Principio de d'Alembert

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El principio de D'Alembert es otra forma de formular la segunda ley del movimiento de Newton. El principio se ha "definido como el negativo del producto de la masa por la aceleración. Si esta fuerza se suma a la fuerza impresa, hay equilibrio, lo que significa que se satisface el principio del trabajo virtual". Constituye una extensión del principio del trabajo virtual de los sistemas estáticos a los dinámicos,

El principio no se aplica a los desplazamientos irreversibles, como la fricción por deslizamiento, y se requiere una especificación más general de la irreversibilidad. El principio de D'Alembert es más general que el principio de Hamilton, ya que no está restringido a restricciones holonómicas que dependen solo de las coordenadas y el tiempo, pero no de las velocidades.

Declaración del principio

El principio establece que la suma de las diferencias entre las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas masivas y las derivadas temporales de los momentos del propio sistema proyectados sobre cualquier desplazamiento virtual consistente con las restricciones del sistema es cero. Así, en notación matemática, el principio de d'Alembert se escribe de la siguiente manera,

{displaystyle sum _{i}(mathbf {F} _{i}-m_{i}{dot {mathbf {v} }}_{i}-{dot {m}}_{i}mathbf {v} _{i})cdot delta mathbf {r} _{i}=0,}

dónde:

$i$ es un número entero usado para indicar (a través de un subíndice) una variable correspondiente a una partícula particular en el sistema,
${mathbf{F}}_{i}$ es la fuerza total aplicada (excluyendo las fuerzas de restricción) sobre la $i$ -ésima partícula,
$mi$ es la masa de la $i$ partícula -ésima,
${ estilo de visualización mathbf {v} _ {i}}$ es la velocidad de la $i$ -ésima partícula,
$delta {mathbf r}_{i}$ es el desplazamiento virtual de la $i$ -ésima partícula, consistente con las restricciones.

La notación de puntos de Newton se utiliza para representar la derivada con respecto al tiempo. La ecuación anterior a menudo se denomina principio de d'Alembert, pero fue escrita por primera vez en esta forma variacional por Joseph Louis Lagrange. La contribución de D'Alembert fue demostrar que en la totalidad de un sistema dinámico las fuerzas de restricción se desvanecen. Es decir, las fuerzas generalizadas ${displaystyle mathbf {Q}_{j}}$ no necesitan incluir fuerzas de restricción. Es equivalente al principio de mínima restricción de Gauss, algo más engorroso.

Derivaciones

Caso general con masa variable

El enunciado general del principio de D'Alembert menciona "las derivadas temporales de los momentos del sistema". Por la segunda ley de Newton, la primera derivada del momento lineal es la fuerza. El momento de la $i$ -ésima masa es el producto de su masa por su velocidad:

{displaystyle mathbf {p} _{i}=m_{i}mathbf {v} _{i}}

y su derivada temporal es

{displaystyle {dot {mathbf {p} }}_{i}={dot {m}}_{i}mathbf {v} _{i}+m_{i}{dot {mathbf {v} }}_{i}.}

En muchas aplicaciones, las masas son constantes y esta ecuación se reduce a

{displaystyle {dot {mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{dot {mathbf {v} }}_{i}=m_{i}mathbf {a} _{i}.}

Sin embargo, algunas aplicaciones involucran masas cambiantes (por ejemplo, cadenas que se enrollan o se desenrollan) y en esos casos ambos términos ${punto {m}}_{i}{mathbf {v}}_{i}$ y $m_{i}{dot {{mathbf {v}}}}_{i}$ tienen que permanecer presentes, dando

{displaystyle sum_{i}(mathbf {F}_{i}-m_{i}mathbf {a}_{i}-{dot {m}}_{i}mathbf {v} _ {i})cdotdeltamathbf{r}_{i}=0.}

Caso especial con masa constante

Considere la ley de Newton para un sistema de partículas de masa constante, $i$ . La fuerza total sobre cada partícula es

{displaystyle mathbf {F}_{i}^{(T)}=m_{i}mathbf {a}_{i},}

dónde

${mathbf {F}}_{{i}}^{{(T)}}$ son las fuerzas totales que actúan sobre las partículas del sistema,
$m_{i}{mathbf {a}}_{i}$ son las fuerzas de inercia que resultan de las fuerzas totales.

