Matriz leslie

La matriz de Leslie es un modelo discreto de crecimiento demográfico estructurado por edades que es muy popular en ecología de poblaciones y lleva el nombre de Patrick H. Leslie. La matriz de Leslie (también llamada modelo de Leslie) es una de las formas más conocidas de describir el crecimiento de las poblaciones (y su distribución por edades proyectada), en la que una población está cerrada a la migración, crece en un entorno ilimitado y donde sólo se considera un sexo, generalmente el femenino.

La matriz de Leslie se utiliza en ecología para modelar los cambios en una población de organismos durante un período de tiempo. En un modelo de Leslie, la población se divide en grupos según clases de edad. Un modelo similar que reemplaza las clases de edad con etapas ontogenéticas se llama matriz de Lefkovitch, mediante el cual los individuos pueden permanecer en la misma clase de etapa o pasar a la siguiente. En cada paso de tiempo, la población está representada por un vector con un elemento para cada clase de edad donde cada elemento indica el número de individuos actualmente en esa clase.

La matriz de Leslie es una matriz cuadrada con el mismo número de filas y columnas que elementos tiene el vector de población. La (i,j)ésima celda de la matriz indica cuántos individuos estarán en la clase de edad i en el siguiente paso de tiempo para cada individuo en la etapa j. En cada paso de tiempo, el vector de población se multiplica por la matriz de Leslie para generar el vector de población para el paso de tiempo siguiente.

Para construir una matriz se debe conocer la siguiente información de la población:

• nx{displaystyle n_{x}, el conteo de individuos (n) de cada clase de edad x
• sx{displaystyle s_{x}, la fracción de individuos que sobreviven de la clase de edad x a la clase de edad x+1,
• fx{displaystyle f_{x}, fecundidad, el promedio per cápita de descendencia femenina alcanzando n0{displaystyle No. nacido de madre de la clase de edad x. Más precisamente, se puede ver como el número de descendientes producidos en la próxima clase de edad bx+1{displaystyle B_{x+1} ponderado por la probabilidad de llegar a la siguiente clase de edad. Por lo tanto, fx=sxbx+1.{displaystyle f_{x}=s_{x}b_{x+1}

De las observaciones n0{displaystyle No. a la vez t+1 es simplemente la suma de toda descendencia nacida del paso del tiempo anterior y que los organismos sobreviviendo a tiempo t+1 son los organismos a la vez t sobreviviendo a la probabilidad sx{displaystyle s_{x}, uno se pone nx+1=sxnx{displaystyle No.. Esto implica la siguiente representación matriz:

[n0n1⋮ ⋮ n⋅ ⋅ − − 1]t+1=[f0f1f2... ... f⋅ ⋅ − − 2f⋅ ⋅ − − 1s000... ... 000s10... ... 0000s2... ... 00⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 000... ... s⋅ ⋅ − − 20][n0n1⋮ ⋮ n⋅ ⋅ − − 1]t{fnMicrosoft Sans Serif} \n_{omega -1\end{bmatrix}={t+1}={begin{bmatrix}f_{0} limitf_{1} limitf_{2} > -2} ################################################################################################################################################################################################################################################################ -2} {begin{bmatrix}n_{0}n_{1}\vdots \n_{omega - ¿Qué?

Donde ⋅ ⋅ {displaystyle omega } es la edad máxima alcanzable en la población.

Esto se puede escribir como:

nt+1=Lnt{displaystyle mathbf {n} - ¿Qué? {L} mathbf {n} _{t}

o:

nt=Ltn0{displaystyle mathbf {n} ¿Qué? {cHFF} {cHFF}cHFF} ¿Qué?

Donde nt{displaystyle mathbf {n} ¿Qué? es el vector de la población a la vez t y L{displaystyle mathbf {L} es la matriz Leslie. El valor dominante de L{displaystyle mathbf {L}, denotado λ λ {displaystyle lambda }, da la tasa de crecimiento asintotico de la población (tasa de crecimiento a la distribución estable de la edad). El eigenvector correspondiente proporciona la distribución estable de la edad, la proporción de individuos de cada edad dentro de la población, que sigue siendo constante en este punto de crecimiento asintotico que prohíbe cambios a las tasas vitales. Una vez alcanzado la distribución estable de la edad, una población sufre un crecimiento exponencial a un ritmo λ λ {displaystyle lambda }.

El polinomio característico de la matriz viene dado por la ecuación de Euler-Lotka.

El modelo Leslie es muy similar a una cadena de Markov discreta. La diferencia principal es que en un modelo Markov, uno habría fx+sx=1{displaystyle F_{x}+s_{x}=1} para cada uno x{displaystyle x}, mientras que el modelo Leslie puede tener estas sumas mayores o menos de 1.

Estructura de edad estable

Este modelo de crecimiento estructurado en la edad sugiere una tasa de crecimiento estable, estable o estable. Independientemente del tamaño de la población inicial, N0{displaystyle N_{0}, o la distribución de la edad, la población tiende asintomáticamente a esta edad-estructura y tasa de crecimiento. También regresa a este estado tras la perturbación. La ecuación Euler-Lotka proporciona un medio para identificar la tasa de crecimiento intrínseco. La estructura estable de edad se determina tanto por la tasa de crecimiento como por la función de supervivencia (es decir, la matriz Leslie). Por ejemplo, una población con una gran tasa de crecimiento intrínseco tendrá una estructura de edad desproporcionadamente “jóvena”. Una población con altas tasas de mortalidad a todas las edades (es decir, baja supervivencia) tendrá una estructura de edad similar.

Modelo aleatorio de Leslie

Existe una generalización de la tasa de crecimiento de la población cuando una matriz de Leslie tiene elementos aleatorios que pueden estar correlacionados. Al caracterizar el desorden, o incertidumbres, en parámetros vitales; Se debe utilizar un formalismo perturbativo para tratar con ecuaciones en diferencias matriciales aleatorias lineales no negativas. Entonces, el valor propio efectivo y no trivial que define la dinámica asintótica a largo plazo del vector de estado de población de valor medio puede presentarse como la tasa de crecimiento efectiva. Este valor propio y el vector de estado invariante de valor medio asociado se pueden calcular a partir de la raíz positiva más pequeña de un polinomio secular y el residuo de la función de Green de valor medio. De este modo, se pueden analizar resultados exactos y perturbativos para varios modelos de desorden.