana, habitualmente se utilizan las tres coordenadas cartesianas, u otro sistema de coordenadas 3D, para referirse a la posición de un cuerpo durante su movimiento. En los sistemas físicos, sin embargo, alguna estructura u otro sistema generalmente impide que el movimiento del cuerpo tome ciertas direcciones y caminos. Por lo tanto, a menudo no se necesita un conjunto completo de coordenadas cartesianas, ya que las restricciones determinan las relaciones en evolución entre las coordenadas, cuyas relaciones pueden modelarse mediante ecuaciones correspondientes a las restricciones. En los formalismos lagrangianos y hamiltonianos, las restricciones se incorporan a la geometría del movimiento, lo que reduce el número de coordenadas al mínimo necesario para modelar el movimiento. Estas se conocen como coordenadas generalizadas, denotadas q _i (i= 1, 2, 3...).

Diferencia entre coordenadas curvilíneas y generalizadas

Las coordenadas generalizadas incorporan restricciones en el sistema. Hay una coordenada q _i generalizada para cada grado de libertad (por conveniencia etiquetada por un índice i = 1, 2... N), es decir cada forma en que el sistema puede cambiar su configuración; como longitudes curvilíneas o ángulos de rotación. Las coordenadas generalizadas no son lo mismo que las coordenadas curvilíneas. El número de coordenadas curvilíneas es igual a la dimensión del espacio de posición en cuestión (normalmente 3 para el espacio tridimensional), mientras que el número de coordenadas generalizadascoordenadas no es necesariamente igual a esta dimensión; Las restricciones pueden reducir el número de grados de libertad (de ahí el número de coordenadas generalizadas requeridas para definir la configuración del sistema), siguiendo la regla general:

[ dimensión del espacio de posición (generalmente 3)] × [número de constituyentes del sistema ("partículas")] − (número de restricciones)

= (número de grados de libertad) = (número de coordenadas generalizadas)

Para un sistema con N grados de libertad, las coordenadas generalizadas se pueden recopilar en una N -tupla:

{displaystyle mathbf {q} =(q_{1},q_{2},puntos,q_{N})}

y la derivada temporal (indicada aquí por un punto) de esta tupla dan las velocidades generalizadas:

{displaystyle {frac {dmathbf {q} }{dt}}=left({frac {dq_{1}}{dt}},{frac {dq_{2}}{dt}}, puntos,{frac {dq_{N}}{dt}}right)equiv mathbf {dot {q}} =({dot {q}}_{1},{dot {q} }_{2},puntos,{punto {q}}_{N}).}

Principio de D'Alembert

El fundamento sobre el que se construye el tema es el principio de D'Alembert.

Este principio establece que el trabajo virtual infinitesimal realizado por una fuerza a través de desplazamientos reversibles es cero, que es el trabajo realizado por una fuerza consistente con las restricciones ideales del sistema. La idea de una restricción es útil, ya que limita lo que el sistema puede hacer y puede proporcionar pasos para resolver el movimiento del sistema. La ecuación del principio de D'Alembert es:

{displaystyle delta W={boldsymbol {mathcal {Q}}}cdot delta mathbf {q} =0,,}

dónde

{displaystyle {boldsymbol {mathcal {Q}}}=({mathcal {Q}}_{1},{mathcal {Q}}_{2},dots,{mathcal {Q}} _{NORTE})}

son las fuerzas generalizadas (la escritura Q en lugar de la Q ordinaria se usa aquí para evitar conflictos con las transformaciones canónicas a continuación) y q son las coordenadas generalizadas. Esto lleva a la forma generalizada de las leyes de Newton en el lenguaje de la mecánica analítica:

{displaystyle {boldsymbol {mathcal {Q}}}={frac {d}{dt}}left({frac {parcial T}{parcial mathbf {dot {q}} }} right)-{frac {T parcial}{\mathbf parcial {q} }},,}

donde T es la energía cinética total del sistema y la notación

{displaystyle {frac {parcial }{parcial mathbf {q} }}=left({frac {parcial }{parcial q_{1}}},{frac {parcial }{ parcial q_{2}}},puntos,{frac {parcial }{parcial q_{N}}}right)}

es una abreviatura útil (ver cálculo matricial para esta notación).

Restricciones holonómicas

Si el sistema de coordenadas curvilíneas está definido por el vector de posición estándar r, y si el vector de posición se puede escribir en términos de las coordenadas generalizadas q y el tiempo t en la forma:

{displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} (mathbf {q} (t),t)}

y esta relación se cumple para todos los tiempos t, entonces q se denominan restricciones holonómicas. El vector r depende explícitamente de t en los casos en que las restricciones varían con el tiempo, no solo por q (t). Para situaciones independientes del tiempo, las restricciones también se denominan escleronómicas, para casos dependientes del tiempo se denominan reonómicas.

Mecánica lagrangiana

Ecuaciones de Lagrange y Euler-Lagrange

La introducción de coordenadas generalizadas y la función Lagrangiana fundamental: $L({mathbf {q}},{mathbf {{dot {q}}}},t)=T({mathbf {q}},{mathbf {{dot {q}}}},t)-V({mathbf {q}},{mathbf {{dot {q}}}},t)$

donde T es la energía cinética total y V es la energía potencial total de todo el sistema, luego, siguiendo el cálculo de variaciones o usando la fórmula anterior, se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange; ${frac {d}{dt}}left({frac {parcial L}{parcial {mathbf {{dot {q}}}}}}right)={frac {parcial L }{parcial {mathbf {q}}}},,$

que son un conjunto de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, una para cada q _i (t).

Esta formulación identifica la trayectoria real seguida por el movimiento como una selección de la trayectoria sobre la cual la integral de tiempo de la energía cinética es menor, asumiendo que la energía total es fija y sin imponer condiciones sobre el tiempo de tránsito.

Espacio de configuración

La formulación lagrangiana utiliza el espacio de configuración del sistema, el conjunto de todas las coordenadas generalizadas posibles: ${mathcal {C}}={{mathbf {q}}in {mathbb {R}}^{N}},,$

donde $mathbb{R} ^{N}$ es el espacio real de dimensión N (véase también la notación constructora de conjuntos). La solución particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange se denomina trayectoria o trayectoria (de configuración), es decir, una q (t) particular sujeta a las condiciones iniciales requeridas. Las soluciones generales forman un conjunto de posibles configuraciones en función del tiempo: ${{mathbf {q}}(t)in {mathbb {R}}^{N},:,tgeq 0,tin {mathbb {R}}}subseteq { mathcal {C}},,$

El espacio de configuración se puede definir de manera más general, y de hecho más profundamente, en términos de variedades topológicas y el paquete tangente.

Mecánica hamiltoniana

Ecuaciones hamiltonianas y de Hamilton

La transformación de Legendre del Lagrangiano reemplaza las coordenadas y velocidades generalizadas (q, q̇) con (q, p); las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados conjugados a las coordenadas generalizadas: ${mathbf {p}}={frac {parcial L}{parcial {mathbf {{dot {q}}}}}}=left({frac {parcial L}{parcial { dot {q}}_{1}}},{frac {parcial L}{parcial {dot {q}}_{2}}},cdots {frac {parcial L}{ parcial {dot {q}}_{N}}}right)=(p_{1},p_{2}cdots p_{N}),,$

e introduce el hamiltoniano (que es en términos de coordenadas y momentos generalizados): $H({mathbf {q}},{mathbf {p}},t)={mathbf {p}}cdot {mathbf {{dot {q}}}}-L({mathbf { q}},{mathbf {{dot {q}}}},t)$

donde • denota el producto escalar, que también conduce a las ecuaciones de Hamilton: ${mathbf {{dot {p}}}}=-{frac {parcial H}{parcial {mathbf {q}}}},,quad {mathbf {{dot {q} }}}=+{frac {parcial H}{parcial {mathbf {p}}}},,$

que ahora son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, una para cada q _i (t) y p _i (t). Otro resultado de la transformación de Legendre relaciona las derivadas temporales del lagrangiano y el hamiltoniano: ${frac {dH}{dt}}=-{frac {parcial L}{parcial t}},,$

que a menudo se considera una de las ecuaciones de movimiento de Hamilton además de las demás. Los momentos generalizados se pueden escribir en términos de las fuerzas generalizadas de la misma manera que la segunda ley de Newton: ${mathbf {{dot {p}}}}={boldsymbol {{mathcal {Q}}}},.$

Espacio de momento generalizado

De manera análoga al espacio de configuración, el conjunto de todos los momentos es el espacio de momento (técnicamente en este contexto, espacio de momento generalizado): ${mathcal {M}}={{mathbf {p}}in {mathbb {R}}^{N}},.$

"Espacio de momento" también se refiere a " k -espacio"; el conjunto de todos los vectores de onda (dado por las relaciones de De Broglie) como se usa en la mecánica cuántica y la teoría de ondas: esto no se menciona en este contexto.

Espacio de fase

El conjunto de todas las posiciones y momentos forman el espacio de fase; ${mathcal {P}}={mathcal {C}}times {mathcal {M}}={({mathbf {q}},{mathbf {p}})in {mathbb { R}}^{{2N}}},,$

es decir, el producto cartesiano × del espacio de configuración y el espacio de momento generalizado.

Una solución particular a las ecuaciones de Hamilton se llama trayectoria de fase, una curva particular (q (t), p (t)) sujeta a las condiciones iniciales requeridas. El conjunto de todos los caminos de fase, la solución general a las ecuaciones diferenciales, es el retrato de fase: ${({mathbf {q}}(t),{mathbf {p}}(t))in {mathbb {R}}^{{2N}},:,tgeq 0, tin {mathbb {R}}}subseteq {mathcal {P}},,$ El soporte de Poisson

Todas las variables dinámicas se pueden derivar de la posición r, el momento p y el tiempo t, y escribirse como una función de estos: A = A (q, p, t). Si A (q, p, t) y B (q, p, t) son dos variables dinámicas con valores escalares, el corchete de Poisson se define por las coordenadas generalizadas y los momentos: ${begin{alineado}{A,B}equiv {A,B}_{{{mathbf {q}},{mathbf {p}}}}&={frac {parcial A}{parcial {mathbf {q}}}}cdot {frac {parcial B}{parcial {mathbf {p}}}}-{frac {parcial A}{parcial { mathbf {p}}}}cdot {frac {parcial B}{parcial {mathbf {q}}}}\&equiv sum_{k}{frac {parcial A}{ parcial q_{k}}}{frac {parcial B}{parcial p_{k}}}-{frac {parcial A}{parcial p_{k}}}{frac {parcial B} {parcial q_{k}}},,end{alineado}}$

Calcular la derivada total de uno de estos, digamos A, y sustituir las ecuaciones de Hamilton en el resultado conduce a la evolución temporal de A: ${frac {dA}{dt}}={A,H}+{frac {parcial A}{parcial t}},.$

Esta ecuación en A está estrechamente relacionada con la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, en la que las variables dinámicas clásicas se convierten en operadores cuánticos (indicados por sombreros (^)), y el corchete de Poisson se reemplaza por el conmutador de operadores a través de Dirac. cuantización canónica: ${A,B}rightarrow {frac {1}{ihbar }}[{hat {A}},{hat {B}}],.$

Propiedades de las funciones lagrangianas y hamiltonianas

Las siguientes son propiedades superpuestas entre las funciones lagrangianas y hamiltonianas.

Todas las coordenadas generalizadas individuales q _i (t), velocidades q̇ _i (t) y momentos _pi (t) para cada grado de libertad son mutuamente independientes. La dependencia temporal explícita de una función significa que la función en realidad incluye el tiempo t como una variable además de q (t), p (t), no simplemente como un parámetro a través de q (t) y p (t), lo que significaría independencia temporal explícita.
El Lagrangiano es invariante bajo la suma de la derivada temporal total de cualquier función de q' y t , es decir:por lo que cada Lagrangiano L y L describen exactamente el mismo movimiento. En otras palabras, el Lagrangiano de un sistema no es único.
Análogamente, el hamiltoniano es invariante bajo la suma de la derivada temporal parcial de cualquier función de q, p y t, es decir: ${displaystyle K=H+{frac {parcial }{parcial t}}G(mathbf {q},mathbf {p},t),,}$ (K es una letra de uso frecuente en este caso). Esta propiedad se usa en transformaciones canónicas (ver más abajo).
Si el Lagrangiano es independiente de algunas coordenadas generalizadas, entonces los momentos generalizados conjugados a esas coordenadas son constantes del movimiento, es decir, se conservan, esto se sigue inmediatamente de las ecuaciones de Lagrange: ${displaystyle {frac {parcial L}{parcial q_{j}}}=0,rightarrow ,{frac {dp_{j}}{dt}}={frac {d}{dt }}{frac {parcial L}{parcial {dot {q}}_{j}}}=0}$ Tales coordenadas son "cíclicas" o "ignorables". Se puede demostrar que el hamiltoniano también es cíclico en exactamente las mismas coordenadas generalizadas.
Si el lagrangiano es independiente del tiempo, el hamiltoniano también lo es (es decir, ambos son constantes en el tiempo).
Si la energía cinética es una función homogénea de grado 2 de las velocidades generalizadas y el lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo, entonces: ${displaystyle T((lambda {dot {q}}_{i})^{2},(lambda {dot {q}}_{j}lambda {dot {q}}_{ k}),mathbf {q})=lambda ^{2}T(({dot {q}}_{i})^{2},{dot {q}}_{j}{ punto {q}}_{k},mathbf {q}),,quad L(mathbf {q},mathbf {dot {q}}),,}$ donde λ es una constante, entonces el hamiltoniano será la energía total conservada, igual a las energías cinética y potencial totales del sistema: ${ estilo de visualización H = T + V = E ,.}$ Esta es la base de la ecuación de Schrödinger, insertando operadores cuánticos la obtiene directamente.

Principio de mínima acción

La acción es otra cantidad en mecánica analítica definida como funcional del Lagrangiano: ${mathcal {S}}=int_{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L({mathbf {q}},{mathbf {{dot {q}}} },t)dt,.$

Una forma general de encontrar las ecuaciones de movimiento a partir de la acción es el principio de mínima acción: $delta {mathcal {S}}=delta int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L({mathbf {q}},{mathbf {{dot { q}}}},t)dt=0,,$

donde los tiempos de salida t ₁ y llegada t ₂ son fijos. El término "camino" o "trayectoria" se refiere a la evolución temporal del sistema como un camino a través del espacio de configuración ${ matemáticas {C}}$ , en otras palabras q (t) trazando un camino en ${ matemáticas {C}}$ . El camino para el cual la acción es menor es el camino tomado por el sistema.

A partir de este principio se pueden derivar todas las ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica. Este enfoque se puede extender a campos en lugar de a un sistema de partículas (ver más abajo), y subyace en la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica, y se utiliza para calcular el movimiento geodésico en la relatividad general.

Mecánica hamiltoniana-jacobi

Transformaciones canónicas

La invariancia del hamiltoniano (bajo la suma de la derivada temporal parcial de una función arbitraria de p, q y t) permite que el hamiltoniano en un conjunto de coordenadas q y momentos p se transforme en un nuevo conjunto Q = Q (q, p, t) y P = P (q, p, t), de cuatro formas posibles: ${begin{alineado}&K({mathbf {Q}},{mathbf {P}},t)=H({mathbf {q}},{mathbf {p}},t)+{ frac {parcial }{parcial t}}G_{1}({mathbf {q}},{mathbf {Q}},t)\&K({mathbf {Q}},{mathbf { P}},t)=H({mathbf {q}},{mathbf {p}},t)+{frac {parcial }{parcial t}}G_{2}({mathbf { q}},{mathbf {P}},t)\&K({mathbf {Q}},{mathbf {P}},t)=H({mathbf {q}},{mathbf {p}},t)+{frac {parcial }{parcial t}}G_{3}({mathbf {p}},{mathbf {Q}},t)\&K({ mathbf {Q}},{mathbf {P}},t)=H({mathbf {q}},{mathbf {p}},t)+{frac {parcial }{parcial t} }G_{4}({mathbf {p}},{mathbf {P}},t)\end{alineado}}$

Con la restricción sobre P y Q tal que el sistema hamiltoniano transformado es: ${mathbf {{dot {P}}}}=-{frac {parcial K}{parcial {mathbf {Q}}}},,quad {mathbf {{dot {Q} }}}=+{frac {parcial K}{parcial {mathbf {P}}}},,$

las transformaciones anteriores se denominan transformaciones canónicas, cada función G _n se denomina función generadora del " tipo n " o "tipo- n ". La transformación de coordenadas y momentos puede permitir la simplificación para resolver las ecuaciones de Hamilton para un problema dado.

La elección de Q y P es completamente arbitraria, pero no todas las elecciones conducen a una transformación canónica. Un criterio simple para que una transformación q → Q y p → P sea canónica es que el paréntesis de Poisson sea la unidad, ${Q_{i},P_{i}}=1$

para todo i = 1, 2,... N. Si esto no se cumple, la transformación no es canónica.La ecuación de Hamilton-Jacobi

Al establecer el hamiltoniano transformado canónicamente K = 0, y la función generadora de tipo 2 igual a la función principal de Hamilton (también la acción ${ matemáticas {S}}$ ) más una constante arbitraria C: $G_{2}({mathbf {q}},t)={mathcal {S}}({mathbf {q}},t)+C,,$

los momentos generalizados se convierten en: ${mathbf {p}}={frac {parcial {mathcal {S}}}{parcial {mathbf {q}}}}$

y P es constante, entonces la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) se puede derivar de la transformación canónica de tipo 2: $H=-{frac {parcial {mathcal {S}}}{parcial t}}$

donde H es el hamiltoniano como antes: $H=H({mathbf {q}},{mathbf {p}},t)=Hleft({mathbf {q}},{frac {parcial {mathcal {S}}}{ parcial {mathbf {q}}}},tderecha)$

Otra función relacionada es la función característica de Hamilton $W({mathbf {q}})={mathcal {S}}({mathbf {q}},t)+Et$

utilizado para resolver el HJE por separación aditiva de variables para un hamiltoniano H independiente del tiempo.

El estudio de las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi conduce naturalmente al estudio de las variedades simplécticas y la topología simpléctica. En esta formulación, las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son las curvas integrales de los campos vectoriales hamiltonianos.

Mecánica ruthiana

La mecánica ruthiana es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, que no se usa con frecuencia pero es especialmente útil para eliminar coordenadas cíclicas. Si el Lagrangiano de un sistema tiene s coordenadas cíclicas q = q ₁, q ₂,... q _s con momentos conjugados p = p ₁, p ₂,... p _s, siendo el resto de coordenadas no cíclicas y denotado ζ = ζ ₁, ζ ₁,..., ζ _{norte - s}, se pueden eliminar introduciendo el Routhian: $R=mathbf{p}cdotmathbf{dot{q}} - L(mathbf{q}, mathbf{p}, boldsymbol{zeta}, dot{boldsymbol{zeta}}),,$

lo que conduce a un conjunto de 2 s ecuaciones hamiltonianas para las coordenadas cíclicas q, $dot{mathbf{q}} = +frac{R parcial}{\mathbf{p}}parcial,,quad dot{mathbf{p}} = -frac{R parcial} {\mathbf{q}},,$

y N − s ecuaciones lagrangianas en las coordenadas no cíclicas ζ. $frac{d}{dt}frac{parcial R }{parcialdot{boldsymbol{zeta}}} = frac{parcial R}{parcial boldsymbol{zeta}},.$

Planteado de esta forma, aunque el Routhiano tiene la forma del Hamiltoniano, se puede pensar en un Lagrangiano con N − s grados de libertad.

Las coordenadas q no tienen por qué ser cíclicas, la partición entre las coordenadas que entran en las ecuaciones hamiltonianas y las que entran en las ecuaciones lagrangianas es arbitraria. Simplemente es conveniente dejar que las ecuaciones hamiltonianas eliminen las coordenadas cíclicas, dejando las coordenadas no cíclicas a las ecuaciones de movimiento lagrangianas.

Mecánica apeliana

La ecuación de movimiento de Appell involucra aceleraciones generalizadas, las segundas derivadas de las coordenadas generalizadas: $alpha_r = ddot{q}_r = frac{d^2 q_r}{dt^2},,$

así como las fuerzas generalizadas mencionadas anteriormente en el principio de D'Alembert. Las ecuaciones son $mathcal{Q}_{r} = frac{parcial S}{parcial alpha_{r}},, quad S = frac{1}{2} sum_{k=1}^{ N} m_{k} mathbf{a}_{k}^{2},,$

dónde $mathbf{a}_k = ddot{mathbf{r}}_k = frac{d^2 mathbf{r}_k}{dt^2}$

es la aceleración de la partícula k, la segunda derivada de su vector de posición. Cada aceleración a _k se expresa en términos de las aceleraciones generalizadas α _r, así mismo cada r _k se expresa en términos de las coordenadas generalizadas q _r.

Extensiones a la teoría de campos clásica

Teoría del campo lagrangiano

Las coordenadas generalizadas se aplican a partículas discretas. Para N campos escalares φ _i (r, t) donde i = 1, 2,... N, la densidad lagrangiana es una función de estos campos y sus derivados de espacio y tiempo, y posiblemente las propias coordenadas de espacio y tiempo:

{displaystyle {mathcal {L}}={mathcal {L}}(phi _{1},phi _{2},dots,nabla phi _{1},nabla phi _ {2},puntos,parcial _{t}phi _{1},parcial _{t}phi _{2},ldots,mathbf {r},t),.}

y las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen un análogo para los campos:

{displaystyle parcial_{mu}left({frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial (parcial_{mu}phi_{i})}}right) ={frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial phi _{i}}},,}

donde ∂ _μ denota el gradiente de 4 y se ha utilizado la convención de suma. Para N campos escalares, estas ecuaciones de campo lagrangianas son un conjunto de N ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden en los campos, que en general serán acopladas y no lineales.

Esta formulación de campo escalar se puede extender a campos vectoriales, campos de tensores y campos de espinores.

El lagrangiano es la integral de volumen de la densidad lagrangiana:

{displaystyle L=int _{mathcal {V}}{mathcal {L}},dV,.}

Desarrollada originalmente para campos clásicos, la formulación anterior es aplicable a todos los campos físicos en situaciones clásicas, cuánticas y relativistas: como la gravedad newtoniana, el electromagnetismo clásico, la relatividad general y la teoría cuántica de campos. Se trata de determinar la densidad lagrangiana correcta para generar la ecuación de campo correcta.Teoría del campo hamiltoniano

Las densidades de campo de "momento" correspondientes conjugadas con los N campos escalares φ _i (r, t) son:

{displaystyle pi _{i}(mathbf {r},t)={frac {parcial {mathcal {L}}}{parcial {dot {phi }}_{i}}} ,quad {dot {phi }}_{i}equiv {frac {parcial phi _{i}}{parcial t}}}

donde en este contexto el overdot denota una derivada de tiempo parcial, no una derivada de tiempo total. La densidad hamiltoniana ${ matemáticas {H}}$ se define por analogía con la mecánica:

{displaystyle {mathcal {H}}(phi_{1},phi_{2},ldots,pi_{1},pi_{2},ldots,mathbf {r},t)=sum_{i=1}^{N}{dot {phi }}_{i}(mathbf {r},t)pi_{i}(mathbf {r}, t)-{mathcal {L}},.}

Las ecuaciones de movimiento son:

{displaystyle {dot {phi }}_{i}=+{frac {delta {mathcal {H}}}{delta pi_{i}}},,quad {dot {pi }}_{i}=-{frac {delta {mathcal {H}}}{delta phi _{i}}},,}

donde la derivada variacional

{ Displaystyle { frac { delta }{ delta phi _ {i}}} = { frac { parcial }{ parcial phi _ {i}}}- parcial _ { mu }{ frac { parcial }{ parcial ( parcial _ { mu} phi _ {i})}}}

deben usarse en lugar de meras derivadas parciales. Para N campos, estas ecuaciones de campo hamiltonianas son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, que en general serán acopladas y no lineales.

De nuevo, la integral de volumen de la densidad hamiltoniana es la hamiltoniana

{displaystyle H=int _{mathcal {V}}{mathcal {H}},dV,.}

Simetría, conservación y teorema de Noether

Transformaciones de simetría en el espacio y el tiempo clásicos

Cada transformación puede ser descrita por un operador (es decir, función que actúa sobre las variables de posición r o momento p para cambiarlas). Los siguientes son los casos en que el operador no cambia r o p, es decir, simetrías.

{mathbf {r}}rightarrow {mathbf {r}}+{mathbf {a}}

Transformación	Operador	Posición	Impulso
simetría traslacional	$X({mathbf{a}})$	${mathbf {r}}rightarrow {mathbf {r}}+{mathbf {a}}$	${mathbf {p}}rightarrow {mathbf {p}}$
Traducción de tiempo	$tu(t_{0})$	${mathbf {r}}(t)flecha derecha {mathbf {r}}(t+t_{0})$	${mathbf {p}}(t)flecha derecha {mathbf {p}}(t+t_{0})$
Invariancia rotacional	$R({mathbf {{hat {n}}}},theta)$	${mathbf {r}}rightarrow R({mathbf {{hat {n}}}},theta){mathbf {r}}$	${mathbf {p}}rightarrow R({mathbf {{hat {n}}}},theta){mathbf {p}}$
Transformaciones galileanas	$G({mathbf{v}})$	${mathbf {r}}rightarrow {mathbf {r}}+{mathbf {v}}t$	${mathbf {p}}rightarrow {mathbf {p}}+m{mathbf {v}}$
Paridad	$PAGS$	${mathbf {r}}flecha derecha -{mathbf {r}}$	${mathbf {p}}flecha derecha -{mathbf {p}}$
T-simetría	$T$	${mathbf {r}}rightarrow {mathbf {r}}(-t)$	${mathbf {p}}flecha derecha -{mathbf {p}}(-t)$

donde R (n̂, θ) es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario n̂ y el ángulo θ.teorema de noether

El teorema de Noether establece que una transformación de simetría continua de la acción corresponde a una ley de conservación, es decir, la acción (y por lo tanto el Lagrangiano) no cambia bajo una transformación parametrizada por un parámetro s:

{displaystyle L[q(s,t),{dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{dot {q}}(t)]}

el lagrangiano describe el mismo movimiento independientemente de s, que puede ser la longitud, el ángulo de rotación o el tiempo. Se conservarán los momentos correspondientes a q.

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