Mover las fuerzas de inercia hacia la izquierda da una expresión que puede considerarse que representa un equilibrio cuasiestático, pero que en realidad es solo una pequeña manipulación algebraica de la ley de Newton:

{displaystyle mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}mathbf {a} _{i}=mathbf {0}.}

Considerando el trabajo virtual, $delta W$ , realizado por las fuerzas total e inercial juntas a través de un desplazamiento virtual arbitrario, $delta {mathbf r}_{i}$ , del sistema conduce a una identidad cero, ya que las fuerzas involucradas suman cero para cada partícula.

{displaystyle delta W=sum _{i}mathbf {F} _{i}^{(T)}cdot delta mathbf {r} _{i}-sum _{i}m_{i}mathbf {a} _{i}cdot delta mathbf {r} _{i}=0}

La ecuación vectorial original podría recuperarse reconociendo que la expresión del trabajo debe cumplirse para desplazamientos arbitrarios. Al separar las fuerzas totales en fuerzas aplicadas, ${mathbf F}_{i}$ , y fuerzas de restricción, ${mathbf C}_{i}$ , se obtiene

{displaystyledelta W=sum_{i}mathbf {F}_{i}cdot delta mathbf {r}_{i}+sum_{i}mathbf {C}_{i }cdot delta mathbf {r} _{i}-sum _{i}m_{i}mathbf {a} _{i}cdot delta mathbf {r} _{i}=0 } }

Si se supone que los desplazamientos virtuales arbitrarios están en direcciones que son ortogonales a las fuerzas de restricción (que no suele ser el caso, por lo que esta derivación solo funciona para casos especiales), las fuerzas de restricción no realizan ningún trabajo ${textstyle sum_{i}mathbf{C}_{i}cdotdeltamathbf{r}_{i}=0}$ . Se dice que tales desplazamientos son consistentes con las restricciones. Esto lleva a la formulación del principio de d'Alembert, que establece que la diferencia de fuerzas aplicadas y fuerzas de inercia para un sistema dinámico no realiza trabajo virtual:

{displaystyle delta W=sum_{i}(mathbf {F}_{i}-m_{i}mathbf {a}_{i})cdot delta mathbf {r}_{i }=0.}

También hay un principio correspondiente para sistemas estáticos llamado principio de trabajo virtual para fuerzas aplicadas.

Principio de las fuerzas de inercia de D'Alembert

D'Alembert demostró que se puede transformar un cuerpo rígido en aceleración en un sistema estático equivalente añadiendo la llamada "fuerza de inercia" y el "par de inercia" o momento. La fuerza de inercia debe actuar a través del centro de masa y el par de inercia puede actuar en cualquier lugar. Entonces, el sistema puede analizarse exactamente como un sistema estático sujeto a esta "fuerza y momento de inercia" ya las fuerzas externas. La ventaja es que en el sistema estático equivalente uno puede tomar momentos sobre cualquier punto (no solo el centro de masa). Esto a menudo conduce a cálculos más simples porque cualquier fuerza (a su vez) puede eliminarse de las ecuaciones de momento eligiendo el punto apropiado sobre el cual aplicar la ecuación de momento (suma de momentos = cero). Incluso en el curso de Fundamentos de Dinámica y Cinemática de máquinas, este principio ayuda a analizar las fuerzas que actúan sobre un eslabón de un mecanismo cuando está en movimiento. En los libros de texto de ingeniería dinámica, esto a veces se denominaprincipio de d'Alembert.

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Así, el equilibrio dinámico de un sistema de $norte$ cuerpos rígidos con $metro$ coordenadas generalizadas requiere

{displaystyle delta W=left(Q_{1}+Q_{1}^{*}right)delta q_{1}+dots +left(Q_{m}+Q_{m}^{ *}derecha)delta q_{m}=0,}

para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales ${ estilo de visualización delta q_ {j}}$ siendo $Q_{j}$ una fuerza aplicada generalizada y ${displaystyle Q_{j}^{*}}$ siendo una fuerza de inercia generalizada. Esta condición produce $metro$ ecuaciones,

{displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,quad j=1,ldots,m,}

que también se puede escribir como

{displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {parcial T}{parcial {dot {q}}_{j}}}-{frac {parcial T}{parcial q_ {j}}}=Q_{j},quad j=1,ldots,m.}

El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido.